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2025年中考数学 一轮复习（回归教材夯实基础）
第8讲 一元一次不等式(组)及其应用
考点精讲精练
第二章 方程(组)与不等式(组)
知识点1 不等式的基本性质
不变
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不变
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改变
<
<
知识点2 一元一次不等式的概念及其解法
一
1
x>a
x≤a
x≥a
知识点3 一元一次不等式组的解法及解集表示
1．一元一次不等式组的概念及其解法
一元一次 不等式组 含有同一个未知数的______________不等式的不等式组叫做一元一次不等式组
一元一次不等 式组的解集 一元一次不等式组中所有不等式______的公共部分
解一元一次不 等式组的步骤 (1)先分别求出每个不等式的______；(2)再借助数轴找出它们的__________；(3)写出不等式组的解集
几个一元一次
解集
解集
公共部分
2.几种常见的不等式组的解集
x>a
b
知识点4 一元一次不等式(组)的实际应用
找 找出题目中的不等关系，正确理解表示不等关系的关键词的意义，例如，“至少”(≥)、“最多”(≤)、“不低于”(≥)、“不高于”(≤)、“不大于”(≤)、“不小于”(≥)等
设 设未知数
列 根据不等关系，列出不等式(组)
解 解不等式(组)
答 根据题意作答(要注意所取值要符合实际意义，例如，人数必须为正整数，当x表示人数且x≥3.5时，x的最小值为4，即至少有4人)
1
a≥5
30
25
30
D
A
A
x＜3
x≥－1
－1≤x＜3
B
a≤－1
5≤a＜6
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第8讲 一元一次不等式(组)及其应用
不等式的基本性质
性质1 不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变， 即：若a>b，则a±c>b±c
性质2 不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变， 即：若a>b，c>0，则ac>bc(或>)
性质3 不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变， 即：若a>b，c<0，则ac一元一次不等式的概念及其解法
概念 只含有一个未知数，未知数的最高次数是1的不等式
解法 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1
解集表示 xx>a
x≤a
x≥a
一元一次不等式组的解法及解集表示
1．一元一次不等式组的概念及其解法
一元一次 不等式组 含有同一个未知数的几个一元一次不等式的不等式组叫做一元一次不等式组
一元一次不等 式组的解集 一元一次不等式组中所有不等式解集的公共部分
解一元一次不 等式组的步骤 (1)先分别求出每个不等式的解集；(2)再借助数轴找出它们的公共部分；(3)写出不等式组的解集
2.几种常见的不等式组的解集
类型(a>b) 在数轴上表示 口诀 解集
同大取大 x>a
同小取小 x大小小大取中间 b大大小小取不了 无解
一元一次不等式(组)的实际应用
找 找出题目中的不等关系，正确理解表示不等关系的关键词的意义，例如，“至少”(≥)、“最多”(≤)、“不低于”(≥)、“不高于”(≤)、“不大于”(≤)、“不小于”(≥)等
设 设未知数
列 根据不等关系，列出不等式(组)
解 解不等式(组)
答 根据题意作答(要注意所取值要符合实际意义，例如，人数必须为正整数，当x表示人数且x≥3.5时，x的最小值为4，即至少有4人)
【夺分宝典】
求不等式组中待定字母的取值范围的解题步骤：
(1)把待定字母当作已知数，解出不等式组的解集；
(2)把不等式组有解或无解或有几个整数解的情况在数轴上表示出来；
(3)根据题干条件列出关于待定字母的不等式(组)，求解该不等式(组)得到待定字母的大致取值范围；
(4)检验临界值(即端点值)，将(3)中求得的待定字母的临界值代回原不等式组，检验是否满足题意．若满足，则该临界值也在取值范围内，否则就不在．对于“有几个整数解”的问题，临界值应考虑两个．
(一题多设问)已知关于x的不等式组
(1)若该不等式组的解集为－1＜x≤3，则a的值是1；
(2)若该不等式组无解，则a的取值范围是a≥5；
(3)若该不等式组恰有3个整数解，求a的取值范围．
【自主解答】解：解不等式①，得x＞a－2.解不等式②，得x≤3，
∴不等式组的解集为a－2＜x≤3.
∵该不等式组恰有3个整数解，
∴0≤a－2＜1，∴2≤a＜3.
