弧长与扇形面积—北师大版数学九（下）知识点训练
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（2024·福田一模）如图，点A，B，C在半径为3的⊙O上，，则的长为（ ）
A．3 B． C．π D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：∵
∴
∴的长为：
故答案为：C.
【分析】根据圆周角定理求出∠AOB的度数，最后根据弧长计算公式计算即可.
2．（2024·新兴模拟）如图，是的内接三角形，若，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】垂径定理；圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，连接OB，OA，OC，过点O作OH⊥BC于点H，
∴∠BHO=90°，BH=HC，
∵BC=6，
∴BH=3，
∵∠ACB=45°，∠ABC=75°，
∴∠BAC=180°-45°-75°=60°，∠AOC=2∠ABC=2×75°=150°，
∴∠BOC=2∠BAC==2×60°=120°，
∵OB=OC，
∴，
∴∠OBH=180°-90°-60°=30°，
∴2OH=OB，
在中，根据勾股定理得OH2+BH2=OB2，
∴OH2+32=4OH2，
∴，
∴，
∴ 的长为.
故答案为：D.
【分析】连接OB，OA，OC，过点O作OH⊥BC于点H，根据垂径定理得BH=HC=3，∠BHO=90°，根据三角形内角和定理求∠BAC=60°，根据圆周角定理得∠AOC=150°，∠BOC=120°，接下来根据等腰三角形“三线合一”的性质得∠BOH=60°，从而得∠OBH=30°，然后利用含30°的直角三角形性质得2OH=OB，进一步根据勾股定理求出OH的值，得OB的值，最后利用弧长的计算公式进行求解即可.
3．（2024·惠东模拟）如图，在边长为4的等边△ABC中，D是BC边上的中点，以点A为圆心，AD为半径作圆与AB，AC分别交于E，F两点，求的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；弧长的计算；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，连接AD，
∵是等边三角形，点D是BC的中点
∴∠A=∠B=60°，AD⊥BC，
∴=r.
∴.
故答案为：A.
【分析】分析条件可知，是以A为圆心，以AD为半径，且圆心角为60°所作的圆弧，求出AD（即半径）长是解题关键；根据等边三角形的性质得∠A=∠B=60°，AD⊥BC，由∠B的正弦函数可求出AD，从而再根据弧长计算公式计算可得答案.
4．（2024·沙田模拟）抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如图，AC，BD分别与⊙O切于点C，D，延长AC，BD交于点P．若∠P＝120°，⊙O的半径为6cm，则图中的长为（ ）
A．πcm B．2πcm C．3πcm D．4πcm
【答案】B
【知识点】切线的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接OC，OD，
、分别与相切于点C、D，
，
由四边形内角和为360°可得，
，
的长.
故答案为：B.
【分析】连接OC，OD，根据切线的性质可得∠OCP=∠ODP=90°，进而根据四边形的内角和定理求出圆心角∠COD的度数，然后根据弧长公式求出弧长即可.
5．（2024九上·新会开学考）将一个半径为1的圆形纸片，如图连续对折三次之后，用剪刀沿虚线①剪开，则虚线①所对的圆弧长和展开后得到的多边形的内角和分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】扇形面积的计算；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，
∵将圆对折三次，
∴∠AOB=360°÷23=45°，
∴展开后得到的多边形是正八边形，
∴此多边形的内角和为（8-2）×180°=1080°，
虚线①所对的圆弧长.
故答案为：C.
【分析】利用将圆对折三次，可得到将360° 的圆周角分成8等分，可求出∠AOB的度数，同时求出展开后得到的多边形的内角和的度数；然后利用弧长公式可求出虚线①所对的圆弧长.
6．（2024·厚街模拟）如图是2022年杭州亚运会徽标的示意图，若，，，则阴影部分面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：.
故答案为：B.
【分析】根据阴影部分的面积为扇形AOD的面积与扇形BOC的面积之差，根据扇形公式进行计算，即可得到答案.
7．（2024·四会模拟） 如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为的斜边BC，直角边AB，AC．的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分（两个白色弓形部分）记为Ⅲ．设Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的面积分别为，，，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：由勾股定理可知：S1+S3=S2+S3，
∴S1=S2，故D正确，A、B、C错误.
故答案为：D.
【分析】由勾股定理可知AB2+AC2=BC2，所以，即S1+S3=S2+S3，故可知答案.
