(共60张PPT)
第二章 函数
第4节 函数的奇偶性、周期性
1.了解函数奇偶性的含义，了解函数的周期性及其几何意义.
2.会依据函数的性质进行简单的应用.
目 录
CONTENTS
知识诊断自测
01
考点聚焦突破
02
课时分层精练
03
知识诊断自测
1
ZHISHIZHENDUANZICE
1.函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果 x∈D，都有－x∈D，且______________________，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于______对称
奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果 x∈D，都有－x∈D，且________________________，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于______对称
f(－x)＝f(x)
y轴
f(－x)＝－f(x)
原点
2.周期性
(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且________________________，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个______的正数，那么这个__________就叫做f(x)的最小正周期.
f(x＋T)＝f(x)
最小
最小正数
常用结论与微点提醒
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数y＝x2在x∈(0，＋∞)上是偶函数.( )
(2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0.( )
(3)若T是函数f(x)的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数f(x)的周期.( )
(4)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数.( )
×
×
√
×
解析 (1)由于偶函数的定义域关于原点对称，故y＝x2在(0，＋∞)上不具有奇偶性，(1)错误.
(2)由奇函数定义可知，若f(x)为奇函数,且在x＝0处有意义时才满足f(0)＝0，(2)错误.
(4)反例：f(x)＝x3，x∈[－3，5]，存在x＝1，使f(－1)＝－f(1)，但f(x)既不是奇函数，也不是偶函数，(4)错误.
BC
解析 对于f(x)＝x4，f(x)的定义域为R，
由f(－x)＝(－x)4＝x4＝f(x)，
可知f(x)＝x4是偶函数，
3.设奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)＜0的解集为________________.
(－2，0)∪(2，5]
解析 由图象可知，当0＜x＜2时，f(x)＞0；
当2＜x≤5时，f(x)＜0，又f(x)是奇函数，
∴当－2＜x＜0时，f(x)＜0，
当－5≤x＜－2时，f(x)＞0.
综上，f(x)＜0的解集为(－2，0)∪(2，5].
4.已知函数f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数，若f(－1)＝1，则f(2 025)＝______.
-1
解析 因为函数f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数，
所以f(2 025)＝f(506×4＋1)＝f(1)＝－f(－1)＝－1.
考点聚焦突破
2
KAODIANJUJIAOTUPO
考点一 函数奇偶性的判断
因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，
所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数.
解 显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.
因为当x＜0时，－x＞0，
则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；
当x＞0时，－x＜0，
则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；
综上可知，对于定义域内的任意x，
总有f(－x)＝－f(x)成立，
所以函数f(x)为奇函数.
解 显然函数f(x)的定义域为R，
故f(x)为奇函数.
感悟提升
判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：
(1)定义域关于原点对称，否则为非奇非偶函数.
(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立.
BC
解析 对于A,只有奇函数在x＝0处有定义时,函数的图象过原点,所以A不正确；
对于B，因为函数y＝xsin x的定义域为R且f(－x)＝(－x)sin(－x)＝f(x)，所以该函数为偶函数，所以B正确；
对于C，函数y＝|x＋1|－|x－1|的定义域为R，且f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝
－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，即f(－x)＝－f(x)，所以函数为奇函数,所以C正确；
D
解析 因为f(x)为R上的奇函数，g(x)为R上的偶函数，
所以f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x).对于A，x∈R，设F(x)＝f(x)＋g(x)，
则F(－x)＝f(－x)＋g(－x)＝－f(x)＋g(x)≠－f(x)－g(x)＝－F(x)，故错误；
对于B，x∈R，设N(x)＝f(x)－g(x)，
则N(－x)＝f(－x)－g(－x)＝－f(x)－g(x)≠f(x)－g(x)＝N(x)，故错误；
对于D，x∈R，设H(x)＝|f(x)g(x)|，
H(－x)＝|f(－x)g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|＝H(x)，
所以H(x)为偶函数，故正确.
考点二 函数奇偶性的应用
B
所以g(x)为奇函数.
则y＝x＋a也应为奇函数，所以a＝0，故选B.
所以(a－1)ln 3＝－(a＋1)ln 3，解得a＝0(经检验，此时f(x)为偶函数)，故选B.
(2)已知函数f(x)为奇函数且定义域为R，当x＞0时，f(x)＝x＋1，则当x＜0时，f(x)＝________.
x－1
解析 当x＜0时，－x＞0.
f(x)＝－f(－x)＝－(－x＋1)＝x－1.
角度2 奇偶性与单调性
例3 (1)(多选)(2024·合肥调研)已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)，g(x)在(－∞，0]上单调递减，则( )
A.f(f(1))
BD
解析 因为f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且两函数在(－∞，0]上单调递减，
所以f(x)在[0，＋∞)上单调递增，g(x)在[0，＋∞)上单调递减，g(x)在R上单调递减，所以f(1)g(1)>g(2)，
所以f(g(1))g(f(2))，g(g(1))若|f(1)|>|f(2)|，则f(f(1))>f(f(2))，A错误.
(2)(2024·广州质检)已知偶函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，且f(1)＝0，则不等式xf(x－2)>0的解集为( )
A.(1，3) B.(3，＋∞)
C.(－3，－1)∪(3，＋∞) D.(0，1)∪(3，＋∞)
D
解析 偶函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，则在(0，＋∞)上单调递增.
因为f(1)＝0，则当x>0时，xf(x－2)>0即f(|x－2|)>0＝f(1)，
所以x－2>1或x－2<－1，解得x>3或x<1，所以x∈(0，1)∪(3，＋∞).
当x<0时，xf(x－2)>0即f(x－2)<0，f(|x－2|)<0＝f(1)，
所以－1综上，不等式xf(x－2)>0的解集为(0，1)∪(3，＋∞)，故选D.
感悟提升
1.利用函数的奇偶性可求函数值或参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.
2.比较大小，利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，进而利用其单调性比较大小.
3.解抽象函数不等式，先把不等式转化为f(g(x))＞f(h(x))，利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉，得到具体的不等式(组).
D
解析 法一 f(x)的定义域为{x|x≠0}，
因为f(x)是偶函数，
即e(1－a)x－ex＝－e(a－1)x＋e－x，
即e(1－a)x＋e(a－1)x＝ex＋e－x，
所以a－1＝±1，
解得a＝0(舍去)或a＝2.
又y＝x是奇函数，
所以y＝e(a－1)x－e－x是奇函数，
故a－1＝1，
即a＝2.
B
解析 由题意得，偶函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减.
所以a(－∞，－2)∪(2，＋∞)
解析 由于f(x)是定义域为R的奇函数，
所以f(0)＝0，
又f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(2)＝0，
所以f(x)的大致图象如图所示.
由于x在分母位置，所以x≠0，
当x<0时，只需f(x)<0，由图象可知x<－2；
当x>0时，只需f(x)>0，由图象可知x>2；
综上，不等式的解集为(－∞，－2)∪(2，＋∞).
考点三 函数的周期性及应用
例4 (1)函数f(x)满足f(x)f(x＋2)＝13，且f(3)＝2，则f(2 025)＝________.
解析 ∵f(x)f(x＋2)＝13，
∴f(x)的周期为4，
(2)设f(x)是定义在R上周期为4的偶函数，且当x∈[0，2]时，f(x)＝log2(x＋1)，则函数f(x)在[2，4]上的解析式为_________________________.
f(x)＝log2(5－x)，x∈[2，4]
解析 根据题意，设x∈[2，4]，
则x－4∈[－2，0]，则有4－x∈[0，2]，
又x∈[0，2]时，f(x)＝log2(x＋1)，
则f(4－x)＝log2[(4－x)＋1]＝log2(5－x)，
又f(x)为周期为4的偶函数，
所以f(x)＝f(x－4)＝f(4－x)＝log2(5－x)，x∈[2，4]，
则有f(x)＝log2(5－x)，x∈[2，4].
感悟提升
1.求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期.
2.利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题.
训练3 (多选)已知定义在R上的偶函数f(x)，其周期为4，当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－2，则( )
A.f(2 024)＝－1 B.f(x)的值域为[－1，2]
C.f(x)在[4，6]上单调递减 D.f(x)在[－6，6]上有8个零点
AB
解析 f(2 024)＝f(506×4)＝f(0)＝－1，所以A正确；
当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－2单调递增，
所以当x∈[0，2]时，函数的值域为[－1，2]，
由于函数是偶函数，
所以函数的值域为[－1，2]，所以B正确；
当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－2单调递增，
又函数的周期是4，
所以f(x)在[4，6]上单调递增，所以C错误；
令f(x)＝2x－2＝0，
所以x＝1，
所以f(1)＝f(－1)＝0，
由于函数的周期为4，
所以f(5)＝f(－5)＝0，f(3)＝f(－3)＝0，
所以f(x)在[－6，6]上有6个零点，所以D错误.
课时分层精练
3
KESHIFENCENGJINGLIAN
B
对于B，函数y＝－x|x|为奇函数，当x>0时,y＝－x|x|＝－x2,当x≤0时,y＝－x|x|＝x2，故函数y＝－x|x|在定义域内为减函数，故B正确；
对于C，由于函数y＝ex，y＝－e－x均为增函数，故y＝ex－e－x在定义域内为增函数，故C错误；
对于D，函数y＝－ln x为非奇非偶函数，故D错误.
2.(2024·重庆诊断)已知定义在R上的函数f(x)满足f(3)＝－2，且h(x)＝－x2＋f(3x)为奇函数，则f(－3)＝( )
A.4 B.－2 C.0 D.2
A
解析 因为h(x)＝－x2＋f(3x)是奇函数，
所以有h(－1)＋h(1)＝0，
即－1＋f(－3)－1＋f(3)＝0，
又f(3)＝－2，
所以f(－3)＝4.
3.(2024·济南模拟)设f(x)为偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x－1，则使f(x)＞0的x的取值范围是( )
A.{x|x＞1} B.{x|－1＜x＜0}
C.{x|x＜－1或x＞1} D.{x|1＜x＜0或x＞1}
C
解析 ∵当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x－1单调递增，
又∵f(x)为偶函数，
故可以作出f(x)的图象如图所示.
由图象可知，若f(x)＞0，
则x＜－1或x＞1.
B
5.(多选)(2024·昆明检测)函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2－1，则( )
A.f(－1)＝－1 B.g(－1)＝－2 C.f(1)＋g(1)＝1 D.f(1)＋g(1)＝2
AC
解析 法一 由f(x)－g(x)＝x3＋x2－1得f(－x)－g(－x)＝－x3＋x2－1，
又f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，
所以－f(x)－g(x)＝－x3＋x2－1.
对于A，f(－1)＝(－1)3＝－1，故A正确；
对于B，g(－1)＝－(－1)2＋1＝0，故B错误；
对于C和D，f(1)＋g(1)＝1－1＋1＝1，C正确，D错误.
法二 因为f(x)－g(x)＝x3＋x2－1，且f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，
将x＝－1代入得f(－1)－g(－1)＝－1，
所以－f(1)－g(1)＝－1，
即f(1)＋g(1)＝1，故C正确，D错误；
将x＝1代入得f(1)－g(1)＝1，
又f(1)＋g(1)＝1，
所以f(1)＝1，g(1)＝0，
所以f(－1)＝－1，g(－1)＝0，故A正确，B错误.
6.(多选)下列对函数的奇偶性判断正确的是( )
BD
对于B，设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝－x2－x，则f(－x)＝－f(x)，同理当x>0时，f(－x)＝－f(x)，所以该函数是奇函数，故B正确；
7.(多选)f(x)是定义在R上的偶函数，对 x∈R，均有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝log2(2－x)，则下列结论正确的是( )
A.函数f(x)的一个周期为4
B.f(2 024)＝1
C.当x∈[2，3]时，f(x)＝－log2(4－x)
D.函数f(x)在[0，2 024]内有1 010个零点
ABC
解析 ∵f(x)是定义在R上的偶函数，对 x∈R，均有f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
∴函数的周期为4，故A正确；
f(2 024)＝f(4×506)＝f(0)＝1，故B正确；
当x∈[2，3]时，x－2∈[0，1]，
则f(x)＝－f(x－2)＝－log2[2－(x－2)]＝－log2(4－x)，故C正确；
易知f(1)＝f(3)＝f(5)＝…＝f(2 021)＝f(2 023)＝0，于是函数f(x)在[0，2 024]内有1 012个零点，故D错误.
8.写出一个定义域为R，周期为π的偶函数f(x)＝_________________.
cos 2x(答案不唯一)
1
10.若函数f(x)＝ex－e－x，则不等式f(ln x)＋f(ln x－1)>0的解集是____________.
解析 因为f(x)＝ex－e－x，定义域为R，
且f(－x)＝－(ex－e－x)＝－f(x)，故其为奇函数，
又y＝ex，y＝－e－x均为增函数，
故f(x)为R上的增函数，
则原不等式等价于f(ln x)>f(1－ln x)，
解 设x<0，则－x>0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)，
于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，
所以m＝2.
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围.
所以1故实数a的取值范围是(1，3].
12.设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x).当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2.
(1)求证：f(x)是周期函数；
证明 ∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x).
∴f(x)是周期为4的周期函数.
(2)当x∈[2，4]时，求f(x)的解析式；
解 当x∈[－2，0]时，－x∈[0，2]，
由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2.
又f(x)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2.∴f(x)＝x2＋2x.
又当x∈[2，4]时，x－4∈[－2，0]，
∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4).
又f(x)是周期为4的周期函数，
∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8.
从而求得x∈[2，4]时，f(x)＝x2－6x＋8.
(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 024).
解 f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－1.
又f(x)是周期为4的周期函数，
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 020)＋f(2 021)＋f(2 022)＋f(2 023)＝0，
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 024)＝506×[f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)]＋f(2 024)＝0＋f(2 024)＝0＋f(0)＝0.
故函数y＝f(x)的周期为2，
∵当x∈(0，1]时，f(x)＝x＋ex单调递增，
14.函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2).
(1)求f(1)的值；
解 因为对于任意x1，x2∈D，
有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，
所以令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，
所以f(1)＝0.
(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；
解 f(x)为偶函数.
证明：令x1＝x2＝－1，
有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，
令x1＝－1，x2＝x，
有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，
所以f(－x)＝f(x)，
所以f(x)为偶函数.
(3)如果f(4)＝1，f(x－1)＜2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围.
解 依题意有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，
由(2)知，f(x)是偶函数，
所以f(x－1)＜2 f(|x－1|)＜f(16).
又f(x)在(0，＋∞)上是增函数.
所以0＜|x－1|＜16，
解得－15＜x＜17且x≠1.
所以x的取值范围是{x|－15＜x＜17，且x≠1}.(共53张PPT)
第二章 函数
第9节 对数函数
1.通过实例，了解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画具体对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.
2.了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数.
目 录
CONTENTS
知识诊断自测
01
考点聚焦突破
02
课时分层精练
03
知识诊断自测
1
ZHISHIZHENDUANZICE
1.对数函数及其性质
(1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞).
(2)对数函数的图象与性质
a>1 0图象
a>1 0性质 定义域：______________ 值域：____ 当x＝1时，y＝0，即过定点____________ 当x>1时，y>0；当01时，y<0；当00
在(0，＋∞)上是________ 在(0，＋∞)上是________
(0，＋∞)
R
(1，0)
增函数
减函数
2.反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数__________(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线________对称.它们的定义域和值域正好互换.
y＝logax
y＝x
常用结论与微点提醒
即在第一象限内从左到右底数逐渐增大.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
×
√
×
√
解析 (1)形如y＝logax(a＞0，且a≠1)为对数函数，故(1)错误.
(3)若02.若函数f(x)＝log2(x＋1)的定义域为[0，1]，则函数f(x)的值域为( )
A.[0，1] B.(0，1) C.(－∞，1] D.[1，＋∞)
A
解析 根据复合函数单调性的同增异减原则可知f(x)在[0，1]上单调递增，
因为0≤x≤1，
所以1≤x＋1≤2，
则log21≤log2(x＋1)≤log22，
即f(x)∈[0，1].
3.(必修一P141T13(1)改编)设a＝log0.26，b＝log0.36，c＝log0.46，则( )
A.a＞b＞c B.a＞c＞b C.b＞c＞a D.c＞b＞a
A
解析 法一 如图，作出函数y1＝log0.2x，y2＝log0.3x，y3＝log0.4x的图象，
由图可知，当x＝6时，log0.26＞log0.36＞log0.46，
即a＞b＞c.
法二 易知0＞log60.4＞log60.3＞log60.2，
即log0.46＜log0.36＜log0.26，
即a＞b＞c.
4.函数y＝loga(x－2)＋2(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点________.
(3，2)
解析 ∵loga1＝0，
令x－2＝1，
∴x＝3，
∴y＝loga1＋2＝2，
∴原函数的图象恒过定点(3，2).
考点聚焦突破
2
KAODIANJUJIAOTUPO
考点一 对数函数的图象及应用
例1 (1)(2024·济南模拟)若函数f(x)＝(k－1)ax－a－x(a>0，且a≠1)在R上既是奇函数，又是减函数，则g(x)＝loga|x＋k|的大致图象是( )
B
解析 因为函数f(x)＝(k－1)ax－a－x(a>0，且a≠1)在R上是奇函数，
所以f(0)＝0，所以k＝2，经检验：k＝2满足题意.
