概率的求法—北师大版数学九（上）知识点训练
一、列举法求概率
1．（2024·从江模拟）2023年10月25日，国务院办公厅发文，同意辽宁承办2028年第15届全国冬季运动会.2024年第14届全国冬季运动会于2月17日-27日在内蒙古举办.为弘扬体育精神，贵阳某校即将举行田径运动会，“体育达人”小明从“跳高”“跳远”“100米”“400米”四个项目中，随机选择两项，则他选择“100米”与“400米”两个项目的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．如图所示的两个转盘分别被分成了4等份和3等份，每份内标有颜色，小明和小华用这两个转盘做“配紫色”游戏，同时转动两个转盘，若一个转盘指针所指的颜色为红色，另一个转盘指针所指的颜色为蓝色即可配成紫色，那么配成紫色的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·从江模拟）在一次试验中，每个电子元件“”的状态有通电、断开两种可能，并且这两种状态的可能性相等，则图中之间电流能够正常通过的概率是 .
4． 从长为9，6，5，4的四根木条中任取三根．
（1）请直接写出不同的取法有几种，分别列举出来．
（2）求出能组成三角形的概率．
二、几何概率
5．（2024九上·余姚期中）小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机地停留在某块方砖上，每一块方砖除颜色外完全相同，它最终停留在黑色方砖上的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·婺城二模）如图，在正方形中，点M，N是的三等分点，分别以，为边作正方形．正方形被分为如图所示的三个区域．小明同学在正方形内进行撒豆子试验，以下说法正确的是（ ）
A．豆子落在区域Ⅰ的概率最小
B．豆子落在区域Ⅱ的概率最小
C．豆子落在区域Ⅲ的概率最小
D．豆子落在区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率相同
7．（2024八上·南山开学考）如图，地板上每一个小正方形除颜色外都相同，向地板上随机掷一枚石子，石子落在阴影部分的概率是 ．
8．有一类随机事件概率的计算方法：设试验结果落在某个区域S中的每一点的机会均等，用A表示事件“试验结果落在S中的一个小区域M中”，那么事件A发生的概率P（A）=．有一块边长为30cm的正方形ABCD飞镖游戏板，假设飞镖投在游戏板上的每一点的机会均等．求下列事件发生的概率：
（1）在飞镖游戏板上画有半径为5cm的一个圆（如图1），求飞镖落在圆内的概率；
（2）飞镖在游戏板上的落点记为点O，求△OAB为钝角三角形的概率．
三、树状图法求概率
9．（2024九下·平江模拟）在如图所示的电路中，随机闭合开关，，中的两个，能让红灯发光的概率是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·武汉）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，这三种可能性大小相同．若两辆汽车经过这个十字路口，则至少一辆车向右转的概率是（ ）
A． B． C． D．
11．（2023九上·九龙坡月考）从四个数中随机取两个数求和记为，则使得一次函数的图象经过一、三象限的概率为 ．
12．（2024·宁海）今年6月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动．赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为，，，四个等级，，，，．并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：
（1）请把条形统计图补充完整．
（2）扇形统计图中 ， ，等级所占扇形的圆心角度数为 ．
（3）该校准备从上述获得等级的四名学生中选取两人参加永州市举行的“六城同创”知识竞赛，已知这四人中有两名男生（用，表示），两名女生（用，表示），请利用树状图法或列表法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
13．（2020九上·襄城月考）阅读材料，回答问题：
（1）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转.如果这三种可能性的大小相同，求三辆汽车经过这个十字路口时，至少要两辆车向左转的概率
（2）有两把不同的锁和三把钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把锁（一把钥匙只能开一把锁），第三把钥匙不能打开这两把锁.随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是多少？
（3）我们可以用“袋中摸球”的试验来模拟题(1)：在口袋中放三个不同颜色的小球，红球表示直行，绿球表示向左转，黑球表示向右转，三辆汽车经过路口，相当于从三个这样的口袋中各随机摸出一球.
问题：
①事件“至少有两辆车向左转”相当于“袋中摸球”的试验中的什么事件？
②设计一个“袋中摸球”的试验模拟题2，请简要说明你的方案
③请直接写出题2的结果.
四、列表法求概率
14．（2024·乌鲁木齐三模） 2024年央视春晚的主题为“龙行龘龘，欣欣家国”．“龙行龘龘”寓意中华儿女奋发有为、昂扬向上的精神风貌．将分别印有“龙”“行”“龘”“龘”四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取一张不放回，再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上恰有一张印有汉字“龘”的概率为（ ）
A． B． C． D．
15．（2022·常德）从1，2，3，4，5这五个数中任选两个数，其和为偶数的概率为（ ）
A． B． C． D．
16．（2024九上·深圳期中）某学校在4月23日世界读书日举行“书香校园，全员阅读”活动．小明和小颖去学校图书室借阅书籍，小明准备从《西游记》、《骆驼祥子》、《水浒传》中随机选择一本，小颍准备从《西游记》、《骆驼祥子》、《朝花夕拾》中随机选择一本，小明和小颖恰好选中书名相同的书的概率是 ．
17．（2023九上·青羊月考）有三张正面分别标有数字，，的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同现将它们背面朝上，洗匀后从中任意抽取一张，将该卡片正面上的数字记为；不放回，再从中任意抽取一张，将该卡片正面朝上的数字记为，则使关于的不等式组的解集中有且只有个非负整数的概率为 ．
18．（2023九上·萧山期中）四张卡片上分别标有1，2，3，4，它们除数字外没有区别，现将它们放在不透明的盒子里搅拌均匀，任意从盒子里抽取一张卡片，不放回，再任意抽取第二张卡片．
（1）请用画树状图或列表的方式求出抽取的两张卡片数字和大于等于5的概率；
（2）若取出的两张卡片上的数字都为奇数，则甲胜；取出的两张卡片上的数字为一奇一偶，则乙胜；试分析这个游戏是否公平？请说明理由．
19．某商场举行促销活动，消费满一定金额的顾客可以通过参与摸球活动获得奖励．具体方法如下：从一个装有2个红球、3个黄球（仅颜色不同）的袋中摸出2个球，根据摸到的红球数确定奖励金额，具体金额设置如下表：现有两种摸球方案：
摸到的红球数 0 1 2
奖励（单位：元） 5 10 20
方案一：随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出一个球；
方案二：随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球．
（1）求方案一中，两次都摸到红球的的概率；
（2）请你从平均收益的角度帮助顾客分析，选择哪种摸球方案更有利
五、用频率估计概率
20．（2024九上·东川期中）近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（ ）．
A． B． C． D．
21．（2024七下·榕城期末）如图所示，平整的地面上有一个不规则图案图中阴影部分，小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果，他将若干次有效试验的结果绘制成了图所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为( )
A． B． C． D．
22．（2024七下·南明月考）在“抛掷正六面体”的试验中，正六面体的六个面分别标有数字“1”“2”“3”“4”“5”“6”，当试验次数很大时，数字“6”朝上的频率的变化趋势接近的值是 .
