2024-2025学年辽宁省沈阳市高一上学期1月期末质量监测数学试题（含解析）

2024-2025学年辽宁省沈阳市高一上学期1月期末质量监测
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.函数的定义域为( )
A. B. C. D.
3.，是平面内不共线两向量，已知，，，若，，三点共线，则的值为( )
A. B. C. D.
4.命题，为真命题的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
5.已知幂函数是定义域上的增函数，则( )
A. 或 B. C. D.
6.设，，，则( )
A. B. C. D.
7.已知强度为的声音对应的等级为时，有，喷气式飞机起飞时，声音约为一般说话时，声音约为计算喷气式飞机起飞时的声音强度是一般说话时声音强度的倍．
A. B. C. D.
8.已知函数，若，，，是方程的四个互不相等的解，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.以下命题正确的选项是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，则 D. 若，则
10.设，为两个随机事件，以下命题正确的是( )
A. 若与对立，则
B. 若与互斥，，，则
C. 数据，，，，，，，，，的分位数是
D. 若与相互独立，，，
11.已知函数，的定义域均为，且，若的图象关于直线对称，，下列说法正确的是( )
A. B. 图像关于点对称
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.命题“，”的否定是 ．
13.不等式对恒成立，则 ．
14.已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是，，，，，，若这组数据的平均数与众数的和是中位数的倍，则丢失数据的所有可能值构成的集合为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，，
若，求集合
已知，，是否存在实数，使是的必要不充分条件，若存在实数，求出的取值范围若不存在，请说明理由．
16.本小题分
如图所示，在中，为边上一点，且，若，，三点共线，且，．
用，表示
求的最小值．
17.本小题分
某医疗单位为了迎接医师节，针对本单位不同年龄的员工举办了一次实践技能大比拼活动，满分分分及以上为优秀医师，共有人荣获“优秀医师”称号，将其按年龄分成以下五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图．
根据频率分布直方图，估计这些人的平均年龄
若从第三组，第四组，第五组三组中分层抽取人，再从这人中随机抽取人，求抽取的人年龄在不同组的概率
若第四组的年龄的平均数与方差分别为和，第五组的年龄的平均数与方差分别为和，据此计算这人中第四组与第五组所有人的年龄的方差．
附：
18.本小题分
已知函数为奇函数．
求实数的值
设函数，判断函数在区间上的单调性，并给出证明
设函数，求证：函数在区间上有且只有一个零点．
19.本小题分
定义一种新的运算”，，都有
对于任意实数，，，试判断与的大小关系
若关于的不等式的解集中的整数恰有个，求实数的取值范围
已知函数，，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围．
答案和解析
1.
【解析】
因为，
所以．
故选D．
2.
【解析】
由题意得：，
所以，
故选：
3.
【解析】 ，
由 三点共线，故存在实数 ，使 ，
即 ，
由 是平面内不共线两向量，
所以 ，解得
4.
【解析】
命题“，”为真命题的充要条件是，
故命题“，”为真命题的充分不必要条件是集合的真子集，
可知：满足条件，
故选C．
5.
【解析】
由函数是幂函数，得，解得或，
当时，是上的增函数，符合题意，
当时，是，上的减函数，不符合题意，
所以．
故选：．
6.
【解析】
因为在上单调递增，
所以，即，
因为在上单调递增，
所以，即，
因为在上单调递增，
所以，即．
综上，．
故选：．
7.
【解析】
设喷气式飞机起飞时声音强度为，一般说话时声音强度为，
喷气式飞机起飞时，声音的等级约为，
，解得，
又一般说话时，声音的等级约为，
，解得，
喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的倍，
故选：．
8.
【解析】
函数的图象如图所示：
的图象如图所示，设，结合图像可得，且，，
而，故，，
故，，
设，而在为增函数，则，
故．
故选A．
9.
【解析】
对于选项A，由，得到，又，所以，故选项A正确
对于选项B，取，，显然有，，但，所以选项B错误
对于选项C，因为，则，
因为，但由于，则，则，
所以，，则，选项C正确
对于选项D，无论取正负，都大于，是正确的．
故选ACD．
10.
【解析】
对于，若与对立，则，故A错误
对于，与互斥，则，故B正确
对于，因为共个数据，，，，，，，，，，
又因为，第、两个数分别为和，
所以第百分位数为，故C错误
对于，，，
因为与相互独立，所以与相互独立，故，故D正确．
故选BD．
11.
【解析】
因为的图象关于直线对称，
所以，故A正确
因为，
所以，
又因为，联立得，，
所以的图像关于点中心对称，故 B正确
因为，
所以，即，
因为，所以，
代入得，即，
因为，所以，
因为，所以，
所以，故C正确
由选项可知，因为，
所以．
因为，所以，
，
所以，故 D错误．
故选ABC．
12.，
【解析】
命题“，”的否定是“，”
故答案为：，．
13.
【解析】
因为时，，时，，时，，
所以和是方程的两个根，
所以，，
所以，
故答案为：．
14.
【解析】
设这个数字是，则平均数为 ，众数是，
若这组数据的平均数与众数的和是中位数的倍，
若，则中位数为，此时 ，
，
若，则中位数为，此时 ，
，
若，则中位数为， ，
，
所有可能值为，，．
故答案为．
15.解：由及，得，解得，
所以，
又，
所以；
由，得，
所以，所以．
由是的必要不充分条件，得集合是集合的真子集，
所以，
得，
所以的取值范围为．
16.解：在中，由，又，所以，
所以，
故；
因为，
又因为，，
所以，，所以，
又，，三点共线，所以有，即，
所以当且仅当，即时取等号，
故的最小值为．
17.解：这些人的平均年龄估计为岁．
第三组，第四组，第五组的频率分别为，，，
若从这三组中分层抽取人，则从第三组抽取人，记为，，第四组抽取人，记为，第五组抽取人，记为
对应的样本空间，，，，，，，，，，，，，，，
所以，
设事件为“从人中随机抽取两人，所抽取的人年龄在不同组”，
则，，，，，，，，，，，
所以，
所以．
设第四组、第五组的年龄的平均数分别为，，方差分别为，，
则，，，，
由第四组有人，第五组有人，
设第四组和第五组所有人的年龄平均数为，方差为，
则，
，
所以这人中第四组与第五组所有人的年龄的方差为．
18.解：因为，所以，
故，即，所以；
当时，，
所以在上单调递减．
证明如下：任取，，且，
，
所以，所以在区间上的单调递减．
由，问可知，时，函数是奇函数，且在上单调递减故在上单调递减，
又，，所以存在唯一，使，
所以在区间上有且只有一个零点．
19.解：，，
，
，
；
，
原不等式可化为：，
即，
不等式的解集中的整数恰有个，
为满足题意，必有，即或，
令，
则对称轴为，
由于，，结合可得，
的一个零点在区间，
则另一个零点在区间
从而
即
由可得：或，
综上可得实数的取值范围为；
因为，
，
设，
令，，则，
，
，
所以的值域为，
，
当且仅当时取等号，，
所以的值域为，
根据题意可知：，
所以，
即，
解得且，
所以实数的取值范围．

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