(一题多设问)某校准备购买篮球、足球两种体育用品，已知篮球的单价为100元，足球的单价为60元，学校购买篮球和足球共40个．
(1)若购买篮球的个数不少于购买足球个数的，则最多可购买足球30个；
(2)若购买篮球的费用不超过购买足球的费用，则最少可购买足球25个；
(3)若购买篮球和足球的总费用最多为3 600元，则最多购买篮球30个；
(4)购买时恰逢该商场对篮球和足球的单价进行了调整，篮球单价比原来降低了10%，足球单价比原来提高了10%，且该校此次购买篮球和足球的费用最多为3 360元，则此次最少购买多少个足球？
【自主解答】解：设购买足球m个，则购买篮球(40－m)个．
依题意，得100×(1－10%)(40－m)＋60(1＋10%)m≤3 360，解得m≥10.
答：此次最少购买10个足球．
命题点1 解一元一次不等式组
1．(2023·襄阳)如图，数轴上表示的是组成不等式组的两个不等式的解集，则这个不等式组的解集是( D )
A．x≤1 B．x＞1
C．－1＜x D．－1＜x≤1
2．(2024·湖北)不等式x＋1≥2的解集在数轴上表示正确的是( A )
A． B．
C． D．
3．(2023·仙桃、潜江、天门联考)不等式组的解集为( A )
A．1≤x＜2 B．x≤1
C．x＞2 D．1＜x≤2
4．(2023·武汉)解不等式组请按下列步骤完成解答．
(1)解不等式①，得x＜3；
(2)解不等式②，得x≥－1；
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
(4)原不等式组的解集是－1≤x＜3．
解：如图所示．
5．(2024·武汉)求不等式组的整数解．
解：解不等式①，得x＞－2.
解不等式②，得x≤1，
故此不等式组的解集为－2＜x≤1，
故不等式组的整数解为－1，0，1.
命题点2 利用不等式(组)的解集求参数的值或范围
6．(2023·鄂州)已知不等式组的解集是－1＜x＜1，则(a＋b)2 023的值是( B )
A．0 B．－1
C．1 D．2 023
7．(2023·黄石)若实数a使关于x的不等式组的解集为－1＜x＜4，则实数a的取值范围为a≤－1．
8．(2021·荆门)已知关于x的不等式组恰有2个整数解，则a的取值范围是5≤a＜6．
命题点3 一元一次不等式的应用
9．(2023·黄冈、孝感、咸宁联考)创建文明城市，构建美好家园．为提高垃圾分类意识，幸福社区决定采购A，B两种型号的新型垃圾桶．已知购买3个A型垃圾桶和4个B型垃圾桶共需要580元；购买6个A型垃圾桶和5个B型垃圾桶共需要860元．
(1)求两种型号垃圾桶的单价；
(2)若需购买A，B两种型号的垃圾桶共200个，总费用不超过15 000元，则至少需购买A型垃圾桶多少个？
解：(1)设A型垃圾桶的单价为x元，B型垃圾桶的单价为y元．
由题意，得
解得
答：A型垃圾桶的单价为60元，B型垃圾桶的单价为100元．
(2)设购买A型垃圾桶a个．
由题意，得60a＋100(200－a)≤15 000，
解得a≥125.
答：至少需购买A型垃圾桶125个．
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第8讲 一元一次不等式(组)及其应用
不等式的基本性质
性质1 不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变， 即：若a>b，则a±c>b±c
性质2 不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变， 即：若a>b，c>0，则ac>bc(或>)
性质3 不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变， 即：若a>b，c<0，则ac一元一次不等式的概念及其解法
概念 只含有一个未知数，未知数的最高次数是1的不等式
解法 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1
解集表示 xx>a
x≤a
x≥a
一元一次不等式组的解法及解集表示
1．一元一次不等式组的概念及其解法
一元一次 不等式组 含有同一个未知数的几个一元一次不等式的不等式组叫做一元一次不等式组
一元一次不等 式组的解集 一元一次不等式组中所有不等式解集的公共部分
解一元一次不 等式组的步骤 (1)先分别求出每个不等式的解集；(2)再借助数轴找出它们的公共部分；(3)写出不等式组的解集
2.几种常见的不等式组的解集
类型(a>b) 在数轴上表示 口诀 解集
x>b)) 同大取大 x>a
xx>b)) 大小小大取中间 bx一元一次不等式(组)的实际应用
找 找出题目中的不等关系，正确理解表示不等关系的关键词的意义，例如，“至少”(≥)、“最多”(≤)、“不低于”(≥)、“不高于”(≤)、“不大于”(≤)、“不小于”(≥)等
设 设未知数
列 根据不等关系，列出不等式(组)
解 解不等式(组)
答 根据题意作答(要注意所取值要符合实际意义，例如，人数必须为正整数，当x表示人数且x≥3.5时，x的最小值为4，即至少有4人)
【夺分宝典】
求不等式组中待定字母的取值范围的解题步骤：
(1)把待定字母当作已知数，解出不等式组的解集；
(2)把不等式组有解或无解或有几个整数解的情况在数轴上表示出来；
(3)根据题干条件列出关于待定字母的不等式(组)，求解该不等式(组)得到待定字母的大致取值范围；
(4)检验临界值(即端点值)，将(3)中求得的待定字母的临界值代回原不等式组，检验是否满足题意．若满足，则该临界值也在取值范围内，否则就不在．对于“有几个整数解”的问题，临界值应考虑两个．
(一题多设问)已知关于x的不等式组
(1)若该不等式组的解集为－1＜x≤3，则a的值是1；
(2)若该不等式组无解，则a的取值范围是a≥5；
(3)若该不等式组恰有3个整数解，求a的取值范围．
【自主解答】解：解不等式①，得x＞a－2.解不等式②，得x≤3，
∴不等式组的解集为a－2＜x≤3.
