广东省深圳市南山外国语学校2024年数学中考模拟卷
一、选择题（本大题共10小题,每小题3分,共30分,每小题有四个选项,其中只有一个是正确的.)
1．（2024·南山模拟）古钱币是我国悠久的历史文化遗产，以下是在《中国古代钱币》特种邮票中选取的部分图形，下列既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·南山模拟）在下列几何体中，主视图、左视图和俯视图形状都相同的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·南山模拟）式子化简后的结果是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·南山模拟）如下图所示，直线，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·南山模拟）如上图，点B、F、C、E都在一条直线上，，添加下列一个条件后，仍无法判断的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·南山模拟）《生日歌》是我们熟悉的歌曲，以下是摘自生日歌简谱的部分旋律，当中出现的音符的中位数是（ ）
A．1 B．2 C．5 D．6
7．（2024·南山模拟）如图，是的直径，弦交于点，连接，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·南山模拟）某机械厂今年生产零件50万个，计划明后两年共生产零件132万个，设该厂每年的平均增长率为，那么满足方程（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024·南山模拟）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的一元一次不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·南山模拟）如图，在等边三角形ABC中，BC＝4，在Rt△DEF中，∠EDF＝90°，∠F＝30°，DE＝4，点B，C，D，E在一条直线上，点C，D重合，△ABC沿射线DE方向运动，当点B与点E重合时停止运动．设△ABC运动的路程为x，△ABC与Rt△DEF重叠部分的面积为S，则能反映S与x之间函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共5小题,每小题3分,共15分)
11．（2024·南山模拟）点关于原点的对称点的坐标为 .
12．（2024·南山模拟）计算：= ．
13．（2024·南山模拟）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为 ．
14．（2024·南山模拟）如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为3，则这个“莱洛三角形”的周长是 ．
15．（2024·南山模拟）如图，在中，，点是边BC上一动点(不与B、C重合)，DE交AC于点，且，则线段的最大值为 .
三、解答题（本大题共7小题,共55分）
16．（2024·南山模拟）计算：
17．（2024·南山模拟）计算：．
18．（2024·南山模拟）劳动教育具有树德、增智、强体、育美的综合育人价值，有利于学生树立正确的劳动价值观.某学校为了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取了名学生在某个休息日做家务的劳动时间作为样本，并绘制了以下不完整的频数分布表和扇形统计图.根据题中己有信息，解答下列问题：
劳动时间t(单位：小时) 频数
12
1≤t＜1.5 a
26
16
4
（1） ， ；
（2）若该校学生有640人，试估计劳动时间在范围的学生有多少人
（3）劳动时间在范围的4名学生中有男生2名，女生2名，学校准备从中任意抽取2名交流劳动感受，求抽取的2名学生恰好是二名女生的概率.
19．（2024·南山模拟）我市某中学计划举行以“奋斗百年路，启航新征程”为主题的知识竞赛，并对获奖的同学给予奖励.现要购头甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元.
（1）求甲、乙两种奖品的单价；
（2）根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共60件，且甲种奖品的数量不少于乙种奖品数量的，应如何购买才能使总费用最少 并求出最少费用.
20．（2024·南山模拟）已知，如图，AB是的直径，点为上一点，于点，交于点E，AE与BC交于点，点为OE的延长线上一点，且.
（1）求证：BD是的切线；
（2）若的半径为，求BH的长.
21．（2024·南山模拟）【项目式学习】根据以下素材，探索完成任务.
绿化带灌溉车的操作方案
素材1 一辆绿化带灌溉车正在作业，水从喷水口喷出，水流的上下两边缘可以抽象为两条抛物线的一部分：喷水口离开地面高1.6米，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为3米，高出喷水口0.9米，下边缘水流形状与上边缘相同，且喷水口是最高点.
素材2 路边的绿化带宽4米
素材3 绿化带正中间种植了行道树，为了防治病虫害、增加行道树的成活率，园林工人给树木“打针”，针一般打在离地面1.5米到2米的高度(包含端点).
问题解决
任务1 确定上边缘水流形状 建立如图所示直角坐标系，求上边缘抛物线的函数表达式
任务2 探究灌溉范围 灌溉车行驶过程中喷出的水能浇灌到整个绿化带吗 请说明理由
任务3 拟定设计方案 灌溉时，发现水流的上下两边缘冲击力最强，喷到针筒容易造成针筒脱落，那么请问在满足最大灌溉面积的前提下对行道树“打针”是否有影响，并说明理由；若你认为有影响，请给出具体的“打针”范围.
