北京市大兴区2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷（PDF版，含答案）

2025北京大兴高二（上）期末
数 学
2025．01
本试卷共 4页，150 分。考试时间 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试
结束后，将答题卡交回。
第一部分 （选择题 共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知直线 l 经过 A( 1,0)，B(0， 1) 两点，则直线 l 的倾斜角为
π π
（A） （B）
6 4
2π 3π
（C） （D）
3 4
（2）已知两个向量 a = (1， 1，1)，b = (2，m，n) ，且 a b ，则 m + n=
（A） 2 （B） 0
（C） 2 （D） 4
x2 y2
（3）已知双曲线 + = 1的焦点在 x 轴上，则实数 m 的取值范围是
m 1 2 m
（A） ( ，1) （B） (1，2)
（C） (1，+ ) （D） (2，+ )
（4）用 0 9 这10 个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数为
（A） 480 （B）504
（C） 648 （D） 720
（5）已知抛物线C : y2 = 4x 的焦点为 F，点 P 在抛物线 C 上，若 | PF |= 3，则 P 到 y 轴
的距离是
（A） 2 （B） 3
（C） 4 （D）5
1
（6）在 (2x2 )5 的展开式中，常数项为
x
（A） 10 （B）10
（C） 36 （D）80
（7）如图，在四面体 OABC 中，点 E，F 分别为 AB，OC 的中点，则 EF =
1 1 1 1 1 1
（A） OA OB + OC （B） OA + OB OC
2 2 2 2 2 2
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1 1 1 1
（C） OA + OB + OC （D）OA + OB + OC
2 2 2 2
（8）已知直线 l : y = x + b 和曲线C : x 1 y
2 = 0 ，则“直线 l 与曲线C 有且仅有一个
公共点”是“ 1 b 1”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
x2 y2
（9）已知椭圆C : + =1 (a b 0)的右焦点为 F ，过原点的直线 l 与 C 交于 A，B 两
a2 b2
点，若 AF ⊥ BF ，且 AF = 3 BF ，则椭圆 C 的离心率为
10 5
（A） （B）
5 8
10 2
（C） （D）
4 5
（10）在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(1,0)，动点 M 满足以MA为直径的圆与 y 轴相切．过
A作直线 x + (m 1)y + 2m 5 = 0 的垂线，垂足为 B ，则 | MA | + | MB |的最小值为
（A） 2 2 （B） 2 + 2
（C） 5 2 +1 （D）3 2
第二部分 （非选择题 共 110 分）
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
3 2
（11）若 A5 = 4Cn ，则 n = ．
x2
（12）与双曲线 y2 =1有相同焦点的一个椭圆的方程可以是 ．
3
（13） 已 知 直 线 l1 : x y + 3 = 0 ， l2 : 2x + y = 0 相 交 于 点 A ， 则 点 A 的 坐 标 为 ； 圆
C : x2 + y2 2x + 4y +1 = 0 ，过点 A 作圆 C 的切线，则切线方程为 ．
（14）正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 1，动点 M 在线段CC1 上，动点 P 在平面 A1B1C1D1 内，且 AP ⊥平
面 MBD1．
①当点 M 与点C 重合时，线段 AP 的长度为 ；
②线段 AP 长度的最小值为 ．
（15）如图，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆
的另一个焦点．已知椭圆 x2 ，其左、右焦点分别是 F ， ， P 为椭圆C 上任意一点，直线 l 与
C : + y2 =1 1
F2
4
椭圆 C 相切于点 P ，过点 P 与 l 垂直的直线与椭圆的长轴交于点 M ，
F PM = F PM ，点 ， ，给出下列四个结论：
1 2 Q(0 6)
①△ PF 31F2 面积的最大值为 ；
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② | PQ | + | PF2 | 的最大值为 7；
③若 | PM | = | MF2 |，则 | PF1 | = 3 | PF2 |；
④若 2 2F R ⊥ l ，垂足为 R(x0 , y0 )，则 x0 + y0 = 52 .
