河南省“金科新未来”2024-2025学年高二12月质量检测数学试题（含解析）

河南省“金科新未来”2024-2025学年高二12月质量检测数学试题
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B.
C. D. ，
2.设，，，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
3.在等比数列中，如果，，那么( )
A. B. C. D.
4.已知圆与圆，则圆与圆的公切线的条数为( )
A. B. C. D.
5.已知椭圆的右焦点为，点是上的一点，点是线段的中点，为坐标原点，若，则( )
A. B. C. D.
6.已知，，点是直线上的一点，则当取得最小值时，点的坐标为( )
A. B. C. D.
7.已知，分别是双曲线的左、右焦点，为上一点，，且的面积等于，则( )
A. B. C. D.
8.已知各项均为正数的数列的前项和为，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，是的共轭复数，则下列说法正确的是( )
A. 的实部为 B.
C. 在复平面内对应的点位于第二象限 D. 为方程的一个根
10.在递增的等比数列中，，，是数列的前项和，是数列的前项积，则下列说法正确的是( )
A. 数列是等比数列
B. 数列是等差数列
C.
D.
11.已知抛物线，过点的直线与交于，两点，则下列说法正确的是( )
A.
B.
C. 的最小值为
D. 若点是的外心，其中是坐标原点，则直线的斜率的最大值为
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知平面向量，的夹角为，若，，则的值为 ．
13.已知直线过点，它的一个方向向量为，则点到直线的距离为 ．
14.如图，已知，是双曲线的右支上的两点点在第一象限，点关于坐标原点对称的点为，且，若直线的斜率为，则该双曲线的离心率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知等差数列的前项和为，且，．
求的通项公式和
若，求数列的前项和．
16.本小题分
如图，已知在三棱锥中，平面，，，为线段上一点，，为的中点，．
试着确定点的位置
求直线与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
已知点是抛物线上的一点，点，是上异于点的不同的两点．
求的标准方程
若直线，的斜率互为相反数，求证：直线的斜率为定值，并求出此定值．
18.本小题分
已知数列满足，且，在数列中，，点在函数的图象上．
求和的通项公式
将数列和的所有公共项从小到大排列得到数列，求数列的前项和．
19.本小题分
已知椭圆的左右顶点分别为，，上下顶点分别为，，且四边形的周长为，过点且斜率为的直线交于，两点，当直线过的左焦点时，．
求的标准方程
若为坐标原点，的面积为，求直线的方程
记直线与直线的交点为，求的最小值．
答案和解析
1.
【解析】由已知或，
所以，
故选C．
2.
【解析】，
，
，，
所以．
故选D．
3.
【解析】设等比数列的公比为，
由，，
所以，
所以．
故选D．
4.
【解析】圆的圆心为，半径，
圆的圆心为，半径，
所以，
则，
所以圆与圆相交，
所以圆与圆的公切线的条数为．
故选B．
5.
【解析】
对于椭圆，可得，
根据，可得，
所以右焦点的坐标为，
因为为坐标原点，是线段的中点，所以是设椭圆左焦点为的中位线，
所以，
已知，则
根据椭圆的定义，，
已知，，
则，
故选A．
6.
【解析】记点关于直线的对称点为，
又，所以，
所以直线的方程为，
即，由．
解得，，所以当取得最小值时，
点的坐标为
故选B．
7.
【解析】由椭圆的定义知，所以，
又，即，
两式相减，得，
因为的面积为，
即，所以，解得．
故选A．
8.
【解析】由题意知，
，，
时，，
整理为：，
，，
又，解得．
数列是等差数列，首项为，公差为．
，
，
．
令，
则，
所以，
的最小值为．
故选：．
9.
【解析】对于，，故，其实部为，故A正确；对于，，故B错误；
对于，由复数的几何意义可知在复平面内的对应点位于第二象限，故C正确；
对于，易得，故D正确，
故选：．
10.
【解析】因为，，又数列是递增的，所以，，所以公比，，所以，所以，，，，，故A错误；
由于，所以数列是等差数列，故B正确；
，故C正确；
因为，所以，故D正确，故选：．
11.
【解析】显然直线的斜率不为，设直线的方程为，
由，得，
所以，，则，故A正确，B错误．
，
所以，当且仅当时，等号成立，故C正确
因为，所以，
所以的外心就是弦的中点，
记为，其中，．
由，以及，
得，
所以直线的斜率．
要求直线的斜率的最大值，所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以直线的斜率的最大值为，故D正确．
故选ACD．
12.
【解析】平面向量与的夹角为，，，
，
则，或舍去，
故答案为：．
13.
【解析】因为，所以，
所以点到直线的距离为．
故答案为．
14.
【解析】如图，设直线与轴交于点，取的中点，连接，
由双曲线的对称性可知为线段的中点，则，所以．
由直线的斜率，得，
则直线的斜率．
设则
两式相减，得，化简得，
即，
所以该双曲线的离心率．
故答案为：．
15.解：设等差数列的公差为，又，，
所以
解得，，
所以，
由知，
所以

16.解：因为平面，
，在平面内，所以与，均垂直，
又因为，所以，，两两互相垂直，
以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，
则可得以下各点坐标：
，，，，由于，因此，
设点，，
所以，，，
因为，
解得，，
所以点在线段上且的位置；
由可知，，
设平面的法向量，
，，
则
不妨取，得，
设直线与平面所成角为，
则，，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
17.解：因为点是抛物线：上的一点，所以，解得，所以的标准方程为；
显然直线、的斜率存在且，设直线的方程为，则直线的方程为，由，得，所以，解得，同理可得，所以，即直线的斜率为定值，该定值为．
18.解：因为，
所以当时，，
所以，
所以，所以，
又，，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，
因为点在函数的图象上，所以，即，又，
所以是首项为，公差为的等差数列，所以；
因为是所有的正偶数，又，
所以，
所以
．
19解：由题意知，解得，，，所以的标准方程为；
由题意知直线的方程为，
设，，由，得，
所以，解得，所以，，
所以，
又点到直线的距离，
所以的面积．，解得或，所以或或或，
所以直线的方程为或或或；
由可得：设，因为，，在同一条直线上，所以，
又，，在同一条直线上，所以，所以，
所以，所以点在直线上，所以．
第1页，共12页