浙江省2025年八年级上册期末终极模拟卷 含解析

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浙江省2025年八年级上册期末终极模拟卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列选项中的图标，属于轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．在平面直角坐标系中，点P（﹣2，3）在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知三角形的三边长分别是4，8，a+1，则a的取值可能是（　　）
A．10 B．11 C．12 D．13
4．若m＞n，则下列不等式正确的是（　　）
A．m﹣2＜n﹣2 B． C．6m＜6n D．﹣8m＞﹣8n
5．能说明命题“对于任何实数a，都有a2＞a”是假命题的反例是（　　）
A．a＝﹣1 B．a＝0 C．a＝2 D．a＝3
6．如图，已知AD＝AE，下列条件中不能使△ABE≌△ACD的是（　　）
A．AB＝AC B．∠B＝∠C C．BE＝CD D．∠AEB＝∠ADC
7．一次函数y＝kx+6（k＞0）上有两点（﹣4，y1），（3，y2），则y1，y2的大小关系是（　　）
A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．不能确定
8．根据如图所示的尺规作图痕迹，下列结论不一定成立的是（　　）
A．EA＝ED B．DE⊥AB C．AF∥DE D．AE＝AF
9．已知关于x的不等式组的整数解为1，2（其中m，n为整数），则满足条件的（m，n）共有（　　）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
10．如图，Rt△ABC在平面直角坐标系内，其中∠ABC＝90°，AC＝5，点B，C的坐标分别为（2，0），（5，0），将Rt△ABC沿x轴向右平移，当点A落在直线y＝x﹣3时，线段AC扫过的面积为（　　）
A．16 B．20 C．32 D．38
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．若m与3的和小于m的2倍，则可列出不等式：　 　．
12．如图，将一副三角尺叠放在一起，其中点B，E，C三点共线，则∠CFD的度数为 　 　．
13．小慧用80元钱到商店购买钢笔和笔记本共20件．已知该店钢笔为7元/支，笔记本为2元/本，则小慧最多能买 　 　支钢笔．
14．剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，点E的坐标为（﹣2，﹣n），其关于y轴对称的点F的坐标（2，﹣m+1），则（n﹣m）2023＝　 　．
15．如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度DE＝6cm，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度BF＝8cm，此时摆锤与静止位置时的水平距离BC＝10cm时，钟摆AD的长度是 　 　cm．
16．如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴相交于点A、B，且与经过x轴负半轴上的点C的一次函数y＝kx+b的图象相交于点D，直线CD与y轴相交于点E，E与B关于x轴对称，OA＝3OC，点P为线段DE上的一个动点，连接BP，若直线BP将△ACD的面积分为7：9两部分，请直接写出点P的坐标 　 　．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）解不等式组，并写出满足条件的正整数解．
18．（8分）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（0，﹣2），B（3，4）．
（1）求出此一次函数的解析式；
（2）求出该一次函数与x轴交点的坐标．
