概率的应用—北师大版数学九（上）知识点训练
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（2024·武汉模拟）随着“双减”政策的实施和课后延时托管的开展，某学校开设了四门兴趣课程，分别为“绘画”“声乐”“陶艺”和“书法”．学校规定每人只能选择自己喜欢的一门课程学习．小明与小亮对这四门课程都感兴趣，在没有沟通的情况下，这两人选择同一门课程的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率的简单应用
【解析】【解答】解：设“绘画”“声乐”“陶艺”和“书法”这四种课程分别为A、B、C、D．
画树状图如下：
共有16种等可能的结果，小明与小亮两人恰好同时选择同一门课程的结果有4种，即AA、BB、CC、DD，
∴概率为.
故答案为：A.
【分析】画树状图，共有16种等可能的结果，其中小明与小亮两人恰好同时选择同一门课程的结果有4种，再由概率公式求解即可．
2．（2024·杭州模拟）小明同学上学途中要经过一个有交通信号灯的路口，该路口交通信号灯红灯时间为30秒，绿灯时间为25秒，黄灯时间为5秒，则小明过该路口时恰好遇到绿灯的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】概率公式；概率的简单应用
【解析】【解答】解：∵该路口交通信号灯红灯时间为30秒，绿灯时间为25秒，黄灯时间为5秒，共60秒，
∴小明过该路口时恰好遇到绿灯的概率为，
故答案为：A.
【分析】先求出所有等可能的情况数，再求出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解即可。
3．（2024九上·福田期中）福田区为了解初中生近视情况，在全区进行初中生视力的随机抽查，结果如下表。根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率的估计，最合理的是（ ）
累计抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 800
近视学生数与n的比值 0.423 0.410 0.400 0.401 0.413 0.409 0.410
A．0.423 B．0.400 C．0.413 D．0.410
【答案】D
【知识点】简单事件概率的计算；概率的简单应用
【解析】【解答】解：∵随着累计抽测学生数的增大，近视的学生数与n的比值逐渐稳定于0.410，
∴对该区初中生近视的概率的估计，最合理的是0.410，
故答案为：D．
【分析】结合表格中的数据及估计概率的计算方法分析求解即可.
4． 在联欢会上， 三名同学分别站在锐角三角形 的三个顶点位置上， 玩 “抢凳子” 的游戏， 游戏要求在 内放一个木凳， 谁先抢到凳子谁获胜， 为使游戏公平， 凳子最适合摆放的位置是 的（ ）
A．三边垂直平分线的交点 B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三条高线的交点
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；游戏公平性
【解析】【解答】解：根据线段的垂直平分线的性质得：
为使游戏公平， 凳子最适合摆放的位置是△ABC的三边垂直平分线的交点.
故答案为：A.
【分析】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是根据线段的垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可求解.
5．（2024九下·成都月考） 小红在公司进行抽奖，已知抽到红球为中奖，而抽奖口袋里有个白球、个黑球和个红球，那么小红中奖的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】概率公式；概率的简单应用
【解析】【解答】 小红中奖的概率为
孤单案为：A.
【分析】直接利用概率公式代入数据进行计算即可求解.
6．动物园准备了100张奖券，打算送给开业当天的前100位游客每人一张，其中可抽中奖品的奖券共有32张，下表为奖品的种类及数量.
种类 北极熊玩偶 狮子玩偶 造型马克杯 纪念钥匙圈
数量(个) 1 1 10 20
若小张为开业当天的第一位游客，且每张奖券被小张抽到的机会相等，则小张抽中玩偶的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】解：∵共有100张刮刮乐，其中玩偶有2个，
∴小柏刮中玩偶的概率是，
故选：D.
【分析】根据概率公式：，n表示该试验中所有可能出现的基本结果的总数目，m表示事件A包含的试验基本结果数，即可求解.
7．为增强班级凝聚力， 吴老师组织开展了一次主题班会． 班会上， 他设计了一个如图 所示的飞镖靶盘， 靶盘由两个同心圆构成， 小圆半径为 ， 大圆半径为 ，每个扇形的圆心角为 ． 如果用飞镖击中靶盘每一处是等可能的，那么小全同学任意投掷飞飞镖1 次 （击中边界或没有击中靶盘，则重投 1 次）， 投中“免一次作业”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等可能事件的概率；概率的简单应用
【解析】【解答】解：观察可知投中“与老师共进晚餐”的概率为：，
故投中“免一次作业”的概率为：.
故答案为：B.
【分析】先计算出“与老师共进晚餐”的概率，即可得其他项目项目的概率和，再根据其他项目等可能发生，用其他项目的概率和×，即可得“ 免一次作业 ”的概率.