22．（2024·南山模拟）已知：如图，在四边形 和 中， ， ，点C在 上， ， ， ，延长 交 于点M，点P从点A出发，沿 方向匀速运动，速度为 ；同时，点Q从点M出发，沿 方向匀速运动，速度为 ，过点 作 于点H，交 于点G．设运动时间为 ．
解答下列问题：
（1）当 为何值时，点M在线段 的垂直平分线上？
（2）连接PQ，作 于点N，当四边形 为矩形时，求t的值；
（3）连接 ， ，设四边形 的面积为 ，求S与t的函数关系式；
（4）点P在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点P在 的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：由图知A、B都是轴对称图形，但不是中心对称图形，C既不是轴对称图形也不是中心对称图形，D既是轴对称图形又是中心对称图形.
故答案为：D.
【分析】直接根据图形的特征进行判断即可.
2．【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：
A：，主视图，左视图为梯形，俯视图为同心圆，不符合题意；
B：，主视图，左视图为中间有一条虚线的矩形，俯视图为三角形，不符合题意；
C：，主视图，左视图为三角形，圆且正中间有一点，不符合题意；
D：，主视图，左视图为，俯视图为圆，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据简单几何体三视图的形状进行逐一判断即可求解.
3．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解： =a2b4·a2=.
故答案为：B.
【分析】先去括号，再根据底数幂的乘法进行计算即可.
4．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵∠CBD为△ABD的外角
∴∠CBD=∠A+∠2=28°+31°=59°
∵a||b
∴∠ 1=∠CBD=59°
故答案为：C.
【分析】由平行线的性质结合三角形外角的性质即可求得∠1的度数.
5．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A选项，时，ABC和DEF为直角三角形，故由得(HL)，A正确；
B选项，结合得(SAS)，B正确；
C选项，若，不能判断两三角形全等，为“边边角”；
D选项，，结合，可得(SSS)，D正确；
故答案为：C.
【分析】分别判断每一个选项中的条件，能否证明三角形全等，即可.
6．【答案】C
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：当中出现的音符从低到高排列为：1、1、2、5、5、5、5、5、5、6、6、7，
∴中位数为：.
故答案为：C.
【分析】将数据从低到高排列，根据中位数的定义即可求解.
7．【答案】D
【知识点】圆周角定理；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∴
故答案为：D
【分析】连接，根据圆周角定理可得，利用直角三角形的两锐角互余求出，然后由同弧所对的圆周角相等即可求出答案.
8．【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：x为增涨率，第二年的有50(1+x)万个，第三年50(1+x)2万个，共此后两年的共生产零件数为50(1+x)+50(1+x)2，故可列方程.
故答案为：C.
【分析】分别表示出第二年和第三年的产量，即可列出方程.
9．【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：将点M(m，4)代入可m+2=4，得m=2，故M(2，4)，
由图可知点M的右侧，直线y=x+2在直线y=kx+b的上方，即满足，
x的取值范围是x>2.
故答案为：C.
【分析】先将点M代入函数y=x+2中求出m的值，再根据图像可得M右侧满足题意，即可求出x的取值范围.
10．【答案】A
【知识点】动点问题的函数图象
【解析】【解答】过点A作，交BC于点M，
在等边中，，
在中，
所以，，
所以AC//EF，
在等边三角形ABC中，，
所以BM=2，AM=，
所以三角形ABC的面积=。
①当时，如图：
设AC与DF交于点G，
此时与重叠部分为，
由题意得出CD=x，DG=，
所以S=；
②当时，如图：
设AB与DF交于点G，
此时与重叠部分为四边形AGDC，
由题意得出CD=x，BD=4-x，DG=，
所以S=；
③当时，如图：
设AB与EF交于点G过点G作，
交BC于点M，此时与重叠部分为，
由题意得出CD=x，CE=x-4，DB=x-4，
所以BE=8-x，
所以BM=，
在中，GM=，
所以S=；
故答案为： A.
【分析】分，，三种情况，结合等边三角形的性质，含30°直角三角形的性质及三角形面积公式分别列出函数关系式，从而作出判断。
11．【答案】（-2，4）
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：关于原点对称的点横纵坐标都变为相反数，即(-2，4).