8．（2020·深圳模拟）如图，两个三角形纸板 ， 能完全重合， ， ， ，将 绕点 从重合位置开始，按逆时针方向旋转，边 ， 分别与 ， 交于点 ， （点 不与点 ， 重合），点 是 的内心，若 ，点 运动的路径为 ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵ ，∴∠OBC+∠OCB=180°-130°=50°，
∵点 是 的内心，∴BO、CO分别为∠ABC、∠BCM的角平分线，
∴∠ABC+∠BCM=2∠OBC+2∠OCB=100°，∵ ，
∴∠BCM=40°，又∵ ，
∴∠MCN=180°-50°-60°=70°，∴∠BCN=70°-40°=30°，
∴∠NHC=180°-30°-60°=90°，即△MHC为直角三角形，
由题可知 ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为：D．
【分析】先通过点 是 的内心和题中的角度关系求出∠BCN=30°，然后即可得到△NHC为直角三角形，阴影部分的面积为扇形BCN的面积减去△NHC的面积．
二、填空题（每题3分，共15分）
9．（2024九下·河源月考）如图，已知点C，D是以为直径的半圆的三等分点，半径，则扇形的面积为 ．
【答案】
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：S扇形COD.
故答案为：.
【分析】C、D是半圆的三等分点，即意味着S扇形COD=S半圆.
10．（2024九下·惠州模拟）如图，用一个半径为的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点旋转了，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了 ．
【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：重物上升的高度为：．
故答案为：．
【分析】利用弧长公式计算即可．
11．（2024·怀集模拟）如图，中，，，，以为圆心，为半径的圆弧分别交、于点、，则图中阴影部分面积之和为 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，∠B=30°，AC=，∴AB=，BC=，∠A=60°。
如图，连接CD，过点C作CM⊥AB，垂足为M，过点D作DF⊥AB，垂足为F，
∵以点C为圆心，CA为半径的圆弧分别交AB，CB与点D、E，∴CD=CE=AC=，
∵∠A=60°，∴为等边三角形，∴AD=，∠ACD=60°，
∴BD=AB-AD=，∠BCD=∠ACB-∠ACD=30°，
∵∠B=30°，∴，，
∴，，
，，
∴图中阴影部分面积之和为=
故答案为：.
【分析】本题考查与圆相关的阴影部分面积的求解。根据∠C=90°，∠B=30°，AC=，求出AB、BC、∠A；再通过做辅助线求出，，扇形ACD和扇形ECD的面积，由图中阴影部分面积之和为即可求解。
12．（2024九下·潮阳模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，∠A=60°，将Rt△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到Rt△DCE，点B经过的路径为，将线段AB绕点A顺时针旋转60°后，点B恰好落在CE上的点F处，点B经过的路径为弧BF，则图中阴影部分的面积是 .（结果保留π）
【答案】
【知识点】扇形面积的计算；旋转的性质；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【解答】解： ∠ACB=90°，AC=1，∠A=60°，
AB=2AC=2，
由勾股定理可得，
由旋转的性质可知：AF=AB=2，CE=BC=，
.
故答案为：.
【分析】先求出AB、BC的长，进而可得AF、CE的长，再根据三角形的面积公式和扇形的面积公式利用进行计算即可.
13．（2024·宝安模拟）如图，是某十字路口机动车转弯时的示意图，设计转弯半径，转弯角度，大型机动车实际转弯时，转弯半径，转弯角度，则大型机动车转弯实际行驶路程（的长）与设计转弯行驶路程（AB的长）的差为 （结果保留）．
【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，
∵ ，
∴==
∵ ，
∴=
∴ -=-=
∴ 大型机动车转弯实际行驶路程（的长）与设计转弯行驶路程（AB的长）的差为
故答案为：.