又因为f(x)为减函数，所以0所以g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，其大致图象为B.故选B.
(2)定义在R上的奇函数f(x)满足：当x>0时，f(x)＝2 024x＋log2 024x，则在R上方程f(x)＝0的实根个数为( )
A.1 B.3 C.2 D.2 024
B
解析 当x>0时，令f(x)＝0，
即2 024x＝－log2 024x，
在同一坐标系中作出函数y1＝2 024x，y2＝－log2 024x的示意图，如图，
函数y1＝2 024x为增函数，y2＝－log2 024x为减函数，
可知两个函数图象有且只有一个交点P，横坐标记为x0，
即当x>0时方程f(x)＝0有且只有一个实根x0.
因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，
所以当x<0时，方程f(x)＝0也有一个实根－x0.
又因为f(x)是R上的奇函数，f(0)＝0，
所以0也是方程f(x)＝0的根.
综上所述，方程f(x)＝0有3个实根，故选B.
感悟提升
1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.
2.一些对数型方程问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.
训练1 (1)(2024·广州调研)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)与二次函数y＝(a－1)x2－x在同一坐标系内的图象可能是( )
A
解析 若0则对称轴在y轴左侧，故C，D错误；
若a>1，则函数y＝logax在(0，＋∞)上单调递增，
则对称轴在y轴右侧，故B错误，A正确.
考点二 对数函数的性质及应用
角度1 比较大小
例2 (1)设a＝log412，b＝log515，c＝log618，则( )
A.a＞b＞c B.b＞c＞a C.a＞c＞b D.c＞b＞a
A
解析 a＝1＋log43，b＝1＋log53，c＝1＋log63，
∵log43＞log53＞log63，
∴a＞b＞c.
A
故log23－log34>0，∴a>b，∴a>b>c，故选A.
角度2 解对数不等式
例3 (2024·安徽江淮十校联考)已知实数a＞0，且满足53a＋2＞54a＋1，则不等式
loga(3x＋2)＜loga(8－5x)的解集为____________.
解析 由实数a＞0，且满足53a＋2＞54a＋1，
根据指数函数的单调性，可得3a＋2＞4a＋1，解得0＜a＜1，
所以函数y＝logax为单调递减函数，
由不等式loga(3x＋2)＜loga(8－5x)，
角度3 对数函数性质的综合应用
例4 (2024·石家庄调研)已知函数f(x)＝loga(3－ax)(a>0，且a≠1).
(1)当x∈[0，2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；
解 设g(x)＝3－ax.
由题意，知3－ax>0对一切x∈[0，2]恒成立.
因为a>0，所以g(x)＝3－ax在区间[0，2]上为减函数.
又a≠1，
(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，且最大值为1？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.
解 不存在.理由如下：
假设存在这样的实数a.
由题意，得f(1)＝1，即loga(3－a)＝1，
因为当x＝2时，f(x)无意义，
所以这样的实数a不存在.
感悟提升
利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用.
C
(2)(2024·郑州模拟)设函数f(x)＝ln|x＋3|＋ln|x－3|，则f(x)( )
A.是偶函数，且在(－∞，－3)上单调递减
B.是奇函数，且在(－3，3)上单调递减
C.是奇函数，且在(3，＋∞)上单调递增
D.是偶函数，且在(－3，3)上单调递增
A
解析 函数f(x)的定义域为{x|x≠3，且x≠－3}，
则f(－x)＝ln |－x＋3|＋ln |－x－3|＝ln |x－3|＋ln |x＋3|＝f(x)，
则f(x)是偶函数，排除B，C；
f(x)＝ln |x＋3|＋ln |x－3|＝ln |x2－9|，
令t＝|x2－9|，而y＝ln t为增函数，
由复合函数单调的同增异减的原则，f(x)在(－∞，－3)上单调递减，A正确.
课时分层精练
3
KESHIFENCENGJINGLIAN
A
A
解析 函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数是f(x)＝logax，
又f(2)＝1，
即loga2＝1，
所以a＝2.
故f(x)＝log2x.
3.(多选)函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a＞0，且a≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是( )
BC
解析 由图象可知0＜a＜1，
令y＝0得loga(x＋c)＝0，x＋c＝1，x＝1－c，
由图象知0＜1－c＜1，
∴0＜c＜1.
A.a＞1 B.0＜c＜1
C.0＜a＜1 D.c＞1
C
解析 因为函数y＝loga(－x)的图象与函数y＝logax的图象关于y轴对称，
所以函数y＝loga(－x)的图象恒过定点(－1，0)，故A，B错误；
当a>1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上单调递增，
所以函数y＝loga(－x)在(－∞，0)上单调递减，
B
6.(多选)函数f(x)＝loga|x－1|(a>0，且a≠1)在(0，1)上是减函数，那么( )
A.f(x)在(1，＋∞)上单调递增且无最大值
B.f(x)在(1，＋∞)上单调递减且无最小值
C.f(x)在定义域内是偶函数
D.f(x)的图象关于直线x＝1对称.
AD
解析 因为函数f(x)＝loga|x－1|在(0，1)上是减函数，
所以f(x)＝loga(1－x)在(0，1)上为减函数，
而y＝1－x是减函数，故a>1，
所以当x>1时，f(x)＝loga(x－1)，
而y＝x－1是增函数，且a>1，
则f(x)在(1，＋∞)上单调递增且无最大值，故A正确，B错误；
又f(－x)＝loga|－x－1|＝loga|x＋1|≠f(x)，故C错误；
因为f(2－x)＝loga|2－x－1|＝loga|x－1|＝f(x)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，故D正确.
D
又ab＜0，所以a＋b＜ab，所以a＋b＜ab＜0.
9.已知函数f(x)＝lg(x2－2x－8)的单调递增区间为(a，＋∞)，则a＝________.
4
解析 由x2－2x－8＞0，得x＞4或x＜－2，
所以f(x)的定义域为{x|x＞4，或x＜－2}.
又μ＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，在(－∞，－2)上单调递减，
而y＝lg μ在定义域上单调递增，
所以f(x)＝lg(x2－2x－8)的单调递增区间为(4，＋∞)，故a＝4.
解析 因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0]上单调递减，
11.已知函数f(x)＝log2(1＋x)，g(x)＝log2(1－x).
(1)求函数f(x)－g(x)的定义域；
所以函数f(x)－g(x)的定义域是(－1，1).
(2)判断函数f(x)－g(x)的奇偶性，并说明理由；
解 函数f(x)－g(x)是奇函数.
理由如下：
因为函数f(x)－g(x)的定义域是(－1，1)，
所以其定义域关于原点对称.
又因为f(－x)－g(－x)＝log2(1－x)－log2(1＋x)＝－[log2(1＋x)－log2(1－x)]＝－[f(x)－g(x)]，
所以函数f(x)－g(x)是奇函数.
(3)求使得不等式f(x)－g(x)>1成立的x的取值范围.
解 因为f(x)－g(x)>1，
即log2(1＋x)－log2(1－x)>1，
所以函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(2，＋∞).
所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(2，＋∞).
(2)若f(x)在区间[2，4]上是增函数，求实数a的取值范围.
解 根据题意，知a>0，且a≠1.
因为f(x)在区间[2，4]上是增函数，则
又因为g(x)在区间[2，4]上恒大于0，所以g(2)>0，
因为g(x)在区间[2，4]上恒大于0，
所以g(4)>0.
所以16a－4>0，
则此种情况不存在.
综上所述，实数a的取值范围是(1，＋∞).
B
综上，y14.已知函数f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x.
(1)当x∈[1，4]时，求函数h(x)＝[f(x)＋1]·g(x)的值域；
解 h(x)＝(4－2log2x)log2x＝2－2(log2x－1)2.
因为x∈[1，4]，
所以log2x∈[0，2]，
故函数h(x)的值域为[0，2].
令t＝log2x，
因为x∈[1，4]，
所以t＝log2x∈[0，2]，
所以(3－4t)(3－t)>k·t对一切t∈[0，2]恒成立，
①当t＝0时，k∈R；
所以k<－3.
综上，实数k的取值范围为(－∞，－3).(共49张PPT)
第二章 函数
第2节 单调性与最大(小)值(一)
1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解其实际意义.
2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质．
目 录
CONTENTS
知识诊断自测
01
考点聚焦突破
02
课时分层精练
03
知识诊断自测
1
ZHISHIZHENDUANZICE
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D I，如果 x1，x2∈D 当x1＜x2时，都有_____________，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 当x1＜x2时，都有____________，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数
f(x1)＜f(x2)
f(x1)＞f(x2)
增函数 减函数
图象 描述 自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上__________或__________，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，________叫做y＝f(x)的单调区间.
单调递增
单调递减
区间D
2.函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1) x∈I，都有__________； (2) x0∈I，使得__________ (3) x∈I，都有___________；
(4) x0∈I，使得_________
结论 M为最大值 M为最小值
f(x)≤M
f(x0)＝M
f(x)≥M
f(x0)＝M
常用结论与微点提醒
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
×
×
×
√
解析 (1)错误，应对任意的x1＜x2，都有f(x1)＜f(x2)成立才可以.
(2)错误，反例：f(x)＝x在[1，＋∞)上为增函数，但f(x)＝x的单调递增区间是(－∞，＋∞).
(3)错误，此单调区间不能用“∪”连接，故单调递减区间为(－∞,0)和(0，＋∞).
[2，＋∞)
解析 由题意可知x2－2x≥0，
解得x≤0或x≥2，
所以函数f(x)的定义域为(－∞，0]∪[2，＋∞)，
所以f(x)的单调递增区间是[2，＋∞).
2
4.函数y＝f(x)是定义在[－2，2]上的减函数，且f(a＋1)＜f(2a)，则实数a的取值范围是____________.
[－1，1)
考点聚焦突破
2
KAODIANJUJIAOTUPO
考点一 函数单调性的判断
例1 (1)(多选)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是( )
AC
解析 ∵y＝ex与y＝－e－x为R上的增函数，
∴y＝ex－e－x为R上的增函数，故A正确；
由y＝|x2－2x|的图象(图略)知，B不正确；
对于C，y′＝2－2sin x≥0，
∴y＝2x＋2cos x在(0，＋∞)上单调递增，故C正确；
(－∞，0)，(1，＋∞)
该函数图象如图所示，
其单调递增区间是(－∞，0)，(1，＋∞).
感悟提升
1.求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.
2.(1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法.
(2)函数y＝f(g(x))的单调性应根据外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.
易错警示 函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”连接，不要用“∪”.
B
解析 y＝x2在(－∞，0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故A错误；
y＝x在R上为增函数，故B正确；
(－∞，－6]
解得x≤－6或x≥4，
又由t＝x2＋2x－24在(－∞，－6]上单调递减，在[4，＋∞)上单调递增，
结合复合函数的单调性的判定方法，
考点二 利用定义证明函数的单调性
例2 设f(x)是定义在R上的函数， m，n∈R，f(m＋n)＝f(m)·f(n)(f(m)≠0，f(n)≠0)，且当x>0时，0(1)f(0)＝1；
证明 根据题意，令m＝0，
可得f(0＋n)＝f(0)·f(n).
∵f(n)≠0，
∴f(0)＝1.
(2)x∈R时，恒有f(x)>0；
证明 由题意知x>0时，0当x＝0时，f(0)＝1>0；
当x<0时，－x>0，
∴0∵f[x＋(－x)]＝f(x)·f(－x)，
∴f(x)·f(－x)＝1，
故x∈R时，恒有f(x)>0.
(3)f(x)在R上是减函数.
证明 任取x1，x2∈R，且x1则f(x2)＝f[x1＋(x2－x1)]，
∴f(x2)－f(x1)＝f[x1＋(x2－x1)]－f(x1)＝f(x1)·f(x2－x1)－f(x1)＝f(x1)[f(x2－x1)－1].
由(2)知f(x1)>0，
又x2－x1>0，
∴0故f(x2)－f(x1)<0，
故f(x)在R上是减函数.
感悟提升
由于－1＜x1＜x2＜1，
所以x2－x1＞0，x1－1＜0，x2－1＜0，
故当a＞0时，f(x1)－f(x2)＞0，
即f(x1)＞f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上单调递减；
当a＜0时，f(x1)－f(x2)＜0，
即f(x1)＜f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上单调递增.
当a＞0时，f′(x)＜0，函数f(x)在(－1，1)上单调递减；
当a＜0时，f′(x)＞0，函数f(x)在(－1，1)上单调递增.
考点三 由单调性求参数的取值范围
B
感悟提升
利用单调性求参数的取值(范围)，根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值.
训练3 (1)(2023·新高考Ⅰ卷)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，则a的取值范围是( )
A.(－∞，－2] B.[－2，0) C.(0，2] D.[2，＋∞)
D
解析 由题意得y＝x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，
[1，2)
∵f(x)在(a，＋∞)上单调递增，
课时分层精练
3
KESHIFENCENGJINGLIAN
AC
对于C，当x>1时，f(x)＝|x＋2|＝x＋2是增函数，C符合题意；
对于D，f(x)＝3－x在(1，＋∞)上是减函数，D不符合题意.
2.(多选)定义在区间[－5，5]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则下列关于函数f(x)的说法中正确的是( )
ABD
解析 由图可知，f(x)在区间[－5，－3]上单调递增，A正确；
f(x)在区间[1，4]上单调递增，B正确；
f(x)在区间[－3,1],[4,5]上单调递减，单调区间不可以用“∪”连接，C错误；
f(x)在区间[－5，5]上不单调，D正确.
A.f(x)在区间[－5，－3]上单调递增
B.f(x)在区间[1，4]上单调递增
C.f(x)在区间[－3，1]∪[4，5]上单调递减
D.f(x)在区间[－5，5]上不单调
CD
解得－1≤x≤3，即定义域为[－1，3]，
考虑函数y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4在[－1，3]上有最大值4，最小值0.
在区间[－1，1]上单调递增，在区间(1，3]上单调递减.
4.已知函数f(x)＝ax＋1在R上单调递减，则函数g(x)＝a(x2－4x＋3)的单调递增区间为( )
A.(－2，＋∞) B.(2，＋∞) C.(－∞，2) D.(－∞，－2)
C
解析 由函数f(x)＝ax＋1在R上单调递减，可知a<0.
∴g(x)＝a(x2－4x＋3)的图象开口向下，对称轴为直线x＝2，
∴g(x)在(－∞，2)上单调递增.故选C.
D
A
解析 因为函数f(x)＝x2－4x＋2图象的对称轴为直线x＝2，
所以函数y＝f(x)在区间(－∞，2]上是减函数，
CD
①③④
解析 由题意，知f(x)在(0，＋∞)上为增函数，①③④在(0，＋∞)上均为增函数.
9.已知函数f(x)＝|x＋a|在区间(－∞，－1)上是单调函数，则实数a的取值范围是__________.
(－∞，1]
解析 作出f(x)的图象如图所示，
由图可知－a≥－1，
即a≤1.
10.已知命题p：“若f(x)________________________________________.
解析 由题意知，f(x)＝(x－1)2，x∈(0，4)，
则函数f(x)的图象在(0，4)上先单调递减再单调递增，
当x＝1时，函数值最小，且f(x)所以函数f(x)＝(x－1)2，x∈(0，4)可以说明命题p为假命题.
11.已知函数f(x)＝x|x－4|.
(1)把f(x)写成分段函数，并在平面直角坐标系内画出函数f(x)的大致图象；
函数图象如图所示.
(2)写出函数f(x)的单调递减区间.
解 由(1)中函数的图象可知，函数f(x)的单调递减区间为(2，4).
(2)探究f(x)的单调性，并证明你的结论.
解 f(x)在R上单调递增.证明如下：
∵f(x)的定义域为R，
∴任取x1，x2∈R，且x1∵y＝2x在R上单调递增且x1∴2x1－2x2<0，2x1＋1>0，2x2＋1>0，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴f(x)在R上单调递增.
BD
故g(x)＋f(x)不一定为增函数，A错误；
而f(x)g(x)＝1不是增函数，C错误；
对于B，因为g(x)是增函数，
所以－g(x)为减函数.
又f(x)是减函数，所以f(x)－g(x)＝f(x)＋(－g(x))为减函数，B正确；
对于D，因为g(x)是增函数，且g(x)>0，
又f(x)>0，且f(x)为减函数，
14.定义在(0，＋∞)上的函数f(x)对于任意的x，y∈(0，＋∞)，总有f(x)＋f(y)＝f(xy)，当x＞1时，f(x)＜0.
(1)求f(1)的值；
解 令x＝y＝1，
得f(1)＋f(1)＝f(1)，
所以f(1)＝0.
(2)判断函数在(0，＋∞)上的单调性，并证明.
解 f(x)在(0，＋∞)上单调递减，
证明如下：
设x1＞x2＞0，令xy＝x1，x＝x2，
所以f(x1)＜f(x2)，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减.(共55张PPT)
第二章 函数
第12节 函数模型及其应用
1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异，理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义.
2.通过收集、阅读一些现实生活、生产实际等数学模型，会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用.
目 录
CONTENTS
知识诊断自测
01
考点聚焦突破
02
课时分层精练
03
知识诊断自测
1
ZHISHIZHENDUANZICE
1.指数、对数、幂函数模型性质比较
函数 性质 y＝ax(a>1) y＝logax (a>1) y＝xn(n>0)
在(0，＋∞) 上的增减性 单调______ 单调______ 单调______
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
图象的变化 随x的增大逐渐表现为与______平行 随x的增大逐渐表现为与______平行 随n值变化而各有不同
值的比较 存在一个x0，当x>x0时，有logax递增
递增
y轴
x轴
2.几种常见的函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
与指数函数相关的模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
与对数函数相关的模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
与幂函数相关的模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0)
1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小.