8．（2024九下·任丘模拟）某小区门口的电子显示屏上滚动显示的内容和停留时间如图所示，小明抬头看显示屏时，最大可能看到的内容是（ ）
内容 时间/秒
日期 4
星期 3
时间 6
天气 3
A．日期 B．星期 C．时间 D．天气
【答案】C
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】解：由题意可得，
，，，，
∵，
∴大可能看到的内容是时间，
故选：C．
【分析】
本题考查概率的应用，计算出所有情况的概率直接比较判断即可得到答案；
二、填空题（每题3分，共15分）
9．（2024九上·岳麓期末）如图，这是一幅长为3m，宽为2m的长方形世界杯宣传画，为测量宣传画上世界杯图案的面积，现将宣传画平铺在地上，向长方形宣传画内随机投掷骰子（假设骰子落在长方形内的每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现骰子落在世界杯图案中的频率稳定在常数0.4附近，由此可估计宣传画上世界杯图案的面积约为 m2．
【答案】2.4
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】解：估计宣传画上世界杯图案的面积约为3×2×0.4=2.4m2．
故答案为：2.4.
【分析】先求出长方形的面积，再利用“ 经过大量重复投掷试验，发现骰子落在世界杯图案中的频率稳定在常数0.4附近 ”列出算式求解即可.
10．（2024·巴东模拟）“学史明智”，历史是最好的教科书，也是最好的清醒剂和营养剂．在如图所示的四张无差别卡片上分别写有不同的历史事件，将卡片置于暗箱摇匀后随机抽取两张，则所抽取事件都发生于新中国成立以后的概率为 ．
商鞅变法 改革开放 虎门销烟 香港回归
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率的简单应用
【解析】【解答】设①商鞅变法，②改革开放，③虎门销烟，④香港回归，
画树状图如下：
所以共有12种等可能得情况数，其中符合条件的情况数有2种，
∴P（ 所抽取事件都发生于新中国成立以后 ）=，
故答案为：.
【分析】先利用树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
11．（2024·广水模拟）一批电子产品的抽样合格率为，当购买该电子产品足够多时，平均来说，购买 个这样的电子产品，可能会出现1个次品.
【答案】4
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】解：∵产品的抽样合格率为，
∴产品的抽样不合格率为
∴当购买该电子产品足够多时，平均来说，每购4个这样的电子产品，就可能会出现1个次品
故答案为：4．
【分析】先求出不合格率，再进行计算即可．
12．（2024九下·麻城期中） “二十四节气”是上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．若要从“二十四节气”主题邮票中的“立春”“芒种”“秋分”“大寒”四张邮票中随机抽取两张，则恰好抽到“芒种”和“秋分”两张邮票的概率是 ．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率的简单应用
【解析】【解答】解：将“立春”“芒种”“秋分”“大寒”四张邮票分别用A，B，C，D表示，根据题意，列表如下．
A B C D
A —
B —
C —
D —
由表，可知共有12种等可能的结果，其中恰好抽到“芒种”和“秋分”两张邮票的结果有2种，故P（恰好抽到“芒种”和“秋分”两张邮票．
故答案为： .
【分析】根据列表法把可能出现情况列出来，再根据概率的计算公式即可得到答案．
13．（2020·舟山模拟）如图，随机闭合开关 中的两个，能让灯泡发光的概率是 .
【答案】
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】解：随机闭合开关 中的两个，共有三种情况，分别是：S1、S2，S1、S3，S2、S3，其中能让灯泡发光的有：S1、S2，S1、S3两种情况.
所以能让灯泡发光的概率= .
故答案为： .
【分析】先列出所有可能的情况数，再判断能让灯泡发光的的情况数，然后利用概率公式计算即可.