【分析】本题考查弧长公式的实际应用，由扇形圆心角（n），扇形半径r可得弧长=，根据公式求出和，求差可得答案。
三、解答题（共7题，共61分）
14．（2024九上·潮南期中）按要求画出图形：
（1）作关于原点中心对称的图形得到；
（2）作绕点逆时针旋转得到．且求出点到所经过的路线长．
【答案】（1）解：如下图，△A1B1C1即为所求；
（2）解：如下图，△A2B2C2即为所求；
点旋转到所经过的路线是弧，
∵，，
∴的长，
∴点到所经过的路线长是．
答：点到C2所经过的路线长是
【知识点】弧长的计算；作图﹣旋转；作图﹣中心对称
【解析】【分析】（1）分别作出关于原点对称的对应点，顺次连接A1B1C1即可求解；
（2）分别作出绕点逆时针旋转的对应点，再顺次连接A、B2、C2，然后根据弧长公式计算即可求解．
（1）解：如图所示，即为所求；
（2）如图所示，即为所求．
点旋转到所经过的路线是弧，
∵，，
∴的长，
∴点到所经过的路线长是．
15．（2024九下·天河月考）如图，在中，．将绕点逆时针旋转，得到，若点的对应点恰好落在线段上，则点的运动路径长是多少？（结果用含的式子表示）．
【答案】解：以为圆心，AC为半径长，作圆弧，如图所示，在中，，
，
，
，
将绕点逆时针旋转，得到，
，
，
是等边三角形，
，
将绕点逆时针旋转，得到，
，
点的运动路径长为
【知识点】弧长的计算
【解析】【分析】此题考查对圆弧长公式的掌握，弧长公式（n为圆心角度数，R为圆的半径）.
16．（2024九上·中山期末）如图是一款利用曲边三角形制造的扫地机如图是一个曲边三角形，它可按照如下方法作出：作等边三角形，分别以点，，为圆心，以的长为半径作，，，三段弧所围成的图形就是曲边三角形若这个曲边三角形的周长为，求它的面积结果保留．
【答案】解：设等边三角形的边长为，
，解得，
即正三角形的边长为，
这个曲边三角形的面积．
【知识点】等边三角形的性质；扇形面积的计算
【解析】【分析】设等边三角形的边长为，根据题意建立方程，解方程可得正三角形的边长为，再根据扇形面积即可求出答案.
17．（2024九上·蓬江期末）如图1，的直径，在中，，，，以1cm/s的速度从右向左运动，在运动过程中，点D、E始终在直线上．设运动的时间为t（s），当时，在的右侧，．
（1）当 s时，所在的直线与相切；
当 s时，所在的直线与相切；
（2）当所在的直线与相切时，若与有重叠部分，求重叠部分的面积；
（3）当时，如图2，点P是线段上的一个动点，过点P作的一条切线（Q为切点），求线段的最小值．
【答案】（1）1或5；3或11
（2）解：由题意可知当点C与点E重合时，所在的直线与相切时，与有重叠部分，如图所示：
设与相交于点H，连接，
∵（）是的直径，
∴，
∵，，
∴，，
∴是等边三角形，
∴边上的高为，
∴与重叠部分的面积为；
（3）解：连接，如图所示：
当时，则有，
∵与相切，
∴，
∴，
要使线段为最小值，则需满足为最小即可，根据点到直线垂线段最短可知当时，线段为最小，
∵，
∴，
∴的最小值为．
【知识点】垂线段最短及其应用；圆周角定理；切线的性质；扇形面积的计算；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【解答】解：（1）当点C与点D重合时，所在的直线与相切，则有：；当点C与点E重合时，所在的直线与相切，则的运动路程为，所以；
当与相切时，且切点在线段上时，连接，如图所示：
∴，
∵，，，
∴线段上的高为，
∴点O与点C重合，
∴；
当与相切时，且切点在线段的延长线上时，连接，如图所示：
∴，
∵，
∴，
∴；
综上所述：当或5s时，所在的直线与相切，当或11s时，所在的直线与相切，
故答案为：5或1；3或11；
【分析】（1）根据题意结合切线的性质分类讨论，进而即可求解；
（2）由题意得当点C与点E重合时，所在的直线与相切时，与有重叠部分，设与相交于点H，连接，先根据圆周角定理得到，进而根据含30°角的直角三角形的性质得到，，从而根据等边三角形的判定解直角三角形得到边上的高为，再根据三角形的面积和扇形的面积公式即可求解；
（3）连接，当时，则有，根据切线的性质得到，进而根据勾股定理求出PQ，再根据垂线段最短结合题意即可得到当时，线段为最小，从而根据勾股定理即可求出最小值。
18．（2024·广东）综合与实践
【主题】滤纸与漏斗
【素材】如1图所示：
①一张直径为10cm的圆形滤纸；
②一只漏斗口直径与母线均为7cm的圆锥形过滤漏斗.
【实践操作】
步骤1：取一张滤纸：
步骤2：按如2图所示步骤折叠好滤纸；
步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形；
步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如1图所示漏斗中.