故答案为： （-2，4）
【分析】直接由点关于原点对称特点求出点的坐标即可.
12．【答案】7
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：.
故答案为：7.
【分析】根据平方差公式和二次根式的乘法法则进行计算，即可得到答案.
13．【答案】6
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵多边形的外角和是360度，多边形的内角和是外角和的2倍，
则内角和是720度，
720÷180+2=6，
∴这个多边形是六边形．
故答案为：6．
【分析】利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题．
14．【答案】3π
【知识点】等边三角形的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：∵它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧，
所以每段弧的圆心角为60°，半径为3，
故每段弧的长度为：.
故周长为3π.
故答案为：3π.
【分析】根据等边三角形性质可得每段弧的圆心角，从而可求出每段弧长，最终可得周长.
15．【答案】6.4
【知识点】相似三角形的性质；线段最值问题
【解析】【解答】解：AB=AC，得∠B=∠C=α，，
故∠BAD+∠ADB=180°-α，∠ADB+∠CDE=180°-α，得∠BAD=∠CDE，
△ABD~△DCE，得得CE=，即CE=，当BD=8时，CE取最大值，最大值为6.4.
故答案为：6.4.
【分析】由一线三角可得△ABD~△DCE，列出比例有关系，利用二次函数关系可得BD=8时，CE取最小值.
16．【答案】解：原式
【知识点】负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；积的乘方运算；开平方（求平方根）
17．【答案】解：
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】对括号中的式子进行通分，对括号外分式的分母进行分解，然后将除法化为乘法，再约分即可.
18．【答案】（1）80；22
（2）(人)，
答：估计劳动时间在范围的学生有160人；
（3）画树状图，如图：
共有12种等可能的结果，其中抽取的2名学生恰好是两名女生的有2种，
抽取的2名学生恰好是二名女生的概率为.
【知识点】频数与频率；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本的频数估计总体的频数
【解析】【解答】(1)A段的人数为12，占比15%，故总数m=12÷15%=80人
a=80-12-26-16-4=22人.
【分析】(1)由A的频数与占比，即可得总人数，用总人数减去A、C、D、E的人数即可得B的人数；
(2)由人数占比乘以640即可得这个范围的人数；
(3)画出树状图可求出总数和两名女生的情况数量，即可求出概率.
19．【答案】（1）设甲种奖品的单价为元，乙种奖品的单价为元，
件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元，
解得：，
答：甲种奖品的单价为20元，乙种奖品的单价为10元.
（2）设总费用为元，购买甲种奖品为件，
需甲、乙两种奖品共60件，
购买乙种奖品为件，
甲种奖品的单价为20元，乙种奖品的单价为10元，
甲种奖品的数量不少于乙种奖品数量的，
随的增大而增大，
当时，有最小值，最小值为(元)，
购买甲种奖品20件，乙种奖品40件时总费用最少，最少费用为800元.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；不等式组和二元一次方程（组）的综合应用
【解析】【分析】(1)分别设甲乙的价格，由题意列出方程组，求解方程即可；
(2)设总费用和甲的数量为m件，可得乙的件数为(60-m)件，由不等关系可得m的取值范围，同时由一次函数关系可得当m=20时费用最小，并可求出最小值.
20．【答案】（1）证明：，
即，
是的半径，
是的切线；
（2）连接BE，如图所示，
是的直径，
的半径为，
，
，
，
，
，
在Rt中，.
【知识点】圆的综合题
【解析】【分析】(1)由 ∠ABC=∠AEC和得结合角度关系可得∠OBD=90°，即可证切线；
(2)连接BE，由 径为 可得AE的长为16，由勾股定理可得BE的长，由相似可得即可求出EH的长，即可求BH的长.
21．【答案】解：任务1上边缘抛物线的顶点坐标为，
设上边缘拋物线的函数表达式为，
将代入得，解得；
任务2：上边缘抛物线的表达式：，
将代入得，解得(舍去)，，
下边缘水流形状与上边缘相同，且喷水口是最高点，
下边缘抛物线的表达式：，将代入得，解得(舍去)，，
路边的绿化带宽4米，(米)，灌溉车行驶过程中喷出的水能浇灌到整个绿化带；
任务3：根据题意得，将代入有影响，设针打在离地面米的高度不受影响，则.
