【精品解析】圆的折叠问题—北师大版数学九（下）知识点训练

圆的折叠问题—北师大版数学九（下）知识点训练
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（初中数学北师大版九年级下册第三章 圆练习题 (3)）把一张圆纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则弧AB的度数是（　　）
A．120° B．135° C．150° D．165°
2．如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，半径OA=2，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，使点O恰好落在弧AB上的点D处，折痕为BC，则图中阴影部分的面积是（　　）
A．π B．π﹣ C．π﹣ D．π﹣
3．在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．如图，若点D与圆心O不重合，∠BAC=25°，则∠DCA的度数（　　）
A．35° B．40° C．45° D．65°
4．（2021·武汉）如图， 是 的直径， 是 的弦，先将 沿 翻折交 于点 .再将 沿 翻折交 于点 .若 ，设 ，则 所在的范围是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2024九上·嘉兴期末）如图，是一条弦，将劣弧沿弦翻折，连结并延长交翻折后的弧于点，连结，若，则的长为（　　）

A． B． C． D．
6．（2024·上城模拟）如图，在⊙O中，将沿弦AB翻折，使恰好经过圆心O，C是劣弧AB上一点. 已知AE=2，tan∠CBA=，则AB的长为 （　　）
A． B．6 C． D．
7．（2021·湘潭模拟）如图， 是 的直径，且 ， 是 上一点，将 沿直线 翻折，若翻折后的圆弧恰好经过点 ，则图中阴影部分的面积为（　　）.
A． B． C． D．
8．（2022·威宁模拟）如图，为的直径，将沿翻折，翻折后的弧交于D．若，，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C．8 D．10
二、填空题（每题3分，共15分）
9．（2024·江西）如图，是的直径，，点C在线段上运动，过点C的弦，将沿翻折交直线于点F，当的长为正整数时，线段的长为　 　．
10．（2023·泉州模拟）如图，是的弦（不是直径），将沿翻折交于点D.若，，则＝　 　.
11．（2023·章丘模拟）如图．将扇形翻折，使点与圆心重合，展开后折痕所在直线与交于点，连接．若，则图中阴影部分的面积是　 　．
12．（2024九上·瑞安期中）如图，正方形的边长为，以边上的动点为圆心，为半径作圆，将沿翻折至，若过一边上的中点，则的半径为　 　．
13．（2023·成都模拟）如图，中，，斜边，以边为直径在另一侧作半圆，点为半圆上一点，将半圆沿所在直线翻折，翻折后的与边相切于点，与边相交于点，则的长为　 　．
三、解答题（共7题，共61分）
14．（2024·镇江）如图，将△ABC沿过点A的直线翻折并展开，点C的对应点C'落在边AB上，折痕为AD，点O在边AB上，⊙O经过点A、D．若∠ACB＝90°，判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由．
15． 如图， 是 的直径， 为 上一点 ( 不与点 重合)， 连结 ， 过点 作 ，垂足为点 ． 将 沿 翻折， 点 落在点 处得 交 于点 ．
（1） 求证： 是 的切线．
（2） 若 ， 求阴影部分的面积．
16．（2023·红花岗模拟） 如图，已知是的直径，弦于点，连接，将沿翻折得到，直线与直线相交于点．
（1）求证：直线与相切；
（2）若，求阴影部分的面积．
17．（2024九上·南昌期末）如图，在中，，，是上的动点，以为圆心，的长为半径作圆交于点，分别是上的点，将沿折叠，点与点恰好重合．
（1）如图1，若，证明与直线相切；
（2）如图2，若经过点，连接．
①的长是 ▲ ；
②判断四边形的形状，并证明．
18．（2020·湖南模拟）在平面直角坐标系xOy中，将点P沿着y轴翻折，得到的对应点再沿着直线l翻折得到点P1，则P1称为点P的“l变换点”．
（1）已知：点P（1，0），直线l：x＝2，求点P的“l变换点”的坐标；
（2）若点Q和它的“l变换点”Q1的坐标分别为（2，1）和（3，2），求直线l的解析式；
（3）如图，⊙O的半径为2．
①若⊙O上存在点M，点M的“l变换点”M1在射线 x（x≥0）上，直线l：x＝b，求b的取值范围；
②将⊙O在x轴上移动得到⊙E，若⊙E上存在点N，使得点N的“l变换点”N1在y轴上，且直线l的解析式为y＝ x+1，求E点横坐标的取值范围．
19．（2023·红花岗模拟） 【问题背景】如图，在中，将劣弧沿弦所在的直线折叠，使得劣弧恰好过圆心，圆心关于直线的对称点为．
（1）【探究发现】如图，连接、，并延长交于，连接直接写出的度数为　 　 ，与的数量关系为　 　 ；
（2）【深入探究】如图，将劣弧沿弦所在的直线折叠，弧不经过圆心，在劣弧上取一点不与、重合，连接并延长交于点，连接、猜想与的数量关系，并说明理由；
（3）【拓展应用】如图，在条件下，若平分，，，求的长．
20．（2022·荆州）如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点O是边AB上一个动点（不与点A重合），连接OD，将△OAD沿OD折叠，得到△OED；再以O为圆心，OA的长为半径作半圆，交射线AB于G，连接AE并延长交射线BC于F，连接EG，设OA＝x.