【实践探索】
（1）滤纸是否能紧贴此漏斗内壁(忽略漏斗管口处) 用你所学的数学知识说明.
（2）当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积.（结果保留)
【答案】（1）解：漏斗形成的圆锥形展开侧面图为扇形，
其圆心角度数==180°，
滤纸折叠后圆心角度数为360°÷2=180°，
此时，滤纸所对展开图圆心角与漏斗展开图圆心角相等，故滤纸能紧贴此漏斗内壁.
（2）解：∵滤纸折叠后所对圆心角为180°，此时形成的底面圆形周长为：
，
即圆锥底面半径r=，
又∵滤纸母线长为5 cm，
此时由勾股定理得，圆锥高h=，
∴圆锥体积.
答：滤纸围成的圆锥形体积为.
【知识点】扇形面积的计算；圆锥的计算；圆锥的体积
【解析】【分析】（1）将圆锥是否能贴紧内壁问题转化为求圆锥侧面展开图圆心角是否相等，代入公式计算并比较得出结果；
（2）为求圆锥体积，进一步转换利用勾股定理求出圆锥的高，代入公式即可.
19．（2024·南山模拟）陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一如图是从正面看到的一个“老碗”，其横截面可以近似的看成是如图所示的以为直径的半圆，为台面截线，半圆与相切于点，连结与相交于点水面截线，，．
（1）如图求水深；
（2）将图中的老碗先沿台面向左作无滑动的滚动到如图的位置，使得、重合，求此时最高点和最低点之间的距离的长；
（3）将碗从中的位置开始向右边滚动到图所示时停止，若此时，求滚动过程中圆心运动的路径长．
【答案】（1）解：连接，
半圆与相切于点，
∴OP⊥MN，
又∵MN∥CD，
，
，
，
在中，由勾股定理，可得，
；
（2）解：过点作的平行线，与的延长线相交于点．
，
，
在和中，
≌，
，
由可得，，
，．
由勾股定理可得，；
（3）解：由（1）可知，，
在中，，
∴，
，
，
由题意可得圆心运动的路径长为的长度，
．
【知识点】垂径定理；切线的性质；弧长的计算；三角形全等的判定-ASA；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）根据切线的性质得OP⊥MN，由平行线的性质可推出OP⊥CD，由垂径定理得，然后在Rt△OCE中，利用勾股定理算出OE，最后根据PE=OP-OE可算出答案；
（2）过B点作AD的平行线，与PO的延长线相交于点F，用ASA证出△AOE≌△BOF，得OF=OE，BF=AE=CE=cm，由（1）可得OE=3cm，从而在Rt△BPF中，利用勾股定理可算出BP的长；
（3）由特殊锐角三角函数值及余弦函数的定义可求出∠COE=60°，根据平角定义求出∠AOC的度数，进而根据圆心O运动的路径长为的长度，再结合弧长计算公式可算出答案.
20．（2024·普宁模拟）如图，在中，连接，以为直径的半圆O，从与共线开始绕点D逆时针旋转，直线与第一次重合时，停止运动，点K是半圆O的中点，连接，当，与线段有交点时，设交点分别为点P和点Q，已知，，.
（1）求的度数；
（2）当点Q在上时，设，，请求出y与x的关系式；
（3）当与重合时，求半圆O与所围成的弓形的面积.
【答案】（1）解：连接，如图1所示：
点K为半圆O的中点，，，
为直径，，
在中，；
（2）解：如图2所示：
，，
，
在等腰中，，
则由勾股定理可得，
，
，
，，
，即
（3）解：当与重合时，
，
点K在上，连接，如图3所示：
点K是半圆O的中点，.
，，
，
半圆O与所围成的弓形的面积为；
【知识点】勾股定理；圆周角定理；扇形面积的计算；相似三角形的判定与性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）连接，根据等弧所对的弦相等得到：然后根据圆周角定理得到：，进而即可求解；
（2）根据题意得到，进而在在等腰中，，再利用勾股定理求出AD和BD的长度，再证明，则，进而代入计算即可得到y与x的关系式；
（3）根据题意得到：点K在上，连接，根据圆的性质得到.然后根据扇形的面积计算公式和三角形面积计算公式计算即可，最后根据割补法即可求出半圆O与所围成的弓形的面积.