23．（2024七下·宝安期末）某购物商场为促进顾客消费，特设一可自由转动的转盘．顾客凡购物满200元，即有机会转动转盘一次．转盘分为多个区域，每个区域对应不同的优惠券．下表是活动进行中的一组统计数据（结果精确到0.001）：
转动转盘的次数n 50 100 150 200 500 800 1000 2000
落在“减免20元券”区域的次数m 19 39 55 81 b 318 403 800
落在“减免20元券”区域的频率为 a 0.390 0.367 0.405 0.39 0.398 0.403 0.400
请根据表格完成以下问题：
（1）______；
（2）上表中，当转动转盘的次数为500时，落在“减免20元券”区域的频率被墨迹遮挡了部分数字，请估计b的值是______（填写一个值）；
（3）落在“减免20元券”区域的频率的变化有什么规律？
（4）请估计落在“减免20元券”区域的概率是______．
24．（2024七下·罗湖期末）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球，这些球除颜色外都相同．小颖做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的部分统计数据：
摸球的次数n 10 20 50 100 200 400 500 1000 2000
摸到白球的次数m 4 7 10 28 45 97 127 252 498
摸到白球的频率m 0.400 0.350 0.200 0.280 0.225 0.243 0.254 0.252 0.249
（1）小颖从盒子里随机摸出一只蓝球是 (填序号)
①必然事件 ②不可能事件 ③随机事件
（2）摸到白球的概率的估计值是 (精确到0.01)；
（3）某小组进行“用频率估计概率”的试验，符合问题（2）中结果的试验最有可能的是 (填序号)．
①投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上．
②在甲、乙、丙、丁四人中用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲．
③掷一个质地均匀的正方体骰子(面的点数分别为1到6)，落地时面朝上点数“小于3”．
（4）受上述摸球实验的启发，小刚为了估计边长为10的正方形二维码上黑色阴影部分的面积，他在纸片内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在 0.65 左右，则据此估计此二维码黑色阴影部分的面积为 ．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】简单事件概率的计算；用列举法求概率
【解析】【解答】解：小明的选择方案有：（跳高，跳远），（跳高，100米），（跳高，400米），（跳远，100米），（跳远，400米），（100米，400米），共6种等可能结果，其中选择“100米”与“400米”两个项目的结果只有1种，
∴小明选择“100米”与“400米”两个项目的概率是.
故答案为：C.
【分析】用列举法确定所有等可能的结果，从中找出符合条件的结果，最后有概率的公式计算。
2．【答案】A
【知识点】概率公式；用列举法求概率
【解析】【解答】解：列举如下：红红，红红，红蓝，红红，红红，红蓝，蓝红，蓝红，蓝蓝，黄红，黄红，黄蓝，共有12种等可能结果，其中可配成紫色的有4种，
∴ 配成紫色的概率是.
故答案为：A.
【分析】利用列举法列举出共有12种等可能结果，其中可配成紫色的有4种，再利用概率公式计算即可.
3．【答案】
【知识点】概率公式；用列举法求概率
【解析】【解答】解：依题意，为使得A，B之间的电流正常通过，需两元件均处于通电状态，
其中事件发生的可能有①元件1通电，元件2通电；②元件1通电，元件2断电；③元件1断电，元件2通电；④元件1断电，元件2断电；
∴符合条件的概率=.
故答案为：.
【分析】依题意分析并列举所有可能发生的事件，找出符合条件的事件即可得出其概率.
4．【答案】（1）解：4 种，分别是(9，6，4)，(9，6，5)，(9，5，4)，(6，5，4)；
（2）解：能组成三角形的情况分别是(9，6，4)， (9，6，5)， (6，5，4)，所以能组成三角形的概率P= .
【知识点】三角形三边关系；用列举法求概率
【解析】【分析】（1）根据题意列举出来即可求解；
（2）根据（1）中列举的结果结合三角形的三边关系得到能组成三角形的情况分别是(9，6，4)， (9，6，5)， (6，5，4)，进而根据等可能事件的概率即可求解。
5．【答案】C
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：黑色方砖的面积为4，总面积为9，
停留在黑色方砖上的概率是，
故答案为：C
【分析】根据几何概率的求解方法，停留在黑色方砖上的概率是黑色方砖的面积与总面积的比值，求解即可.
6．【答案】A
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：设正方形的边长为3x，
∵点M，N是AB的三等分点，
∴AM=x，AN=2x，
∴区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积分别为x2，3x2，5x2，
∴、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为，，，
故豆子落在区域Ⅰ的概率最小 ；
故答案为：A.
