2024-2025学年湖南省岳阳市高中教学质量监测试卷高一数学试题（含解析）

2024-2025学年湖南省岳阳市高中教学质量监测试卷
高一数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.的值为( )
A. B. C. D.
4.已知，，，，则“关于的不等式有解”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.若图是函数，且，的大致图象，则函数的大致图象是( )
A. B.
C. D.
6.下列函数中，不能用二分法求其零点近似值的是( )
A. B.
C. D.
7.玻璃的透光性是玻璃的一项重要的性能指标某玻璃厂在进行产品的性能测试时，发现光线通过一块玻璃，强度要损失设光线原来的强度为，通过块这样的玻璃以后，光线强度为，要使光线削弱为原来的，至少需要通过几块这样的玻璃已知，( )
A. B. C. D.
8.已知是上的减函数，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，，则( )
A. 函数的最小正周期为
B. 函数的图象关于点成中心对称图形
C. 函数的最大值为
D. 函数的单调递减区间为
10.已知实数，，，，下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，，则
C. 若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为
D. 若，且，则的最小值为．
11.函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列不等式成立的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数且的图象过定点 ．
13.已知，分别是方程与的实数解，则的值为 ．
14.已知函数，，则函数的值域为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数，，满足，．
求函数的解析式；
判断函数的奇偶性，并用定义证明．
16.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，角的始边与轴的非负半轴重合，将角的终边按逆时针方向旋转，恰好与单位圆相交于点，过作轴的垂线，垂足为．
求的值
求的值．
17.本小题分
春节期间，“旅游潮”、“探亲潮”将为交通带来巨大压力已知某火车站候车厅，候车人数与时刻有关，时刻满足，经观察，当时，候车人数达到满厅人数人，当时，候车人数相对于满厅人数减少，减少人数与成正比已知时，候车人数为人，记候车厅候车人数为．
求的表达式
铁路系统为了体现“人性化”管理，每逢整点时，会给旅客提供免费面包，数量为，求为何值时，需要提供的免费面包数量最少．
18.本小题分
已知函数的部分图象如图所示．
求函数的解析式
将函数图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，若对于任意的，，当时，恒成立，求实数的最大值．
19.本小题分
若函数满足：对于任意正数，，都有，，且，则称函数为“速增函数”．
试判断函数与是否为“速增函数”
若函数为“速增函数”，求的取值范围
若函数为“速增函数”，且，求证：对任意，都有．
答案和解析
1.
【解析】由题意，得，
则．
故选：．
2.
【解析】存在量词命题的否定是全称量词命题，
命题“，”的否定是“，”
故选：．
3.
【解析】
．
故选：．
4.
【解析】当，时，不等式恒成立，不等式有解，充分性不成立，
，当时，二次函数的图象与轴有两个不同的交点，不等式有解，必要性成立，
关于的不等式有解是的必要不充分条件，
故选B．
5.
【解析】由题意，根据函数的图象，
可得，，
根据指数函数的图象与性质，
结合图象变换向上移动个单位，
可得函数的图象只有选项C符合．
故选：．
6.
【解析】对于，有唯一零点，
且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点；
对于，有唯一零点，
但恒成立，故不可用二分法求零点；
对于，当时，，
当且仅当时，等号成立，无零点；
当时，，
当且仅当时，等号成立，在上单调递减，在上单调递增，
此时有两个零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点；
对于，函数在上单调递增，有唯一零点，
所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点．
故选：．
7.
【解析】 由题知，光线经过块玻璃后，强度变为，
由题意，即，
两边同取对数，可得，
所以，
又，
所以至少通过块玻璃，才能使光线强度减弱到原来的．
故选：．
8.
【解析】由题知，且，
当时，要使在上单调递减，
则需为增函数且在上的函数值恒为正，
，解得，
当时，要使在上单调递减，
则其图象的对称轴，解得，
要使是上的减函数，则在同时成立的基础上，
还需满足，
解得，
综上所述，实数的取值范围为：．
故选：．
9.
【解析】对于、函数的最小正周期为，故A正确；
对于、，故的图像不关于点对称，故B错误；
对于、当时，函数的最大值为，故C正确；
对于、由，
可得，
即函数的单调递减区间为，故D正确．
故选：．
10.
【解析】对于、若，则，则，故A正确；
对于、若，，则，
则，故B正确；
对于、由题意，，为方程的根，且，
则，解得，，
则不等式为，即，即，解得或，
所以不等式的解集为，故C错误
对于、若且，
则，即有，，
可得，即，则，
则在上单调递增，可得成立，故D错误．
故选：．
11.
【解析】函数的定义域为，
又 为奇函数， ，
又 为偶函数，
关于对称，，即有，
可得， 一个周期为，
当 时，，即在上单调递减，
对于， ， ，
则，故A正确；
对于，由 ，可知，
则，故B正确；
对于，，，
又，
由关于对称可知，，即，
又，即，故C正确；
对于，由，得，，
同选项C，可得，
则由，
得 ，即，故D错误．
故选：．
12.
【解析】令，解得，此时，
函数的图象过定点．
故答案为：．
13.
【解析】分别作出函数，，的图象，如图：
、为直线与曲线的交点，则，，
，，
而与互为反函数，直线与直线互相垂直，
点与关于直线对称．
，
．
故答案为：．
14.
【解析】因为的定义域为，
所以由，得，
所以函数的定义域为，
又，
令，则，
故，，
又二次函数性质可知，函数在上单调递增，
所以当即时，取得最大值，
又即时，，
所以函数的值域为：
故答案为．
15.解：因为，，
所以，得，，
所以；
的定义域为，关于原点对称，
又，
所以为奇函数．
16.解：由题意得角的终边与单位圆相交于，且，
所以；
．
17.解：当时，设，
因为，则，
；
当时，
，
当且仅当时等号成立；
当时，
，
又，
所以当时，需要提供的面包数量最少．
18.解：由图象可知，
最小正周期，，
因为点在函数图象上，
所以，
即，
又，，
从而，即，
又点在函数图象上，所以，，
故函数的解析式为；
由题意可得，
设
，
，，当时，
恒成立，
即恒成立，
即恒成立，
在区间上单调递减，
令，，
解得，，
因为，所以，则，
故
解得，所以的最大值为．
19.解：对于函数，
当，时，有，
因为，所以，
故根据“速增函数”的定义可得：不是“速增函数”；
对于函数，
当时，有，
故根据“速增函数”的定义可得：不是“速增函数”．
由题意可得，，即对一切正数都成立，
又，可得对一切正数都成立，，
由可得，
又，故，
，即，
综上，实数的取值范围为；
证明：由函数为“速增函数”，可知对于任意正数，，
都有，，且，
令，可知，，即，
故对于正整数与正数，都有，
对任意，可得，又，
，
同理，，
．
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