1 / 1弧长与扇形面积—北师大版数学九（下）知识点训练
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（2024·福田一模）如图，点A，B，C在半径为3的⊙O上，，则的长为（ ）
A．3 B． C．π D．
2．（2024·新兴模拟）如图，是的内接三角形，若，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·惠东模拟）如图，在边长为4的等边△ABC中，D是BC边上的中点，以点A为圆心，AD为半径作圆与AB，AC分别交于E，F两点，求的长为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·沙田模拟）抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如图，AC，BD分别与⊙O切于点C，D，延长AC，BD交于点P．若∠P＝120°，⊙O的半径为6cm，则图中的长为（ ）
A．πcm B．2πcm C．3πcm D．4πcm
5．（2024九上·新会开学考）将一个半径为1的圆形纸片，如图连续对折三次之后，用剪刀沿虚线①剪开，则虚线①所对的圆弧长和展开后得到的多边形的内角和分别为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·厚街模拟）如图是2022年杭州亚运会徽标的示意图，若，，，则阴影部分面积为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·四会模拟） 如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为的斜边BC，直角边AB，AC．的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分（两个白色弓形部分）记为Ⅲ．设Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的面积分别为，，，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2020·深圳模拟）如图，两个三角形纸板 ， 能完全重合， ， ， ，将 绕点 从重合位置开始，按逆时针方向旋转，边 ， 分别与 ， 交于点 ， （点 不与点 ， 重合），点 是 的内心，若 ，点 运动的路径为 ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共15分）
9．（2024九下·河源月考）如图，已知点C，D是以为直径的半圆的三等分点，半径，则扇形的面积为 ．
10．（2024九下·惠州模拟）如图，用一个半径为的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点旋转了，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了 ．
11．（2024·怀集模拟）如图，中，，，，以为圆心，为半径的圆弧分别交、于点、，则图中阴影部分面积之和为 ．
12．（2024九下·潮阳模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，∠A=60°，将Rt△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到Rt△DCE，点B经过的路径为，将线段AB绕点A顺时针旋转60°后，点B恰好落在CE上的点F处，点B经过的路径为弧BF，则图中阴影部分的面积是 .（结果保留π）
13．（2024·宝安模拟）如图，是某十字路口机动车转弯时的示意图，设计转弯半径，转弯角度，大型机动车实际转弯时，转弯半径，转弯角度，则大型机动车转弯实际行驶路程（的长）与设计转弯行驶路程（AB的长）的差为 （结果保留）．
三、解答题（共7题，共61分）
14．（2024九上·潮南期中）按要求画出图形：
（1）作关于原点中心对称的图形得到；
（2）作绕点逆时针旋转得到．且求出点到所经过的路线长．
15．（2024九下·天河月考）如图，在中，．将绕点逆时针旋转，得到，若点的对应点恰好落在线段上，则点的运动路径长是多少？（结果用含的式子表示）．
16．（2024九上·中山期末）如图是一款利用曲边三角形制造的扫地机如图是一个曲边三角形，它可按照如下方法作出：作等边三角形，分别以点，，为圆心，以的长为半径作，，，三段弧所围成的图形就是曲边三角形若这个曲边三角形的周长为，求它的面积结果保留．
17．（2024九上·蓬江期末）如图1，的直径，在中，，，，以1cm/s的速度从右向左运动，在运动过程中，点D、E始终在直线上．设运动的时间为t（s），当时，在的右侧，．
（1）当 s时，所在的直线与相切；
当 s时，所在的直线与相切；
（2）当所在的直线与相切时，若与有重叠部分，求重叠部分的面积；
（3）当时，如图2，点P是线段上的一个动点，过点P作的一条切线（Q为切点），求线段的最小值．
18．（2024·广东）综合与实践
【主题】滤纸与漏斗
【素材】如1图所示：
①一张直径为10cm的圆形滤纸；
②一只漏斗口直径与母线均为7cm的圆锥形过滤漏斗.
【实践操作】
步骤1：取一张滤纸：
步骤2：按如2图所示步骤折叠好滤纸；
步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形；
步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如1图所示漏斗中.
【实践探索】
（1）滤纸是否能紧贴此漏斗内壁(忽略漏斗管口处) 用你所学的数学知识说明.