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题 14 分）
已知 (2x 1)n (n N )的展开式中各二项式系数的和为 64 ．
（Ⅰ）求 n的值；
（Ⅱ）求该展开式中所有项的系数和．
（17）（本小题 14 分）
已知抛物线C : y2 = 2 px( p 0)，其准线方程为 x = 1．
（Ⅰ）求抛物线 C 的方程；
（Ⅱ）直线 y = x 1与抛物线 C 交于不同的两点 A，B ，求以线段 AB 为直径的圆的方程．
（18）（本小题 14 分）
某个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为 20 千米 的圆形区域内．已知小
岛中心位于轮船正西 40 千米处，港口位于小岛中心正北 30 千米处．
（Ⅰ）如图，小岛中心在原点 O处，取 10 千米为单位长度，
在图中标出轮船和港口的位置；
（Ⅱ）如果轮船沿直线返港，用坐标法判断该轮船是否会
有触礁危险，并说明理由．
（19）（本小题 14 分）

如图 1，菱形 ABCD 的边长为 4， BAD = 60 ，E 是 CD 的中点，将△ BCE 沿着 BE 翻折，使点 C
到点 P 处，连接 PA，PD，得到如图 2 所示的四棱锥
P ABED.
（Ⅰ）证明： BE ⊥ PD；
（Ⅱ）当 PED = 120 时，求平面 PBD 与
平面 PBE 的夹角的余弦值．
（20）（本小题 14 分）
x2 y2
已知 O 为坐标原点，椭圆C : + =1(a b 0)的左、右焦点分别为 F1 , F2 ，A 为椭
a2 b2
圆 C 的上顶点，△ AF1F2 为等腰直角三角形，其面积为1．
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（Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程；
（Ⅱ）直线 l 交椭圆 C 于 P，Q 两点，点W 在过原点且与 l 平行的直线上，记直线WP ,WQ 的斜率分别为
k1 , k2 ，△WPQ 的面积为 S ．再从下面三个论断①、②、③中选择两个论断作为已知条件，证明余下的论
断成立．
2 1
①： S = ； ②： k k = ； ③：W 为原点O ． 1 2
2 2
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
（21）（本小题 15 分）
x = ax + by + c,
在平面直角坐标系 xOy 中，用变换公式 （a，b，c，m，n，p 为常数），将点 P(x，y)
y = mx + ny + p
变换成点 P (x , y ) ，称该变换为线性变换．
（Ⅰ）线性变换 1：将点P(x，y) 向左平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位，得到点P (x , y ) ，求线性变换 1
的变换公式，并求将点 A(1 , 2)按线性变换 1变换后，所得新的点 A 的坐标；
π
（Ⅱ）线性变换 2：将点 P(x，y) 绕原点逆时针旋转 后，得到点 P (x , y ) .求线性变换 2 的变换公式，并
4
x2 y2
求将椭圆C : + =1上所有点按线性变换 2 变换后，所得点的坐标
4 3
满足的方程；
（Ⅲ）若曲线 E 的方程为 x2 + xy + y2 + 2x + y 2 = 0 ，证明：曲线 E 上所有点的坐标经过线性变换后满足
椭圆的标准方程，并求出该标准方程．
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参考答案
一、选择题（共 10 小题，每小题 4分，共 40 分）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
D B D C A B A B C D
二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）
x2
（11） 6 （12） + y2 =1（答案不唯一，焦点为 (2， 0) 即可）
5
6
（13） ( 1，2)； x = 1或3x + 4y 5 = 0 （14） 2 ；
2
（15）①②③
注：12、13 题第一空 3 分，第二空 2 分．
三、解答题（共 6 小题，共 85 分）
（16）（共 14 分）
解：（Ⅰ）由所有二项式系数的和为 64 ，可知 2n = 64 ，……4 分
可得 n = 6 ．……3 分
（Ⅱ）设二项式可化为 (1 2x)6 = a 2 3 4 50 + a1x + a2 x + a3x + a4 x + a5 x + a6 x
6 ．
令 x = 1，……5 分
则 (1 2 1)6 = a0 + a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 = 1．