19．（8分）已知△ABO在平面直角坐标系中的位置如图所示，请在网格中完成下列操作并解答问题：
（1）作△ABO关于x轴对称的△OA′B′（其中点A，B分别对应点A′，B′）；
（2）求出线段AB′的长度．
20．（8分）如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的中线，∠A＝30°．
（1）求∠B的度数．
（2）若AB＝10，求△BDC的周长．
21．（8分）如图，直线y＝kx+b分别交x轴于点A（4，0），交y轴于点B（0，8）．
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）若点P（2，m），点Q（n，2）是直线AB上两点，求线段PQ的长．
22．（10分）某体育馆在暑假期间推出“全民健身”优惠活动，设置两种套餐：
套餐一：按照运动次数收费；
套餐二：先交会员费，再将每次运动收费打折．
设运动次数为x，所需费用为y元，y与x之间的函数关系图象如图．
（1）分别求出套餐一和套餐二中的y关于x的函数表达式；
（2）去体育馆健身多少次时，两种套餐费用一样？费用是多少？
（3）小马准备300元去该体育馆办理套餐，选择哪种套餐划算？请说明理由．
23．（10分）本学期我们已经学习过了“将军饮马”类型的轴对称问题（如图），在解决该问题的过程中，“化折为直”是数学上求最值问题时常用的思想方法．请据此回答下面问题：
（1）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，一点P在线段AD上运动，连AP，BP．
①当点P位于何处时，AP+BP取到最小值？在原图中标出，并说明理由．
②若△ABC的面积为10，AD＝8，Q为边AB上一个动点，连PQ，求PB+PQ的最小值．
补充说明：在任意三角形内部（不包括边）某一点到三遍的长度之和最小时，我们称该点是该三角形的“费马点．”关于“费马点”的更多知识，将在高中阶段学习．在解决这一类问题时，同样运用到“化折为直”的思想，并融入旋转特殊角度的方法和“手拉手模型”在内．
（2）如图，△DEF中存在一点任意P，连接DP、EP、FP，已知DE＝5，DF＝7，EF＝8，当DP+EP+FP的值最小时，求出DP+EP+FP的最小值．
24．（12分）如图，在直角坐标系xOy中，点A（0，4），点B为x轴正半轴上一个动点，以AB为边作△ABC，使BC＝AB，∠ABC＝90°，且点C在第一象限内．
（1）如图1，若B（2，0），求点C的坐标．
（2）如图2，过点B向x轴上方作BD⊥OB，且BD＝BO，在点B的运动过程中，探究点C，D之间的距离是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是，请说明理由．
（3）如图3，过点B向x轴下方作BD⊥OB，且BD＝BO，连结CD交x轴于点E，当△ABD的面积是△BEC的面积的2倍时，求OE的长．
浙江省2025年八年级上册期末终极模拟卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列选项中的图标，属于轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】直接根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
2．在平面直角坐标系中，点P（﹣2，3）在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据第二象限的点的横坐标小于0，纵坐标大于0，即可得出正确选项．
【解答】解：因为点P（﹣2，3）的横坐标小于0，纵坐标大于0，
所以点P（﹣2，3）在第二象限．
故选：B．
3．已知三角形的三边长分别是4，8，a+1，则a的取值可能是（　　）
A．10 B．11 C．12 D．13
【分析】根据三角形的三边关系列式确定a的取值范围即可．
【解答】解：根据题意得：8﹣4＜a+1＜8+4，
解得3＜a＜11，
只有10适合，
故选：A．
4．若m＞n，则下列不等式正确的是（　　）