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
22．【答案】（1）解：当 = 时，点M在线段 的垂直平分线上，理由为：
由题意，CE=2，CM∥BF，
∴ 即： ，
解得：CM= ，
要使点 在线段 的垂直平分线上，
只需QM=CM= ，
∴t= ；
（2）解：如图，
∵ ， ， ，
∴AC=10，EF=10，sin∠PAH= ，cos∠PAH= ，sin∠EFB= ，
在Rt△APH中，AP=2t，
∴PH=AP·sin∠PAH= ，
在Rt△ECM中，CE=2，CM= ，由勾股定理得：EM= ，
在Rt△QNF中，QF=10-t- = ，
∴QN=QF·sin∠EFB=( )× = ，
四边形 为矩形，
∴PH=QN，
∴ = ，
解得：t=3；
（3）解：如图，过Q作QN⊥AF于N，
由（2）中知QN= ，AH=AP·cos∠PAH= ，
∴BH=GC=8- ，
∴GM=GC+CM= ，HF=HB+BF= ，
∴
=
=
= ，
∴S与t的函数关系式为： ；
（4）解：存在，t= ．
证明：如图，延长AC交EF于T，
∵AB=BF，BC=BF， ，
∴△ABC≌△EBF，
∴∠BAC=∠BEF，
∵∠EFB+∠BEF=90°，
∴∠BAC+∠EFB=90°，
∴∠ATE=90°即PT⊥EF，
要使点 在 的平分线上，只需PH=PT，
在Rt△ECM中，CE=2，sin∠BEF= ，
CT=CE·sin∠BEF = ，
PT=10+ -2t= ，又PH= ，
= ，
解得：t= ．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）要使点M在线段CQ的垂直平分线上，只需证CM=MQ即可；（2）由矩形性质得PH=QN，由已知和AP=2t，MQ=t，解直角三角形推导出PH、QN，进而得关于t的方程，解之即可；（3）分别用t表示出梯形GHFM的面积、△QHF的面积、△CMQ的面积，即可得到S与t的函数关系式；（4）延长AC交EF与T，证得AT⊥EF，要使点P在∠AFE的平分线上，只需PT=PH，分别用t表示PT、PH，代入得关于t的方程，解之即可．
1 / 1广东省深圳市南山外国语学校2024年数学中考模拟卷
一、选择题（本大题共10小题,每小题3分,共30分,每小题有四个选项,其中只有一个是正确的.)
1．（2024·南山模拟）古钱币是我国悠久的历史文化遗产，以下是在《中国古代钱币》特种邮票中选取的部分图形，下列既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：由图知A、B都是轴对称图形，但不是中心对称图形，C既不是轴对称图形也不是中心对称图形，D既是轴对称图形又是中心对称图形.
故答案为：D.
【分析】直接根据图形的特征进行判断即可.
2．（2024·南山模拟）在下列几何体中，主视图、左视图和俯视图形状都相同的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：
A：，主视图，左视图为梯形，俯视图为同心圆，不符合题意；
B：，主视图，左视图为中间有一条虚线的矩形，俯视图为三角形，不符合题意；
C：，主视图，左视图为三角形，圆且正中间有一点，不符合题意；
D：，主视图，左视图为，俯视图为圆，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据简单几何体三视图的形状进行逐一判断即可求解.
3．（2024·南山模拟）式子化简后的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解： =a2b4·a2=.
故答案为：B.
【分析】先去括号，再根据底数幂的乘法进行计算即可.
4．（2024·南山模拟）如下图所示，直线，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵∠CBD为△ABD的外角
∴∠CBD=∠A+∠2=28°+31°=59°
∵a||b
∴∠ 1=∠CBD=59°
故答案为：C.
【分析】由平行线的性质结合三角形外角的性质即可求得∠1的度数.
5．（2024·南山模拟）如上图，点B、F、C、E都在一条直线上，，添加下列一个条件后，仍无法判断的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A选项，时，ABC和DEF为直角三角形，故由得(HL)，A正确；
B选项，结合得(SAS)，B正确；
C选项，若，不能判断两三角形全等，为“边边角”；
D选项，，结合，可得(SSS)，D正确；
故答案为：C.
【分析】分别判断每一个选项中的条件，能否证明三角形全等，即可.