2.充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键.
3.易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性.
常用结论与微点提醒
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
×
×
×
√
∴每件赔1元，(1)错误.
(2)当x＝2时，2x＝x2＝4.(2)不正确.
2.(必修一P155T9改编)已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示.假设某商人持有资金120万元，他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计).如果他在t4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是( )
D
解析 当甲商品的价格为6元时，该商人全部买入甲商品，可以买120÷6＝20(万份)，在t2时刻全部卖出，此时获利20×2＝40(万元)；
当乙商品的价格为4元时,该商人买入乙商品,可以买(120＋40)÷4＝40(万份)，在t4时刻全部卖出，此时获利40×2＝80(万元).
故该商人共获利40＋80＝120(万元).
A.40万元 B.60万元 C.80万元 D.120万元
C
解析 由题意知4.9＝5＋lg V，
所以该同学视力的小数记录法的数据约为0.8.
4.某商品在最近30天内的价格f(t)与时间t(单位：天)的函数关系是f(t)＝t＋10(0＜t≤30，t∈N)，销售量g(t)与时间t的函数关系是g(t)＝－t＋35(0＜t≤30，t∈N)，则这种商品的日销售金额的最大值是________.
506
∵t∈N，
∴t＝12或13时，ymax＝506.
考点聚焦突破
2
KAODIANJUJIAOTUPO
考点一 利用函数图象刻画实际问题的变化过程
例1 已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动.设点P运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是( )
D
解析 依题意知，当0≤x≤4时，f(x)＝2x；
当4＜x≤8时，f(x)＝8；
当8＜x≤12时，f(x)＝24－2x，
观察四个选项知D项符合要求.
感悟提升
判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法
(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象；
(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.
训练1 (2024·泰州调研)中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明，某种绿茶用85 ℃的水泡制，再等到茶水温度降至60 ℃时饮用，可以产生最佳口感.为分析泡制一杯最佳口感茶水所需时间，某研究人员每隔1 min测量一次茶水的温度，根据所得数据做出如图所示的散点图.观察散点图的分布情况，下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度y随时间x变化的规律( )
B
解析 由函数图象可知符合条件的只有指数函数模型，并且m＞0，0＜a＜1.
A.y＝mx2＋n(x＞0) B.y＝max＋n(m＞0，0＜a＜1)
C.y＝max＋n(m＞0，a＞1) D.y＝mlogax＋n(m＞0，a＞0，a≠1)
考点二 已知函数模型解决实际问题
A
物种 甲 乙 丙 合计
个体数量 300 150 150 600
A
感悟提升
1.求解已知函数模型解决实际问题的关注点.
(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数；
(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.
2.利用函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验.
训练2 (1)(2024·湖南部分学校联考)甲醛是一种无色、有着刺激性气味的气体,对人体健康有着极大的危害.新房入住时，空气中甲醛浓度不能超过0.08 mg/m3,否则，该新房达不到安全入住的标准，若某套住房自装修完成后，通风x(x＝1,2，3，…，50)周与室内甲醛浓度y(单位：mg/m3)之间近似满足函数关系式y＝0.48－0.1f(x)(x∈N*)，其中f(x)＝loga[k(x2＋2x＋1)](k>0，x＝1，2，3，…，50)，且f(2)＝2，f(8)＝3，则该住房自装修完成后要达到安全入住的标准，至少需要通风( )
A.17周 B.24周 C.28周 D.26周
D
解析 由题意，f(x)＝loga[k(x＋1)2]＝logak＋2loga(x＋1)，
由f(2)＝2，f(8)＝3，
得logak＋2loga(2＋1)＝2，logak＋2loga(8＋1)＝3，
两式相减得loga9＝1，则a＝9，
所以logak＋2＝3，得k＝9.
该住房自装修完成后要达到安全入住的标准，则需0.48－0.1f(x)≤0.08，
即f(x)≥4，
即1＋2log9(x＋1)≥4，解得x≥26，
故至少需要通风26周.故选D.
(2)(2024·北京房山区模拟)血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是95%～100%，当血氧饱和度低于90%时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型S(t)＝S0eKt描述血氧饱和度S(t)随着给氧时间t(单位：小时)的变化而变化的规律，其中S0为初始血氧饱和度，K为参数.已知S0＝60%，给氧1小时后，血氧饱和度为80%.若使得血氧饱和度达到90%，则至少还需要的给氧时间为(精确到0.1，参考数据：ln 2≈0.69，ln 3≈1.10)( )
A.0.3小时 B.0.5小时 C.0.7小时 D.0.9小时
B
解析 设使得血氧饱和度达到正常值，给氧时间至少需要t－1小时，
由题意可得60eK＝80，60eKt＝90，
则给氧时间至少还需要t－1＝0.5(小时)，故选B.
考点三 构建函数模型解决实际问题
例3 李冶(1192—1279)，真定栾城(今属河北石家庄市)人，金元时期的数学家、诗人,数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：如求圆的直径、正方形的边长等.其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为y亩,若方田的四边到水池的最近距离均为
20步，则y关于水池半径r(步)的函数关系式为y＝___________________,水池的边缘与方田之间的面积与水池半径比值最小时，r＝________(注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算).
40
解析 已知水池的半径为r步，
则方田的边长为(2r＋40)步，
由题意得，(2r＋40)2－πr2＝y×240，
感悟提升
在应用函数解决实际问题时需注意以下四个步骤：
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型.
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的函数模型.
(3)解模：求解函数模型，得出数学结论.
(4)还原：将数学结论还原为实际意义的问题.
训练3 某工厂拟建一个平面图形为矩形，且总面积为400 m2的三级污水处理池,如图所示，已知池外墙造价为200元/m，中间两条隔墙造价为250元/m，池底造价为80元/m2(池壁的厚度忽略不计，且污水处理池无盖).若使污水处理池的总造价最低，那么污水处理池的长和宽分别为( )
C
课时分层精练
3
KESHIFENCENGJINGLIAN
1.(2024·绵阳诊断)某检测分析是用荧光定量PCR法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中指数级增加的靶标DNA实时监测，在PCR扩增时期，荧光信号强度达到阈值时，DNA的数量X与扩增次数n满足lg X＝nlg(1＋p)＋lg X0，其中X0为DNA的初始数量,p为扩增效率.已知某被测标本DNA扩增12次后,数量变为原来的1 000倍,则扩增效率p约为(参考数据：100.25≈1.778,10－0.25≈0.562)( )
A.22.2% B.43.8% C.56.2% D.77.8%
D
解析 由题意知，lg(1 000X0)＝12lg(1＋p)＋lg X0，
即lg 103＋lg X0＝12lg(1＋p)＋lg X0，
即3＋lg X0＝12lg(1＋p)＋lg X0，
所以1＋p＝100.25≈1.778，
解得p≈0.778＝77.8%.故选D.
2.在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )
B
解析 由题中表格可知函数在(0，＋∞)上是增函数，且y的变化随x的增大而增大得越来越快，分析选项可知B符合，故选B.
x 1.992 3 4 5.15 6.126
y 1.517 4.041 8 7.5 12 18.01
3.(2024·烟台调研)海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用ID＝I0e－KD表示其总衰减规律，其中K是平均消光系数(也称衰减系数)，D(单位：米)是海水深度，ID(单位：坎德拉)和I0(单位：坎德拉)分别表示在深度D处和海面的光强.已知某海区10米深处的光强是海面光强的30%，则该海区消光系数K的值约为(参考数据：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1，ln 5≈1.6)( )
A.0.12 B.0.11 C.0.07 D.0.01
A
解析 由题意得，30%I0＝I0e－10K，
即30%＝e－10K，
两边取自然对数得，－10K＝ln 3－ln 10＝ln 3－ln 2－ln 5，
A
C
当0当x＝30时，f(x)取得最大值875；
由于875>720，所以该企业每年利润最大值为875万元.故选C.
6.(多选)甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系，下列结论正确的是( )
BD
解析 在A中，甲在公园休息的时间是10 min，
所以只走了50 min，A错误；
由题中图象知，B正确；
甲从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长，而距离相等，所以甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢，C错误；
7.(多选)(2024·河北部分学校联考)某大型商场开业期间为吸引顾客，推出“单次消费满100元可参加抽奖”的活动，奖品为本商场现金购物卡，可用于以后在该商场消费.已知抽奖结果共分5个等级，等级x与购物卡的面值y(元)的关系式为y＝eax＋b＋k，三等奖比四等奖的面值多100元，比五等奖的面值多120元，且四等奖的面值是五等奖的面值的3倍，则( )
A.a＝－ln 5 B.k＝15
C.一等奖的面值为3 130元 D.三等奖的面值为130元
ACD
解析 由题意可知，四等奖比五等奖的面值多20元，
由(e3a＋b＋k)－(e4a＋b＋k)＝e3a＋b(1－ea)＝100，
可知e3a＋b＝125.
因为四等奖的面值是五等奖的面值的3倍，
所以e4a＋b＋k＝3(e5a＋b＋k)，
解得k＝5，故B错误；
三等奖的面值为e3a＋b＋k＝125＋5＝130(元)，故D正确；
由ea＋b＋k＝e3a＋b·e－2a＋k＝125×25＋5＝3 130，
故一等奖的面值为3 130元，故C正确.
8.当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少要经过________个“半衰期”.
10
所以，若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少需要经过10个“半衰期”.
9.里氏震级M的计算公式为：M＝lg A－lg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍.
6
10 000
解析 M＝lg 1 000－lg 0.001＝3－(－3)＝6.
设9级地震的最大振幅和5级地震的最大振幅分别为A1，A2，
即9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的10 000倍.
462
∴该学生在高考中可能取得的总分约为400＋62＝462.
(2)若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm为正常，问至少排气多少分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态？
故至少排气32分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态.
12.“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的函数.当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4(1)当0解 由题意得，当0当4显然v＝ax＋b在(4，20]内单调递减，
(2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值.
解 设年生长量为f(x)千克/立方米，
当0f(x)max＝f(10)＝12.5.所以当0即当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米.
B
A.0.58米 B.0.87米 C.1.17米 D.1.73米
解析 如图，设过水横断面为等腰梯形ABCD，过点B作BE⊥CD于点E，∠BAD＝∠ABC＝120°，
要使过水横断面面积最大，则此时资金3万元都用完，
则100×(AB＋BC＋AD)×100＝30 000，
解得AB＋BC＋AD＝3米.
即当过水横断面面积最大时，水渠的深度(即梯形的高)约为0.87米.
解 当x＝128，即甲城市投资128万元时，乙城市投资112万元，
因此，此时公司的总收益为88万元.
(2)试问：如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使公司总收益最大？
解 由题意知，甲城市投资x万元，则乙城市投资(240－x)万元，
故f(x)的最大值为88.
因此，当甲城市投资128万元，乙城市投资112万元时，总收益最大，且最大收益为88万元.(共52张PPT)
第二章 函数
第8节 指数函数
1.通过实例，了解指数函数的实际意义，能用描点法或借助计算工具画出指数函数的图象.
2.理解指数函数的单调性，特殊点等性质，并能简单应用.
目 录
CONTENTS
知识诊断自测
01
考点聚焦突破
02
课时分层精练
03
知识诊断自测
1
ZHISHIZHENDUANZICE
1. 指数函数的概念
函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.
2.指数函数的图象与性质
a>1 0图象
定义域 R 值域 ______________ (0，＋∞)
a>1 0性质 过定点____________，即x＝0时，y＝1 当x>0时，________；当x<0时，____________ 当x<0时，________；当x>0时，____________
在(－∞，＋∞)上是________ 在(－∞，＋∞)上是________
y＝ax与y＝ 的图象关于y轴对称 (0，1)
y>1
0y>1
0增函数
减函数
常用结论与微点提醒
(1)y＝ax，(2)y＝bx，
(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则c>d>1>a>b>0.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数y＝2x－1是指数函数.( )
(2)函数y＝ax2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞).( )
(3)2－3＞2－4.( )
(4)若am＜an(a＞0，且a≠1)，则m＜n.( )
×
×
√
×
解析 (1)由于指数函数解析式为y＝ax(a＞0，且a≠1),故y＝2x－1不是指数函数,故(1)错误.
(2)由于x2＋1≥1，又a＞1，∴ax2＋1≥a.
故y＝ax2＋1(a＞1)的值域是[a，＋∞)，(2)错误.
(4)m与n的大小关系与a的取值有关.
2.函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是( )
A
解析 易知f(x)为偶函数，且f(x)＝1－e|x|≤0，A正确.
3.(必修一P119T6改编)已知a＝0.750.1，b＝1.012.7，c＝1.013.5，则( )
A.a＞b＞c B.a＞c＞b C.c＞b＞a D.c＞a＞b
C
解析 因为函数y＝1.01x在(－∞，＋∞)上是增函数，且3.5＞2.7，
故1.013.5＞1.012.7＞1＞0.750.1，
即c＞b＞a.
{y|y＞0，且y≠1}
解析 函数的定义域为{x|x≠1}，
又指数函数y＝2x的值域为(0，＋∞)，
故所求函数的值域为{y|y＞0，且y≠1}.
考点聚焦突破
2
KAODIANJUJIAOTUPO
考点一 指数函数的图象及应用
例1 (1)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )
D
解析 由f(x)＝ax－b的图象可以观察出，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，
所以0＜a＜1.
又f(0)＝a－b＜a0，
所以－b＞0，即b＜0.
A.a＞1，b＜0 B.a＞1，b＞0
C.0＜a＜1，b＞0 D.0＜a＜1，b＜0
BC
M(x1，y1)是y＝ex在x∈[0，1)图象上的动点，
如图，B(1，e)，则k∈(－∞，－2]，只有B，C满足.
感悟提升
1.对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.
2.有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解.
B
解析 由题意得，f(x)的定义域为R，排除C，D；
(2)(2024·深圳质检)若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a＞0，且a≠1)的图象有两个交
点，则a的取值范围是____________.
解析 y＝|ax－1|的图象是由y＝ax的图象先向下平移1个单位长度，再将x轴下方的图象翻折到x轴上方，保持x轴上及其上方的图象不变得到的.
考点二 指数函数的性质及应用
角度1 比较大小
例2 (1)(2023·天津卷)若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为( )
A.c>a>b B.c>b>a C.a>b>c D.b>a>c
D
解析 法一 因为函数f(x)＝1.01x是增函数，且0.6>0.5>0，
所以1.010.6>1.010.5>1，即b>a>1；
因为函数g(x)＝0.6x是减函数，且0.5>0，
所以0.60.5<0.60＝1，即c<1.
综上，b>a>c.
法二 因为函数f(x)＝1.01x是增函数，
且0.6>0.5，
所以1.010.6>1.010.5，
即b>a；
因为函数h(x)＝x0.5在(0，＋∞)上单调递增，
且1.01>0.6>0，
所以1.010.5>0.60.5，
即a>c.
综上，b>a>c.
(2)若ea＋πb≥e－b＋π－a，下列结论一定成立的是( )
A.a＋b≤0 B.a－b≥0 C.a－b≤0 D.a＋b≥0
D
解析 ∵ea＋πb≥e－b＋π－a，
∴ea－π－a≥e－b－πb，(*)
令f(x)＝ex－π－x，
则f(x)是R上的增函数，
(*)式即为f(a)≥f(－b)，
∴a≥－b，
即a＋b≥0.
角度2 解简单的指数方程或不等式
例3 已知y＝4x－3·2x＋3的值域为[1，7]，则x的取值范围是( )
A.[2，4] B.(－∞，0)
C.(0，1)∪[2，4] D.(－∞，0]∪[1，2]
D
解析 ∵y＝4x－3·2x＋3的值域为[1，7]，
∴1≤4x－3·2x＋3≤7，且2x＞0，
∴0＜2x≤1或2≤2x≤4，
∴x≤0或1≤x≤2.
因为f(x)是奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)，
(2)若 x∈[1，2]，都有f(2x)－mf(x)≥0成立，求实数m的取值范围.
感悟提升
1.比较指数式的大小的方法是：
(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“0或1”等中间量比较大小.
2.指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化.
3.涉及指数函数的综合问题，首先要掌握指数函数相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.
易错警示 在研究指数型函数的单调性时，当底数a与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论.
BCD
解析 因为y＝1.7x为增函数，所以1.72.5<1.73，故A不正确；
因为1.70.3>1，而0.93.1∈(0，1)，所以1.70.3>0.93.1，故C正确；
BD
所以函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，故A错误；
所以f(x)的图象关于y轴对称，故B正确；
故函数f(x)的图象不关于点(0，1)对称，故C错误；
课时分层精练
3
KESHIFENCENGJINGLIAN
B
D
解析 由题意得2a2－5a＋3＝1，
当a＝2时，f(x)＝2x在(0，＋∞)上单调递增，符合题意；
∴a＝2.
D
A
综上所述，a＞b＞c.
C
∴根据指数函数图象即可判断选项C符合.
ABD
D
解析 函数f(x)的定义域为R.