A．m﹣2＜n﹣2 B． C．6m＜6n D．﹣8m＞﹣8n
【分析】①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；
②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【解答】解：根据不等式的性质，
∵m＞n，
∴m﹣2＞n﹣2，﹣8m＜﹣8n，6m＞6n，，
故A、D、C错误，B正确．
故选：B．
5．能说明命题“对于任何实数a，都有a2＞a”是假命题的反例是（　　）
A．a＝﹣1 B．a＝0 C．a＝2 D．a＝3
【分析】根据题意、乘方的意义举例即可．
【解答】解：当a＝0时，a2＝0，
∴a2＝a，
故选：B．
6．如图，已知AD＝AE，下列条件中不能使△ABE≌△ACD的是（　　）
A．AB＝AC B．∠B＝∠C C．BE＝CD D．∠AEB＝∠ADC
【分析】要判定△ABE≌△ACD，已知AD＝AE，得出∠AEB＝∠ADC，再根据所给选项结合判定方法进行分析即可．
【解答】解：∵AD＝AE，
∴∠AEB＝∠ADC，
A．添加AB＝AC，可得∠B＝∠C，根据AAS能判定△ABE≌△ACD，故A选项不符合题意；
B．添加∠B＝∠C，利用AAS能判定△ABE≌△ACD，故B选项不符合题意；
C．添加BE＝CD，利用SAS能判定△ABE≌△ACD，故C选项不符合题意；
D．添加∠AEB＝∠ADC，只有两个条件，不能判定△ABE≌△ACD，故D选项符合题意．
故选：D．
7．一次函数y＝kx+6（k＞0）上有两点（﹣4，y1），（3，y2），则y1，y2的大小关系是（　　）
A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．不能确定
【分析】对于一次函数y＝kx+b（k为常数，k≠0），当k＞0时，y 随x 的增大而增大，当k＜0时，y 随x 的增大而减小，据此求解即可．
【解答】解：∵在一次函数y＝kx+6中，k＞0，
∴y随x增大而增大，
∵点（﹣4，y1），（3，y2）在一次函数y＝kx+6（k＞0）的图象上，且﹣4＜3，
∴y1＜y2，
故选：C．
8．根据如图所示的尺规作图痕迹，下列结论不一定成立的是（　　）
A．EA＝ED B．DE⊥AB C．AF∥DE D．AE＝AF
【分析】根据尺规作图痕迹可得AD是∠BAC的角平分线，EF是AD的垂直平分线，从而可以证明A，得到∠EDA＝∠FAD，可证明C，进而证明△AOF≌△DOE（ASA）即可判断D．
【解答】解：
根据尺规作图痕迹可得：AD是∠BAC的角平分线，EF是AD的垂直平分线，
∴EA＝ED，故A正确；∠EAD＝∠FAD，AO＝OD
∴∠EAD＝∠EDA，
∴∠EDA＝∠FAD，
∴AF∥DE，故C正确；
∵∠AOF＝∠DOE，
∴△AOF≌△DOE（ASA），
∴AF＝DE，
∴AE＝AF，故D正确；
根据条件无法判断B；
故选：B．
9．已知关于x的不等式组的整数解为1，2（其中m，n为整数），则满足条件的（m，n）共有（　　）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【分析】根据所给不等式组的整数解为1，2，得出m，n的取值范围，再根据m，n为整数即可解决问题．
【解答】解：解不等式x﹣m≥0得，
x≥m；
解不等式3x﹣n＜0得，
x；
因为不等式组的整数解为1，2，
所以0＜m≤1，且2，
则0＜m≤1，6＜n≤9．
又因为m，n为整数，
所以m＝1，n＝7，8，9，
所以满足条件的（m，n）共有3对．
故选：C．
10．如图，Rt△ABC在平面直角坐标系内，其中∠ABC＝90°，AC＝5，点B，C的坐标分别为（2，0），（5，0），将Rt△ABC沿x轴向右平移，当点A落在直线y＝x﹣3时，线段AC扫过的面积为（　　）
A．16 B．20 C．32 D．38
【分析】先计算出BC＝3，再利用勾股定理计算出AB＝4，从而得到A（2，4），由于△ABC沿x轴向右平移，A点的纵坐标不变，则可把y＝4代入y＝x﹣3，解得x＝7，于是得到当点A落在直线y＝x﹣3上时，线段AC向右平移了7﹣2＝5个单位，然后根据平行四边形的面积公式求解．