6．（2024·南山模拟）《生日歌》是我们熟悉的歌曲，以下是摘自生日歌简谱的部分旋律，当中出现的音符的中位数是（ ）
A．1 B．2 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：当中出现的音符从低到高排列为：1、1、2、5、5、5、5、5、5、6、6、7，
∴中位数为：.
故答案为：C.
【分析】将数据从低到高排列，根据中位数的定义即可求解.
7．（2024·南山模拟）如图，是的直径，弦交于点，连接，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆周角定理；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∴
故答案为：D
【分析】连接，根据圆周角定理可得，利用直角三角形的两锐角互余求出，然后由同弧所对的圆周角相等即可求出答案.
8．（2024·南山模拟）某机械厂今年生产零件50万个，计划明后两年共生产零件132万个，设该厂每年的平均增长率为，那么满足方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：x为增涨率，第二年的有50(1+x)万个，第三年50(1+x)2万个，共此后两年的共生产零件数为50(1+x)+50(1+x)2，故可列方程.
故答案为：C.
【分析】分别表示出第二年和第三年的产量，即可列出方程.
9．（2024·南山模拟）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的一元一次不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：将点M(m，4)代入可m+2=4，得m=2，故M(2，4)，
由图可知点M的右侧，直线y=x+2在直线y=kx+b的上方，即满足，
x的取值范围是x>2.
故答案为：C.
【分析】先将点M代入函数y=x+2中求出m的值，再根据图像可得M右侧满足题意，即可求出x的取值范围.
10．（2024·南山模拟）如图，在等边三角形ABC中，BC＝4，在Rt△DEF中，∠EDF＝90°，∠F＝30°，DE＝4，点B，C，D，E在一条直线上，点C，D重合，△ABC沿射线DE方向运动，当点B与点E重合时停止运动．设△ABC运动的路程为x，△ABC与Rt△DEF重叠部分的面积为S，则能反映S与x之间函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】动点问题的函数图象
【解析】【解答】过点A作，交BC于点M，
在等边中，，
在中，
所以，，
所以AC//EF，
在等边三角形ABC中，，
所以BM=2，AM=，
所以三角形ABC的面积=。
①当时，如图：
设AC与DF交于点G，
此时与重叠部分为，
由题意得出CD=x，DG=，
所以S=；
②当时，如图：
设AB与DF交于点G，
此时与重叠部分为四边形AGDC，
由题意得出CD=x，BD=4-x，DG=，
所以S=；
③当时，如图：
设AB与EF交于点G过点G作，
交BC于点M，此时与重叠部分为，
由题意得出CD=x，CE=x-4，DB=x-4，
所以BE=8-x，
所以BM=，
在中，GM=，
所以S=；
故答案为： A.
【分析】分，，三种情况，结合等边三角形的性质，含30°直角三角形的性质及三角形面积公式分别列出函数关系式，从而作出判断。
二、填空题（本大题共5小题,每小题3分,共15分)
11．（2024·南山模拟）点关于原点的对称点的坐标为 .
【答案】（-2，4）
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：关于原点对称的点横纵坐标都变为相反数，即(-2，4).
故答案为： （-2，4）
【分析】直接由点关于原点对称特点求出点的坐标即可.
12．（2024·南山模拟）计算：= ．
【答案】7
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：.
故答案为：7.
【分析】根据平方差公式和二次根式的乘法法则进行计算，即可得到答案.
13．（2024·南山模拟）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为 ．
【答案】6
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵多边形的外角和是360度，多边形的内角和是外角和的2倍，
则内角和是720度，
720÷180+2=6，
∴这个多边形是六边形．
故答案为：6．
【分析】利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题．
14．（2024·南山模拟）如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为3，则这个“莱洛三角形”的周长是 ．
【答案】3π
【知识点】等边三角形的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：∵它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧，
所以每段弧的圆心角为60°，半径为3，
故每段弧的长度为：.
故周长为3π.
故答案为：3π.
【分析】根据等边三角形性质可得每段弧的圆心角，从而可求出每段弧长，最终可得周长.
15．（2024·南山模拟）如图，在中，，点是边BC上一动点(不与B、C重合)，DE交AC于点，且，则线段的最大值为 .
【答案】6.4
【知识点】相似三角形的性质；线段最值问题
【解析】【解答】解：AB=AC，得∠B=∠C=α，，
故∠BAD+∠ADB=180°-α，∠ADB+∠CDE=180°-α，得∠BAD=∠CDE，
△ABD~△DCE，得得CE=，即CE=，当BD=8时，CE取最大值，最大值为6.4.