则g(x)＝f(x)－3，
因为f(a2)＋f(3a－4)>6，
所以f(a2)－3＋f(3a－4)－3>0，
所以g(a2)＋g(3a－4)>0，
即g(a2)>－g(3a－4)＝g(4－3a)，
所以a2>4－3a，
解得a<－4或a>1，
故a的取值范围为(－∞，－4)∪(1，＋∞).故选D.
1
解析 法一 f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
法二 f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
因为f(x)为奇函数，所以f(－1)＝－f(1)，
所以当a＝1时，f(x)为奇函数.
解析 设2x＝t，0≤x≤2，则1≤t≤4，
10.满足下列三个性质的一个函数f(x)＝__________________.
①若xy>0，则f(x＋y)＝f(x)f(y)；②f(x)＝f(－x)；③f(x)在(0,＋∞)上单调递减.
即f(x)＝f(－x)成立.
又f(x)在(0，＋∞)上单调递减，
所以x1－x2<0，x1＋x2－1>0，
所以(x1－x2)(x1＋x2－1)<0，
即有u1－u2<0，
所以u1所以2u1<2u2，
即f(x1)12.已知定义域为R的函数f(x)＝ax－(k－1)·a－x(a＞0，且a≠1)是奇函数.
(1)求实数k的值；
解 ∵f(x)是定义域为R的奇函数，
∴f(0)＝a0－(k－1)a0＝1－(k－1)＝0，
∴k＝2，
经检验k＝2符合题意，
所以k＝2.
(2)若f(1)＜0，判断函数f(x)的单调性，若f(m2－2)＋f(m)＞0，求实数m的取值范围.
解 由(1)知，f(x)＝ax－a－x(a＞0且a≠1)，
又a＞0，且a≠1，∴0＜a＜1，
而y＝ax在R上单调递减，y＝－a－x在R上单调递减，
故由单调性的性质可判断f(x)＝ax－a－x在R上单调递减，
不等式f(m2－2)＋f(m)＞0可化为f(m2－2)＞f(－m)，
∴m2－2＜－m，即m2＋m－2＜0，解得－2＜m＜1，
∴实数m的取值范围是(－2，1).
ABD
且f(x)的图象无限接近直线y＝2，但又不与该直线相交，
由于f(x)为偶函数，故若f(x)＝f(y)，且x≠y，则x＝－y，即x＋y＝0,故B正确；
由于在(－∞，0)上，f(x)＝2－2·2x单调递减，
故若xf(y)，故C错误；
14.定义在D上的函数f(x),如果满足： 对任意x∈D,存在常数M>0,都有－M≤f(x)
≤M成立，则称f(x)是D上的有界函数，其中M称为函数f(x)的上界.已知f(x)＝4x＋a·2x－2.
(1)当a＝－2时，求函数f(x)在(0，＋∞)上的值域，并判断函数f(x)在(0，＋∞)上是否为有界函数，请说明理由；
解 当a＝－2时，f(x)＝4x－2×2x－2＝(2x－1)2－3，
令2x＝t，由x∈(0，＋∞)，可得t∈(1，＋∞).
令g(t)＝(t－1)2－3，有g(t)>－3，
可得函数f(x)的值域为(－3，＋∞)，
故函数f(x)在(0，＋∞)上不是有界函数.
(2)若函数f(x)在(－∞，0)上是以2为上界的有界函数，求实数a的取值范围.
解 由题意有，当x∈(－∞，0)时，－2≤4x＋a·2x－2≤2，
可化为0≤4x＋a·2x≤4，
令2x＝k，由x∈(－∞，0)，可得k∈(0，1)，
由a·2x≥0恒成立，可得a≥0，
可知函数h(k)为减函数，
有h(k)>h(1)＝4－1＝3，
若故函数f(x)在(0，＋∞)上是以2为上界的有界函数，
则实数a的取值范围为[0，3].(共59张PPT)
第二章 函数
第10节 函数的图象
1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.
2.会画简单的函数图象.
3.会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题.
目 录
CONTENTS
知识诊断自测
01
考点聚焦突破
02
课时分层精练
03
知识诊断自测
1
ZHISHIZHENDUANZICE
1.利用描点法作函数的图象
步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.
2.利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
f(x)-k
－f(x)
f(－x)
－f(－x)
logax
|f(x)|
f(|x|)
常用结论与微点提醒
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同.( )
(2)函数y＝f(1－x)的图象，可由y＝f(－x)的图象向左平移1个单位长度得到.( )
(3)函数y＝af(x)与y＝f(ax)(a>0且a≠1)的图象相同.( )
(4)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于原点对称.( )
×
×
×
×
解析 (1)令f(x)＝－x，当x∈(0，＋∞)时，y＝|f(x)|＝x，y＝f(|x|)＝－x，两者图象不同，(1)错误.
(2)y＝f(1－x)＝f[－(x－1)]，所以可由y＝f(－x)向右平移1个单位长度得到，(2)错误.
(3)中两函数当a≠1时，y＝af(x)与y＝f(ax)是由y＝f(x)分别进行纵坐标与横坐标伸缩变换得到，两图象不同，(3)错误.
(4)y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于x轴对称，(4)错误.
2.已知函数f(x)的图象如图所示，则该函数的解析式为( )
D
解析 由所给图象可知，f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞),且为偶函数,A选项中的函数定义域为R，B，C，D选项中的函数定义域为(－∞，0)∪(0,＋∞)，排除A；
3.已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是( )
A.f(x)是偶函数，单调递增区间是(0，＋∞)
B.f(x)是偶函数，单调递减区间是(－∞，1)
C.f(x)是奇函数，单调递减区间是(－1，1)
D.f(x)是奇函数，单调递增区间是(－∞，0)
C
画出函数f(x)的图象，如图所示，
观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，
故函数f(x)为奇函数，且在(－1，1)上单调递减.
4.函数y＝f(x)的图象与y＝ex的图象关于y轴对称，再把y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度后得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)＝________.
e－x＋1
解析 由题意得f(x)＝e－x，
∴g(x)＝e－(x－1)＝e－x＋1.
考点聚焦突破
2
KAODIANJUJIAOTUPO
考点一 作函数的图象
(2)y＝|log2(x＋1)|；
解 将函数y＝log2x的图象向左平移一个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图②.
(3)y＝x2－2|x|－1.
再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，
得图象如图③.
感悟提升
1.描点法作图：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出.
2.图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.
训练1 分别作出下列函数的图象：
(1)y＝sin |x|；
解 当x≥0时，y＝sin|x|与y＝sin x的图象完全相同，
又y＝sin|x|为偶函数，图象关于y轴对称，其图象如图①.
考点二 函数图象的识别
A
解析 法一(特值法) 取x＝1，
结合选项知选A.
法二 f(－x)＝(3－x－3x)cos(－x)＝－(3x－3－x)cos x＝－f(x)，
所以函数f(x)＝(3x－3－x)cos x是奇函数，排除B，D；
(2)(2023·天津卷)函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能为( )
D
解析 由题图可知函数f(x)的图象关于y轴对称，所以函数f(x)是偶函数.
分析知，选项D符合题意，故选D.
感悟提升
1.抓住函数的性质，定性分析：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从周期性，判断图象的循环往复；(4)从函数的奇偶性，判断图象的对称性.
2.抓住函数的特征，定量计算：寻找函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题.
C
所以f(x)为奇函数，排除A；
当x→＋∞时，f(x)→＋∞，排除D.故选C.
(2)(2024·吕梁质检)已知函数f(x)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式可能为( )
B
解析 由题图知，函数f(x)是奇函数.
对于C，当x>1时，f(x)＝x3·ln x单调递增，故排除C；
对于D，f(x)＝e|x|·(x2－1)的定义域为R，f(－x)＝e|x|·(x2－1)＝f(x)，
则f(x)是偶函数，故排除D.故选B.
考点三 函数图象的应用
角度1 解方程或不等式
例3 (2024·商丘模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示，则不等式x2f(x)>2f(x)的解集为( )
C
解析 根据奇函数的图象特征，作出f(x)在(－∞，0)上的图象，如图所示，
由x2f(x)>2f(x)，得(x2－2)f(x)>0，
角度2 求参数范围
例4 (2024·张掖诊断)已知函数f(x)满足当x≤0时，2f(x－2)＝f(x)，且当x∈(－2，0]时，f(x)＝|x＋1|－1；当x＞0时，f(x)＝logax(a＞0且a≠1).若函数f(x)的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则a的取值范围是( )
A.(625，＋∞) B.(4，64) C.(9，625) D.(9，64)
C
解析 当x∈(－2，0]时，f(x)＝|x＋1|－1，结合当x≤0时，2f(x－2)＝f(x)，作出函数f(x)在(－∞，0]上的部分图象，再作出y＝logax(a＞0且a≠1)的图象及其关于原点对称的图象，如图所示.
当0＜a＜1时，对称后的图象不可能与f(x)在(－∞，0]的图象有3个交点；
解得9＜a＜625.故选C.
感悟提升
1.当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为图象的位置关系问题，从而利用数形结合思想求解.
2.利用图象求参数时，要准确分析函数图象的特殊点，借助函数图象，把原问题转化为数量关系较明确的问题.
训练3 (1)(2024·南通调研)已知函数y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈(0，3)∪(3，＋∞)时，f(－x)>2f(x)，f(3)＝0，则不等式f(x)>0的解集为______________________.
(－∞，－3)∪(－3，0)
解析 依题意知，f(0)＝0，
当x∈(0，3)∪(3，＋∞)时，f(－x)>2f(x)，
即－f(x)>2f(x)，得f(x)<0，
由f(3)＝0，得f(－3)＝－f(3)＝0，
由此画出f(x)的大致图象如图所示，
由图可知，不等式f(x)>0的解集为(－∞，－3)∪(－3，0).
(2，2 025)
不妨令a＜b＜c，
由正弦曲线的对称性可知a＋b＝1，
而1＜c＜2 024，
所以2＜a＋b＋c＜2 025.
课时分层精练
3
KESHIFENCENGJINGLIAN
C
2.(2024·浙江十校联考)函数y＝(x－2)2ln |x|的图象是( )
B
解析 图象过点(1，0)，(2，0)，排除A，D；
当x≥1时，y≥0，排除C，故选B.
3.(2024·深圳模拟)已知函数y＝f(x)的图象如图1所示，则图2对应的函数有可能是( )
C
解析 对于A，当x<0时，f(x)<0，所以x2f(x)<0，故A不符合题意；
对于C，当x<0时，f(x)<0，所以xf(x)>0,且x→－∞时,f(x)→－∞,xf(x)→＋∞；当x>0时，f(x)>0，所以xf(x)>0，且x→＋∞时，f(x)→0，xf(x)→0，故C符合题意；
对于D，当x<0时，f(x)<0，则f2(x)>0，所以xf2(x)<0，故D不符合题意.
C
故f(－3)＝5－6＝－1.
5.若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为( )
C
解析 要想由y＝f(x)的图象得到y＝－f(x＋1)的图象，需要先作出y＝f(x)的图象关于x轴对称的图象y＝－f(x)，然后向左平移1个单位长度得到y＝－f(x＋1)的图象，根据上述步骤可知C正确.
6.(2024·烟台模拟)若某函数在区间[－π，π]上的大致图象如图所示，则该函数的解析式可能是( )
B
D
解析 因为关于x的方程f(x)－m＝0恰有两个不同的实数解，
所以函数y＝f(x)与y＝m的图象有两个交点，
作出函数图象，如图所示，
所以当m∈[1，3)∪{0}时，函数y＝f(x)与y＝m的图象有两个交点，
所以实数m的取值范围是[1，3)∪{0}.
8.(多选)对于函数f(x)＝lg(|x－2|＋1)，下列说法正确的是( )
A.f(x＋2)是偶函数
B.f(x＋2)是奇函数
C.f(x)在区间(－∞，2)上单调递减，在区间(2，＋∞)上单调递增
D.f(x)没有最小值
AC
解析 f(x＋2)＝lg(|x|＋1)为偶函数，A正确，B错误.
作出f(x)的图象如图所示，可知f(x)在(－∞，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增；
由图象可知函数存在最小值0，C正确，D错误.
9.将函数f(x)的图象先向左平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到函数g(x)的图象，若g(x)为奇函数，则f(0)＋f(2)＝______.
-2
解析 由函数f(x)的图象先向左平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到函数g(x)的图象，可得g(x)＝f(x＋1)＋1，
故f(x)＝g(x－1)－1，
所以f(0)＋f(2)＝g(－1)－1＋g(1)－1＝－g(1)＋g(1)－2＝－2.
2
所以f(x)的图象关于点(0，1)对称，而直线y＝kx＋1过(0，1)点，
故两图象的交点(x1，y1)，(x2，y2)关于点(0，1)对称，
11.设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是_____________.
[－1，＋∞)
解析 如图，作出函数f(x)＝|x＋a|与g(x)＝x－1的图象，观察图象可知，当且仅当－a≤1，
即a≥－1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，
因此a的取值范围是[－1，＋∞).
作出函数f(x)的图象，如图所示，
AB
解析 函数的定义域为{x|x≠－c}，由图可知－c>0，则c<0，
A.a>0 B.b<0
C.c>0 D.abc<0
综上，a>0，b<0，c<0.
14.(2024·青岛质检)若e－x1·x3＝－x3ln x2＝－1，则下列不等关系一定不成立的是( )
A.x1＜x3＜x2 B.x3＜x1＜x2 C.x3＜x2＜x1 D.x1＜x2＜x3
D
由e－x1＞0，得0＜x2＜1，x3＜0，
变换m的值，可发现：
x1＜x3＜x2，x3＜x1＜x2，x3＜x2＜x1均能够成立，只有D不可能成立.故选D.
C
16.(2023·盐城质检)已知函数f(x)＝|3－2x－x2|的图象和直线2x＋ay＋7＝0有三个交点，则a＝________.
-1
解析 画出函数f(x)的图象，如图所示.
所以当直线2x＋ay＋7＝0与f(x)＝3－2x－x2(－3＜x＜1)的图象相切时，符合题意.
当a＝－1时，方程－x2－4x－4＝0的解为x＝－2，满足条件－3＜x＜1；
所以a＝－1.(共56张PPT)
第二章 函数
第6节 幂函数与二次函数
目 录
CONTENTS
知识诊断自测
01
考点聚焦突破
02
课时分层精练
03
知识诊断自测
1
ZHISHIZHENDUANZICE
1.幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，函数__________叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.
(2)常见的五种幂函数的图象
y＝xα
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.
2.二次函数解析式的三种形式
(1)一般式：f(x)＝_________________.
(2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为_________.
(3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.
ax2＋bx＋c(a≠0)
(m，n)
3.二次函数的图象和性质
R
减
增
增
减
常用结论与微点提醒
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
×
√
×
×
解析 (1)由于幂函数的解析式为f(x)＝xα，
(3)二次函数y＝x2－x与y＝2x2－2x零点相同，但解析式不同，故(3)错误.
2.若幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，则幂函数y＝f(x)的大致图象是( )
C
解析 设幂函数的解析式为y＝xα，
因为幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，
当0＜x＜1时，其图象在直线y＝x的上方，对照选项知C正确.
3.已知y＝f(x)为二次函数，若y＝f(x)在x＝2处取得最小值－4，且y＝f(x)的图象经过原点，则函数解析式为________________.
f(x)＝x2－4x
解析 由题意，可设f(x)＝a(x－2)2－4(a＞0)，
又图象过原点，
所以f(0)＝4a－4＝0，a＝1，
所以f(x)＝(x－2)2－4＝x2－4x.
4.若函数f(x)＝4x2－kx－8在[5，20]上单调，则实数k的取值范围为_____________________.
(－∞，40]∪[160，＋∞)
解得k≥160或k≤40.
考点聚焦突破
2
KAODIANJUJIAOTUPO
考点一 幂函数的图象和性质
例1 (1)幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在第一象限的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是( )
D
A.a>b>c>d B.d>b>c>a
C.d>c>b>a D.b>c>d>a
解析 观察函数图象可知在(1，＋∞)上，函数图象与x轴的距离由远及近为y＝xb，y＝xc，y＝xd，y＝xa，
∴其函数的指数的大小为b>c>d>a.
B
感悟提升
1.对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条直线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域.根据α＜0，0＜α＜1，α＝1，α＞1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定.
2.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.
D
A.p为奇数，且p>0 B.p为奇数，且p<0
C.p为偶数，且p>0 D.p为偶数，且p<0
A
解析 由题意，得m2＋m－5＝1，
即m2＋m－6＝0，解得m＝2或m＝－3，
当m＝2时，可得函数f(x)＝x3,此时函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，符合题意；
当m＝－3时，可得f(x)＝x－2，
此时f(x)在(0，＋∞)上单调递减，不符合题意，
即幂函数f(x)＝x3，则f(3)＝27.
考点二 二次函数的解析式
例2 已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，则f(x)＝__________________.
－4x2＋4x＋7
解析 法一(利用“一般式”)
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
所以所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
法二(利用“顶点式”)
设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0).
因为f(2)＝f(－1)，
又根据题意，函数有最大值8，所以n＝8，
法三(利用“零点式”)
由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，
故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，
即f(x)＝ax2－ax－2a－1.
又函数有最大值8，
解得a＝－4或a＝0(舍).
故所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
感悟提升
求二次函数解析式的方法
训练2 已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2，
则二次函数的解析式为____________________________________.