【解答】解：∵点B，C的坐标分别为（2，0），（5，0），
∴BC＝3，
∵∠ABC＝90°，AC＝5，
∴AB4，
∴A（2，4）
当y＝4时，x﹣3＝4，解得x＝7，
∴当点A落在直线y＝x﹣3上时，线段AC向右平移了7﹣2＝5个单位，
∴线段AC扫过的面积＝4×5＝20．
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．若m与3的和小于m的2倍，则可列出不等式：　m+3＜2m　．
【分析】首先表示“m与3的和”，再表示“小于m的2倍”可得不等式．
【解答】解：由题意可知：m+3＜2m，
故答案为：m+3＜2m．
12．如图，将一副三角尺叠放在一起，其中点B，E，C三点共线，则∠CFD的度数为 　75°　．
【分析】由∠DFC是△CEF的外角，利用三角形的外角性质，即可求出∠CFD的度数．
【解答】解：由题意得：∠ACB＝30°，∠DEC＝45°，
∵∠DFC是△CEF的外角，
∴∠DFC＝∠ACB+∠DEC＝30°+45°＝75°，
故答案为：75°．
13．小慧用80元钱到商店购买钢笔和笔记本共20件．已知该店钢笔为7元/支，笔记本为2元/本，则小慧最多能买 　8　支钢笔．
【分析】设小慧买了x支钢笔，则买了（20﹣x）本笔记本，根据总价＝单价×数量结合总钱数不超过80元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取最大的正整数即可得出结论．
【解答】解：设小慧买了x支钢笔，则买了（20﹣x）本笔记本，
根据题意得：7x+2（20﹣x）≤80，
解得：x≤8，
∴x的最大值为8，
即最多购买8支钢笔．
故答案为：8．
14．剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，点E的坐标为（﹣2，﹣n），其关于y轴对称的点F的坐标（2，﹣m+1），则（n﹣m）2023＝　﹣1　．
【分析】利用关于y轴对称的点纵坐标相同，可得n﹣m＝﹣1，即可求出答案．
【解答】解：∵点E的坐标为（﹣2，﹣n），其关于y轴对称的点F的坐标（2，﹣m+1），
∴﹣n＝﹣m+1，
∴n﹣m＝﹣1，
∴（n﹣m）2023＝（﹣1）2023＝﹣1．
故答案为：﹣1．
15．如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度DE＝6cm，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度BF＝8cm，此时摆锤与静止位置时的水平距离BC＝10cm时，钟摆AD的长度是 　26　cm．
【分析】根据题意可得到CD＝BF﹣DE＝8﹣6＝2（cm），AD＝AB，然后根据勾股定理可以得到钟摆AD的长．
【解答】解：由已知可得，
CD＝BF﹣DE＝8﹣6＝2（cm），AD＝AB，
设钟摆AD的长为x cm，则AC的长为（x﹣2）cm，
∵BC⊥AD，BC＝10cm，
∴AC2+BC2＝AB2，
即（x﹣2）2+102＝x2，
解得x＝26，
即钟摆AD的长为26cm，
故答案为：26．
16．如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴相交于点A、B，且与经过x轴负半轴上的点C的一次函数y＝kx+b的图象相交于点D，直线CD与y轴相交于点E，E与B关于x轴对称，OA＝3OC，点P为线段DE上的一个动点，连接BP，若直线BP将△ACD的面积分为7：9两部分，请直接写出点P的坐标 　或　．
【分析】根据题意，利用已知条件得到点C，点E坐标，用待定系数法可求出直线CD的解析式，联立直线CD和直线AB的解析式可求出点D的坐标．过点D作DF⊥x轴于点F，先求出△ACD的面积，直线BP将△ACD的面积分为7：9两部分，需要分两种情况：当点P在线段CD上时，则有，由此建立方程求解，得到答案；当点P在线段CE上时，设直线BP与x轴交于点Q，此时有，由此建立方程求解，得到答案．