故答案为：6.4.
【分析】由一线三角可得△ABD~△DCE，列出比例有关系，利用二次函数关系可得BD=8时，CE取最小值.
三、解答题（本大题共7小题,共55分）
16．（2024·南山模拟）计算：
【答案】解：原式
【知识点】负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；积的乘方运算；开平方（求平方根）
17．（2024·南山模拟）计算：．
【答案】解：
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】对括号中的式子进行通分，对括号外分式的分母进行分解，然后将除法化为乘法，再约分即可.
18．（2024·南山模拟）劳动教育具有树德、增智、强体、育美的综合育人价值，有利于学生树立正确的劳动价值观.某学校为了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取了名学生在某个休息日做家务的劳动时间作为样本，并绘制了以下不完整的频数分布表和扇形统计图.根据题中己有信息，解答下列问题：
劳动时间t(单位：小时) 频数
12
1≤t＜1.5 a
26
16
4
（1） ， ；
（2）若该校学生有640人，试估计劳动时间在范围的学生有多少人
（3）劳动时间在范围的4名学生中有男生2名，女生2名，学校准备从中任意抽取2名交流劳动感受，求抽取的2名学生恰好是二名女生的概率.
【答案】（1）80；22
（2）(人)，
答：估计劳动时间在范围的学生有160人；
（3）画树状图，如图：
共有12种等可能的结果，其中抽取的2名学生恰好是两名女生的有2种，
抽取的2名学生恰好是二名女生的概率为.
【知识点】频数与频率；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本的频数估计总体的频数
【解析】【解答】(1)A段的人数为12，占比15%，故总数m=12÷15%=80人
a=80-12-26-16-4=22人.
【分析】(1)由A的频数与占比，即可得总人数，用总人数减去A、C、D、E的人数即可得B的人数；
(2)由人数占比乘以640即可得这个范围的人数；
(3)画出树状图可求出总数和两名女生的情况数量，即可求出概率.
19．（2024·南山模拟）我市某中学计划举行以“奋斗百年路，启航新征程”为主题的知识竞赛，并对获奖的同学给予奖励.现要购头甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元.
（1）求甲、乙两种奖品的单价；
（2）根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共60件，且甲种奖品的数量不少于乙种奖品数量的，应如何购买才能使总费用最少 并求出最少费用.
【答案】（1）设甲种奖品的单价为元，乙种奖品的单价为元，
件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元，
解得：，
答：甲种奖品的单价为20元，乙种奖品的单价为10元.
（2）设总费用为元，购买甲种奖品为件，
需甲、乙两种奖品共60件，
购买乙种奖品为件，
甲种奖品的单价为20元，乙种奖品的单价为10元，
甲种奖品的数量不少于乙种奖品数量的，
随的增大而增大，
当时，有最小值，最小值为(元)，
购买甲种奖品20件，乙种奖品40件时总费用最少，最少费用为800元.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；不等式组和二元一次方程（组）的综合应用
【解析】【分析】(1)分别设甲乙的价格，由题意列出方程组，求解方程即可；
(2)设总费用和甲的数量为m件，可得乙的件数为(60-m)件，由不等关系可得m的取值范围，同时由一次函数关系可得当m=20时费用最小，并可求出最小值.
20．（2024·南山模拟）已知，如图，AB是的直径，点为上一点，于点，交于点E，AE与BC交于点，点为OE的延长线上一点，且.
（1）求证：BD是的切线；
（2）若的半径为，求BH的长.
【答案】（1）证明：，
即，
是的半径，
是的切线；
（2）连接BE，如图所示，
是的直径，
的半径为，
，
，
，
，
，
在Rt中，.
【知识点】圆的综合题
【解析】【分析】(1)由 ∠ABC=∠AEC和得结合角度关系可得∠OBD=90°，即可证切线；
(2)连接BE，由 径为 可得AE的长为16，由勾股定理可得BE的长，由相似可得即可求出EH的长，即可求BH的长.
21．（2024·南山模拟）【项目式学习】根据以下素材，探索完成任务.