解析 因为二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，
所以可设二次函数为y＝a(x＋3)(x－1)(a≠0)，
展开得，y＝ax2＋2ax－3a，
由于二次函数图象的顶点到x轴的距离为2，
考点三 二次函数的图象和性质
角度1 二次函数的图象
例3 (1)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若a>b>c，且a＋b＋c＝0，且函数f(x)的图象可能是( )
D
解析 由a>b>c且a＋b＋c＝0，得a>0，c<0，
所以函数图象开口向上，排除A，C；
又f(0)＝c<0，排除B.故选D.
(2)(多选)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论正确的为( )
AD
解析 因为图象与x轴交于两点，
所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，A正确.
对称轴为x＝－1，
A.b2＞4ac B.2a－b＝1
C.a－b＋c＝0 D.5a＜b
结合图象，当x＝－1时，y＞0，
即a－b＋c＞0，C错误.
由对称轴为x＝－1知，b＝2a.
根据抛物线开口向下，知a＜0，
所以5a＜2a，
即5a＜b，D正确.
感悟提升
研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向.
角度2 二次函数的单调性与最值
例4 已知函数f(x)＝x2－tx－1.
(1)若f(x)在区间(－1，2)上不单调，求实数t的取值范围；
解得－2＜t＜4，
所以实数t的取值范围是(－2，4).
(2)若x∈[－1，2]，求f(x)的最小值g(t).
所以f(x)min＝f(2)＝3－2t.
所以f(x)min＝f(－1)＝t.
感悟提升
闭区间上二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合图象，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解.
训练3 (1)(多选)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列说法正确的是( )
ACD
解析 由二次函数图象开口向下知a<0，
A.2a＋b＝0 B.4a＋2b＋c<0
C.9a＋3b＋c<0 D.abc<0
又因为f(0)＝c>0，所以abc<0.
f(2)＝f(0)＝4a＋2b＋c>0，
f(3)＝f(－1)＝9a＋3b＋c<0.
(2)已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3.
①当a＝2，x∈[－2，3]时，求函数f(x)的值域；
解 当a＝2时，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2，3]，
②若函数f(x)在[－1，3]上的最大值为1，求实数a的值.
∴－2a－1＝1，即a＝－1，满足题意.
课时分层精练
3
KESHIFENCENGJINGLIAN
1.若幂函数f(x)＝(m2－4m＋4)·xm2－6m＋8在(0，＋∞)上为增函数，则m的值为( )
A.1或3 B.1 C.3 D.2
B
解析 由题意得m2－4m＋4＝1，且m2－6m＋8>0，解得m＝1.
2.已知函数f(x)＝x－3，若a＝f(0.60.6)，b＝f(0.60.4)，c＝f(0.40.6)，则a，b，c的大小关系是( )
A.aB
解析 ∵0.40.6<0.60.6<0.60.4，
又y＝f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，
∴b3.若二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，则g(x)的解析式为( )
A.g(x)＝2x2－3x B.g(x)＝3x2－2x
C.g(x)＝3x2＋2x D.g(x)＝－3x2－2x
B
解析 二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，
设二次函数为g(x)＝ax2＋bx(a≠0)，
所求的二次函数为g(x)＝3x2－2x.
4.(2023·厦门模拟)函数y＝ax＋b和y＝ax2＋bx＋c在同一平面直角坐标系内的图象可以是( )
C
解析 若a>0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，故可排除A，D；
5.已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(0)＝f(4)>f(1)，则( )
A.a>0，4a＋b＝0 B.a<0，4a＋b＝0
C.a>0，2a＋b＝0 D.a<0，2a＋b＝0
A
所以4a＋b＝0，
又f(0)＝f(4)>f(1)，
所以f(x)的图象开口向上，a>0.故选A.
6.已知函数f(x)＝x2－4x＋1的定义域为[1，t]，在该定义域内函数的最大值与最小值之和为－5，则实数t的取值范围是( )
A.(1，3] B.[2，3] C.(1，2] D.(2，3)
B
解析 易知f(x)＝x2－4x＋1的图象是一条开口向上，对称轴为直线x＝2的抛物线，
当x＝1时，y＝－2，当x＝2时，y＝－3，
由y＝－2，得x＝1或x＝3，
因为f(x)在定义域内的最大值与最小值之和为－5，所以2≤t≤3.故选B.
7.(多选)若幂函数f(x)的图象经过点(9，3)，则下列结论中正确的是( )
BCD
9.已知二次函数f(x)的图象经过点(4，3)，且图象被x轴截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)的解析式为________________.
f(x)＝x2－4x＋3
解析 ∵f(2－x)＝f(2＋x)对任意x∈R恒成立，
∴f(x)图象的对称轴为直线x＝2.
又∵f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，
∴f(x)＝0的两根为1和3，
设f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)，
∵f(x)的图象过点(4，3)，∴3a＝3，∴a＝1，
∴所求函数的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，
即f(x)＝x2－4x＋3.
10.若函数φ(x)＝x2＋m|x－1|在[0，＋∞)上单调递增，则实数m的取值范围是________.
[－2，0]
解析 当0≤x≤1时，φ(x)＝x2－mx＋m，
当x＞1时，φ(x)＝x2＋mx－m，
综上，实数m的取值范围是[－2，0].
解 设f(x)＝xα，
设g(x)＝xβ，
解 在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)＝x2和g(x)＝x－1的图象，可得函数h(x)的图象如图实线部分所示.
根据函数h(x)的解析式及图象，可知函数h(x)的最大值为1，单调递增区间为(0，1]，单调递减区间为(－∞，0)，(1，＋∞).
12.(2024·大庆质检)已知f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求f(x)的最小值.
解 当a＝0时，f(x)＝－2x在[0，1]上单调递减，
∴f(x)min＝f(1)＝－2.
∴f(x)min＝f(1)＝a－2.
∴f(x)＝ax2－2x在[0，1]上单调递减，
∴f(x)min＝f(1)＝a－2.
13.已知函数f(x)＝x2－2(a－1)x＋a，若对于区间[－1，2]上任意两个不相等的实数x1，x2，都有f(x1)≠f(x2)，则实数a的取值范围是( )
A.(－∞，0] B.[0，3]
C.(－∞，0]∪[3，＋∞) D.[3，＋∞)
C
解析 二次函数f(x)＝x2－2(a－1)x＋a图象的对称轴为直线x＝a－1，
∵对于任意x1，x2∈[－1，2]且x1≠x2，都有f(x1)≠f(x2)，
即f(x)在区间[－1，2]上是单调函数，∴a－1≤－1或a－1≥2，
∴a≤0或a≥3，即实数a的取值范围为(－∞，0]∪[3，＋∞).
14.已知a，b是常数且a≠0，f(x)＝ax2＋bx且f(2)＝0，且使方程f(x)＝x有等根.
(1)求f(x)的解析式；
解 由f(x)＝ax2＋bx，且f(2)＝0，
则4a＋2b＝0，
又方程f(x)＝x有等根，
即ax2＋(b－1)x＝0有等根，
(2)是否存在实数m，n(m＜n)，使得f(x)的定义域和值域分别为[m,n]和[2m,2n]
解 假定存在符合条件的m，n，由(1)知
又f(x)图象的对称轴为直线x＝1，则f(x)在[m，n]上单调递增，
解方程组得m＝－2，n＝0，
所以存在m＝－2，n＝0，使函数f(x)在[－2，0]上的值域为[－4，0].(共57张PPT)
第二章 函数
第7节 指数与对数的运算
1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.
2.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.
目 录
CONTENTS
知识诊断自测
01
考点聚焦突破
02
课时分层精练
03
知识诊断自测
1
ZHISHIZHENDUANZICE
1.根式的概念及性质
根式
负数
0
a
a
-a
2.分数指数幂
没有意义
3.有理指数幂的运算性质
aras＝______；(ar)s＝____；(ab)r＝____，其中a>0，b>0，r，s∈Q.
ar＋s
ars
arbr
4.对数的概念
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝____________，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
logaN
5.对数的性质、运算性质与换底公式
(1)对数的性质
①alogaN＝____；②logaab＝b(a>0，且a≠1).
(2)对数的运算性质
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝_______________；
N
logaM＋logaN
logaM－logaN
nlogaM
常用结论与微点提醒
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
×
×
×
×
(3)log2x2＝2log2|x|，故(3)错误.
(4)当M＜0，N＜0时，虽然MN＞0，
但loga(MN)＝logaM＋logaN不成立，故(4)错误.
A
7
47
得a＋a－1＋2＝9，
即a＋a－1＝7，
则a2＋a－2＋2＝49，
即a2＋a－2＝47.
考点聚焦突破
2
KAODIANJUJIAOTUPO
考点一 指数幂的运算
ABD
感悟提升
1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：
(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加.
(2)运算的先后顺序.
2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.
3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.
ABD
解析 将a＋a－1＝3两边平方，得(a＋a－1)2＝a2＋2＋a－2＝9，所以a2＋a－2＝7，故A正确；
考点二 对数的运算
0
1
(3)已知lg 2＝a，lg 3＝b，用a，b表示log1815＝______________.
感悟提升
1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并.
2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.
3.ab＝N b＝logaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.
C
2
考点三 指数与对数运算的实际应用
例3 (1)(2020·新高考Ⅰ卷改编)基本再生数R0与世代间隔T是新冠感染的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠感染疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6.据此，在新冠感染疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)( )
A.1.2天 B.1.8天 C.2.5天 D.3.5天
B
解析 由R0＝1＋rT，R0＝3.28，T＝6，
由题意，累计感染病例数增加1倍，
则I(t2)＝2I(t1)，
即e0.38t2＝2e0.38t1，
所以e0.38(t2－t1)＝2，
即0.38(t2－t1)＝ln 2，
ACD
声源 与声源的距离/m 声压级/dB
燃油汽车 10 60～90
混合动力汽车 10 50～60
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1,p2，p3，则( )
A.p1≥p2 B.p2>10p3 C.p3＝100p0 D.p1≤100p2
所以Lp1≥Lp2，所以p1≥p2，故A正确；
所以Lp2－Lp3>20，不可能成立，故B不正确；
法二 由题意可知：Lp1∈[60，90]，Lp2∈[50，60]，Lp3＝40，
感悟提升
解决指数、对数运算实际应用问题的步骤
(1)理解题意、弄清楚题目条件与所求之间的关系；
(2)运用指数或对数的运算公式、性质等进行运算，把题目条件转化为所求.
D
(2)果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度.已知某种水果失去新鲜度h与其采摘后时间t(天)满足的函数关系式为h＝m·at.若采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%，采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为20%.那么采摘下来的这种水果多长时间后失去40%新鲜度( )
A.25天 B.30天 C.35天 D.40天
B
于是得t－10＝20，解得t＝30(天)，
所以采摘下来的这种水果30天后失去40%新鲜度.
课时分层精练
3
KESHIFENCENGJINGLIAN
B
C
解析 因为2a＝5，b＝log83，
即23b＝3，
3.某品牌计算器在计算对数logab时需按“log(a，b).”某学生在计算logab时(其中a>1且b>1)顺序弄错，误按“log(b，a)”，所得结果为正确值的4倍，则下列结论正确的是( )
A.a＝2b B.b＝2a C.a＝b2 D.b＝a2
C
解析 由题意，得logba＝4·logab，
因为a>1且b>1，
所以ln a＝2ln b，
即a＝b2，故选C.
D
C
BD
解析 由4a＝9，解得a＝log49＝log2232＝log23，
当b＝log28时，a＋b＝log23＋log28＝log2(3×8)＝log224，所以2a＋b＝24，
AB
9.若ex＝2 024，e－y＝1 012，则x＋y＝________.
ln 2
解析 ex＝2 024，e－y＝1 012，
解 (1)原式＝(lg 2)2＋lg 5·lg(4×5)＝(lg 2)2＋2lg 5·lg 2＋(lg 5)2＝(lg 2＋lg 5)2＝1.
(2)原式＝4log22＋3log23·log32＝4＋3＝7.
12.某工厂产生的废气，过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：h)之间的关系为P＝P0e－kt，其中P0，k是正的常数.如果在前5 h消除了10%的污染物，请解决下列问题：
(1)10 h后还剩百分之几的污染物？
解 由P＝P0e－kt可知，当t＝0时，P＝P0；
当t＝5时，P＝(1－10%)P0，于是有(1－10%)P0＝P0e－5k，
所以当t＝10时，P＝0.81P0，
即10 h后还剩下81%的污染物.
(2)污染物减少50%需要花多少时间(精确到1 h)？(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)
即污染减少50%大约需要花33 h.
C
(2)根据(1)的计算过程，写出涉及函数f(x)和g(x)对所有不等于0的实数x都成立的一个等式，并证明.
解 由此概括出对所有不等于0的实数x有f(x2)－5f(x)g(x)＝0，证明如下：
因此，等式成立.(共56张PPT)
第二章 函数
第1节 函数的概念及其表示
1.了解构成函数的要素，会求简单函数的定义域和值域.
2.在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.
3.了解简单的分段函数，并能简单应用.
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1
ZHISHIZHENDUANZICE
1.函数的概念
概念 一般地，设A，B是非空的________，如果对于集合A中的______________，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有______确定的数y和它对应,那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A
定义域 ____的取值范围
值域 与x对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}
实数集
任意一个数x
唯一
x
2.同一个函数
(1)前提条件：①定义域______；②对应关系______.
(2)结论：这两个函数为同一个函数.
3.函数的表示法
表示函数的常用方法有________、图象法和列表法.
相同
相同
解析法
4.分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.
(2)分段函数表示的是一个函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的______.
并集
1.直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点.
2.注意以下几种特殊函数的定义域：
(1)分式型函数，分母不为零的实数集合.
(2)偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合.
(3)f(x)为对数式时,函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合.
(4)若f(x)＝x0，则定义域为{x|x≠0}.
常用结论与微点提醒
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
×
×
×
×
(2)错误.根据函数的概念可知其错误.
(3)错误.集合A中的元素0在集合B中无元素与之对应.
(4)错误.只有两个函数的定义域，对应关系分别相同时，这两个函数才是同一个函数.
2.(必修一P66例3改编)下列函数中与函数y＝x是同一个函数的是( )
B
[－3，1]
所以f(x)的定义域为[－3，1].
考点聚焦突破
2
KAODIANJUJIAOTUPO
考点一 函数的定义域
C
D
解析 因为函数y＝f(2x－1)的定义域是[－2，3]，则－2≤x≤3，
所以－5≤2x－1≤5，所以函数y＝f(x)的定义域为[－5，5].
感悟提升
1.求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义.
2.求抽象函数定义域的方法
(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出.
(2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域.
D
得1＜x＜4，
即函数f(x)的定义域为(1，4).
A
解析 函数f(x)的定义域为(1，＋∞)，
即2故函数F(x)的定义域为(2，3].故选A.
考点二 函数的解析式
例2 (1)已知f(1－sin x)＝cos2x，求f(x)的解析式；
解 (换元法)设1－sin x＝t，t∈[0，2]，
则sin x＝1－t，
∵f(1－sin x)＝cos2x＝1－sin2x，
∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0，2].
即f(x)＝2x－x2，x∈[0，2].
∴f(x)＝x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞).
解 (待定系数法)∵f(x)是一次函数，
可设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17.
即ax＋(5a＋b)＝2x＋17，
(3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式；
∴f(x)的解析式是f(x)＝2x＋7.
解 (解方程组法)∵2f(x)＋f(－x)＝3x，①
∴将x用－x替换，得2f(－x)＋f(x)＝－3x，②
由①②解得f(x)＝3x.
(4)已知f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x，求f(x)的解析式.
感悟提升
(2)已知f(x)是二次函数且满足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，则函数f(x)的解析式为________________.
f(x)＝x2－x＋1
解析 由题意，设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
因为f(0)＝1，所以c＝1，
所以f(x)＝ax2＋bx＋1，
所以f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2ax＋a＋b＝2x，
所以f(x)＝x2－x＋1.
考点三 分段函数
C
解析 ∵26>4，∴f(26)＝log5(26－1)＝2，
又2<4，∴f(f(26))＝f(2)＝e2－2＝1.故选C.
D
解析 因为当x>0时，f(x)＝f(x－1)－f(x－2)，
所以f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)，f(x＋1)＝－f(x－2)，
即f(x＋3)＝－f(x)，f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，
感悟提升
1.根据分段函数解析式求函数值，首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解.
2.已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围.
提醒 当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论.
ln 2
解析 由f(f(a))＝4得f(a)＝0或f(a)＝－2，
则f(a)＝0无解，
所以a＝ln 2.
3
(－∞，－1)∪(0，＋∞)
所以f(－1)＝(－1)2＋1＝2，
所以f(f(－1))＝f(2)＝3.
当x≤0时，f(x)＝x2＋1>2，
则x2>1，解得x<－1；
当x>0时，f(x)＝3>2恒成立，
所以不等式f(x)>2的解集是(－∞，－1)∪(0，＋∞).
课时分层精练
3
KESHIFENCENGJINGLIAN
D
∴函数f(x)的定义域为(2，3)∪(3，＋∞).
2.(多选)下列各图中，能表示函数y＝f(x)的图象的是( )
ACD
解析 选项B中图象，对于x≠0的一个x值，有两个y值与之对应，故不是函数图象；
选项A，C，D中图象，均满足函数的定义，
故是函数图象.