【解答】解：令x＝0，则y＝﹣3；令y＝0，则x＝4；
∴点A（4，0）、B（0，﹣3），
∴OA＝4，
∵E与B关于x轴对称，OA＝3OC，
∴E（0，3），，
∴，
把点C和点E的坐标代入一次函数y＝kx+b，
∴，
解得，
∴直线CD的函数表达式为：，
令，
解得：x＝﹣4，
∴，
∴点D的坐标为（﹣4，﹣6）．
如图，过点D作DF⊥x轴于点F，连接BC，
∴DF＝6，
∵OA＝4，，
∴，
∴，
∵A（4，0）、B（0，﹣3）、D（﹣4，﹣6），
∴点B是线段AD的中点，
∴S△DBC＝S△ACB，
当点P在线段CD上时，则有
，
∵，
∴，
解得：，
∴；
当点P在线段CE上时，设直线BP与x轴交于点Q，如图，此时有
，
∵，
∴，解得，
∴，
∴，
∴直线BQ的解析式为，
令，
解得：，
∴，
综上所述，若直线BP将△ACD的面积分为7：9两部分，点P的坐标为或．
故答案为：或．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）解不等式组，并写出满足条件的正整数解．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式1﹣x＜2（2x+3），得：x＞﹣1，
解不等式x，得：x≤2，
∴不等式组的解集为﹣1＜x≤2，
则不等式组的正整数解为1，2．
18．（8分）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（0，﹣2），B（3，4）．
（1）求出此一次函数的解析式；
（2）求出该一次函数与x轴交点的坐标．
【分析】（1）根据函数解析式将已知点代入可得出方程组，解出该方程组即可得到k，b值及函数解析式．
（2）x轴上的点的纵坐标都是0，故令y＝0，即可求出一次函数与x轴的交点的横坐标．
【解答】解：（1）将点A（0，﹣2），B（3，4）的坐标分别代入y＝kx+b中，
得：
解得：
∴一次函数的解析式y＝2x﹣2；
（2）当y＝0时，2x﹣2＝0，
解得，x＝1，
∴该一次函数与x轴交点的坐标（1，0）．
19．（8分）已知△ABO在平面直角坐标系中的位置如图所示，请在网格中完成下列操作并解答问题：
（1）作△ABO关于x轴对称的△OA′B′（其中点A，B分别对应点A′，B′）；
（2）求出线段AB′的长度．
【分析】（1）根据对称性质作出△ABO关于x轴对称的△OA′B′即可；
（2）利用勾股定理即可求得线段AB′的长度．
【解答】解：（1）△OA′B′如图所示；
（2）．
20．（8分）如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的中线，∠A＝30°．
（1）求∠B的度数．
（2）若AB＝10，求△BDC的周长．
【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余求解即可；
（2）首先根据直角三角形的性质得到，然后证明出△BDC是等边三角形，进而求解即可．
【解答】解：（1）∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°．
（2）∵CD是Rt△ABC的斜边AB边上的中线，且AB＝10，
∴，
∵∠B＝60°，
∴△BDC是等边三角形，
∴△BDC的周长为15．
21．（8分）如图，直线y＝kx+b分别交x轴于点A（4，0），交y轴于点B（0，8）．
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）若点P（2，m），点Q（n，2）是直线AB上两点，求线段PQ的长．
【分析】（1）利用待定系数法求直线AB的解析式；
（2）先把P（2，m）、Q（n，2）分别代入直线解析式中求出m、n，然后利用两点间的距离公式求线段PQ的长．
【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
把A（4，0），B（0，8）代入得，解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+8；