（2）当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积.（结果保留)
19．（2024·南山模拟）陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一如图是从正面看到的一个“老碗”，其横截面可以近似的看成是如图所示的以为直径的半圆，为台面截线，半圆与相切于点，连结与相交于点水面截线，，．
（1）如图求水深；
（2）将图中的老碗先沿台面向左作无滑动的滚动到如图的位置，使得、重合，求此时最高点和最低点之间的距离的长；
（3）将碗从中的位置开始向右边滚动到图所示时停止，若此时，求滚动过程中圆心运动的路径长．
20．（2024·普宁模拟）如图，在中，连接，以为直径的半圆O，从与共线开始绕点D逆时针旋转，直线与第一次重合时，停止运动，点K是半圆O的中点，连接，当，与线段有交点时，设交点分别为点P和点Q，已知，，.
（1）求的度数；
（2）当点Q在上时，设，，请求出y与x的关系式；
（3）当与重合时，求半圆O与所围成的弓形的面积.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：∵
∴
∴的长为：
故答案为：C.
【分析】根据圆周角定理求出∠AOB的度数，最后根据弧长计算公式计算即可.
2．【答案】D
【知识点】垂径定理；圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，连接OB，OA，OC，过点O作OH⊥BC于点H，
∴∠BHO=90°，BH=HC，
∵BC=6，
∴BH=3，
∵∠ACB=45°，∠ABC=75°，
∴∠BAC=180°-45°-75°=60°，∠AOC=2∠ABC=2×75°=150°，
∴∠BOC=2∠BAC==2×60°=120°，
∵OB=OC，
∴，
∴∠OBH=180°-90°-60°=30°，
∴2OH=OB，
在中，根据勾股定理得OH2+BH2=OB2，
∴OH2+32=4OH2，
∴，
∴，
∴ 的长为.
故答案为：D.
【分析】连接OB，OA，OC，过点O作OH⊥BC于点H，根据垂径定理得BH=HC=3，∠BHO=90°，根据三角形内角和定理求∠BAC=60°，根据圆周角定理得∠AOC=150°，∠BOC=120°，接下来根据等腰三角形“三线合一”的性质得∠BOH=60°，从而得∠OBH=30°，然后利用含30°的直角三角形性质得2OH=OB，进一步根据勾股定理求出OH的值，得OB的值，最后利用弧长的计算公式进行求解即可.
3．【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；弧长的计算；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，连接AD，
∵是等边三角形，点D是BC的中点
∴∠A=∠B=60°，AD⊥BC，
∴=r.
∴.
故答案为：A.
【分析】分析条件可知，是以A为圆心，以AD为半径，且圆心角为60°所作的圆弧，求出AD（即半径）长是解题关键；根据等边三角形的性质得∠A=∠B=60°，AD⊥BC，由∠B的正弦函数可求出AD，从而再根据弧长计算公式计算可得答案.
4．【答案】B
【知识点】切线的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接OC，OD，
、分别与相切于点C、D，
，
由四边形内角和为360°可得，
，
的长.
故答案为：B.
【分析】连接OC，OD，根据切线的性质可得∠OCP=∠ODP=90°，进而根据四边形的内角和定理求出圆心角∠COD的度数，然后根据弧长公式求出弧长即可.
5．【答案】C
【知识点】扇形面积的计算；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，
∵将圆对折三次，
∴∠AOB=360°÷23=45°，
∴展开后得到的多边形是正八边形，
∴此多边形的内角和为（8-2）×180°=1080°，
虚线①所对的圆弧长.
故答案为：C.
【分析】利用将圆对折三次，可得到将360° 的圆周角分成8等分，可求出∠AOB的度数，同时求出展开后得到的多边形的内角和的度数；然后利用弧长公式可求出虚线①所对的圆弧长.
6．【答案】B
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：.
故答案为：B.
【分析】根据阴影部分的面积为扇形AOD的面积与扇形BOC的面积之差，根据扇形公式进行计算，即可得到答案.
7．【答案】D
【知识点】勾股定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：由勾股定理可知：S1+S3=S2+S3，
∴S1=S2，故D正确，A、B、C错误.
故答案为：D.
【分析】由勾股定理可知AB2+AC2=BC2，所以，即S1+S3=S2+S3，故可知答案.