3.(2024·重庆调研)已知函数f(x＋2)＝x2－3x＋4，则f(1)＝( )
A.4 B.6 C.7 D.8
D
解析 法一 ∵f(x＋2)＝(x2＋4x＋4)－7(x＋2)＋14＝(x＋2)2－7(x＋2)＋14，
∴f(x)＝x2－7x＋14，故f(1)＝1－7＋14＝8.
法二 由x＋2＝1，得x＝－1，
代入f(x＋2)＝x2－3x＋4，
得f(1)＝(－1)2－3×(－1)＋4＝8.故选D.
BD
解析 函数y＝x＋2的定义域为R，
对于D，y＝t＋2，定义域为R，解析式相同，故D正确.故选BD.
D
解析 令f(a)＝t，则f(t)＝2，
可得t＝0或t＝1，
当t＝0时，即f(a)＝0，显然a≤0，
因此a＋2＝0 a＝－2，
当t＝1时，即f(a)＝1，显然a≤0，
因此a＋2＝1 a＝－1，
综上所述，a＝－2或－1.
6.如图，点P在边长为1的正方形的边上运动，M是CD的中点，当P沿A－B－C－M运动时，设点P经过的路程为x，△APM的面积为y，则函数y＝f(x)的图象大致是( )
A
画出函数f(x)的大致图象，故选A.
B
解析 当x≤0时，x＋1≤1，f(x)当01，此时f(x)＝x2－1≤0，f(x＋1)＝log2(x＋1)>0，
∴0当x>1时，f(x)(－∞，0)∪(0，1]
解析 要使函数f(x)有意义，则x≠0且1－x≥0，解得x∈(－∞，0)∪(0，1].
9.已知函数f(x)对任意的x都有f(x)－2f(－x)＝2x，则f(x)＝________.
解析 ∵f(x)－2f(－x)＝2x，①
∴f(－x)－2f(x)＝－2x，②
－1或7
可得当x>1时，f(x)＝log2(x＋1)>log22＝1，
当x≤1时，f(x)＝2x－1－2≤20－2＝－1.
当a>1且6－a>1，即1则a＝7；
当a≤1且6－a>1，即a≤1时，
综上所述，a可以为－1或7.
∵－1＜0，∴f(－1)＝－3＋5＝2.
(2)画出这个函数的图象；
解 这个函数的图象如图.
在函数f(x)＝3x＋5的图象上截取x≤0的部分，
在函数f(x)＝x＋5的图象上截取0＜x≤1的部分，
在函数f(x)＝－2x＋8的图象上截取x＞1的部分.
图中实线组成的图形就是函数f(x)的图象.
(3)求f(x)的最大值.
解 由函数图象可知，当x＝1时，f(x)取最大值6.
12.(1)已知f(x＋1)＝2x2－x＋3，求f(x).
解 令t＝x＋1，则x＝t－1，
∴f(t)＝2(t－1)2－(t－1)＋3＝2t2－4t＋2－t＋1＋3＝2t2－5t＋6.
∴f(x)＝2x2－5x＋6.
(2)已知f(f(x))＝4x＋9，且f(x)为一次函数，求f(x).
解 ∵f(x)为一次函数，
∴设f(x)＝kx＋b(k≠0)，
∴f(f(x))＝f(kx＋b)＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝4x＋9，
∴f(x)＝2x＋3或f(x)＝－2x－9.
B
即(1－x)(1＋x)>0，解得－1(1)求出y关于x的函数解析式；
(2)如果要求刹车距离不超过25.2 m，求行驶的最大速度.
∵x≥0，
∴0≤x≤70.
故行驶的最大速度是70 km/h.(共67张PPT)
第二章 函数
第11节 函数与方程
1.理解函数的零点与方程的解的联系.
2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.
3.了解用二分法求方程的近似解.
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1.函数的零点
(1)概念：对于一般函数y＝f(x)，我们把使_________的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.
(2)函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系：
f(x)＝0
x轴
f(x)＝0
2.函数零点存在定理
(1)条件：①函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②________<0.
(2)结论：函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得________，这个c也就是方程f(x)＝0的解.
f(a)·f(b)
f(c)＝0
1.若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根.
2.由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件.
常用结论与微点提醒
3.周期函数如果有零点，则必有无穷多个零点.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数f(x)＝2x的零点为0.( )
(2)图象连续的函数y＝f(x)(x∈D)在区间(a，b) D内有零点，则f(a)·f(b)<0.( )
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点.( )
√
解析 (2)f(a)·f(b)＜0是连续函数y＝f(x)在(a，b)内有零点的充分不必要条件，故(2)错误.
×
√
B
解得x＝－2或x＝e，故f(x)有2个零点.
3.(必修一P144T2改编)函数f(x)＝log2x＋x－2的零点所在的区间为( )
A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4)
B
解析 函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
则f(x)＝0在(0，＋∞)上只有一个根，
且f(1)＝－1，f(2)＝1，则f(1)f(2)＜0，
故f(x)的零点所在的区间为(1，2).
4.函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，则实数a的值为____________.
解析 当a＝0时，f(x)＝－x－1，
令f(x)＝0得x＝－1，
故f(x)只有一个零点为－1.
当a≠0时，则Δ＝1＋4a＝0，
考点聚焦突破
2
KAODIANJUJIAOTUPO
考点一 函数零点所在区间的判断
C
解析 由题易知f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线，
感悟提升
确定函数零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)＜0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点.
(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
训练1 (1)根据表格中的数据可以判定方程ln x－x＋2＝0的一个根所在的区间为( )
C
x 1 2 3 4 5
ln x 0 0.693 1.099 1.386 1.609
x－2 －1 0 1 2 3
A.(1，2) B.(2，3) C.(3，4) D.(4，5)
解析 设f(x)＝ln x－x＋2＝ln x－(x－2)，
易知函数f(x)在(1，＋∞)上的图象连续，
由表格数据得f(1)＞0，f(2)＞0，f(3)＝ln 3－(3－2)＝1.099－1＝0.099＞0，
f(4)＝ln 4－2＝1.386－2＜0，f(5)＜0，则f(3)·f(4)＜0，
即在区间(3，4)上，函数f(x)存在一个零点，
即方程ln x－x＋2＝0的一个根所在的区间为(3，4)，故选C.
(2)(2024·长沙调研)函数f(x)＝5－2x－lg(2x＋1)的零点所在的区间是( )
A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4)
C
所以函数f(x)最多只有一个零点.
因为f(0)＝5－lg 1＝5>0，f(1)＝3－lg 3>0，
f(2)＝1－lg 5>0，f(3)＝－1－lg 7<0，
所以函数f(x)＝5－2x－lg(2x＋1)的零点所在的区间是(2，3).故选C.
考点二 函数零点个数的判断
例2 (1)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，1)内的零点个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
B
解析 法一 ∵f(0)f(1)＝(－1)×1＝－1<0，且函数在定义域上单调递增且连续，
∴函数f(x)在区间(0，1)内有且只有1个零点.
法二 设y1＝2x，y2＝2－x3，
在同一坐标系中画出两函数的图象如图所示，
在区间(0，1)内，两图象的交点个数即为f(x)的零点个数.
故函数f(x)在区间(0，1)内有且只有1个零点.
(2)(2024·杭州调研)已知在R上的函数f(x)满足对于任意实数x都有f(2＋x)＝f(2－x)，f(7＋x)＝f(7－x)，且在区间[0，7]上只有x＝1和x＝3两个零点，则f(x)＝0在区间[0，2 024]上根的个数为( )
A.404 B.405 C.406 D.203
C
解析 因为f(2＋x)＝f(2－x)，f(x)关于直线x＝2对称，且f(5＋x)＝f(－x－1)；
因为f(7＋x)＝f(7－x)，
故可得f(5＋x)＝f(－x＋9)；
故可得f(－x－1)＝f(－x＋9)，
则f(x)＝f(x＋10)，
故f(x)是以10为周期的函数.
又f(x)在区间[0，7]上只有x＝1和x＝3两个零点，
根据函数对称性可知，f(x)在一个周期[0，10]内也只有两个零点，
又区间[0，2 024]内包含202个周期，
故f(x)在[0，2 020]上的零点个数为202×2＝404，
又f(x)在(2 020，2 024]上的零点个数与在(0，4]上的零点个数相同，有2个.
故f(x)在[0，2 024]上有406个零点，
即f(x)＝0在区间[0，2 024]上有406个根.
感悟提升
函数零点个数的判定有下列几种方法
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点.
(2)零点存在定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点.
(3)画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.
训练2 (1)(2024·海南质检)函数y＝ex＋x2＋2x－1的零点个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
C
解析 函数y＝ex＋x2＋2x－1的零点个数即函数f(x)＝ex与g(x)＝－x2－2x＋1的图象的交点个数，
在同一直角坐标系中，分别作出f(x)＝ex与g(x)＝－x2－2x＋1的图象，如图所示，
由图可知，两图象有2个交点，故原函数有2个零点，故选C.
(2)函数f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，当0≤x＜2时，f(x)＝x2－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[－3，3]上与x轴的交点个数为( )
A.6 B.7 C.8 D.9
B
解析 令f(x)＝x2－x＝0，
即x＝0或x＝1，
所以f(0)＝0，f(1)＝0，
因为函数的最小正周期为2，
所以f(2)＝0，f(3)＝0，f(－2)＝0，f(－1)＝0，f(－3)＝0，
所以函数y＝f(x)的图象在区间[－3，3]上与x轴的交点个数为7.
考点三 函数零点的应用
CD
解析 当x≤0时，f(x)<0恒成立，
即f(x)在(－∞，0]上无零点，
所以当x>0时，f(x)有三个零点，
即x|x－a|＝2有三个不相等的正根，
要有两个不相等的正根x2，x3(x2若x2－ax＋2＝0有两个正根，
B
由于存在x0∈(－∞，－1)，使得f(x0)＝0，
则实数a的取值范围即为函数g(x)在(－∞，－1)上的值域.
所以函数g(x)在(－∞，－1)上单调递增.
感悟提升
已知函数有零点求参数值或取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围.
(2)分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域的问题加以解决.
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.
A
2
解析 当x>a时，f(x)＝2x－3单调递增，
当－1由题意，若存在实数t使得g(x)有两个不同的零点，
即存在实数t使得方程f(x)＝－t有两个不相等的根，
即函数f(x)的图象与直线y＝－t有两个交点，
所以当点P(a，log2(a＋1))在点Q(a，2a－3)上方，
即log2(a＋1)>2a－3时，符合题意.
因为log2(2＋1)>22－3＝1，log2(3＋1)<23－3＝5，
结合y＝2x－3与y＝log2(x＋1)的图象可得正整数a的最大值为2.
微点突破 嵌套函数的零点问题
函数的零点是命题的热点，常与函数的性质和相关问题交汇.对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，设中间函数为t，通过换元将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解.
D
所以由函数零点存在定理可知，存在t1∈(1，2)，使得f(t1)＝0；
当t≤0时，f(t)＝t2＋2t，
由f(t)＝t2＋2t＝0，解得t2＝－2，t3＝0.
作出函数t＝f(x)＋1，直线t＝t1，t＝－2，t＝0的图象如图所示，
由图象可知，直线t＝t1与函数t＝f(x)＋1的图象有两个交点；
直线t＝0与函数t＝f(x)＋1的图象有两个交点；
直线t＝－2与函数t＝f(x)＋1的图象有且只有一个交点.
综上，函数y＝f[f(x)＋1]的零点个数为5.
C
则h(x)在(0，＋∞)上单调递增，h(1)＝0，
作出f(x)的大致图象如图所示.
令t＝f(x)，则t2＋(m－4)t＋2(2－m)＝0，
则t1＝2，t2＝2－m.
由图可知，直线y＝2与f(x)的图象有2个交点，
所以直线y＝2－m与f(x)的图象必须有3个交点，
则0<2－m≤1，
解得1≤m<2，故选C.
A
解析 当x≥0时，f(x)＝4x3－6x2＋1的导数为f′(x)＝12x2－12x，
当0当x>1时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，
可得f(x)在x＝1处取得最小值，最小值为－1，且f(0)＝1，
作出函数f(x)的图象，g(x)＝3[f(x)]2－10f(x)＋3，
可令g(t)＝0，t＝f(x)，
可得3t2－10t＋3＝0，
当t＝3时，可得f(x)＝3有一个实根，
即g(x)有一个零点，
综上，g(x)共有四个零点.
[－1，＋∞)
解析 设t＝f(x)，令f(f(x))－a＝0，则a＝f(t).在同一坐标系内作y＝a，y＝f(t)的图象(如图).
当a≥－1时，y＝a与y＝f(t)的图象有两个交点.
设交点的横坐标为t1，t2(不妨设t2>t1)，
则t1<－1，t2≥－1.
当t1<－1时，t1＝f(x)有一解；当t2≥－1时，t2＝f(x)有两解.
综上，当a≥－1时，函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点.
课时分层精练
3
KESHIFENCENGJINGLIAN
C
解析 当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，
则(x－1)(x＋3)＝0，
解得x＝1(舍去)或x＝－3.
当x>0时，令ex－2＝0，
解得x＝ln 2，
所以f(x)的零点个数为2.故选C.
B
解析 易知f(x)在R上单调递增且f(x)的图象是连续不断的曲线，
所以x0∈(－2，－1).
3.(2024·沈阳调研)若函数f(x)＝a＋x＋lg x(1A.(－10，－1) B.(1，10) C.(1，11) D.(－11，－1)
D
解析 因为函数y＝x＋a，y＝lg x均在(1，10)上单调递增，
所以f(x)＝a＋x＋lg x在(1，10)上单调递增.
若函数f(x)＝a＋x＋lg x(14.(多选)(2024·泰州质检)已知函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，它的部分函数值如表所示，则( )
ABD
A.f(x)在区间(2，3)上不一定单调 B.f(x)在区间(5，6)内可能存在零点
C.f(x)在区间(5，6)内一定不存在零点 D.f(x)至少有3个零点
x 1 2 3 4 5 6
y 202.301 52.013 －10.581 3.273 －10.733 －156.314
解析 由题表可知f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0，
所以f(2)f(3)<0，f(3)f(4)<0，f(4)f(5)<0，
因为函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，
所以函数f(x)在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)均存在零点，
即f(x)至少有3个零点，故D正确；
对于A，由于只知道f(2)，f(3)的函数值，
故无法判断f(x)在区间(2，3)上的单调性，故A正确；
对于B，C，虽然f(5)<0，f(6)<0，但是函数f(x)在(5，6)内的取值情况未知，
所以函数f(x)在(5，6)内可能存在零点，故B正确，C错误.故选ABD.
B
所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(x)的图象是连续不断的曲线.
因为f(2)＝81ln 2－83<0，f(3)＝81ln 3－81>0，f(2)·f(3)<0，
所以函数f(x)的零点位于区间(2，3)内，故k＝2.故选B.
C
解析 当x<2时，f(x)＝2x＋x单调递增，且f(x)的图象是连续不断的曲线.
f(－1)＝2－1－1<0，f(0)＝20＋0>0，
由函数零点存在定理可知，f(x)＝2x＋x在(－∞，2)上有唯一零点，且该零点为负数；
若f(x)在[2，＋∞)上有零点，
综上所述，当a≤－2时，f(x)有2个零点；
当f(x)有2个零点时，a≤－2，
所以“a≤－2”是“f(x)有2个零点”的充要条件.故选C.
B
由图象可知y＝f(x)在(－2，4)内有四个零点，零点之和为4.故选B.
8.(2024·安徽名校联考)已知定义域为R的偶函数f(x)的图象是连续不断的曲线，且f(x＋2)＋f(x)＝f(1)，f(x)在[0，2]上单调递增，则f(x)在区间[－100，100]上的零点个数为( )
A.100 B.102 C.200 D.202
A
解析 令x＝－1，得f(1)＋f(－1)＝f(1)，
即f(－1)＝0，
因为f(x)为偶函数，
所以f(1)＝0，
则f(x＋2)＋f(x)＝f(1)＝0，
则f(x＋2)＝－f(x)，
所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以f(x)是以4为周期的函数.
因为f(x)在[0，2]上单调递增，
则f(x)在[－2，0]上单调递减，
所以f(x)在一个周期内有两个零点，
故f(x)在区间[－100，100]上的零点个数为50×2＝100.故选A.
6
解析 令36－x2≥0，解得－6≤x≤6，
∴f(x)的定义域为[－6，6].
令f(x)＝0得36－x2＝0或cos x＝0，
由36－x2＝0得x＝±6，
又x∈[－6，6]，
故f(x)共有6个零点.
f(x)＝x2－1(答案不唯一)
解析 因为 x∈R，f(x)＝f(－x)，所以f(x)是偶函数，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
因为f(x)恰有两个零点，所以f(x)图象与x轴只有2个交点，
所以函数f(x)的一个解析式可以为f(x)＝x2－1(答案不唯一).
11.若x1是方程xex＝1的解，x2是方程xln x＝1的解，则x1x2＝________.
1
(1，＋∞)
解析 方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，
即f(x)＝－x＋a有且只有一个实根，
即函数y＝f(x)的图象与直线y＝－x＋a有且只有一个交点.
如图，在同一直角坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图象，其中a表示直线y＝－x＋a在y轴上的截距.
由图可知，当a≤1时，直线y＝－x＋a与y＝f(x)有两个交点；
当a>1时，直线y＝－x＋a与y＝f(x)只有一个交点.