绿化带灌溉车的操作方案
素材1 一辆绿化带灌溉车正在作业，水从喷水口喷出，水流的上下两边缘可以抽象为两条抛物线的一部分：喷水口离开地面高1.6米，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为3米，高出喷水口0.9米，下边缘水流形状与上边缘相同，且喷水口是最高点.
素材2 路边的绿化带宽4米
素材3 绿化带正中间种植了行道树，为了防治病虫害、增加行道树的成活率，园林工人给树木“打针”，针一般打在离地面1.5米到2米的高度(包含端点).
问题解决
任务1 确定上边缘水流形状 建立如图所示直角坐标系，求上边缘抛物线的函数表达式
任务2 探究灌溉范围 灌溉车行驶过程中喷出的水能浇灌到整个绿化带吗 请说明理由
任务3 拟定设计方案 灌溉时，发现水流的上下两边缘冲击力最强，喷到针筒容易造成针筒脱落，那么请问在满足最大灌溉面积的前提下对行道树“打针”是否有影响，并说明理由；若你认为有影响，请给出具体的“打针”范围.
【答案】解：任务1上边缘抛物线的顶点坐标为，
设上边缘拋物线的函数表达式为，
将代入得，解得；
任务2：上边缘抛物线的表达式：，
将代入得，解得(舍去)，，
下边缘水流形状与上边缘相同，且喷水口是最高点，
下边缘抛物线的表达式：，将代入得，解得(舍去)，，
路边的绿化带宽4米，(米)，灌溉车行驶过程中喷出的水能浇灌到整个绿化带；
任务3：根据题意得，将代入有影响，设针打在离地面米的高度不受影响，则.
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
22．（2024·南山模拟）已知：如图，在四边形 和 中， ， ，点C在 上， ， ， ，延长 交 于点M，点P从点A出发，沿 方向匀速运动，速度为 ；同时，点Q从点M出发，沿 方向匀速运动，速度为 ，过点 作 于点H，交 于点G．设运动时间为 ．
解答下列问题：
（1）当 为何值时，点M在线段 的垂直平分线上？
（2）连接PQ，作 于点N，当四边形 为矩形时，求t的值；
（3）连接 ， ，设四边形 的面积为 ，求S与t的函数关系式；
（4）点P在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点P在 的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：当 = 时，点M在线段 的垂直平分线上，理由为：
由题意，CE=2，CM∥BF，
∴ 即： ，
解得：CM= ，
要使点 在线段 的垂直平分线上，
只需QM=CM= ，
∴t= ；
（2）解：如图，
∵ ， ， ，
∴AC=10，EF=10，sin∠PAH= ，cos∠PAH= ，sin∠EFB= ，
在Rt△APH中，AP=2t，
∴PH=AP·sin∠PAH= ，
在Rt△ECM中，CE=2，CM= ，由勾股定理得：EM= ，
在Rt△QNF中，QF=10-t- = ，
∴QN=QF·sin∠EFB=( )× = ，
四边形 为矩形，
∴PH=QN，
∴ = ，
解得：t=3；
（3）解：如图，过Q作QN⊥AF于N，
由（2）中知QN= ，AH=AP·cos∠PAH= ，
∴BH=GC=8- ，
∴GM=GC+CM= ，HF=HB+BF= ，
∴
=
=
= ，
∴S与t的函数关系式为： ；
（4）解：存在，t= ．
证明：如图，延长AC交EF于T，
∵AB=BF，BC=BF， ，
∴△ABC≌△EBF，
∴∠BAC=∠BEF，
∵∠EFB+∠BEF=90°，
∴∠BAC+∠EFB=90°，
∴∠ATE=90°即PT⊥EF，
要使点 在 的平分线上，只需PH=PT，
在Rt△ECM中，CE=2，sin∠BEF= ，
CT=CE·sin∠BEF = ，
PT=10+ -2t= ，又PH= ，
= ，
解得：t= ．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）要使点M在线段CQ的垂直平分线上，只需证CM=MQ即可；（2）由矩形性质得PH=QN，由已知和AP=2t，MQ=t，解直角三角形推导出PH、QN，进而得关于t的方程，解之即可；（3）分别用t表示出梯形GHFM的面积、△QHF的面积、△CMQ的面积，即可得到S与t的函数关系式；（4）延长AC交EF与T，证得AT⊥EF，要使点P在∠AFE的平分线上，只需PT=PH，分别用t表示PT、PH，代入得关于t的方程，解之即可．
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