所以展开式中所有项的系数和为1 ．……2 分
（17）（共 14 分）
P
解：（Ⅰ）由题意知 = 1，……1 分
2
所以 p = 2 ． ……1 分
所以抛物线 C 的方程为 y2 = 4x ． ……2 分
（Ⅱ）设 A(x1 , y1) , B(x2 , y2 )，线段 AB 的中点为 D(x0 , y0 )．
y2 = 4x ,
由 得 x2 6x +1 = 0．……1 分
y = x 1,
其中 = 32 0 ，
所以 x1 + x2 = 6．……2 分
x
所以 x = 1
+ x2
0 = 3， y0 = x0 1 = 2 ． ……2 分
2
直线 y = x 1过焦点 (1 , 0) ，由抛物线的定义知，
AB = x1 + x2 + p = 8．……2 分
所以以线段 AB 为直径的圆半径为 4．……1 分
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所以以线段 AB 为直径的圆的方程为 (x 3)2 + (y 2)2 = 16．……2 分
（18）（共 14 分）
解：（Ⅰ）
……4 分
（Ⅱ）以小岛中心为原点O ，东西方向为 x 轴，建立上图所示的直角坐标系．为了运算的简便，
取 10 千米为单位长度，则港口所在位置的坐标为 (0，3) ，轮船所在位置坐标为 (4，0) ，受
暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为 x2 + y2 = 4．………2 分
轮船航线所在直线 l 的方程为3x + 4y 12 = 0．……2 分
x2 + y2 = 4 ,
由 得 25x2 72x + 80 = 0 ．……2 分
3x + 4y 12 = 0 ,
由 = ( 72)2 4 25 80 0 ，……2 分
可知方程组无解．……1 分
所以直线 l 与圆O 相离，轮船沿直线返港不会有触礁危险．……1 分
（19）（共 14 分）
解：（Ⅰ）在题图 1 中，因为四边形 ABCD 为菱形， BAD = 60 ，且 E 是 CD 的中点，
所以 BE ⊥ CD ．……1 分
从而在题图 2 中， BE ⊥ DE，BE ⊥ PE ，……2 分
因为 DE PE = E ， DE 平面 PDE， PE 平面 PDE，
所以 BE ⊥平面 PDE．……1 分
又 PD 平面 PDE，所以 BE ⊥ PD． ……1 分
（Ⅱ）在平面 PDE 内，过 E 点作 EQ ⊥ DE ，
由（Ⅰ）已证 BE ⊥平面 PDE ，所以 BE ⊥ EQ ．
又因为（Ⅰ）已证 BE ⊥ DE，所以 EB , ED , EQ 两两垂直．……1 分
故以 E 为坐标原点，ED，EB，EQ 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z轴，建立如图所示的空间
直角坐标系．
因为 PED = 120 ，则 P( 1, 0 , 3)， E(0 , 0 , 0)， D(2 , 0 , 0) ， B(0 , 2 3 , 0) ．
因此 BP = ( 1, 2 3, 3) ， BD = (2, 2 3,0) ， EB = (0,2 3,0)．
设平面 PBD 的法向量为m = (x1 , y1 , z1) ，
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BP m = 0 , x1 2 3y1 + 3z1 = 0 ,
则 即 ……1 分
BD m = 0 , 2x1 2 3y1 = 0．
令 x1 = 3 ，则 y1 =1， z1 = 3．
于是m = ( 3 ,1 , 3)．……2 分
设平面 PBE 的法向量为 n = (x2 , y2 , z2 )，
BP n = 0 , x2 2 3y2 + 3z2 = 0 ,则 即
EB n = 0 , 2 3y2 = 0．
令 x2 = 3 ，得 y2 = 0 ， z2 = 1．
于是 n = ( 3 , 0 ,1) ．……2 分
设平面 PBD 与平面 PBE 的夹角为 ，则
m n 6 3 13
cos =| cos m , n |=| |= = ．……3 分
| m || n | 2 13 13
3 13
故平面 PBD 与平面 PBE 的夹角的余弦值为 ．
13
（20）（共 14 分）
解：（Ⅰ）由题意知： | F1F2 |= 2c ， | AF1 |=| AF2 |= a ．
1 2
则 S AF F = a =1， ……1 分 1 2 2
解得 a = 2 ． ……1 分
2
由b = a 知， b =1． ……2 分
2
2
x 2
所以椭圆 C 的标准方程为： + y = 1． ……1 分
2
（Ⅱ）设 P(x1 , y1)，Q(x2 , y2 ) ．
选②③为条件：
当直线 l 的斜率不存在时，根据椭圆的对称性不妨设点 P 在第一象限，