【分析】分别求出豆子落在区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率，即可求解.
7．【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：设每个正方形的面积为1，总面积为3×4=12
∴阴影部分面积=
=12-2-2-0.5-1-0.5
=6
∴ 石子落在阴影部分的概率是
故答案为：.
【分析】设每个正方形的面积为1，总面积为12，再根据割补法求出阴影部分的面积，然后根据概率公式： 石子落在阴影部分的概率=，计算概率即可.
8．【答案】解：（1）∵半径为5cm的圆的面积=π 52=25πcm2，
边长为30cm的正方形ABCD的面积=302=900cm2，
∴P（飞镖落在圆内）===；
（2）如图可得：当点O落在以AB为直径的半圆内△OAB为钝角三角形．
∵S半圆= π 152=，
∴P（△OAB为钝角三角形）==．
【知识点】几何概率
【解析】【分析】（1）分别计算半径为5cm的圆的面积和边长为30cm的正方形ABCD的面积，然后计算即可求出飞镖落在圆内的概率；
（2）根据题意及结合图形可得：当点O落在以AB为直径的半圆内△OAB为钝角三角形，然后计算以AB为直径的半圆的面积，然后用半圆的面积除以正方形的面积即可求△OAB为钝角三角形的概率．
9．【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，能让红灯发光的有2种情况，
∴能让红灯发光的概率为．
故答案为：A．
【分析】画树状图得到所有等可能的结果数与能让红灯发光的情况数，再根据概率公式计算即可．
10．【答案】D
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图如图所示，
共有9种等可能的结果，至少一辆车向右转有5种结果，
∴至少一辆车向右转的概率是：，
故答案为：D．
【分析】先画树状图，用树状图法确定所有等可能的结果数量和符合题意的结果数量，然后用概率公式解答即可．
11．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵使得一次函数y=ax的图像经过一、三象限，
∴a>0，即四个数中随机取两个数求和的结果为正数，
画树状图如下：
∴共有12种等可能的结果，其中四个数中随机取两个数求和的结果为正数的有6种，
∴从四个数中随机取两个数求和记为，使得一次函数的图象经过一、三象限的概率为，
故答案为：．
【分析】根据正比例函数的图象性质：当k>0时，函数图象经过一、三象限；当k<0时，函数图象经过二、四象限，得a>0，然后画出树状图得所有的等可能结果数为12，其中四个数中随机取两个数求和的结果为正数的结果数为6，最后利用概率公式进行解答即可.
12．【答案】（1）解：被调查的总人数为（人，
等级人数为（人，
补全图形如下：
（2）15；5；
（3）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，恰好抽到1名男生和1名女生的有8种结果，
恰好抽到1名男生和1名女生的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（2）n=，
m= ，
等级所占扇形的圆心角度数为360°×70%=252°，
故答案为：15，5，252°；
【分析】（1）先根据A组人数和所占的百分比求出总人数，然后计算C等级人数补图即可；
（2）先根据D等级人数计算n的值，然后根据C等级人数计算m值即可；
（3）画树状图得到所有结果数，然后找到符合条件的结果数，利用概率公式计算即可.
13．【答案】（1）解：画树状图得：
∴一共有27种等可能的情况；
至少有两辆车向左转的有7种：直左左，右左左，左直左，左右左，左左直，左左右，左左左，
则至少有两辆车向左转的概率为：
（2）解：列表得：
锁1 锁2
钥匙1 （锁1，钥匙1） （锁2，钥匙1）
钥匙2 （锁1，钥匙2） （锁2，钥匙2）
钥匙3 （锁1，钥匙3） （锁2，钥匙3）
所有等可能的情况有6种，其中随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的2种，
则P= =
（3）解：①至少摸出两个绿球；
②一口袋中放红色和黑色的小球各一个，分别表示不同的锁；另一口袋中放红色、黑色和绿色的小球各一个，分别表示不同的钥匙；其中同颜色的球表示一套锁和钥匙.“随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率”，相当于，“从两个口袋中各随机摸出一个球，两球颜色一样的概率”；
③ .
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】（1）由题意画出树状图，根据树状图的信息可知 一共有27种等可能的情况；至少有两辆车向左转的有7种，然后根据概率公式可求解；
（2）由题意列出表格，根据表格的信息可知 所有等可能的情况有6种，其中随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的2种，然后根据概率公式可求解；
（3）根据（1）和（2）中的计算可求解.
14．【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：
列表如下：
龙 行 龘 龘
龙 (龙， 行) (龙， 龘) (龙， 龘)
行 (行， 龙) (行， 龘) (行， 龘)
龍 (龘， 龙) (龘，行) (龘， 龘)
龘 (龘， 龙) (龘， 行) (龘， 龘)
由表格可知，共有12种等可能的结果，其中抽取的两张卡片上恰有一张印有汉字“龘”的结果有8种，
∴抽取的两张卡片上恰有一张印有汉字“龘”的概率为
故选： A.
【分析】列表得出所有等可能的结果数，找出抽取的两张卡片上恰有一张印有汉字“龘”的结果数，然后利用概率公式可得出答案.
15．【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列表如下，
1 2 3 4 5
1 3 4 5 6
2 3 5 6 7
3 4 5 7 8
4 5 6 7 9
5 6 7 8 9
共有20种等可能结果，其中和为偶数的有8种，
则其和为偶数的概率为
故答案为：B.
【分析】长此题是抽取不放回类型，列出表格，找出总情况数以及和为偶数的情况数，然后根据概率公式进行计算.