∵该不等式组恰有3个整数解，
∴0≤a－2＜1，∴2≤a＜3.
(一题多设问)某校准备购买篮球、足球两种体育用品，已知篮球的单价为100元，足球的单价为60元，学校购买篮球和足球共40个．
(1)若购买篮球的个数不少于购买足球个数的，则最多可购买足球30个；
(2)若购买篮球的费用不超过购买足球的费用，则最少可购买足球25个；
(3)若购买篮球和足球的总费用最多为3 600元，则最多购买篮球30个；
(4)购买时恰逢该商场对篮球和足球的单价进行了调整，篮球单价比原来降低了10%，足球单价比原来提高了10%，且该校此次购买篮球和足球的费用最多为3 360元，则此次最少购买多少个足球？
【自主解答】解：设购买足球m个，则购买篮球(40－m)个．
依题意，得100×(1－10%)(40－m)＋60(1＋10%)m≤3 360，解得m≥10.
答：此次最少购买10个足球．
命题点1 解一元一次不等式组
1．(2023·襄阳)如图，数轴上表示的是组成不等式组的两个不等式的解集，则这个不等式组的解集是( D )
A．x≤1 B．x＞1
C．－1＜x D．－1＜x≤1
2．(2024·湖北)不等式x＋1≥2的解集在数轴上表示正确的是( A )
A． B．
C． D．
3．(2023·仙桃、潜江、天门联考)不等式组的解集为( A )
A．1≤x＜2 B．x≤1
C．x＞2 D．1＜x≤2
4．(2023·武汉)解不等式组请按下列步骤完成解答．
(1)解不等式①，得x＜3；
(2)解不等式②，得x≥－1；
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
(4)原不等式组的解集是－1≤x＜3．
解：如图所示．
5．(2024·武汉)求不等式组的整数解．
解：解不等式①，得x＞－2.
解不等式②，得x≤1，
故此不等式组的解集为－2＜x≤1，
故不等式组的整数解为－1，0，1.
命题点2 利用不等式(组)的解集求参数的值或范围
6．(2023·鄂州)已知不等式组的解集是－1＜x＜1，则(a＋b)2 023的值是( B )
A．0 B．－1
C．1 D．2 023
7．(2023·黄石)若实数a使关于x的不等式组的解集为－1＜x＜4，则实数a的取值范围为a≤－1．
8．(2021·荆门)已知关于x的不等式组恰有2个整数解，则a的取值范围是5≤a＜6．
命题点3 一元一次不等式的应用
9．(2023·黄冈、孝感、咸宁联考)创建文明城市，构建美好家园．为提高垃圾分类意识，幸福社区决定采购A，B两种型号的新型垃圾桶．已知购买3个A型垃圾桶和4个B型垃圾桶共需要580元；购买6个A型垃圾桶和5个B型垃圾桶共需要860元．
(1)求两种型号垃圾桶的单价；
(2)若需购买A，B两种型号的垃圾桶共200个，总费用不超过15 000元，则至少需购买A型垃圾桶多少个？
解：(1)设A型垃圾桶的单价为x元，B型垃圾桶的单价为y元．
由题意，得
解得
答：A型垃圾桶的单价为60元，B型垃圾桶的单价为100元．
(2)设购买A型垃圾桶a个．
由题意，得60a＋100(200－a)≤15 000，
解得a≥125.
答：至少需购买A型垃圾桶125个．
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