此时 k1 = k2 0，
1 2 2
则由 k k = ，可得 k = ，此时直线WP 的方程为1 2 1 y = x ，
2 2 2
2 2 1 2
则 P(1, ) , Q(1, )，所以 S = 1 2 = ．……1 分
2 2 2 2
当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为： y = kx + t , t 0．
y y 1
则 k k = 1 2 = ，即 x1x2 + 2y1 y1 2 2 = 0．……1 分
x x 2
1 2
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y = kx + t ,

由 2 2 2 x2 得 (1+ 2k )x + 4ktx + 2t 2 = 0 ，……1 分 2
+ y = 1
2
由 = 16k 2t2 4(1+ 2k 2 )(2t2 2) 0，得 2k 2 +1 t 2 ，
4kt 2t2 2
所以 x1 + x2 = , x x = ．……1 分
1+ 2k 2
1 2
1+ 2k 2
2
2 2 t 2k
2
所以 y1 y2 = (kx1 + t)(kx2 + t) = k x1x2 + kt(x1 + x2 ) + t = ．……1 分
1+ 2k 2
2t2 2 2(t2 2k 2 )
所以 + = 0，即1+ 2k 2 = 2t2 ．……1 分
1+ 2k 2 1+ 2k 2
| PQ |= 1+ k 2 | x1 x2 |= 1+ k
2 (x + x )21 2 4x1x2
1+ 2k 2 t2 2 2 t 1+ k
2
= 2 2 1+ k 2 = ．……1 分
1+ 2k 2 1+ 2k 2
| t |
因为点 O 到直线 l 的距离 d = ，……1 分
1+ k 2
2
1 | t | 2 2 t 1+ k 2t2 2t2 2
所以 S = = = = ．……1 分
2 2 2 21+ k 2 1+ 2k 1+ 2k 2t 2
2
综上， S = 成立．
2
选①③为条件：
当直线 l 的斜率不存在时，根据椭圆的对称性不妨设点 P 在第一象限，
2 1 2
则由 S = ，可得 S = x1 2y1 = x1 y1 = ，
2 2 2
x 2 2
又 1 + y 21 =1，解得 x1 = 1， y1 = ，
2 2
2 2 1
则 P(1, ) , Q(1, )，所以 k k = ．……1 分 1 2
2 2 2
当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为： y = kx + t , t 0．
y = kx + t ,

由 x2 得 (1+ 2k
2 )x2 + 4ktx + 2t 2 2 = 0 ，……1 分
+ y
2 = 1
2
由 = 16k 2t2 4(1+ 2k 2 )(2t2 2) 0，得 2k 2 +1 t 2 ，
4kt 2t2 2
所以 x1 + x2 = , x1x2 = ．……1 分
1+ 2k 2 1+ 2k 2
1+ 2k 2 t2
| PQ |= 1+ k 2 | x1 x2 |= 1+ k
2 (x1 + x )
2
2 4x1x2 = 2 2 1+ k
2 ．……1 分
1+ 2k 2
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| t |
因为点 O 到直线 l 的距离 d = ，……1 分
1+ k 2
1 | t | 1+ 2k 2 t2 1+ 2k 2 t2 2
所以 S = 2 2 1+ k 2 = 2 | t | = ．
2 2 21+ k 2 1+ 2k 1+ 2k 2
即1+ 2k 2 = 2t2 ．……1 分
2 2
因为 y y = (kx + t)(kx + t) = k 2 x x + kt(x + x ) + t 2
t 2k
1 2 1 2 1 2 1 2 = ， ……1 分
1+ 2k 2
y1 y t
2 2k 2
所以 k 21k2 = = ……1 分
x x 2t21 2 2
1 t2 1
= = ．……1 分
2t2 2 2
1
综上， k k = 成立． 1 2
2
选①②为条件：设W (x , y )0 0 ，
当直线 l 的斜率不存在时，根据椭圆的对称性不妨设点 P 在第一象限，
则Q(x , y )1 1 ，W (0, y0 )，
1 2
所以 S = x1 2y1 = x1 y1 = ．
2 2
x21 2
又 + y
2
1 =1，解得 x1 = 1， y1 = ，
2 2
2 2
则 P(1, ) , Q(1, )，
2 2
(y
所以 k k = 1
y0 )( y1 y0 ) 2 1 1= y = ，所以 y0 = 01 2 0 ．
x1 x1 2 2
所以W 为坐标原点．……1 分