16．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：将《西游记》、《骆驼祥子》、《水浒传》、《朝花夕拾》分别记为A，B，C，D，
列表如下：
A B D
A （A，A） （A，B） （A，D）
B （B，A） （B，B） （B，D）
C （C，A） （C，B） （C，D）
共有9种等可能的结果，其中小明和小颖恰好选中书名相同的书的结果有2种，
∴小明和小颖恰好选中书名相同的书的概率为．
故答案为：．
【分析】先列表可得出所有等可能的结果数以及小明和小颖恰好选中书名相同的书的结果数，再利用概率公式计算即可．
17．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；几何概率；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】
列表法表示所有情况：
则的值可以是-1，-2，-1，2，，
∵关于的不等式组的解集中有且只有个非负整数
∴＜x＜5
∴的值是2
∴使关于的不等式组的解集中有且只有个非负整数的概率为.
【分析】本题考查一元二次方程组的特殊解和概率的计算。 解决有关概率问题，需要熟练掌握列表法和树状图法，另外有时也会直接用公式法，利用频率估计概率要学会灵活运用。 一般在一次试验中有两个因素时，用列表法较为简单直观；当一次试验中有两个或两个以上因素时常用树状图法.
18．【答案】（1）解：列表如下：
1 2 3 4
1 —— 3 4 5
2 3 —— 5 6
3 4 5 —— 7
4 5 6 7 ——
所有等可能的情况数有12种，其中抽取的两张卡片数字和大于等于5的有8种，则抽取的两张卡片数字和大于等于5的概率是；
（2）解：列表如下：
1 2 3 4
1 —— （2，1） （3，1） （4，1）
2 （1，2） —— （3，2） （4，2）
3 （1，3） （2，3） —— （4，3）
4 （1，4） （2，4） （3，4） ——
所有等可能的情况数有12种，其中两张卡片上的数字都为奇数有2种，取出的两张卡片上的数字为一奇一偶有10种，
则甲胜的概率是，乙胜的概率是，
，
这个游戏不公平.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；游戏公平性
【解析】【分析】（1）通过列表法表示出所有可能的情况，可得所有等可能的情况数有12种，其中抽取的两张卡片数字和大于等于5的有8种，进而求得抽取的两张卡片数字和大于等于5的概率；
（2）利用列表法求得取出的两张卡片上的数字都为奇数和取出的两张卡片上的数字为一奇一偶两种情况的概率，可得甲获胜的概率小于乙获胜的概率，故可判定这个游戏不公平.
19．【答案】（1）解：对于方案一，列表如下．
由上表可知，共有20种等可能的结果，两次都摸到红球的结果数是2．
故采用方案一摸球，两次都摸到红球的概率为
（2）解：由（1）中表可知，采用方案一，两次都摸到红球的概率为，摸到一次红球的概率为，没有摸到红球的概率为．平均收益为元．
对于方案二，列表如下．
由上表可知，共有25种等可能的结果，两次摸到红球的结果数是4，摸到一次红球的结果数是12，没有摸到红球的结果数是9．
所以两次都摸到红球的概率为，摸到一次红球的概率为，没有摸到红球的概率为．
平均收益为元．
∵，∴从平均收益的角度看，顾客选择方案二更有利．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率的简单应用
【解析】【分析】(1)列表得出所有等可能结果，从中找到两次都摸到红球的结果数，再根据概率公式求解即可.
(2)用摸到红球的概率乘以对应收益分别计算出两种方案的平均收益，从而得出答案.
20．【答案】B
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：∵经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，
∴点落在黑色阴影的概率为，
∴黑色阴影的面积占整个面积的，
∴黑色阴影的面积为，
故答案为：B．
【分析】本题考查用频率估计概率，几何概率。根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到点落在黑色阴影的概率为，即黑色阴影的面积占整个面积的，进而可得：黑色阴影的面积为，再进行计算可求出答案．
21．【答案】C
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：根据题意得5×4×0.3=6m2.
故答案为：C.
【分析】运用频率估计概率，试验次数越多发生的概率越接近事实，所以当840次时频率为0.3，所以不规则图案面积占长方形面积为0.3.
22．【答案】
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由题意得当试验次数很大时，数字“6”朝上的频率的变化趋势接近的值是，
故答案为：
【分析】 在大量重复实验的情况下， 某个事件发生的频率会趋近于其理论概率。 在抛掷正方体骰子的实验中， 骰子有六个面， 每个面出现的概率理论上应该是相等的。 由于数字“6”在骰子上只有一个， 因此其出现的理论概率是 。 随着试验次数的增加， 数字“6”出现的频率会逐渐接近这个理论概率。
23．【答案】（1）
（2）
（3）解：落在“减免20元券”区域的频率的变化稳定在附近；
（4）
【知识点】频数与频率；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：（1）；
故填：0.38.
（2）；
故填：198.
（4）解：由（3）可知，估计落在“减免20元券”区域的概率趋于，
故填：0.40.