三、解答题（共7题，共61分）
14．（2024九上·石林期末）有一张观看“我和我的祖国”的电影票，小胡和小明都想拥有，为此两人做了一个游戏，在一个不透明的纸箱里装有点数分别是1、2、3的纸牌各一张，三张纸牌的花色大小相同，游戏规则是：两人各摸纸牌一张，小胡先从纸箱里摸牌一张，记录好点数后放回，再由小明从纸箱里摸牌一张，若两人摸到纸牌的点数和为奇数时，小胡拥有电影票；若两人摸到纸牌的点数和为偶数时，则小明拥有电影票，这个拥有电影票的游戏规则对双方公平吗？请利用树状图或列表法说明理由．
【答案】解：根据题意画图如下，
共有9种等可能的情况数，其中两人摸到纸牌的点数和为奇数有4种情况，两人摸到纸牌的点数和为偶数有5种情况，
则小胡拥有电影票的概率是，小明拥有电影票的概率是，
∵，
∴这个拥有电影票的游戏规则对双方不公
【知识点】用列表法或树状图法求概率；游戏公平性
【解析】【分析】根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出符合条件的情况数，再根据概率公式求出小胡和小明拥有电影票的概率，然后进行比较即可得出答案．
15．（2016九上·余杭期中）甲、乙两人同在如图所示的地下车库等电梯，两人到1至4层的任意一层出电梯，
（1）请你用画树状图或列表法求出甲、乙二人在同一层楼出电梯的概率；
（2）小亮和小芳打赌说：“若甲、乙在同一层或相邻楼层出电梯，则小亮胜，否则小芳胜”．该游戏是否公平？说明理由．
【答案】（1）解：列表如下：
甲 乙 1 2 3 4
1 （1，1） （2，1） （3，1） （4，1）
2 （1，2） （2，2） （3，2） （4，2）
3 （1，3） （2，3） （3，3） （4，3）
4 （1，4） （2，4） （3，4） （4，4）
一共出现16种等可能结果，其中出现在同一层楼梯的有四种结果，
∴P（甲、乙在同一层楼梯）= =
（2）解：不公平，理由为：
由（1）列知：甲、乙住在同层或相邻楼层的有10种结果
故P（小亮胜）=P（同层或相邻楼层）= = ，P（小芳胜）=1﹣ = ，
∵ ＞ ，
∴游戏不公平
【知识点】用列表法或树状图法求概率；游戏公平性
【解析】【分析】（1）列表得出所有等可能的情况数，找出甲乙在同一个楼层的情况数，即可求出所求的概率；（2）分别求出两人获胜的概率比较得到公平与否．
16．（2024九下·石家庄模拟）如图，，两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形，转盘上的数字分别是，，5，转盘上的数字分别是6，，4（两个转盘除表面数字不同外，其他完全相同）．小聪和小明同时转动，两个转盘，使之旋转（规定：指针恰好停留在分界线上，则重新转一次）．
（1）转动转盘，转盘指针指向正数的概率是________；
（2）若同时转动两个转盘，转盘指针所指的数字记为，转盘指针所指的数字记为，若，则小聪获胜；若，则小明获胜；请用列表法或树状图法说明这个游戏是否公平．
【答案】（1）
（2）解：列表得：
6
4
由表格可知，共有9种等可能的结果，
其中的有4种、、、；
其中的有4种、、、
∴（小聪获胜）；（小明获胜）
（小聪获胜）（小明获胜）.
∴这个游戏是公平的.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；游戏公平性；概率的简单应用
【解析】【解答】解：∵为正数，-1和-6时负数，
∴转盘指针指向正数的概率为：.
故答案为：.
【分析】（1）转盘中，有一个正数和两个负数，于是根据概率公式计算即可求解；
（2）通过所列表格可知共有9种等可能的结果，其中的有4种，其中的有4种，根据概率公式计算可求得小聪和小明获胜的概率，比较大小即可判断求解．
17．（2024·深圳模拟）某超市在元旦节期间开展优惠活动，凡购物者可以通过转动转盘的方式享受折扣优惠，本次活动共有两种方式：
方式一：转动转盘甲，指针指向A区域时，所购买物品享受9折优惠，指针指向其它区域无优惠；
方式二：同时转动转盘甲和转盘乙，若两个转盘的指针指向每个区域的字母相同，所购买物品享受9折优惠，其它情况无优惠.
（备注：①转盘甲中，指针指向每个区域的可能性相同；转盘乙中，B、C区域的圆心角均为90°；②若指针指向分界线，则重新转动转盘.）
（1）若顾客选择方式一，则享受9折优惠的概率为 ；
（2）两种方式中，哪一种让顾客获得9折优惠的可能性大？请用树状图或列表法说明理由.
【答案】（1）
（2）解：解法一：
共有12种可能的结果，其中两个转盘的指针指向每个区域的字母相同的结果有4种，
第二种方式让顾客获得9折优惠的概率为
即两个方式让顾客获得9折优惠的可能性一样大.
解法二：
A A B C
A (A，A) (A，A) (A，B) (A，C)
B (B，A) (B，A) (B，B) (B，C)
C (C，A) (C，A) (C，B) (C，C)
共有12种可能的结果，其中两个转盘的指针指向每个区域·的字母相同的结果有4种，
第二种方式让顾客获得9折优惠的概率为
即两个方式让顾客获得9折优惠的可能性一样大.
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】解：（1）若顾客选择方式一，转动转盘甲一次共有3种等可能结果，其中指向A区域的只有1种情况，
∴ 享受9折优惠的概率为.
故答案为：.
【分析】（1）利用转盘可知顾客选择方式一，转动转盘甲一次共有3种等可能结果，其中指向A区域的只有1种情况，利用概率公式进行计算.
（2）利用列树状图或列表，可得到等可能的结果数及两种方式让顾客获得9折优惠的情况数，然后利用概率公式分别求出两种方式让顾客获得9折优惠的概率，比较大小，即可作出判断.