故实数a的取值范围是(1，＋∞).
13.(2024·保定模拟)已知x>0，函数f(x)＝2x＋x－5，g(x)＝x2＋x－4，h(x)＝log2x＋x－3的零点分别为a，b，c，则( )
A.aC
解析 因为f(x)＝2x＋x－5单调递增，
由函数零点存在定理可知，f(x)有唯一零点a，且1.6因为g(x)＝x2＋x－4在(0，＋∞)上单调递增，且g(1)＝－2<0，
g(1.6)＝1.62－2.4＝2.56－2.4>0，
由函数零点存在定理可知，g(x)有唯一零点b，且1因为h(x)＝log2x＋x－3在(0，＋∞)上单调递增，且h(2)＝1＋2－3＝0，
则h(x)有唯一零点c＝2，
所以b14.(2024·杭州段测)定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＋f(x)＝0，f(－x)＝f(x＋2)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝x3－x2＋x，则方程4f(x)－x＋2＝0所有的根之和为( )
A.6 B.12 C.14 D.10
D
解析 因为f(－x)＋f(x)＝0，x∈R，
所以f(x)为奇函数.
又因为f(－x)＝f(x＋2)，
所以f(x)的图象关于直线x＝1对称.
所以f(x＋2)＝f(－x)＝－f(x)，
得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，
所以f(x)的一个周期为4.
所以f(x)在[0，1]上单调递增，且f(0)＝0，f(1)＝1.
可得在(－2，2)与(2，6)上均有两个交点，且关于(2，0)对称，加上(2，0)点，共5个点，
所以这5个交点的横坐标之和为2×2×2＋2＝10.故选D.
1
(0，27)
因为f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，x1＜x2＜x3＜x4.
所以0＜y＜27，
即(x3－3)(x4－3)的取值范围是(0，27).
16.已知M＝{α|f(α)＝0}，N＝{β|g(β)＝0}，若存在α∈M，β∈N，使得|α－β|“1度零点函数”，则实数a的取值范围为_____________.
解析 由题意可知f(2)＝0，且f(x)在R上单调递减，
所以函数f(x)只有一个零点2，
由f(x)与g(x)互为“1度零点函数”，得|2－β|<1.
由|2－β|<1，得1<β<3，
所以函数g(x)＝x2－aex在区间(1，3)上存在零点.
所以h(x)在区间(1，2)上单调递增，在区间(2，3)上单调递减，(共46张PPT)
第二章 函数
第3节 单调性与最大(小)值(二)
1.会利用函数的单调性比较函数值的大小，解函数不等式.
2.会求函数的最值或值域.
目 录
CONTENTS
考点聚焦突破
01
课时分层精练
02
考点聚焦突破
1
KAODIANJUJIAOTUPO
考点一 比较函数值的大小
D
(2)若a＝ln 3，b＝lg 5，c＝log126，则( )
A.a>b>c B.b>c>a C.c>b>a D.a>c>b
D
解析 ∵a＝ln 3>ln e＝1，b＝lg 5∴a>b，a>c，
显然函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
又∵0即lg 5c>b.
感悟提升
1.若题目条件中有具体的函数，则先判断已知函数的单调性，利用其单调性比较大小.
2.若题目条件中无具体函数，则需根据数值的结构特征构造函数，再利用其单调性比较大小.
C
当x＞0时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增，
∵0＜p＜m＜n，且f(m)＝1，
∴f(p)＜f(m)＝1＜f(n).
(2)若2x－2y<3－x－3－y，则( )
A.ln(y－x＋1)>0 B.ln(y－x＋1)<0
C.ln|x－y|>0 D.ln|x－y|<0
A
解析 原已知条件等价于2x－3－x<2y－3－y，
设函数f(x)＝2x－3－x.
因为函数y＝2x与y＝－3－x在R上均单调递增，
所以f(x)在R上单调递增，
即f(x)0，
所以A正确，B不正确.
因为|x－y|与1的大小不能确定，所以C，D不正确.
考点二 求函数的最值或值域
例2 (1)函数f(x)＝x2－2x＋3，x∈[0，3)的值域为________.
[2，6)
解析 f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2(x∈[0，3))，
其图象开口向上，对称轴x＝1，
所以f(x)在[0，1]上单调递减，在[1，3)上单调递增，
而f(0)＝3，f(1)＝2，f(3)＝6，
故其值域为[2，6).
解析 函数的定义域为[1，＋∞)，
感悟提升
1.求函数最值的三种基本方法：
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.
(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.
(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.
2.对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.
1
解析 法一(数形结合法)
在同一坐标系中，作函数f(x)，g(x)的图象，
依题意，h(x)的图象为如图所示的实线部分.
易知点A(2，1)为图象的最高点，
因此h(x)的最大值为h(2)＝1.
法二(单调性法)
当0当x>2时，h(x)＝3－x是减函数，
因此h(x)在x＝2时取得最大值h(2)＝1.
考点三 解函数不等式
例3 已知函数f(x)＝ln x＋2x，若f(x2－4)<2，则实数x的取值范围是_______________________.
解析 因为函数f(x)＝ln x＋2x在定义域(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝ln 1＋2＝2，
所以由f(x2－4)<2，得f(x2－4)所以0感悟提升
求解函数不等式时，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域.
(－3，1)
解析 根据所给的分段函数，画出图象如图.
已知函数在整个定义域上是单调递减的，
由f(3－a2)2a，
解得－3微点突破 复合函数的单调性
1.复合函数单调性判定原则：同增异减.
2.设复合函数y＝f[g(x)]，A是y＝f[g(x)]定义域的某个区间，B是u＝g(x)的值域；
(1)若u＝g(x)在A上是增(或减)函数，y＝f(u)在B上也是增(或减)函数，则函数y＝f[g(x)]在A上是增函数；
(2)若u＝g(x)在A上是增(或减)函数，而y＝f(u)在B上是减(或增)函数，则函数y＝f[g(x)]在A上是减函数.
一、 求复合函数的单调区间
例1 已知函数f(x)＝x2－2x－3，g(x)＝f(5－x2)，试求g(x)的单调区间.
解 令u(x)＝5－x2,则u(x)在(－∞，0]上单调递增，在[0,＋∞)上单调递减，且u(0)＝5.
f(x)＝x2－2x－3＝(x－1)2－4在(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增.
即u(x)的单调性是以“0”为界来划分的，f(x)的单调性是以“1”为界来划分的，由此可确定g(x)的单调性.
令5－x2＝1，则x＝±2.
x (－∞，－2] [－2，0] [0，2] [2，＋∞)
u(x)＝5－x2 增 增 减 减
u (－∞，1] [1，5] [1，5] (－∞，1]
f(u) 减 增 增 减
f(5－x2) 减 增 减 增
所以函数g(x)的单调递减区间是(－∞，－2]，[0，2]，单调递增区间是[－2,0]，[2，＋∞).
解 假设存在满足条件的实数λ，
则由f(x)＝x2＋1，g(x)＝f(f(x))，
得g(x)＝(x2＋1)2＋1.
∴F(x)＝g(x)－λf(x)＝x4＋(2－λ)x2＋2－λ.
令t＝x2，则t＝x2在(－∞，0)上单调递减，
A
解析 A中，∵函数f(x)在R上是增函数，
∴y＝－f(x)在R上是减函数，故A正确.
C中，函数f(x)在R上是增函数，但y＝[f(x)]2在R上不一定是减函数，如f(x)＝x在R上是增函数，但y＝[f(x)]2＝x2在R上不是减函数，故排除C.
D中，函数f(x)在R上是增函数，但y＝af(x)(a为实数)在R上不一定是增函数，例如f(x)＝x在R上是增函数，但f(x)＝－2x在R上不是增函数，故排除D.
(2)已知函数f(x)是R上的减函数，若f(ax2－2x)在(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是____________.
(－∞，0]
解析 由题意知函数y＝ax2－2x在(1，＋∞)上单调递减，
课时分层精练
2
KESHIFENCENGJINGLIAN
1.(2024·厦门调考)若函数f(x)＝(m－1)x＋1在R上是增函数，则f(m)与f(1)的大小关系是( )
A.f(m)f(1) C.f(m)≤f(1) D.f(m)≥f(1)
B
解析 因为f(x)＝(m－1)x＋1在R上是增函数，所以m>1，故f(m)>f(1).
C
则f(x)在(－∞，1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减，
所以f(x)的最大值为f(1)＝1.
B
解析 易知f(x)是R上的减函数，
又π＞3＞2，
故f(π)＜f(3)＜f(2).
4.(2024·哈尔滨质检)已知函数f(x)在R上为增函数，若不等式f(－4x＋a)>f(－3－x2)对 x∈(3，＋∞)恒成立，则a的取值范围为( )
A.[－1，＋∞) B.[3，＋∞) C.[0，＋∞) D.(1，＋∞)
C
解析 由题意，得－4x＋a>－3－x2对 x∈(3，＋∞)恒成立，
则a>－x2＋4x－3对 x∈(3，＋∞)恒成立.
设函数g(x)＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1，
则当x>3时，g(x)<0，
所以a的取值范围为[0，＋∞).
C
解析 由题意可知，函数f(x)在[2，＋∞)上单调递增，
∵f(2a2－5a＋4)＜f(a2＋a＋4)，
∴2≤2a2－5a＋4＜a2＋a＋4，
A
解析 y＝ex是增函数，y＝－e－x是增函数，
因此在(0，＋∞)上y＝ex－e－x单调递增，且此时f(x)＞0；
又f(x)＝－x2在(－∞，0]上单调递增，且f(x)≤0，
所以f(x)在R上单调递增.
c＝log20.9＜0，0＜b＝log32＜1，a＝50.01＞1，
即a＞b＞c，所以f(a)＞f(b)＞f(c).
B
(0，1)
(－∞，－1]∪{0}
解析 当x≥a时，f(x)＝x2－2ax＋1图象的对称轴方程为x＝a，
要想f(x)存在最小值，当x当a＜0时，需满足a2－1≥a2－2a2＋1，解得a≤－1.
此时f(x)min＝－1，符合题意.当a＞0时，f(x)不存在最小值.
综上，a≤－1或a＝0.
∴f(x)在(0，1]上单调递增，
即a＝1时取等号，
∴g(a)的最小值为2.
解 函数f(x)的定义域为{x|x≠0}.
(2)证明函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，并求f(x)在x∈[2，8]上的最大值和最小值.
证明 由题意可设0＜x1＜x2，
又0＜x1＜x2，所以x1x2＞0，x2－x1＞0，
所以f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，
所以函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数.
D
根据max{a，b}的定义，可得函数f(x)的图象为图中实线部分.
由图知f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
所以当x＝1时，f(x)最小，且最小值为f(1)＝2.故选D.
14.已知定义在R上的函数f(x)满足：①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1，②当x>0时，f(x)>－1.
(1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是增函数；
解 令x＝y＝0，得f(0)＝－1；
在R上任取x1，x2，且令x1>x2，
则x1－x2>0，f(x1－x2)>－1.
又f(x1)＝f((x1－x2)＋x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)＋1>f(x2)，
所以函数f(x)在R上是增函数.
(2)若f(1)＝1，解关于x的不等式f(x2＋2x)＋f(1－x)>4.
解 由f(1)＝1，得f(2)＝3，f(3)＝5.
由f(x2＋2x)＋f(1－x)>4，
得f(x2＋x＋1)>4＋1＝f(3)，
又由(1)知函数f(x)在R上是增函数，
故x2＋x＋1>3，
解得x<－2或x>1，
故原不等式的解集为{x|x<－2或x>1}.(共70张PPT)
第二章 函数
第5节 函数的对称性及应用
1.能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论.
2.会利用对称公式解决问题.
目 录
CONTENTS
知识诊断自测
01
考点聚焦突破
02
课时分层精练
03
知识诊断自测
1
ZHISHIZHENDUANZICE
1.奇函数、偶函数的对称性
(1)奇函数关于______对称，偶函数关于______对称.
(2)若f(x－2)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为__________；若f(x－2)是奇函数，则函数f(x)的图象的对称中心为______________.
原点
y轴
x＝－2
(－2，0)
2.若函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称，则f(a－x)＝f(a＋x)；
若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数的图象关于点________对称.
(a，0)
3.两个函数图象的对称
(1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)关于______对称；
(2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)关于______对称；
(3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)关于______对称.
y轴
x轴
原点
常用结论与微点提醒
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数y＝f(x＋1)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称.( )
(2)函数y＝f(x－1)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称.( )
(3)若函数f(x)满足f(x－1)＋f(x＋1)＝0，则f(x)的图象关于y轴对称.( )
(4)若函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称.( )
√
解析 (2)函数y＝f(x－1)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(－1，0)对称.
(3)由函数f(x)满足f(x－1)＋f(x＋1)＝0可得f(x－1)＝－f(x＋1)，所以f(x＋2)＝－f(x)，所以f(－x)≠f(x)，故f(x)的图象不关于y轴对称.
×
×
√
B
3.(必修一P87T13改编)已知函数y＝f(x＋2)－3是奇函数，且f(4)＝2，则f(0)＝______.
4
解析 法一 由y＝f(x＋2)－3是奇函数，
∴f(－x＋2)－3＝－f(x＋2)＋3，
令x＝2，f(0)－3＝－f(4)＋3，得f(0)＝4.
法二 由y＝f(x＋2)－3是奇函数，
得f(x)关于(2，3)对称，
故f(0)＋f(4)＝6，
即f(0)＝4.
4.若偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，且当x∈[2，3]时，f(x)＝2x－1，则f(－1)＝________.
5
解析 ∵f(x)为偶函数，
∴f(－1)＝f(1)，
由f(x)的图象关于x＝2对称，
可得f(1)＝f(3)＝2×3－1＝5，
所以f(－1)＝5.
考点聚焦突破
2
KAODIANJUJIAOTUPO
考点一 函数的对称性
因为曲线y＝g(x)关于直线x＝b对称，所以g(x)＝g(2b－x)，
感悟提升
训练1 (1)已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数，则函数y＝f(x＋2)的图象与y＝f(4－x)的图象( )
A.关于直线x＝1对称 B.关于直线x＝3对称
C.关于直线y＝3对称 D.关于点(3，0)对称
A
解析 设P(x0，y0)为y＝f(x＋2)图象上任意一点，
则y0＝f(x0＋2)＝f(4－(2－x0))，
所以点Q(2－x0，y0)在函数y＝f(4－x)的图象上，而P(x0，y0)与Q(2－x0，y0)关于直线x＝1对称，
所以函数y＝f(x＋2)的图象与y＝f(4－x)的图象关于直线x＝1对称.
BCD
∴f(x)为奇函数，图象关于原点对称，故A错误，B正确；
∴f(x＋2π)＝－f(－x)，
∴f(x)的图象关于点(π，0)对称，故D正确.
考点二 对称性与周期性
例2 (1)已知定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，f(1＋x)＝f(1－x)，当x∈[－1，1]时，f(x)＝x3－3x，则f(2 023)＝( )
A.1 B.－2 C.－1 D.2
D
解析 法一 因为定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，
所以f(1＋x)＝f(1－x)＝－f(x－1)，
则f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝f(x)，
所以f(x)是以4为周期的周期函数.
则f(2 023)＝f(4×505＋3)＝f(3)＝f(－1)＝2.
法二 由f(x)的定义域为R，f(－x)＝－f(x)，可知f(x)为奇函数，
由f(1＋x)＝f(1－x)，可知f(x)的图象关于直线x＝1对称，
所以f(x)是以4为周期的周期函数，
则f(2 023)＝f(4×505＋3)＝f(3)＝f(－1)＝2.
D
解析 因为f(x)为奇函数，
所以f(x＋2)＝－f(x)＝f(－x)，
所以直线x＝1是f(x)图象的一条对称轴.
又由f(x＋2)＝－f(x)，得到
f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，
所以f(x)是以4为周期的周期函数.
作出f(x)的图象，如图所示.
则由对称性可得，x1＋x2＋…＋x7＝2＋4×3＝14，y1＋y2＋y3＋…＋y7＝0，
感悟提升
1.若函数y＝f(x)的对称轴为x＝a，x＝b，则其周期为T＝2|b－a|.
2.若函数y＝f(x)的对称中心为(a，0)，(b，0)，则其周期为T＝2|b－a|.
3.若函数y＝f(x)的对称轴为x＝a，对称中心为(b，0)，则其周期为T＝4|b－a|.
训练2 (1)(多选)(2024·承德模拟)已知函数f(x)的定义域为R，对任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且f(－x)＝f(x)，则下列结论正确的是( )
A.f(x)的图象关于直线x＝2对称 B.f(x)的图象关于点(2，0)对称
C.f(x)的周期为4 D.y＝f(x＋4)为偶函数
ACD
解析 ∵f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称，故A正确,B错误；
∵f(x)的图象关于直线x＝2对称，
则f(－x)＝f(x＋4)，又f(－x)＝f(x)，
∴f(x＋4)＝f(x)，∴T＝4，故C正确；
∵T＝4且f(x)为偶函数，
故y＝f(x＋4)为偶函数，故D正确.
D
解析 因为f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)，且f(0)＝0.
故f(x＋3)＝－f(x)，则有f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，
所以f(x)是以6为周期的周期函数.
f(2 022)＝f(6×337)＝f(0)＝0，
f(2 023)＝f(6×337＋1)＝f(1)＝2，
f(2 024)＝f(6×337＋2)＝f(2)＝2，
所以f(2 022)＋f(2 023)＋f(2 024)＝4.