（2）∵点P（2，m）在直线y＝﹣2x+8上，
∴m＝﹣2×2+8＝4，
∴P点坐标为（2，4）；
∵点Q（n，2）在直线y＝﹣2x+8上，
∴﹣2n+8＝2，解得n＝3，
∴Q点的坐标为（3，2），
∴PQ．
22．（10分）某体育馆在暑假期间推出“全民健身”优惠活动，设置两种套餐：
套餐一：按照运动次数收费；
套餐二：先交会员费，再将每次运动收费打折．
设运动次数为x，所需费用为y元，y与x之间的函数关系图象如图．
（1）分别求出套餐一和套餐二中的y关于x的函数表达式；
（2）去体育馆健身多少次时，两种套餐费用一样？费用是多少？
（3）小马准备300元去该体育馆办理套餐，选择哪种套餐划算？请说明理由．
【分析】（1）设套餐一函数表达式为y1＝k1x，设套餐二函数表达式为y2＝k2x+b，根据图象，分别代入即可作答；
（2）根据图象，套餐一和套餐二的交点处，两种套餐费用一样，即y1＝y2，进而计算即可；
（3）分别求出300元的套餐一和套餐二的健身次数，进而比较即可．
【解答】解：（1）设选择套餐一时，y关于x的函数表达式为y1＝k1x，
由题意，得5k1＝100，
解得k1＝20，
∴y1＝20x，
设选择套餐二时，y关于x的函数表达式为y2＝k2x+b，
把点A（0，100）和点C（20，300）分别代入y2＝k2x+b，
即，
解得，
∴y2＝10x+100，
∴套餐一和套餐二中的y关于x的函数表达式分别为：y1＝20x，y2＝10x+100；
（2）根据题意，当y1＝y2时，两种套餐费用一样，
即：20x＝10x+100，
解得x＝10，
此时y1＝y2＝200，
∴去体育馆健身10次时，两种套餐费用一样，费用为200元；
（3）办套餐一时，20x＝300，
解得x＝15，
办理套餐二时，10x+100＝300，
解得x＝20，
∵20＞15，
∴300元去该体育馆办理套餐，选择套餐二更划算．
23．（10分）本学期我们已经学习过了“将军饮马”类型的轴对称问题（如图），在解决该问题的过程中，“化折为直”是数学上求最值问题时常用的思想方法．请据此回答下面问题：
（1）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，一点P在线段AD上运动，连AP，BP．
①当点P位于何处时，AP+BP取到最小值？在原图中标出，并说明理由．
②若△ABC的面积为10，AD＝8，Q为边AB上一个动点，连PQ，求PB+PQ的最小值．
补充说明：在任意三角形内部（不包括边）某一点到三遍的长度之和最小时，我们称该点是该三角形的“费马点．”关于“费马点”的更多知识，将在高中阶段学习．在解决这一类问题时，同样运用到“化折为直”的思想，并融入旋转特殊角度的方法和“手拉手模型”在内．
（2）如图，△DEF中存在一点任意P，连接DP、EP、FP，已知DE＝5，DF＝7，EF＝8，当DP+EP+FP的值最小时，求出DP+EP+FP的最小值．
【分析】（1）①当P与A重合时，AP+BP最小．由AP+PB＞AB，故当AP＝0时，得AP+PB＝PB＝AB最小．
②如图1，作PQ关于AD的对称线段PQ'．则PB+PQ＝PB+PQ'．如图2，当B、P、Q'三点共线，且和AC垂直时，根据垂线段最短，得到此时BQ'最短．故过B作BQ'⊥AC．由△ABC面积BC×AD＝10，得BC．BD＝DCBC，
AB＝AC．由△ABC面积AC×BQ'＝10，可求BQ'．故PB+PQ的最小值为．
（2）△FPD绕F旋转60°至△FP'D'，连DD'，PP'，当E、P、P'、D'四点共线时，DP+EP+FP＝D'P'+EP+P'P'＝ED'最小．过D作DN⊥EF，DM⊥PP'．由双勾股ED2﹣EN2＝DN2＝DF2﹣2NF2，可求EN，再证明△DPE∽△EPF，得，设DP＝5x，EP＝8x，PMDPx，DMPMx，由勾股定理DM2+EM2＝ED2，可得x，DP，EP，D'M，故DP+EP+FP的最小值＝ED'＝EP+PM+MD'．
【解答】（1）①当P与A重合时，AP+BP最小．
∵AP+PB＞AB，
故当AP＝0时，
∴AP+PB＝PB＝AB最小．