18．某商场举行促销活动，消费满一定金额的顾客可以通过参与摸球活动获得奖励．具体方法如下：从一个装有2个红球、3个黄球（仅颜色不同）的袋中摸出2个球，根据摸到的红球数确定奖励金额，具体金额设置如下表：现有两种摸球方案：
摸到的红球数 0 1 2
奖励（单位：元） 5 10 20
方案一：随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出一个球；
方案二：随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球．
（1）求方案一中，两次都摸到红球的的概率；
（2）请你从平均收益的角度帮助顾客分析，选择哪种摸球方案更有利
【答案】（1）解：对于方案一，列表如下．
由上表可知，共有20种等可能的结果，两次都摸到红球的结果数是2．
故采用方案一摸球，两次都摸到红球的概率为
（2）解：由（1）中表可知，采用方案一，两次都摸到红球的概率为，摸到一次红球的概率为，没有摸到红球的概率为．平均收益为元．
对于方案二，列表如下．
由上表可知，共有25种等可能的结果，两次摸到红球的结果数是4，摸到一次红球的结果数是12，没有摸到红球的结果数是9．
所以两次都摸到红球的概率为，摸到一次红球的概率为，没有摸到红球的概率为．
平均收益为元．
∵，∴从平均收益的角度看，顾客选择方案二更有利．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率的简单应用
【解析】【分析】(1)列表得出所有等可能结果，从中找到两次都摸到红球的结果数，再根据概率公式求解即可.
(2)用摸到红球的概率乘以对应收益分别计算出两种方案的平均收益，从而得出答案.
19．（2023七下·深圳期末）某商场进行“6·18”促销活动，设计了如下两种摇奖方式：
方式一：如图1，有一枚均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”．将这个骰子掷出后，“6”朝上则获奖；
方式二：如图2，一个均匀的转盘被等分成12份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12这12个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字为3的倍数则获奖．
（1）若采用方式一，骰子掷出后，“5”朝上的概率为 ；
（2）若采用方式二，当转盘停止后，指针指向的数字为“5”的概率为 ；
（3）小明想增加获奖机会，应选择哪种摇奖方式？请通过相关计算，应用概率相关知识说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）解：应选择方式二，理由如下：
采用方式一，（“6”朝上），
采用方式二，指针指向的数字为3的倍数有3，6，9，12，共4个，
∴（指针指向的数字为3的倍数），
∵，
∴方式二获奖机会大，
∴选方式二．
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】解：（1） "5"朝上的概率为；
故答案为：.
（2） "5"朝上的概率为；
故答案为：.
【分析】（1）利用标有5的面数除以总面数即得结论；
（2）利用标有5的份数除以总份数即得结论；
（3）分别计算出两种方式获奖的概率，再比较即可.
20．某著名景区计划在西峰修建安装至多4条索道接送游客，过去10年景区游客统计资料显示，景区每年游客客流量都在160万人以上．过去10年的游客客流量的统计情况绘制成如下频数分布直方图（数据包括左端点，不含右端点，假设每年游客客流量不相互影响）．
以过去10年的游客客流量的统计情况为参考依据．
（1）求该景区今年游客客流量不低于240万人的概率；
（2）若该景区希望安装的索道尽可能运行，但每年索道最多可运行条数受游客客流量的限制，并有如下表关系：
年游客客流量（单位：万人）
索道最多可运行条数 1 2 3 4
若某条索道运行，则该条索道年利润为6000万元；若某条索道未运行，则该条索道年亏损2000万元，从平均获利的角度看，帮景区作出决策，应选择安装2条还是3条索道获利较多？请说明理由．
【答案】（1）解：该景区地过去10年游客客流量不低于240万人的年数为（年），
占总年数的比率为，
因此该景区今年游客客流量不低于240万人的概率为.
（2）解：根据题意，年游客客流量在的概率为，
此时可维持1条索道运行；
年游客客流量在的概率为，
此时可维持2条索道运行；
年游客客流量在的概率为，
此时可维持3条索道运行；
年游客客流量在的概率为，
此时可维持4条索道运行；
若安装2条索道，则平均获利为（万元），
若安装3条索道，则平均获利为（万元），
∵，
∴选择安装2条索道获利较多．
【知识点】条形统计图；概率的简单应用
【解析】【分析】(1)利用过去10年的游客流量的统计频数分布直方图分析，不低于240万人有2年，利用概率公式即可求解.
(2)根据计算出不同游客客流量出现的概率，再分别计算各种方案下各种游客流量下的平均获利，再进行比较即可求解.