【分析】（1）根据频率频数总数，计算即可得出答案；
（2）由频数乘以频率即可得到答案；
（3）利用频率估计概率求解即可．
（4）由稳定的频率可得概率
24．【答案】（1）②
（2）0.25
（3）②
（4）65
【知识点】事件的分类；几何概率；利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：（1）小颖从盒子里随机摸出一只蓝球是不可能事件，故答案为：②；
（2）解：由表可知，摸球2000次时摸到白球的频率为0.249，因此摸到白球的概率的估计值是0.25，
故答案为：0.25；
（3）解：①“投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上”的概率为．
②“在甲、乙、丙、丁四人中用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲”的概率为．
③“掷一个质地均匀的正方体骰子(面的点数分别为1到6)，落地时面朝上点数小于3”的概率为．
因此符合问题（2）中结果的试验最有可能的是②，
故答案为：②；
（4），估计此二维码黑色阴影部分的面积为65，
故答案为：65．
【分析】（1）根据事件的分类的定义分析判断可得答案；
（2）根据图表信息分析，用频率估计概率可得答案；
（3）分别求出试验①②③的概率可得答案；
（4）用正方形面积乘以点落在黑色阴影的频率即可得出目标阴影面积．
1 / 1概率的求法—北师大版数学九（上）知识点训练
一、列举法求概率
1．（2024·从江模拟）2023年10月25日，国务院办公厅发文，同意辽宁承办2028年第15届全国冬季运动会.2024年第14届全国冬季运动会于2月17日-27日在内蒙古举办.为弘扬体育精神，贵阳某校即将举行田径运动会，“体育达人”小明从“跳高”“跳远”“100米”“400米”四个项目中，随机选择两项，则他选择“100米”与“400米”两个项目的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】简单事件概率的计算；用列举法求概率
【解析】【解答】解：小明的选择方案有：（跳高，跳远），（跳高，100米），（跳高，400米），（跳远，100米），（跳远，400米），（100米，400米），共6种等可能结果，其中选择“100米”与“400米”两个项目的结果只有1种，
∴小明选择“100米”与“400米”两个项目的概率是.
故答案为：C.
【分析】用列举法确定所有等可能的结果，从中找出符合条件的结果，最后有概率的公式计算。
2．如图所示的两个转盘分别被分成了4等份和3等份，每份内标有颜色，小明和小华用这两个转盘做“配紫色”游戏，同时转动两个转盘，若一个转盘指针所指的颜色为红色，另一个转盘指针所指的颜色为蓝色即可配成紫色，那么配成紫色的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】概率公式；用列举法求概率
【解析】【解答】解：列举如下：红红，红红，红蓝，红红，红红，红蓝，蓝红，蓝红，蓝蓝，黄红，黄红，黄蓝，共有12种等可能结果，其中可配成紫色的有4种，
∴ 配成紫色的概率是.
故答案为：A.
【分析】利用列举法列举出共有12种等可能结果，其中可配成紫色的有4种，再利用概率公式计算即可.
3．（2024·从江模拟）在一次试验中，每个电子元件“”的状态有通电、断开两种可能，并且这两种状态的可能性相等，则图中之间电流能够正常通过的概率是 .
【答案】
【知识点】概率公式；用列举法求概率
【解析】【解答】解：依题意，为使得A，B之间的电流正常通过，需两元件均处于通电状态，
其中事件发生的可能有①元件1通电，元件2通电；②元件1通电，元件2断电；③元件1断电，元件2通电；④元件1断电，元件2断电；
∴符合条件的概率=.
故答案为：.
【分析】依题意分析并列举所有可能发生的事件，找出符合条件的事件即可得出其概率.
4． 从长为9，6，5，4的四根木条中任取三根．
（1）请直接写出不同的取法有几种，分别列举出来．
（2）求出能组成三角形的概率．
【答案】（1）解：4 种，分别是(9，6，4)，(9，6，5)，(9，5，4)，(6，5，4)；
（2）解：能组成三角形的情况分别是(9，6，4)， (9，6，5)， (6，5，4)，所以能组成三角形的概率P= .
【知识点】三角形三边关系；用列举法求概率
【解析】【分析】（1）根据题意列举出来即可求解；
（2）根据（1）中列举的结果结合三角形的三边关系得到能组成三角形的情况分别是(9，6，4)， (9，6，5)， (6，5，4)，进而根据等可能事件的概率即可求解。
二、几何概率
5．（2024九上·余姚期中）小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机地停留在某块方砖上，每一块方砖除颜色外完全相同，它最终停留在黑色方砖上的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：黑色方砖的面积为4，总面积为9，
停留在黑色方砖上的概率是，
故答案为：C
【分析】根据几何概率的求解方法，停留在黑色方砖上的概率是黑色方砖的面积与总面积的比值，求解即可.
6．（2024·婺城二模）如图，在正方形中，点M，N是的三等分点，分别以，为边作正方形．正方形被分为如图所示的三个区域．小明同学在正方形内进行撒豆子试验，以下说法正确的是（ ）
A．豆子落在区域Ⅰ的概率最小
B．豆子落在区域Ⅱ的概率最小
C．豆子落在区域Ⅲ的概率最小
D．豆子落在区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率相同
【答案】A
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：设正方形的边长为3x，
∵点M，N是AB的三等分点，
∴AM=x，AN=2x，
∴区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积分别为x2，3x2，5x2，
∴、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为，，，
故豆子落在区域Ⅰ的概率最小 ；
故答案为：A.
【分析】分别求出豆子落在区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率，即可求解.
7．（2024八上·南山开学考）如图，地板上每一个小正方形除颜色外都相同，向地板上随机掷一枚石子，石子落在阴影部分的概率是 ．
【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：设每个正方形的面积为1，总面积为3×4=12
∴阴影部分面积=
=12-2-2-0.5-1-0.5
=6
∴ 石子落在阴影部分的概率是
故答案为：.
【分析】设每个正方形的面积为1，总面积为12，再根据割补法求出阴影部分的面积，然后根据概率公式： 石子落在阴影部分的概率=，计算概率即可.