8．【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵ ，∴∠OBC+∠OCB=180°-130°=50°，
∵点 是 的内心，∴BO、CO分别为∠ABC、∠BCM的角平分线，
∴∠ABC+∠BCM=2∠OBC+2∠OCB=100°，∵ ，
∴∠BCM=40°，又∵ ，
∴∠MCN=180°-50°-60°=70°，∴∠BCN=70°-40°=30°，
∴∠NHC=180°-30°-60°=90°，即△MHC为直角三角形，
由题可知 ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为：D．
【分析】先通过点 是 的内心和题中的角度关系求出∠BCN=30°，然后即可得到△NHC为直角三角形，阴影部分的面积为扇形BCN的面积减去△NHC的面积．
9．【答案】
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：S扇形COD.
故答案为：.
【分析】C、D是半圆的三等分点，即意味着S扇形COD=S半圆.
10．【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：重物上升的高度为：．
故答案为：．
【分析】利用弧长公式计算即可．
11．【答案】
【知识点】三角形的面积；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，∠B=30°，AC=，∴AB=，BC=，∠A=60°。
如图，连接CD，过点C作CM⊥AB，垂足为M，过点D作DF⊥AB，垂足为F，
∵以点C为圆心，CA为半径的圆弧分别交AB，CB与点D、E，∴CD=CE=AC=，
∵∠A=60°，∴为等边三角形，∴AD=，∠ACD=60°，
∴BD=AB-AD=，∠BCD=∠ACB-∠ACD=30°，
∵∠B=30°，∴，，
∴，，
，，
∴图中阴影部分面积之和为=
故答案为：.
【分析】本题考查与圆相关的阴影部分面积的求解。根据∠C=90°，∠B=30°，AC=，求出AB、BC、∠A；再通过做辅助线求出，，扇形ACD和扇形ECD的面积，由图中阴影部分面积之和为即可求解。
12．【答案】
【知识点】扇形面积的计算；旋转的性质；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【解答】解： ∠ACB=90°，AC=1，∠A=60°，
AB=2AC=2，
由勾股定理可得，
由旋转的性质可知：AF=AB=2，CE=BC=，
.
故答案为：.
【分析】先求出AB、BC的长，进而可得AF、CE的长，再根据三角形的面积公式和扇形的面积公式利用进行计算即可.
13．【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，
∵ ，
∴==
∵ ，
∴=
∴ -=-=
∴ 大型机动车转弯实际行驶路程（的长）与设计转弯行驶路程（AB的长）的差为
故答案为：.
【分析】本题考查弧长公式的实际应用，由扇形圆心角（n），扇形半径r可得弧长=，根据公式求出和，求差可得答案。
14．【答案】（1）解：如下图，△A1B1C1即为所求；
（2）解：如下图，△A2B2C2即为所求；
点旋转到所经过的路线是弧，
∵，，
∴的长，
∴点到所经过的路线长是．
答：点到C2所经过的路线长是
【知识点】弧长的计算；作图﹣旋转；作图﹣中心对称
【解析】【分析】（1）分别作出关于原点对称的对应点，顺次连接A1B1C1即可求解；
（2）分别作出绕点逆时针旋转的对应点，再顺次连接A、B2、C2，然后根据弧长公式计算即可求解．
（1）解：如图所示，即为所求；
（2）如图所示，即为所求．
点旋转到所经过的路线是弧，
∵，，
∴的长，
∴点到所经过的路线长是．
15．【答案】解：以为圆心，AC为半径长，作圆弧，如图所示，在中，，
，
，
，
将绕点逆时针旋转，得到，
，
，
是等边三角形，
，
将绕点逆时针旋转，得到，
，
点的运动路径长为
【知识点】弧长的计算
【解析】【分析】此题考查对圆弧长公式的掌握，弧长公式（n为圆心角度数，R为圆的半径）.
16．【答案】解：设等边三角形的边长为，
，解得，
即正三角形的边长为，
这个曲边三角形的面积．
【知识点】等边三角形的性质；扇形面积的计算
【解析】【分析】设等边三角形的边长为，根据题意建立方程，解方程可得正三角形的边长为，再根据扇形面积即可求出答案.