1 / 1概率的应用—北师大版数学九（上）知识点训练
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（2024·武汉模拟）随着“双减”政策的实施和课后延时托管的开展，某学校开设了四门兴趣课程，分别为“绘画”“声乐”“陶艺”和“书法”．学校规定每人只能选择自己喜欢的一门课程学习．小明与小亮对这四门课程都感兴趣，在没有沟通的情况下，这两人选择同一门课程的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·杭州模拟）小明同学上学途中要经过一个有交通信号灯的路口，该路口交通信号灯红灯时间为30秒，绿灯时间为25秒，黄灯时间为5秒，则小明过该路口时恰好遇到绿灯的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024九上·福田期中）福田区为了解初中生近视情况，在全区进行初中生视力的随机抽查，结果如下表。根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率的估计，最合理的是（ ）
累计抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 800
近视学生数与n的比值 0.423 0.410 0.400 0.401 0.413 0.409 0.410
A．0.423 B．0.400 C．0.413 D．0.410
4． 在联欢会上， 三名同学分别站在锐角三角形 的三个顶点位置上， 玩 “抢凳子” 的游戏， 游戏要求在 内放一个木凳， 谁先抢到凳子谁获胜， 为使游戏公平， 凳子最适合摆放的位置是 的（ ）
A．三边垂直平分线的交点 B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三条高线的交点
5．（2024九下·成都月考） 小红在公司进行抽奖，已知抽到红球为中奖，而抽奖口袋里有个白球、个黑球和个红球，那么小红中奖的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．动物园准备了100张奖券，打算送给开业当天的前100位游客每人一张，其中可抽中奖品的奖券共有32张，下表为奖品的种类及数量.
种类 北极熊玩偶 狮子玩偶 造型马克杯 纪念钥匙圈
数量(个) 1 1 10 20
若小张为开业当天的第一位游客，且每张奖券被小张抽到的机会相等，则小张抽中玩偶的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．为增强班级凝聚力， 吴老师组织开展了一次主题班会． 班会上， 他设计了一个如图 所示的飞镖靶盘， 靶盘由两个同心圆构成， 小圆半径为 ， 大圆半径为 ，每个扇形的圆心角为 ． 如果用飞镖击中靶盘每一处是等可能的，那么小全同学任意投掷飞飞镖1 次 （击中边界或没有击中靶盘，则重投 1 次）， 投中“免一次作业”的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024九下·任丘模拟）某小区门口的电子显示屏上滚动显示的内容和停留时间如图所示，小明抬头看显示屏时，最大可能看到的内容是（ ）
内容 时间/秒
日期 4
星期 3
时间 6
天气 3
A．日期 B．星期 C．时间 D．天气
二、填空题（每题3分，共15分）
9．（2024九上·岳麓期末）如图，这是一幅长为3m，宽为2m的长方形世界杯宣传画，为测量宣传画上世界杯图案的面积，现将宣传画平铺在地上，向长方形宣传画内随机投掷骰子（假设骰子落在长方形内的每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现骰子落在世界杯图案中的频率稳定在常数0.4附近，由此可估计宣传画上世界杯图案的面积约为 m2．
10．（2024·巴东模拟）“学史明智”，历史是最好的教科书，也是最好的清醒剂和营养剂．在如图所示的四张无差别卡片上分别写有不同的历史事件，将卡片置于暗箱摇匀后随机抽取两张，则所抽取事件都发生于新中国成立以后的概率为 ．
商鞅变法 改革开放 虎门销烟 香港回归
11．（2024·广水模拟）一批电子产品的抽样合格率为，当购买该电子产品足够多时，平均来说，购买 个这样的电子产品，可能会出现1个次品.
12．（2024九下·麻城期中） “二十四节气”是上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．若要从“二十四节气”主题邮票中的“立春”“芒种”“秋分”“大寒”四张邮票中随机抽取两张，则恰好抽到“芒种”和“秋分”两张邮票的概率是 ．
13．（2020·舟山模拟）如图，随机闭合开关 中的两个，能让灯泡发光的概率是 .
