辽宁省重点中学协作校2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题-自定义类型（含答案）

辽宁省重点中学协作校2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知、，下列可使非零向量，，组成的集合成为空间的一组基底的条件是( )
A. B. ，，两两垂直
C. D.
2.直线与圆的位置关系是( )
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 与有关
3.在一个系统中，每一个部件能正常工作的概率称为部件的可靠度，而系统能正常工作的概率称为系统的可靠度现有甲、乙、丙个部件组成的一个如图所示的系统，已知当甲正常工作，且乙、丙至少有一个能正常工作时，系统就能正常工作，其中甲部件的可靠度为，乙、丙部件的可靠度均为，而且甲、乙、丙互不影响，则系统的可靠度为( )
A. B. C. D.
4.抛物线的准线方程是 ．
A. B. C. D.
5.某校要从校广播站名男同学和名女同学中选出两人，分别做校史馆的参观路线导引员和校史讲解员，则至少有名女同学被选中的不同安排方法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6.已知的展开式中，常数项为，则的值为( )
A. B. 或 C. D. 或
7.九章算术第一章“方田”问题二十五、二十六指出了三角形田面积算法：“半广以乘正从”数学社团制作板报向全校师生介绍这一结论，给证明图形的六个区域涂色，有三种颜色可用，要求有相邻边的区域颜色不同，则不同的涂色方法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
8.已知抛物线的焦点为，圆与抛物线交于，两点，点为劣弧上不同于，的一个动点，过点作平行于轴的直线，直线交抛物线于点，则周长的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.从名女生和名男生中任选人去阳光敬老院参加志愿服务，用表示所选人中女生的人数，用表示所选人中男生的人数，则下列结论正确的是( )
A. X~B(5,) B. Y~H(14,5,8) C. E(X)< E(Y) D. E(X)+E(Y)=5
10.如果，分别是平面，的一个法向量，设，所成角的大小为，以为方向向量的直线与平面所成角的大小为，则( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
11.已知点是圆上的动点，点为，线段的垂直平分线交直线于点，点为，则下列结论正确的是( )
A. 若，且圆与圆外切，与轴相切，则点的轨迹为抛物线
B. 若，动点的轨迹是双曲线的右支
C. 若，，在圆上运动，且，为线段的中点，则点的轨迹是圆
D. 若，动点的轨迹是椭圆
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某中学名学生参加一分钟跳绳测试经统计，成绩近似服从正态分布，已知成绩小于的有人，则可估计该校一分钟跳绳成绩在之间的人数约为 ．
13.已知椭圆的焦点分别为，，过椭圆外一点和右顶点的直线交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为 ．
14.有一种运算，三个互异的数，，运算时可以有不同的运算方法，如，，，，，就是其中种不同的运算方法设个互异的数的不同运算方法共有种，则 ， ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知抛物线与过点直线相交于，两点，点为坐标原点．
求的值
若的面积等于，求直线的一般方程．
16.本小题分
若的展开式中第项与第项的二项式系数相等，且
求的系数
求的值．
17.本小题分
某中学计划举行力“拔”千钧，“河”作共赢庆十一拔河比赛共个队抽签参加单淘汰制赢得比赛就进入下一轮比赛，否则就被淘汰比赛，赛程如下：周一八强赛有一队轮空，直接进入下一轮比赛，周二四强赛，周三半决赛，周四决赛．
比赛共需进行多少场
假设各队实力相当每场比赛参赛双方获胜的概率均为，设一号队参加比赛场数为，
(ⅰ)求随机变量的分布列和数学期望
(ⅱ)求一号队在的条件下获得冠军的概率．
18.本小题分
如图，四边形是正方形，四边形是直角梯形且，，，，，，的中点分别为，，
画出过点，，的截面不必写出证明过程
求直线与平面所成角的正弦值
若是中过点，，的截面上一点，二面角的余弦值为，求满足题意的点轨迹的长度．
19.本小题分
已知，，动点满足，
求动点的轨迹的方程
设在点处曲线的切线为，若，为上两点，且满足，．
(ⅰ)证明：点在定直线上，并求出定直线方程
(ⅱ)是否存在点使成立，若存在，求出点横坐标若不存在，请说明理由．
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：设，
由题直线与轴重合不满足题意，
设直线
得，显然，
有，
，
解得，
即直线的方程或．
16.解：第项与第项的二项式系数相等，则，解得，
的展开式中项为：，
所以．
由知，的展开式中，
当时，，
因为，，，，，，，，，，，
所以，
当时，，
所以．
17.解：周一进行场比赛，周二进行场比赛，周三进行场比赛，周四进行场比赛，共进行场比赛；
易知该队抽到轮空签的概率为，
根据题意可知，的取值范围是，
，
，
，
，
因此的分布列如下表所示
设该队共进行了场比赛，该队获得冠军．
，
因此．
18.解：过点，，的截面如图所示：
因为，，，
如图以方向为轴正方向，以方向为轴正方向，以方向为轴正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，可得，，
设平面的法向量为，
，，则，所以，
，
设直线与平面成角为，
所以，，
故直线与平面所成角的正弦值为
因为是截面上一点，设，
设平面的法向量为，，，
则，令，有，
且易知面法向量，
由题二面角的余弦值为，有，整理得，
截面辅图如下：
所以满足题意的点轨迹为，之间的线段，长度为．
19.解：根据题意有，
所以点一定在是以，为焦点，实轴长为的双曲线上，
且，，所以，
又因为，可知，因此点横坐标大于零，
点轨迹方程为
联立，得，
因为与曲线相切，所以，即，；
此时点坐标为，设，
，，因为，
，
，又，
，整理得，
所以，点在定直线上；
由，，
因为，所以，
，
解得：或，又因为，不符合题意，所以舍，
联立，解得．
点横坐标，
存在点使成立，此时点横坐标为．
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