考点三 对称性、周期性与单调性
例3 (多选)(2024·杭州调考)已知定义域为R的函数f(x)在(－1，0]上单调递增，f(1＋x)＝f(1－x)，且图象关于(2，0)对称，则( )
A.f(0)＝f(－2) B.f(x)的周期T＝2
C.f(x)在(2，3)上单调递减 D.f(x)满足f(2 021)>f(2 022)>f(2 023)
AC
解析 由f(1＋x)＝f(1－x)，可得f(x)图象的对称轴方程为x＝1，
所以f(0)＝f(2)，
又由f(1＋x)＝f(1－x)，可知f(2＋x)＝f(－x).
因为函数f(x)的图象关于(2，0)对称，
即f(2＋x)＝－f(2－x)，故f(4＋x)＝－f(－x)，
所以－f(2＋x)＝f(4＋x)，即－f(x)＝f(2＋x)，
所以f(x)＝f(x＋4)，
所以f(x)的周期为4，
所以f(－2)＝f(2)，所以f(0)＝f(－2)，故A正确，B错误.
因为f(x)在(－1，0]上单调递增，且周期为4，所以f(x)在(3，4]上单调递增，
又f(x)的图象关于(2，0)对称，
所以f(x)在[0，1)上单调递增，
因为f(x)的图象关于直线x＝1对称，
所以f(x)在(1，2]上单调递减，
则函数f(x)在(2，3)上单调递减，故C正确.
根据f(x)的周期为4，可得f(2 021)＝f(1)，f(2 022)＝f(2)，f(2 023)＝f(3)，
因为f(x)的图象关于直线x＝1对称，
所以f(2)＝f(0)且f(3)＝f(－1)，
即f(2 021)＝f(1)，f(2 022)＝f(0)，f(2 023)＝f(－1)，
由C选项的分析可知，函数f(x)在[0，1)上单调递增，在(－1，0]上单调递增，确定的单调区间内均不包含x＝±1，
若f(－1)＝f(1)＝0，则f(2 021)>f(2 022)>f(2 023)不成立，故D错误.
感悟提升
解决函数性质的综合问题，一般要利用周期性与对称性缩小自变量的值或转换自变量所在的区间，然后利用单调性比较大小或解不等式.
训练3 (2024·成都诊断)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＋f(x)＝0，且当x∈[0，1]时，f(x)＝log2(x＋1)，则下列不等式正确的是( )
A.f(log27)C.f(－5)C
解析 由f(x＋2)＋f(x)＝0，得f(x＋2)＝－f(x)，
所以f(x＋4)＝f(x)，f(x)的周期T＝4.
又f(－x)＝－f(x)，f(2)＝－f(0)＝0，
所以f(－5)＝－f(5)＝－f(1)＝－log22＝－1，f(6)＝f(2)＝0.
又2因为当x∈[0，1]时，f(x)＝log2(x＋1)∈[0，1]，
所以f(－5)微点突破 抽象函数
1.我们把不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数称为抽象函数，解决抽象函数问题的两种常用方法有：函数性质法和特殊值法.
2.常见的抽象函数模型：
(1)f(x＋y)＝f(x)＋f(y)可看做f(x)＝kx的抽象表达式；
(2)f(x＋y)＝f(x)f(y)可看做f(x)＝ax的抽象表达式(a>0，且a≠1)；
(3)f(xy)＝f(x)＋f(y)可看做f(x)＝logax的抽象表达式(a>0，且a≠1)；
(4)f(xy)＝f(x)f(y)可看做f(x)＝xa的抽象表达式.
一、抽象函数求值
例1 (1)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy(x，y∈R)，f(1)＝2，则f(－2)等于________.
2
解析 ∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy(x，y∈R)，f(1)＝2，
∴令x＝y＝1，
得f(2)＝f(1＋1)＝f(1)＋f(1)＋2＝6，
再令x＝2，y＝－1，
得f(2－1)＝f(2)＋f(－1)－4＝2，
∴f(－1)＝0，
∴f(－2)＝f(－1)＋f(－1)＋2＝2.
A
解析 由f(a＋b)＝f(a)·f(b)，f(1)＝2，
令b＝1可得f(a＋1)＝f(a)·f(1)＝2f(a)，
二、抽象函数的性质
例2 (1)(多选)(2024·常德模拟)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＝f(x)f(y)＋f(x)＋f(y)，当x>0时，f(x)>0，且f(2)＝3，则( )
A.f(1)＝1
B.函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增
C.函数f(x)是奇函数
D.函数f(x)的一个解析式为f(x)＝2x－1
ABD
解析 A中，因为f(x＋y)＝f(x)f(y)＋f(x)＋f(y)，
当x>0时，f(x)>0，f(2)＝3，
令x＝y＝1，则f(2)＝[f(1)]2＋2f(1)＝3，解得f(1)＝1，A正确；
B中，任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x2>x1，
则f(x2)＝f[x1＋(x2－x1)]＝f(x1)f(x2－x1)＋f(x1)＋f(x2－x1)，
因为当x>0时，f(x)>0，所以f(x2－x1)>0，f(x1)>0，
所以f(x1)f(x2－x1)＋f(x1)＋f(x2－x1)>f(x1)，即f(x2)>f(x1)，
所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，B正确；
C中，令x＝y＝0，则f(0)＝[f(0)]2＋2f(0)，解得f(0)＝0或f(0)＝－1，
当f(0)＝0，且x>0时，令y＝－x，则0＝f(x)f(－x)＋f(x)＋f(－x)，
若f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，
即0＝－f2(x)＋f(x)－f(x)，
解得f(x)＝0，与题意矛盾；
当f(0)＝－1时，f(x)不为奇函数.
综上所述，函数f(x)不是奇函数，C错误；
D中，当f(x)＝2x－1，则f(x＋y)＝2x＋y－1，
f(x)f(y)＋f(x)＋f(y)＝(2x－1)(2y－1)＋(2x－1)＋(2y－1)＝2x＋y－2x－2y＋1＋2x－1＋2y－1＝2x＋y－1，
所以f(x＋y)＝f(x)f(y)＋f(x)＋f(y)，
易得f(x)＝2x－1在R上单调递增，
所以x>0时，f(x)＝2x－1>20－1＝0，f(2)＝22－1＝3，
故函数f(x)的一个解析式为f(x)＝2x－1，D正确.
(3，4]
在上述等式中取x＝4，y＝2，
则有f(2)＋f(2)＝f(4).
又∵f(2)＝1，∴f(4)＝2，
可变形为f(x(x－3))≤f(4).
又∵f(x)是定义在区间(0，＋∞)上的增函数，
故x的取值范围是(3，4].
AB
解析 对于A，令x＝2，y＝2，
则有f(2×2)＝f(4)＝2f(2)＋2f(2)＝4f(2)，
f(8)＝f(2×4)＝2f(4)＋4f(2)＝12f(2)，正确；
对于B，因为f(x)的定义域为R，
因为对于 x∈R，f(xy)＝xf(y)＋yf(x)，
当x≠0时，令y＝x，则有f(xy)＝f(x2)＝2xf(x)，
令x＝0时，f(0×y)＝f(0×0)＝0，
所以f(x)是奇函数，正确；
对于C，由B知，当n＝2时，f(x2)＝2xf(x)，错误；
对于D，f(2n)＝f(2n－1×2)＝2n－1f(2)＋2f(2n－1) ，
令an＝f(2n)(n∈N*)，则有an＝2an－1＋2n，
∴2－nan＝2－(n－1)an－1＋1，
令bn＝2－nan，则bn＝bn－1＋1，b1＝2－1×2＝1，
{bn}是首项为1，公差为1的等差数列，
∴bn＝b1＋(n－1)＝n，即an＝n2n(n∈N*)，
则2Sn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)2n＋n2n＋1，②
故Sn＝(n－1)2n＋1＋2，错误.故选AB.
(2)已知定义在R上的函数f(x)满足f(1)＝1，且f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1，则f(4)＝________.
7
解析 令x＝y＝1，
则f(2)＝f(1)＋f(1)＋1＝3.
令x＝y＝2，则f(4)＝f(2)＋f(2)＋1＝7.
课时分层精练
3
KESHIFENCENGJINGLIAN
1.已知函数y＝f(x)的图象经过点P(1，－2)，则函数y＝－f(－x)的图象必过点( )
A.(－1，2) B.(1，2) C.(－1，－2) D.(－2，1)
A
解析 函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称，
又y＝f(x)的图象经过点P(1，－2)，
则函数y＝－f(－x)的图象必过点(－1，2).
2.已知函数f(x)＝2|x－a|的图象关于直线x＝2对称，则a等于( )
A.1 B.2 C.0 D.－2
B
解析 函数f(x)＝2|x－a|的图象关于直线x＝2对称，可得f(2＋x)＝f(2－x)，
即为2|2＋x－a|＝2|2－x－a|，
即有|2＋x－a|＝|2－x－a|(*)恒成立，
可得2＋x－a＝2－x－a或2＋x－a＋2－x－a＝0，
解得x＝0或a＝2，
检验可得a＝2时(*)式恒成立.
3.(2024·常州质检)函数f(x)的定义域为R，且f(1＋x)＝－f(1－x)，f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)是( )
A.偶函数，又是周期函数 B.偶函数，但不是周期函数
C.奇函数，又是周期函数 D.奇函数，但不是周期函数
A
解析 法一 因为f(1＋x)＝－f(1－x)，
所以f(x)的图象关于(1，0)中心对称；
因为f(2＋x)＝f(2－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，
所以f(x)是以4为周期的周期函数，则f(x＋2)＝f(x－2).
又f(2＋x)＝f(2－x)，所以f(x－2)＝f(2－x)，
所以f(x)的图象关于y轴对称，f(x)是偶函数.
法二 因为f(1＋x)＝－f(1－x)，
所以f(x＋2)＝－f[1－(x＋1)]＝－f(－x).
因为f(2＋x)＝f(2－x)，
所以f(2－x)＝－f(－x)，即f(2＋x)＝－f(x)，
所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以f(x)是以4为周期的周期函数，
则f(x＋2)＝f(x－2).
因为f(2＋x)＝f(2－x)，
所以f(x－2)＝f(2－x)，
所以f(x)＝f(－x)，f(x)是偶函数.
C
解析 因为函数f(x＋2)是R上的偶函数，
当x1f(x2)，所以f(x)在[2，＋∞)上单调递减，f(x)在(－∞，2)上单调递增，不等式f(ln x)>f(1)需满足|ln x－2|<|1－2| 15.(多选)(2024·济宁统考)已知函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋3)＋f(x＋1)＝0，且f(x＋1)为偶函数，则( )
A.f(2)＝0 B.f(x)为偶函数
C.f(x)为周期函数 D.f(x＋4)为偶函数
AC
解析 因为f(x＋1)为偶函数，
所以f(x＋1)＝f(－x＋1)，
又f(x＋3)＋f(x＋1)＝0，
所以f(x＋3)＋f(－x＋1)＝0，
令x＝－1，得f(2)＋f(2)＝0，
所以f(2)＝0，故A正确；
因为f(x＋3)＋f(x＋1)＝0，
所以f(x)＝－f(x＋2)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以f(x)的周期是4，
又f(x＋3)＋f(－x＋1)＝0，
所以f(x＋4)＝－f(－x)＝f(x)，
所以f(x)为奇函数，故B错误，C正确；
因为f(x)为奇函数，且f(x)的周期是4，
所以(4，0)是f(x)的图象的对称中心，
f(x＋4)＝－f(－x＋4)，f(x＋4)为奇函数，故D错误.
6.(2024·泉州调研)已知函数y＝f(x)对任意实数x都有f(x＋6)＋f(x)＝2f(3)且f(1－x)＋f(x－1)＝0，则f(2 025)＝( )
A.－3 B.0 C.3 D.6
B
解析 因为函数y＝f(x)对任意实数x都有f(1－x)＋f(x－1)＝0，
即f(1－x)＝－f(x－1)，即f(－x)＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数.
由题意知f(x＋6)＋f(x)＝2f(3)，
令x＝－3，得f(3)＋f(－3)＝2f(3)，
即f(3)－f(3)＝2f(3)，所以f(3)＝0，则f(x＋6)＋f(x)＝2f(3)＝0，
即f(x＋6)＝－f(x)，所以f(x＋12)＝－f(x＋6)＝－[－f(x)]＝f(x)，
即12为函数y＝f(x)的周期，所以f(2 025)＝f(12×168＋9)＝－f(3)＝0.
C
解析 由f(x＋1)＋f(x－1)＝2，
得f(x＋2)＋f(x)＝2，即f(x＋2)＝2－f(x)，
所以f(x＋4)＝2－f(x＋2)＝2－[2－f(x)]＝f(x)，
所以函数f(x)的周期为4.
又f(x＋2)为偶函数，
所以f(－x＋2)＝f(x＋2)，所以f(x)＝f(4－x)＝f(－x)，
所以函数f(x)也为偶函数.
又f(x＋1)＋f(x－1)＝2，
所以f(1)＋f(3)＝2，f(2)＋f(4)＝2，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝4.
又f(0)＋f(2)＝2，f(0)＝2，
所以f(2)＝0，
8.与f(x)＝ex关于直线x＝1对称的函数是________.
y＝e2－x
解析 设函数f(x)＝ex的图象上的任意一点(x0，y0)关于直线x＝1对称的点的坐标为(x，y)，
因为点(x0，y0)在函数f(x)＝ex图象上，
所以y0＝ex0，
即y＝e2－x.
9.写出一个同时具有性质①②③的函数f(x)＝__________________.
①f(x)是定义域为R的奇函数；
②f(1＋x)＝f(1－x)；
③f(1)＝2.
10.已知函数f(x)对 x∈R满足f(x＋2)·f(x)＝2f(1)，且f(x)>0.若y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称，f(0)＝1，则f(2 025)＝________.
2
解析 因为y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称，
所以y＝f(x)的图象关于x＝0对称，
即y＝f(x)是偶函数.
对于f(x＋2)·f(x)＝2f(1)，
令x＝－1，可得f(1)·f(－1)＝2f(1)，
又f(x)>0，
所以f(－1)＝2，
则f(1)＝f(－1)＝2，
所以函数f(x)对 x∈R满足f(x＋2)·f(x)＝4，
所以f(x＋4)·f(x＋2)＝4，
所以f(x＋4)＝f(x)，
即f(x)是周期为4的周期函数，
所以f(2 025)＝f(506×4＋1)＝f(1)＝2.
11.函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数.
(1)若f(x)＝x3－3x2，求此函数图象的对称中心；
解 设函数f(x)＝x3－3x2图象的对称中心为P(a，b)，g(x)＝f(x＋a)－b，
则g(x)为奇函数，故g(－x)＝－g(x)，
故f(－x＋a)－b＝－f(x＋a)＋b，即f(－x＋a)＋f(x＋a)＝2b，
即[(－x＋a)3－3(－x＋a)2]＋[(x＋a)3－3(x＋a)2]＝2b.
整理得(3a－3)x2＋a3－3a2－b＝0，
所以函数f(x)＝x3－3x2图象的对称中心为(1，－2).
(2)类比上述推广结论，写出“函数y＝f(x)的图象关于y轴成轴对称的充要条件是函数y＝f(x)为偶函数”的一个推广结论.
解 推论：函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a成轴对称的充要条件是函数y＝f(x＋a)为偶函数.
12.已知定义域为I＝(－∞，0)∪(0，＋∞)的函数f(x)满足对任意x1，x2∈I都有f(x1x2)＝x1f(x2)＋x2f(x1).
(1)求证：f(x)是奇函数；
证明 令x1＝x2＝1，得f(1)＝0，
令x1＝x，x2＝－1，
得f(－x)＝xf(－1)－f(x)＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数.
解 ∵f(x1x2)＝x1f(x2)＋x2f(x1)，
∴g(x1x2)＝g(x1)＋g(x2)，
∴g(x)在(0，＋∞)上是减函数.
解得x>1且x≠2，
∴不等式g(x－2)>g(x)的解集为{x|12}.
C
解析 对于A，因为f(2x＋1)的一个周期为2，
所以f[2(x＋2)＋1]＝f(2x＋1)，
即f(2x＋1＋4)＝f(2x＋1)，
设t＝2x＋1，则f(t＋4)＝f(t)，
所以f(x)的一个周期为4，故A错误.
对于B，因为f(2x＋1)是定义在R上的奇函数，所以f(－2x＋1)＝－f(2x＋1)，
设m＝2x，则f(－m＋1)＝－f(m＋1)，
所以f(x)的图象关于点(1，0)对称，故B错误.
对于C，因为f(x)的一个周期为4，
所以f(2 023)＝f(4×506－1)＝f(－1)＝－f(1)，
又f(－2x＋1)＝－f(2x＋1)，
令x＝0，得f(1)＝0，所以f(2 023)＝0，故C正确.
对于D，f(x)的定义域为R，
因为f(－1)＝0，f(x)的一个周期为4，所以f(4k＋3)＝0(k∈Z)，
f(x)的图象关于点(1，0)对称，作出一个符合上述条件的图象，如图所示，此时f(x)的图象不关于直线x＝2对称，故D错误.
解 对任意的x∈R，2x＋2－x>0，
故函数f(x)的定义域为R，