8．有一类随机事件概率的计算方法：设试验结果落在某个区域S中的每一点的机会均等，用A表示事件“试验结果落在S中的一个小区域M中”，那么事件A发生的概率P（A）=．有一块边长为30cm的正方形ABCD飞镖游戏板，假设飞镖投在游戏板上的每一点的机会均等．求下列事件发生的概率：
（1）在飞镖游戏板上画有半径为5cm的一个圆（如图1），求飞镖落在圆内的概率；
（2）飞镖在游戏板上的落点记为点O，求△OAB为钝角三角形的概率．
【答案】解：（1）∵半径为5cm的圆的面积=π 52=25πcm2，
边长为30cm的正方形ABCD的面积=302=900cm2，
∴P（飞镖落在圆内）===；
（2）如图可得：当点O落在以AB为直径的半圆内△OAB为钝角三角形．
∵S半圆= π 152=，
∴P（△OAB为钝角三角形）==．
【知识点】几何概率
【解析】【分析】（1）分别计算半径为5cm的圆的面积和边长为30cm的正方形ABCD的面积，然后计算即可求出飞镖落在圆内的概率；
（2）根据题意及结合图形可得：当点O落在以AB为直径的半圆内△OAB为钝角三角形，然后计算以AB为直径的半圆的面积，然后用半圆的面积除以正方形的面积即可求△OAB为钝角三角形的概率．
三、树状图法求概率
9．（2024九下·平江模拟）在如图所示的电路中，随机闭合开关，，中的两个，能让红灯发光的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，能让红灯发光的有2种情况，
∴能让红灯发光的概率为．
故答案为：A．
【分析】画树状图得到所有等可能的结果数与能让红灯发光的情况数，再根据概率公式计算即可．
10．（2024·武汉）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，这三种可能性大小相同．若两辆汽车经过这个十字路口，则至少一辆车向右转的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图如图所示，
共有9种等可能的结果，至少一辆车向右转有5种结果，
∴至少一辆车向右转的概率是：，
故答案为：D．
【分析】先画树状图，用树状图法确定所有等可能的结果数量和符合题意的结果数量，然后用概率公式解答即可．
11．（2023九上·九龙坡月考）从四个数中随机取两个数求和记为，则使得一次函数的图象经过一、三象限的概率为 ．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵使得一次函数y=ax的图像经过一、三象限，
∴a>0，即四个数中随机取两个数求和的结果为正数，
画树状图如下：
∴共有12种等可能的结果，其中四个数中随机取两个数求和的结果为正数的有6种，
∴从四个数中随机取两个数求和记为，使得一次函数的图象经过一、三象限的概率为，
故答案为：．
【分析】根据正比例函数的图象性质：当k>0时，函数图象经过一、三象限；当k<0时，函数图象经过二、四象限，得a>0，然后画出树状图得所有的等可能结果数为12，其中四个数中随机取两个数求和的结果为正数的结果数为6，最后利用概率公式进行解答即可.
12．（2024·宁海）今年6月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动．赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为，，，四个等级，，，，．并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：
（1）请把条形统计图补充完整．
（2）扇形统计图中 ， ，等级所占扇形的圆心角度数为 ．
（3）该校准备从上述获得等级的四名学生中选取两人参加永州市举行的“六城同创”知识竞赛，已知这四人中有两名男生（用，表示），两名女生（用，表示），请利用树状图法或列表法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
【答案】（1）解：被调查的总人数为（人，
等级人数为（人，
补全图形如下：
（2）15；5；
（3）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，恰好抽到1名男生和1名女生的有8种结果，
恰好抽到1名男生和1名女生的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（2）n=，
m= ，
等级所占扇形的圆心角度数为360°×70%=252°，
故答案为：15，5，252°；
【分析】（1）先根据A组人数和所占的百分比求出总人数，然后计算C等级人数补图即可；
（2）先根据D等级人数计算n的值，然后根据C等级人数计算m值即可；
（3）画树状图得到所有结果数，然后找到符合条件的结果数，利用概率公式计算即可.
13．（2020九上·襄城月考）阅读材料，回答问题：
（1）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转.如果这三种可能性的大小相同，求三辆汽车经过这个十字路口时，至少要两辆车向左转的概率
（2）有两把不同的锁和三把钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把锁（一把钥匙只能开一把锁），第三把钥匙不能打开这两把锁.随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是多少？
（3）我们可以用“袋中摸球”的试验来模拟题(1)：在口袋中放三个不同颜色的小球，红球表示直行，绿球表示向左转，黑球表示向右转，三辆汽车经过路口，相当于从三个这样的口袋中各随机摸出一球.
问题：
①事件“至少有两辆车向左转”相当于“袋中摸球”的试验中的什么事件？
②设计一个“袋中摸球”的试验模拟题2，请简要说明你的方案
③请直接写出题2的结果.
【答案】（1）解：画树状图得：
∴一共有27种等可能的情况；
至少有两辆车向左转的有7种：直左左，右左左，左直左，左右左，左左直，左左右，左左左，
则至少有两辆车向左转的概率为：
（2）解：列表得：
锁1 锁2
钥匙1 （锁1，钥匙1） （锁2，钥匙1）
钥匙2 （锁1，钥匙2） （锁2，钥匙2）
钥匙3 （锁1，钥匙3） （锁2，钥匙3）
所有等可能的情况有6种，其中随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的2种，
则P= =
（3）解：①至少摸出两个绿球；
②一口袋中放红色和黑色的小球各一个，分别表示不同的锁；另一口袋中放红色、黑色和绿色的小球各一个，分别表示不同的钥匙；其中同颜色的球表示一套锁和钥匙.“随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率”，相当于，“从两个口袋中各随机摸出一个球，两球颜色一样的概率”；
③ .
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】（1）由题意画出树状图，根据树状图的信息可知 一共有27种等可能的情况；至少有两辆车向左转的有7种，然后根据概率公式可求解；
（2）由题意列出表格，根据表格的信息可知 所有等可能的情况有6种，其中随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的2种，然后根据概率公式可求解；
（3）根据（1）和（2）中的计算可求解.
