浙江省湖州市长兴中学等四校2024-2025学年高一上学期12月联考数学试题（含解析）

浙江省长兴中学等四校2024-2025学年高一上学期12月联考数学试题
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，，则( )
A. B. C. D.
2.若，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
3.已知命题：，，则命题的否定为 ( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
4.已知函数在上有且仅有个零点，则实数
A. B. C. D.
5.二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系下中的大致图象是( )
A. B.
C. D.
6.已知函数满足，则( )
A. B. C. D.
7.已知，都是实数，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.已知函数，若正实数，，互不相等，且，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，则下列不等式成立的是( )
A. B. C. D.
10.对于函数给出下列四个命题，其中正确命题的序号是( )
A. 该函数是以为最小正周期的周期函数
B. 该函数的图象关于直线对称
C. 当且仅当时，该函数取得最小值
D. 当且仅当时，
11.已知，，，，则以下结论正确的是( )
A. B.
C. D.
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知实数，满足，则 ．
13.已知，且，则 ．
14.对于，若存在，满足，则称为“类三角形”，则“类三角形”一定满足有一个内角为定值，为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知．
求的值；
求的值．
16.本小题分
已知命题，不等式恒成立命题，使成立．
若命题为真命题，求实数的取值范围
若命题，中恰有一个为真命题，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知某超市的新鲜鸡蛋存储温度单位：摄氏度与保鲜时间单位：小时之间的函数关系式为该超市的新鲜鸡蛋在存储温度为摄氏度的情况下，其保鲜时间约为小时；在存储温度为摄氏度的情况下，其保鲜时间约为小时．
求该超市的新鲜鸡蛋在存储温度为摄氏度的情况下，其保鲜时间约为多少小时；
若该超市想要保证新鲜鸡蛋的保鲜时间不少于小时，则超市对新鲜鸡蛋的存储温度设置应该不高于多少摄氏度
18.本小题分
已知定义在上的函数满足，且当时，．
求的值，并证明为奇函数；
求证：在上是增函数；
若，解关于的不等式．
19.本小题分
若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”．
判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由；
若函数在定义域上为“依赖函数”，求的取值范围；
已知函数在定义域上为“依赖函数”，若存在实数：，使得对任意的，不等式都成立，求实数的最大值．
答案和解析
1.
【解析】
集合，
因为，
所以，
因为集合，
所以．
故选：．
2.
【解析】，
，所以．
故选：．
3.
【解析】命题，的否定为：对，．
故选D．
4.
【解析】因为，
所以为偶函数，
又因为在上有且仅有个零点，
则，即．
故选A．
5.
【解析】因为二次函数开口向下，所以，
所以的图象必在二四象限，可排除选项A，，
因为过点，所以，解得，
所以，即过点，故选项B不正确，
因为的对称轴，
所以所以的图像在第二四象限，故选项D正确．
故选：．
6.
【解析】根据，
分别令，，，得到
所以，，
故，解得．
故选：．
7.
【解析】取，，此时，，
满足，此时不成立；
当时，因为，
所以，
所以，
所以，
即，
综上，“”是“”的必要不充分条件．
故选：．
8.
【解析】因为
则画出函数的图象，如图所示：
不妨令，则，
即，得，
当时，单调递减，
且与轴交于点，
所以，
所以的取值范围为．
故选：．
9.
【解析】由
对于中，由，所以，所以 A正确；
对于中，当时，可得，所以不正确；
对于中，由，因为的符号不确定，无法比较大小，
所以不正确；
对于中，由知，且，根据不等式的性质，可得，所以 D正确．
故选：．
10.
【解析】由题意函数
画出在上的图象，
易得函数的最小正周期为，故A错误；
由图象结合函数的周期知，函数图象关于直线对称，故B正确；
在和时，
该函数都取得最小值，故C错误；
在时，
，故D正确．
故选：．
11.
【解析】对于选项，、分别可以看作函数与和图象交点的横坐标，
由图可知，，，
又因为函数图象关于对称，
所以、两点关于对称，
所以，，故A正确；
对于选项，因为，且，
所以，
取倒数有，，即，
由项可知，，，
所以，故B正确；
对于选项，由得：
，
当且仅当等号成立，
由图象可知，，
所以，故C错误；
对于选项，因为，
所以，
当且仅当时取等，
又因为，所以等号不能取，
所以，故D正确．
故选：．
12.
【解析】因为，
所以，，
所以．
故答案为：．
13.
【解析】由，可得，
而 ，，
所以，
所以．
故答案为：．
14.
【解析】，，，
，，，
则为锐角三角形，
若也是锐角三角形，
，
由
得
三式相加，得与三角形内角和定理矛盾，假设不成立，
所以是钝角三角形，不妨设钝角为，
即，三式相加，可得，
又因为，
所以，
即“类三角形”有一个内角为定值．
故答案为：．
15.解：，
所以
由知
所以
．

16.解：若命题为真命题，则，．
当为真命题时：
，
当命题，中恰有一个为真命题时，
为真命题，为假命题，即．
为假命题，为真命题，即
综上：
17【解析】依题意得，则，
当时，，
即该超市的新鲜鸡蛋在存储温度为摄氏度的情况下，其保鲜时间约为小时．
令，得，即，
则，
因为函数是单调递减函数，所以，
解得，
故超市对新鲜鸡蛋的存储温度设置应该不高于摄氏度．

18.【解析】令，得．
令，则，
即，
所以函数为奇函数
证明：在上任取，则，
所以．
所以，
所以函数在上是增函数．
由，得，．
由得
，
即．
因为函数在上是增函数，
所以，
解得或．
故原不等式的解集为或．
19【解析】对于函数的定义域内存在，则无解，
故不是“依赖函数”．
因为在上递增，故，即，，
由，故，得，
从而在上单调递增，故．
若，故在上最小值为，此时不存在，舍去；
若，故在上单调递减，
从而，解得舍或，
从而存在使得对任意的，有不等式都成立，
即恒成立，
由，得．
由存在，可得，
又在单调递减，故当时，，
从而，解得．
综上，故实数的最大值为．
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