三、解答题（共7题，共61分）
14．（2024九上·石林期末）有一张观看“我和我的祖国”的电影票，小胡和小明都想拥有，为此两人做了一个游戏，在一个不透明的纸箱里装有点数分别是1、2、3的纸牌各一张，三张纸牌的花色大小相同，游戏规则是：两人各摸纸牌一张，小胡先从纸箱里摸牌一张，记录好点数后放回，再由小明从纸箱里摸牌一张，若两人摸到纸牌的点数和为奇数时，小胡拥有电影票；若两人摸到纸牌的点数和为偶数时，则小明拥有电影票，这个拥有电影票的游戏规则对双方公平吗？请利用树状图或列表法说明理由．
15．（2016九上·余杭期中）甲、乙两人同在如图所示的地下车库等电梯，两人到1至4层的任意一层出电梯，
（1）请你用画树状图或列表法求出甲、乙二人在同一层楼出电梯的概率；
（2）小亮和小芳打赌说：“若甲、乙在同一层或相邻楼层出电梯，则小亮胜，否则小芳胜”．该游戏是否公平？说明理由．
16．（2024九下·石家庄模拟）如图，，两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形，转盘上的数字分别是，，5，转盘上的数字分别是6，，4（两个转盘除表面数字不同外，其他完全相同）．小聪和小明同时转动，两个转盘，使之旋转（规定：指针恰好停留在分界线上，则重新转一次）．
（1）转动转盘，转盘指针指向正数的概率是________；
（2）若同时转动两个转盘，转盘指针所指的数字记为，转盘指针所指的数字记为，若，则小聪获胜；若，则小明获胜；请用列表法或树状图法说明这个游戏是否公平．
17．（2024·深圳模拟）某超市在元旦节期间开展优惠活动，凡购物者可以通过转动转盘的方式享受折扣优惠，本次活动共有两种方式：
方式一：转动转盘甲，指针指向A区域时，所购买物品享受9折优惠，指针指向其它区域无优惠；
方式二：同时转动转盘甲和转盘乙，若两个转盘的指针指向每个区域的字母相同，所购买物品享受9折优惠，其它情况无优惠.
（备注：①转盘甲中，指针指向每个区域的可能性相同；转盘乙中，B、C区域的圆心角均为90°；②若指针指向分界线，则重新转动转盘.）
（1）若顾客选择方式一，则享受9折优惠的概率为 ；
（2）两种方式中，哪一种让顾客获得9折优惠的可能性大？请用树状图或列表法说明理由.
18．某商场举行促销活动，消费满一定金额的顾客可以通过参与摸球活动获得奖励．具体方法如下：从一个装有2个红球、3个黄球（仅颜色不同）的袋中摸出2个球，根据摸到的红球数确定奖励金额，具体金额设置如下表：现有两种摸球方案：
摸到的红球数 0 1 2
奖励（单位：元） 5 10 20
方案一：随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出一个球；
方案二：随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球．
（1）求方案一中，两次都摸到红球的的概率；
（2）请你从平均收益的角度帮助顾客分析，选择哪种摸球方案更有利
19．（2023七下·深圳期末）某商场进行“6·18”促销活动，设计了如下两种摇奖方式：
方式一：如图1，有一枚均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”．将这个骰子掷出后，“6”朝上则获奖；
方式二：如图2，一个均匀的转盘被等分成12份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12这12个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字为3的倍数则获奖．
（1）若采用方式一，骰子掷出后，“5”朝上的概率为 ；
（2）若采用方式二，当转盘停止后，指针指向的数字为“5”的概率为 ；
（3）小明想增加获奖机会，应选择哪种摇奖方式？请通过相关计算，应用概率相关知识说明理由．
20．某著名景区计划在西峰修建安装至多4条索道接送游客，过去10年景区游客统计资料显示，景区每年游客客流量都在160万人以上．过去10年的游客客流量的统计情况绘制成如下频数分布直方图（数据包括左端点，不含右端点，假设每年游客客流量不相互影响）．
以过去10年的游客客流量的统计情况为参考依据．
（1）求该景区今年游客客流量不低于240万人的概率；
（2）若该景区希望安装的索道尽可能运行，但每年索道最多可运行条数受游客客流量的限制，并有如下表关系：
年游客客流量（单位：万人）
索道最多可运行条数 1 2 3 4
若某条索道运行，则该条索道年利润为6000万元；若某条索道未运行，则该条索道年亏损2000万元，从平均获利的角度看，帮景区作出决策，应选择安装2条还是3条索道获利较多？请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率的简单应用
【解析】【解答】解：设“绘画”“声乐”“陶艺”和“书法”这四种课程分别为A、B、C、D．
画树状图如下：
共有16种等可能的结果，小明与小亮两人恰好同时选择同一门课程的结果有4种，即AA、BB、CC、DD，
∴概率为.
故答案为：A.
【分析】画树状图，共有16种等可能的结果，其中小明与小亮两人恰好同时选择同一门课程的结果有4种，再由概率公式求解即可．
2．【答案】A
【知识点】概率公式；概率的简单应用
【解析】【解答】解：∵该路口交通信号灯红灯时间为30秒，绿灯时间为25秒，黄灯时间为5秒，共60秒，
∴小明过该路口时恰好遇到绿灯的概率为，
故答案为：A.
【分析】先求出所有等可能的情况数，再求出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解即可。
3．【答案】D
【知识点】简单事件概率的计算；概率的简单应用
【解析】【解答】解：∵随着累计抽测学生数的增大，近视的学生数与n的比值逐渐稳定于0.410，
∴对该区初中生近视的概率的估计，最合理的是0.410，
故答案为：D．
【分析】结合表格中的数据及估计概率的计算方法分析求解即可.