四、列表法求概率
14．（2024·乌鲁木齐三模） 2024年央视春晚的主题为“龙行龘龘，欣欣家国”．“龙行龘龘”寓意中华儿女奋发有为、昂扬向上的精神风貌．将分别印有“龙”“行”“龘”“龘”四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取一张不放回，再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上恰有一张印有汉字“龘”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：
列表如下：
龙 行 龘 龘
龙 (龙， 行) (龙， 龘) (龙， 龘)
行 (行， 龙) (行， 龘) (行， 龘)
龍 (龘， 龙) (龘，行) (龘， 龘)
龘 (龘， 龙) (龘， 行) (龘， 龘)
由表格可知，共有12种等可能的结果，其中抽取的两张卡片上恰有一张印有汉字“龘”的结果有8种，
∴抽取的两张卡片上恰有一张印有汉字“龘”的概率为
故选： A.
【分析】列表得出所有等可能的结果数，找出抽取的两张卡片上恰有一张印有汉字“龘”的结果数，然后利用概率公式可得出答案.
15．（2022·常德）从1，2，3，4，5这五个数中任选两个数，其和为偶数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列表如下，
1 2 3 4 5
1 3 4 5 6
2 3 5 6 7
3 4 5 7 8
4 5 6 7 9
5 6 7 8 9
共有20种等可能结果，其中和为偶数的有8种，
则其和为偶数的概率为
故答案为：B.
【分析】长此题是抽取不放回类型，列出表格，找出总情况数以及和为偶数的情况数，然后根据概率公式进行计算.
16．（2024九上·深圳期中）某学校在4月23日世界读书日举行“书香校园，全员阅读”活动．小明和小颖去学校图书室借阅书籍，小明准备从《西游记》、《骆驼祥子》、《水浒传》中随机选择一本，小颍准备从《西游记》、《骆驼祥子》、《朝花夕拾》中随机选择一本，小明和小颖恰好选中书名相同的书的概率是 ．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：将《西游记》、《骆驼祥子》、《水浒传》、《朝花夕拾》分别记为A，B，C，D，
列表如下：
A B D
A （A，A） （A，B） （A，D）
B （B，A） （B，B） （B，D）
C （C，A） （C，B） （C，D）
共有9种等可能的结果，其中小明和小颖恰好选中书名相同的书的结果有2种，
∴小明和小颖恰好选中书名相同的书的概率为．
故答案为：．
【分析】先列表可得出所有等可能的结果数以及小明和小颖恰好选中书名相同的书的结果数，再利用概率公式计算即可．
17．（2023九上·青羊月考）有三张正面分别标有数字，，的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同现将它们背面朝上，洗匀后从中任意抽取一张，将该卡片正面上的数字记为；不放回，再从中任意抽取一张，将该卡片正面朝上的数字记为，则使关于的不等式组的解集中有且只有个非负整数的概率为 ．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；几何概率；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】
列表法表示所有情况：
则的值可以是-1，-2，-1，2，，
∵关于的不等式组的解集中有且只有个非负整数
∴＜x＜5
∴的值是2
∴使关于的不等式组的解集中有且只有个非负整数的概率为.
【分析】本题考查一元二次方程组的特殊解和概率的计算。 解决有关概率问题，需要熟练掌握列表法和树状图法，另外有时也会直接用公式法，利用频率估计概率要学会灵活运用。 一般在一次试验中有两个因素时，用列表法较为简单直观；当一次试验中有两个或两个以上因素时常用树状图法.
18．（2023九上·萧山期中）四张卡片上分别标有1，2，3，4，它们除数字外没有区别，现将它们放在不透明的盒子里搅拌均匀，任意从盒子里抽取一张卡片，不放回，再任意抽取第二张卡片．
（1）请用画树状图或列表的方式求出抽取的两张卡片数字和大于等于5的概率；
（2）若取出的两张卡片上的数字都为奇数，则甲胜；取出的两张卡片上的数字为一奇一偶，则乙胜；试分析这个游戏是否公平？请说明理由．
【答案】（1）解：列表如下：
1 2 3 4
1 —— 3 4 5
2 3 —— 5 6
3 4 5 —— 7
4 5 6 7 ——
所有等可能的情况数有12种，其中抽取的两张卡片数字和大于等于5的有8种，则抽取的两张卡片数字和大于等于5的概率是；
（2）解：列表如下：
1 2 3 4
1 —— （2，1） （3，1） （4，1）
2 （1，2） —— （3，2） （4，2）
3 （1，3） （2，3） —— （4，3）
4 （1，4） （2，4） （3，4） ——
所有等可能的情况数有12种，其中两张卡片上的数字都为奇数有2种，取出的两张卡片上的数字为一奇一偶有10种，
则甲胜的概率是，乙胜的概率是，
，
这个游戏不公平.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；游戏公平性
【解析】【分析】（1）通过列表法表示出所有可能的情况，可得所有等可能的情况数有12种，其中抽取的两张卡片数字和大于等于5的有8种，进而求得抽取的两张卡片数字和大于等于5的概率；
（2）利用列表法求得取出的两张卡片上的数字都为奇数和取出的两张卡片上的数字为一奇一偶两种情况的概率，可得甲获胜的概率小于乙获胜的概率，故可判定这个游戏不公平.
19．某商场举行促销活动，消费满一定金额的顾客可以通过参与摸球活动获得奖励．具体方法如下：从一个装有2个红球、3个黄球（仅颜色不同）的袋中摸出2个球，根据摸到的红球数确定奖励金额，具体金额设置如下表：现有两种摸球方案：
摸到的红球数 0 1 2
奖励（单位：元） 5 10 20
方案一：随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出一个球；
方案二：随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球．
（1）求方案一中，两次都摸到红球的的概率；
（2）请你从平均收益的角度帮助顾客分析，选择哪种摸球方案更有利
【答案】（1）解：对于方案一，列表如下．
由上表可知，共有20种等可能的结果，两次都摸到红球的结果数是2．
故采用方案一摸球，两次都摸到红球的概率为
（2）解：由（1）中表可知，采用方案一，两次都摸到红球的概率为，摸到一次红球的概率为，没有摸到红球的概率为．平均收益为元．
对于方案二，列表如下．
由上表可知，共有25种等可能的结果，两次摸到红球的结果数是4，摸到一次红球的结果数是12，没有摸到红球的结果数是9．
所以两次都摸到红球的概率为，摸到一次红球的概率为，没有摸到红球的概率为．
平均收益为元．
∵，∴从平均收益的角度看，顾客选择方案二更有利．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率的简单应用
【解析】【分析】(1)列表得出所有等可能结果，从中找到两次都摸到红球的结果数，再根据概率公式求解即可.