②如图1，作PQ关于AD的对称线段PQ'．
则PB+PQ＝PB+PQ'．
如图2，当B、P、Q'三点共线，且和AC垂直时，
根据垂线段最短，得到此时BQ'最短．
故过B作BQ'⊥AC．
∵△ABC面积BC×AD＝10，
∴BC．
∴BD＝DCBC，
∴AB＝AC．
∵△ABC面积AC×BQ'＝10，
∴BQ'＝10，
∴BQ'．
故PB+PQ的最小值为．
（2）△FPD绕F旋转60°至△FP'D'，连DD'，PP'，
∴P'D'＝PD，
∴△FPP'为等边三角形，
∴PF＝PP'，
故当E、P、P'、D'四点共线时，
DP+EP+FP＝D'P'+EP+P'P'＝ED'最小．
过D作DN⊥EF，DM⊥PP'．
∵ED2﹣EN2＝DN2＝DF2﹣2NF2，
∴52﹣EN2＝72﹣（8﹣EN）2，
∴EN，
∵DE＝5，
∴ENDE，
∵∠DNE＝90°，
∴∠DEN＝60°．
∵等边△FPP'，
∴∠PP'F＝∠FPP'＝60°，
∴∠FP'D'＝120°，
∴∠FPD＝120°，
∴∠DPP'＝120°﹣60°＝60°，
∴∠EPD＝120°，
∴∠DEP+∠EDP＝60°，
∵∠DEP+∠PEF＝60°，
∴∠EDP＝∠PEF，
∵∠EPF＝360°﹣∠EPD﹣∠DPF＝120°，
∴∠EPF＝∠DPE，
∴△DPE∽△EPF，
∴，
∴设DP＝5x，EP＝8x，
∴PMDPx，
∴DMPMx，
∵DM2+EM2＝ED2，
∴（）2+（8x）2＝52，
∴x，
∴DP，EP，
∴D'M，
∴DP+EP+FP的最小值＝ED'＝EP+PM+MD'．
24．（12分）如图，在直角坐标系xOy中，点A（0，4），点B为x轴正半轴上一个动点，以AB为边作△ABC，使BC＝AB，∠ABC＝90°，且点C在第一象限内．
（1）如图1，若B（2，0），求点C的坐标．
（2）如图2，过点B向x轴上方作BD⊥OB，且BD＝BO，在点B的运动过程中，探究点C，D之间的距离是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是，请说明理由．
（3）如图3，过点B向x轴下方作BD⊥OB，且BD＝BO，连结CD交x轴于点E，当△ABD的面积是△BEC的面积的2倍时，求OE的长．
【分析】（1）过点C作CD⊥x轴于点D，利用互余可证∠OAB＝∠CBD，进而利用AAS可证明△OAB≌△DBC，可得CD＝BO＝2，BD＝AO＝4，由OD＝OB+BD，可得点C的坐标；
（2）连结CD，利用互余可证∠OBA＝∠DBC，进而利用SAS可证明△OAB≌△DCB，可得CD＝AO＝4，即可得结论；
（3）过点C作CF⊥x轴于点F，由（1）可知，△OAB≌△FBC，得CF＝BO，结合题意可知CF＝BD，BF＝OA＝4，再证△CFE≌△DBE，得EF＝EB＝2，根据，S△ABD＝2S△BEC，可得S△ABD＝S△ABO，即，得BD＝OA＝4，根据OE＝OB+BE即可求解．
【解答】解：（1）过点C作CD⊥x轴于点D，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠CBD＝90°，
∵∠OAB+∠ABO＝90°，
∴∠OAB＝∠CBD，
在△OAB和△DBC中，
，
∴△OAB≌△DBC（AAS），
∴CD＝BO＝2，BD＝AO＝4．
∴OD＝OB+BD＝2+4＝6，
∴点C的坐标为（6，2）．
（2）点C，D之间的距离是为定值，理由如下：
连结CD，
∵∠OBA+∠ABD＝90°，∠DBC+∠ABD＝90°
∴∠OBA＝∠DBC，
在△OAB和△DCB中，
，
∴△OAB≌△DCB（SAS）．
∴CD＝AO＝4，
即：点C，D之间的距离是为定值；
（3）过点C作CF⊥x轴于点F，由（1）可知，△OAB≌△FBC，
∴CF＝BO，
∵BD＝BO，
∴CF＝BD，BF＝OA＝4．
∵∠CEF＝∠DEB，∠CFE＝∠DBE＝90°，CF＝BD，
∴△CFE≌△DBE（AAS），
∴EF＝EB＝2，
∴，
由题可知S△ABD＝2S△BEC，
∴S△ABD＝S△ABO，
∴．
∴BD＝OA＝4，
∴OE＝OB+BE＝4+2＝6．