4．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；游戏公平性
【解析】【解答】解：根据线段的垂直平分线的性质得：
为使游戏公平， 凳子最适合摆放的位置是△ABC的三边垂直平分线的交点.
故答案为：A.
【分析】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是根据线段的垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可求解.
5．【答案】A
【知识点】概率公式；概率的简单应用
【解析】【解答】 小红中奖的概率为
孤单案为：A.
【分析】直接利用概率公式代入数据进行计算即可求解.
6．【答案】D
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】解：∵共有100张刮刮乐，其中玩偶有2个，
∴小柏刮中玩偶的概率是，
故选：D.
【分析】根据概率公式：，n表示该试验中所有可能出现的基本结果的总数目，m表示事件A包含的试验基本结果数，即可求解.
7．【答案】B
【知识点】等可能事件的概率；概率的简单应用
【解析】【解答】解：观察可知投中“与老师共进晚餐”的概率为：，
故投中“免一次作业”的概率为：.
故答案为：B.
【分析】先计算出“与老师共进晚餐”的概率，即可得其他项目项目的概率和，再根据其他项目等可能发生，用其他项目的概率和×，即可得“ 免一次作业 ”的概率.
8．【答案】C
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】解：由题意可得，
，，，，
∵，
∴大可能看到的内容是时间，
故选：C．
【分析】
本题考查概率的应用，计算出所有情况的概率直接比较判断即可得到答案；
9．【答案】2.4
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】解：估计宣传画上世界杯图案的面积约为3×2×0.4=2.4m2．
故答案为：2.4.
【分析】先求出长方形的面积，再利用“ 经过大量重复投掷试验，发现骰子落在世界杯图案中的频率稳定在常数0.4附近 ”列出算式求解即可.
10．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率的简单应用
【解析】【解答】设①商鞅变法，②改革开放，③虎门销烟，④香港回归，
画树状图如下：
所以共有12种等可能得情况数，其中符合条件的情况数有2种，
∴P（ 所抽取事件都发生于新中国成立以后 ）=，
故答案为：.
【分析】先利用树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
11．【答案】4
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】解：∵产品的抽样合格率为，
∴产品的抽样不合格率为
∴当购买该电子产品足够多时，平均来说，每购4个这样的电子产品，就可能会出现1个次品
故答案为：4．
【分析】先求出不合格率，再进行计算即可．
12．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率的简单应用
【解析】【解答】解：将“立春”“芒种”“秋分”“大寒”四张邮票分别用A，B，C，D表示，根据题意，列表如下．
A B C D
A —
B —
C —
D —
由表，可知共有12种等可能的结果，其中恰好抽到“芒种”和“秋分”两张邮票的结果有2种，故P（恰好抽到“芒种”和“秋分”两张邮票．
故答案为： .
【分析】根据列表法把可能出现情况列出来，再根据概率的计算公式即可得到答案．
13．【答案】
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】解：随机闭合开关 中的两个，共有三种情况，分别是：S1、S2，S1、S3，S2、S3，其中能让灯泡发光的有：S1、S2，S1、S3两种情况.
所以能让灯泡发光的概率= .
故答案为： .
【分析】先列出所有可能的情况数，再判断能让灯泡发光的的情况数，然后利用概率公式计算即可.
14．【答案】解：根据题意画图如下，
共有9种等可能的情况数，其中两人摸到纸牌的点数和为奇数有4种情况，两人摸到纸牌的点数和为偶数有5种情况，
则小胡拥有电影票的概率是，小明拥有电影票的概率是，
∵，
∴这个拥有电影票的游戏规则对双方不公
【知识点】用列表法或树状图法求概率；游戏公平性
【解析】【分析】根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出符合条件的情况数，再根据概率公式求出小胡和小明拥有电影票的概率，然后进行比较即可得出答案．
15．【答案】（1）解：列表如下：
甲 乙 1 2 3 4
1 （1，1） （2，1） （3，1） （4，1）
2 （1，2） （2，2） （3，2） （4，2）
3 （1，3） （2，3） （3，3） （4，3）
4 （1，4） （2，4） （3，4） （4，4）
一共出现16种等可能结果，其中出现在同一层楼梯的有四种结果，
∴P（甲、乙在同一层楼梯）= =
（2）解：不公平，理由为：
由（1）列知：甲、乙住在同层或相邻楼层的有10种结果
故P（小亮胜）=P（同层或相邻楼层）= = ，P（小芳胜）=1﹣ = ，
∵ ＞ ，
∴游戏不公平
【知识点】用列表法或树状图法求概率；游戏公平性
【解析】【分析】（1）列表得出所有等可能的情况数，找出甲乙在同一个楼层的情况数，即可求出所求的概率；（2）分别求出两人获胜的概率比较得到公平与否．
16．【答案】（1）
（2）解：列表得：
6
4
由表格可知，共有9种等可能的结果，
其中的有4种、、、；
其中的有4种、、、
∴（小聪获胜）；（小明获胜）
（小聪获胜）（小明获胜）.