(2)用摸到红球的概率乘以对应收益分别计算出两种方案的平均收益，从而得出答案.
五、用频率估计概率
20．（2024九上·东川期中）近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：∵经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，
∴点落在黑色阴影的概率为，
∴黑色阴影的面积占整个面积的，
∴黑色阴影的面积为，
故答案为：B．
【分析】本题考查用频率估计概率，几何概率。根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到点落在黑色阴影的概率为，即黑色阴影的面积占整个面积的，进而可得：黑色阴影的面积为，再进行计算可求出答案．
21．（2024七下·榕城期末）如图所示，平整的地面上有一个不规则图案图中阴影部分，小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果，他将若干次有效试验的结果绘制成了图所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：根据题意得5×4×0.3=6m2.
故答案为：C.
【分析】运用频率估计概率，试验次数越多发生的概率越接近事实，所以当840次时频率为0.3，所以不规则图案面积占长方形面积为0.3.
22．（2024七下·南明月考）在“抛掷正六面体”的试验中，正六面体的六个面分别标有数字“1”“2”“3”“4”“5”“6”，当试验次数很大时，数字“6”朝上的频率的变化趋势接近的值是 .
【答案】
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由题意得当试验次数很大时，数字“6”朝上的频率的变化趋势接近的值是，
故答案为：
【分析】 在大量重复实验的情况下， 某个事件发生的频率会趋近于其理论概率。 在抛掷正方体骰子的实验中， 骰子有六个面， 每个面出现的概率理论上应该是相等的。 由于数字“6”在骰子上只有一个， 因此其出现的理论概率是 。 随着试验次数的增加， 数字“6”出现的频率会逐渐接近这个理论概率。
23．（2024七下·宝安期末）某购物商场为促进顾客消费，特设一可自由转动的转盘．顾客凡购物满200元，即有机会转动转盘一次．转盘分为多个区域，每个区域对应不同的优惠券．下表是活动进行中的一组统计数据（结果精确到0.001）：
转动转盘的次数n 50 100 150 200 500 800 1000 2000
落在“减免20元券”区域的次数m 19 39 55 81 b 318 403 800
落在“减免20元券”区域的频率为 a 0.390 0.367 0.405 0.39 0.398 0.403 0.400
请根据表格完成以下问题：
（1）______；
（2）上表中，当转动转盘的次数为500时，落在“减免20元券”区域的频率被墨迹遮挡了部分数字，请估计b的值是______（填写一个值）；
（3）落在“减免20元券”区域的频率的变化有什么规律？
（4）请估计落在“减免20元券”区域的概率是______．
【答案】（1）
（2）
（3）解：落在“减免20元券”区域的频率的变化稳定在附近；
（4）
【知识点】频数与频率；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：（1）；
故填：0.38.
（2）；
故填：198.
（4）解：由（3）可知，估计落在“减免20元券”区域的概率趋于，
故填：0.40.
【分析】（1）根据频率频数总数，计算即可得出答案；
（2）由频数乘以频率即可得到答案；
（3）利用频率估计概率求解即可．
（4）由稳定的频率可得概率
24．（2024七下·罗湖期末）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球，这些球除颜色外都相同．小颖做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的部分统计数据：
摸球的次数n 10 20 50 100 200 400 500 1000 2000
摸到白球的次数m 4 7 10 28 45 97 127 252 498
摸到白球的频率m 0.400 0.350 0.200 0.280 0.225 0.243 0.254 0.252 0.249
（1）小颖从盒子里随机摸出一只蓝球是 (填序号)
①必然事件 ②不可能事件 ③随机事件
（2）摸到白球的概率的估计值是 (精确到0.01)；
（3）某小组进行“用频率估计概率”的试验，符合问题（2）中结果的试验最有可能的是 (填序号)．
①投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上．
②在甲、乙、丙、丁四人中用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲．
③掷一个质地均匀的正方体骰子(面的点数分别为1到6)，落地时面朝上点数“小于3”．
（4）受上述摸球实验的启发，小刚为了估计边长为10的正方形二维码上黑色阴影部分的面积，他在纸片内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在 0.65 左右，则据此估计此二维码黑色阴影部分的面积为 ．
【答案】（1）②
（2）0.25
（3）②
（4）65
【知识点】事件的分类；几何概率；利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：（1）小颖从盒子里随机摸出一只蓝球是不可能事件，故答案为：②；
（2）解：由表可知，摸球2000次时摸到白球的频率为0.249，因此摸到白球的概率的估计值是0.25，
故答案为：0.25；
（3）解：①“投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上”的概率为．
②“在甲、乙、丙、丁四人中用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲”的概率为．
③“掷一个质地均匀的正方体骰子(面的点数分别为1到6)，落地时面朝上点数小于3”的概率为．
因此符合问题（2）中结果的试验最有可能的是②，
故答案为：②；
（4），估计此二维码黑色阴影部分的面积为65，
故答案为：65．
【分析】（1）根据事件的分类的定义分析判断可得答案；
（2）根据图表信息分析，用频率估计概率可得答案；
（3）分别求出试验①②③的概率可得答案；
（4）用正方形面积乘以点落在黑色阴影的频率即可得出目标阴影面积．
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