17．【答案】（1）1或5；3或11
（2）解：由题意可知当点C与点E重合时，所在的直线与相切时，与有重叠部分，如图所示：
设与相交于点H，连接，
∵（）是的直径，
∴，
∵，，
∴，，
∴是等边三角形，
∴边上的高为，
∴与重叠部分的面积为；
（3）解：连接，如图所示：
当时，则有，
∵与相切，
∴，
∴，
要使线段为最小值，则需满足为最小即可，根据点到直线垂线段最短可知当时，线段为最小，
∵，
∴，
∴的最小值为．
【知识点】垂线段最短及其应用；圆周角定理；切线的性质；扇形面积的计算；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【解答】解：（1）当点C与点D重合时，所在的直线与相切，则有：；当点C与点E重合时，所在的直线与相切，则的运动路程为，所以；
当与相切时，且切点在线段上时，连接，如图所示：
∴，
∵，，，
∴线段上的高为，
∴点O与点C重合，
∴；
当与相切时，且切点在线段的延长线上时，连接，如图所示：
∴，
∵，
∴，
∴；
综上所述：当或5s时，所在的直线与相切，当或11s时，所在的直线与相切，
故答案为：5或1；3或11；
【分析】（1）根据题意结合切线的性质分类讨论，进而即可求解；
（2）由题意得当点C与点E重合时，所在的直线与相切时，与有重叠部分，设与相交于点H，连接，先根据圆周角定理得到，进而根据含30°角的直角三角形的性质得到，，从而根据等边三角形的判定解直角三角形得到边上的高为，再根据三角形的面积和扇形的面积公式即可求解；
（3）连接，当时，则有，根据切线的性质得到，进而根据勾股定理求出PQ，再根据垂线段最短结合题意即可得到当时，线段为最小，从而根据勾股定理即可求出最小值。
18．【答案】（1）解：漏斗形成的圆锥形展开侧面图为扇形，
其圆心角度数==180°，
滤纸折叠后圆心角度数为360°÷2=180°，
此时，滤纸所对展开图圆心角与漏斗展开图圆心角相等，故滤纸能紧贴此漏斗内壁.
（2）解：∵滤纸折叠后所对圆心角为180°，此时形成的底面圆形周长为：
，
即圆锥底面半径r=，
又∵滤纸母线长为5 cm，
此时由勾股定理得，圆锥高h=，
∴圆锥体积.
答：滤纸围成的圆锥形体积为.
【知识点】扇形面积的计算；圆锥的计算；圆锥的体积
【解析】【分析】（1）将圆锥是否能贴紧内壁问题转化为求圆锥侧面展开图圆心角是否相等，代入公式计算并比较得出结果；
（2）为求圆锥体积，进一步转换利用勾股定理求出圆锥的高，代入公式即可.
19．【答案】（1）解：连接，
半圆与相切于点，
∴OP⊥MN，
又∵MN∥CD，
，
，
，
在中，由勾股定理，可得，
；
（2）解：过点作的平行线，与的延长线相交于点．
，
，
在和中，
≌，
，
由可得，，
，．
由勾股定理可得，；
（3）解：由（1）可知，，
在中，，
∴，
，
，
由题意可得圆心运动的路径长为的长度，
．
【知识点】垂径定理；切线的性质；弧长的计算；三角形全等的判定-ASA；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）根据切线的性质得OP⊥MN，由平行线的性质可推出OP⊥CD，由垂径定理得，然后在Rt△OCE中，利用勾股定理算出OE，最后根据PE=OP-OE可算出答案；
（2）过B点作AD的平行线，与PO的延长线相交于点F，用ASA证出△AOE≌△BOF，得OF=OE，BF=AE=CE=cm，由（1）可得OE=3cm，从而在Rt△BPF中，利用勾股定理可算出BP的长；
（3）由特殊锐角三角函数值及余弦函数的定义可求出∠COE=60°，根据平角定义求出∠AOC的度数，进而根据圆心O运动的路径长为的长度，再结合弧长计算公式可算出答案.
20．【答案】（1）解：连接，如图1所示：
点K为半圆O的中点，，，
为直径，，
在中，；
（2）解：如图2所示：
，，
，
在等腰中，，
则由勾股定理可得，
，
，
，，
，即
（3）解：当与重合时，
，
点K在上，连接，如图3所示：
点K是半圆O的中点，.
，，
，
半圆O与所围成的弓形的面积为；
【知识点】勾股定理；圆周角定理；扇形面积的计算；相似三角形的判定与性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）连接，根据等弧所对的弦相等得到：然后根据圆周角定理得到：，进而即可求解；
（2）根据题意得到，进而在在等腰中，，再利用勾股定理求出AD和BD的长度，再证明，则，进而代入计算即可得到y与x的关系式；
（3）根据题意得到：点K在上，连接，根据圆的性质得到.然后根据扇形的面积计算公式和三角形面积计算公式计算即可，最后根据割补法即可求出半圆O与所围成的弓形的面积.
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