当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为： y = kx + t , t 0，则W (x0 ,kx0 ) ，
y = kx + t ,

由 x2 得 (1+ 2k
2 )x2 + 4ktx + 2t 2 2 = 0 ，……1 分
+ y2 = 1
2
由 = 16k 2t2 4(1+ 2k 2 )(2t2 2) 0，得 2k 2 +1 t 2 ，
4kt 2t2 2
所以 x1 + x2 = , x1x2 = ．……1 分
1+ 2k 2 1+ 2k 2
1+ 2k 2 t2
| PQ |= 1+ k 2 | x1 x2 |= 1+ k
2 (x1 + x
2
2 ) 4x1x2 = 2 2 1+ k
2 ． ……1 分
1+ 2k 2
| t |
点 W 到直线 l 的距离 d = ，……1 分
1+ k 2
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1 | t | 2 1+ 2k
2 t2 1+ 2k 2 t2 2
S = 2 2 1+ k = 2 | t | = ．
2 1+ k 2 1+ 2k
2 1+ 2k 2 2
即1+ 2k 2 = 2t2 ．……1 分
t 2 2k 2
因为 y1 y2 = (kx1 + t)(kx2 + t) = k
2 x1x2 + kt(x1 + x2 ) + t
2
= ，
1+ 2k 2
2t
y1 + y2 = kx1 + t + kx ． 2 + t = k(x1 + x2 ) + 2t =
1+ 2k 2
(y1 kx )(y kx则由 k k = 0 2 0
) 1
，
1 2 =
(x1 x0 )(x2 x0 ) 2
即 (x1 x0 )(x2 x0 ) + 2(y1 kx0 )(y2 kx0 ) = 0 ．
得 x 2 2 21x2 x0 (x1 + x2 ) + x0 + 2y1 y2 2kx0 (y1 + y2 ) + 2k x0 = 0 ． ……1 分
即 (1+ 2k 2 )2 x20 (4k
2 4t2 + 2) = 0． ……1 分
因为1+ 2k 2 = 2t2 ，则 4k 2 4t 2 + 2 = 0． ……1 分
所以 x0 = 0 ． ……1 分
即W (0,0)．
综上所述，W 为坐标原点．
（21）（共 14 分）
x = x 1,
解：（Ⅰ）由平移可得 此即为坐标变换公式．……2 分
y = y + 2.
所以 A(1，2) ，按线性变换 1 变换后，所得新点 A 的坐标为 (0，4) ．……2 分
（Ⅱ）设将 x 轴逆时针转到 OP 的角为 点，点 P(x, y)绕原点逆时针旋转 得 P (x , y ) ，
x =| OP | cos
由三角函数可得 ，……1 分
y =| OP | sin
x =| OP | cos ( + )
，……1 分
y =| OP | sin ( + )
2 2
x = x y ,
π 2 2
当 = 时， 此即为坐标变换式．……1 分
4 2 2
y = x + y , 2 2
x2 y2 π
设将 + =1上任一点 P(x, y)，绕原点逆时针旋转 后，
4 3 4
得到的新的椭圆上一点 P (x , y ) ．
2 2 2
x = x y , x = (x + y ) ,
2 2
由 得 2 ……1 分
2 2 2
y
= x + y , y = (y x
) ,
2 2 2
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(x + y )2 (y x )2
所以 + =1，即 7x 2 2x y + 7y 2 24 = 0 ．
8 6
所以新的椭圆方程为 7x2 2xy + 7 y2 24 = 0 ． ……1 分
π
（Ⅲ）先把点 P(x, y)绕原点逆时针旋转 ，得到点 P (x , y ) ，
4
2
x = (x + y ) ,

则 2 ……2 分
2
y = (y x ) , 2
1 1 1 2
所以 (x + y )2 + (y 2 x 2 ) + (y x )2 + 2(x + y ) + (y x ) 2 = 0，
2 2 2 2
1 2 3化简得 x + y 2
2 3 2
+ x + y 2 = 0．……1 分
2 2 2 2
2 2
再把点 P (x , y ) 向右平移 ，向上平移 ，得到点 P (x , y ) ．…1 分
2 2
2
x = x ,

则 2 ……1 分
2
y = y
,
2
1 2 3 2
所以 (x )2 + (y )2
2 2 3 2 2
+ (x ) + (y ) 2 = 0.
2 2 2 2 2 2 2 2
x 2 y 2
化简得 + =1，是焦点在 x 轴上的椭圆．
6 2
x2 y2
所以 E 的方程可以线性变换为椭圆的标准方程为 + =1．……1 分
6 2
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