∴这个游戏是公平的.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；游戏公平性；概率的简单应用
【解析】【解答】解：∵为正数，-1和-6时负数，
∴转盘指针指向正数的概率为：.
故答案为：.
【分析】（1）转盘中，有一个正数和两个负数，于是根据概率公式计算即可求解；
（2）通过所列表格可知共有9种等可能的结果，其中的有4种，其中的有4种，根据概率公式计算可求得小聪和小明获胜的概率，比较大小即可判断求解．
17．【答案】（1）
（2）解：解法一：
共有12种可能的结果，其中两个转盘的指针指向每个区域的字母相同的结果有4种，
第二种方式让顾客获得9折优惠的概率为
即两个方式让顾客获得9折优惠的可能性一样大.
解法二：
A A B C
A (A，A) (A，A) (A，B) (A，C)
B (B，A) (B，A) (B，B) (B，C)
C (C，A) (C，A) (C，B) (C，C)
共有12种可能的结果，其中两个转盘的指针指向每个区域·的字母相同的结果有4种，
第二种方式让顾客获得9折优惠的概率为
即两个方式让顾客获得9折优惠的可能性一样大.
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】解：（1）若顾客选择方式一，转动转盘甲一次共有3种等可能结果，其中指向A区域的只有1种情况，
∴ 享受9折优惠的概率为.
故答案为：.
【分析】（1）利用转盘可知顾客选择方式一，转动转盘甲一次共有3种等可能结果，其中指向A区域的只有1种情况，利用概率公式进行计算.
（2）利用列树状图或列表，可得到等可能的结果数及两种方式让顾客获得9折优惠的情况数，然后利用概率公式分别求出两种方式让顾客获得9折优惠的概率，比较大小，即可作出判断.
18．【答案】（1）解：对于方案一，列表如下．
由上表可知，共有20种等可能的结果，两次都摸到红球的结果数是2．
故采用方案一摸球，两次都摸到红球的概率为
（2）解：由（1）中表可知，采用方案一，两次都摸到红球的概率为，摸到一次红球的概率为，没有摸到红球的概率为．平均收益为元．
对于方案二，列表如下．
由上表可知，共有25种等可能的结果，两次摸到红球的结果数是4，摸到一次红球的结果数是12，没有摸到红球的结果数是9．
所以两次都摸到红球的概率为，摸到一次红球的概率为，没有摸到红球的概率为．
平均收益为元．
∵，∴从平均收益的角度看，顾客选择方案二更有利．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率的简单应用
【解析】【分析】(1)列表得出所有等可能结果，从中找到两次都摸到红球的结果数，再根据概率公式求解即可.
(2)用摸到红球的概率乘以对应收益分别计算出两种方案的平均收益，从而得出答案.
19．【答案】（1）
（2）
（3）解：应选择方式二，理由如下：
采用方式一，（“6”朝上），
采用方式二，指针指向的数字为3的倍数有3，6，9，12，共4个，
∴（指针指向的数字为3的倍数），
∵，
∴方式二获奖机会大，
∴选方式二．
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】解：（1） "5"朝上的概率为；
故答案为：.
（2） "5"朝上的概率为；
故答案为：.
【分析】（1）利用标有5的面数除以总面数即得结论；
（2）利用标有5的份数除以总份数即得结论；
（3）分别计算出两种方式获奖的概率，再比较即可.
20．【答案】（1）解：该景区地过去10年游客客流量不低于240万人的年数为（年），
占总年数的比率为，
因此该景区今年游客客流量不低于240万人的概率为.
（2）解：根据题意，年游客客流量在的概率为，
此时可维持1条索道运行；
年游客客流量在的概率为，
此时可维持2条索道运行；
年游客客流量在的概率为，
此时可维持3条索道运行；
年游客客流量在的概率为，
此时可维持4条索道运行；
若安装2条索道，则平均获利为（万元），
若安装3条索道，则平均获利为（万元），
∵，
∴选择安装2条索道获利较多．
【知识点】条形统计图；概率的简单应用
【解析】【分析】(1)利用过去10年的游客流量的统计频数分布直方图分析，不低于240万人有2年，利用概率公式即可求解.
(2)根据计算出不同游客客流量出现的概率，再分别计算各种方案下各种游客流量下的平均获利，再进行比较即可求解.
1 / 1