（1）求证：DE是半圆O的切线；
（2）当点E落在BD上时，求x的值；
（3）当点E落在BD下方时，设△AGE与△AFB面积的比值为y，确定y与x之间的函数关系式；
（4）直接写出：当半圆O与△BCD的边有两个交点时，x的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：连接OA、OB，作OM⊥AB于M，如图，
根据折叠的性质得OM= OA，
在Rt△OAM中，∵sinA= = ，
∴∠A=30°，
∵OA=OB，
∴∠B=∠A=30°，
∴∠AOB=120°，
∴弧AB的度数是120°．
故选A．
【分析】连接OA、OB，作OM⊥AB于M，如图，利用折叠的性质得OM等于半径的一半，再在Rt△OAM中利用三角函数可得到∠A=30°，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和求出∠AOB的度数，再利用圆心角、弧、弦的关系得到弧AB的度数．
2．【答案】D
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接OD．
根据折叠的性质，CD=CO，BD=BO，∠DBC=∠OBC，
∴OB=OD=BD，
即△OBD是等边三角形，
∴∠DBO=60°，
∴∠CBO=∠DBO=30°，
∵∠AOB=90°，
∴OC=OB tan∠CBO=2×=，
∴S△BDC=S△OBC=×OB×OC=×2×=，S扇形AOB= π×22=π，
∴整个阴影部分的面积为：S扇形AOB﹣S△BDC﹣S△OBC=π﹣﹣=π﹣．
故选D．
【分析】首先连接OD，由折叠的性质，可得CD=CO，BD=BO，∠DBC=∠OBC，则可得△OBD是等边三角形，继而求得OC的长，即可求得△OBC与△BCD的面积，又在扇形OAB中，∠AOB=90°，半径OA=2，即可求得扇形OAB的面积，继而求得阴影部分面积．
3．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠BAC=25°，
∴∠B=90°﹣∠BAC=90°﹣25°=65°，
根据翻折的性质，所对的圆周角为∠B，所对的圆周角为∠ADC，
∴∠ADC+∠B=180°，
∴∠B=∠CDB=65°，
∴∠DCA=∠CDB﹣∠A=65°﹣25°=40°．
故选B．
【分析】首先连接BC，由AB是直径，可求得∠ACB=90°，则可求得∠B的度数，然后由翻折的性质可得，所对的圆周角为∠B， 所对的圆周角为∠ADC，继而求得答案．
4．【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：将⊙O沿BC翻折得到⊙O′，将⊙O′沿BD翻折得到⊙O″，则⊙O、⊙O′、⊙O″为等圆.
∵⊙O与⊙O′为等圆，劣弧AC与劣弧CD所对的角均为∠ABC，
∴ .
同理： .
又∵F是劣弧BD的中点，
∴ .
∴ .
∴弧AC的度数=180°÷4=45°.
∴∠B= ×45°=22.5°.
∴ 所在的范围是 ；
故答案为：B.
【分析】 如图，连接AC，CD，DE．证明∠CAB＝3α，利用三角形内角和定理求出α即可求解．
5．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理的应用；圆周角定理；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，延长AO交于点E，过B作BF⊥AE于点F.
劣弧沿AB翻折，得到弧ACB，所以弧ACB所在的圆和是等圆.
又因为和所对的角都是∠BAF，
∴=.
∴BC=BE=1.
∵AE是直径，
∴∠ABE=90°，
∴.
∵BF⊥AE，
∴CF=EF，∠ABE=∠AFB=90°，∠BAF=∠EAB，
∴△ABE∽△AFB，
∴，即
∴，
∴EF=AE－AF=
∴AC=AE－2EF=
故答案为：C.
【分析】延长AC交于点E，连接BE，过B点作BF⊥AE于F点. 利用折叠的性质可判断BC和BE所在圆为等圆，则根据圆周角定理得到BC=BF，所以BC=BF=1，再利用等腰三角形的性质得到CF=EF，接着根据圆周角定理得到∠ABE=90°，利用勾股定理可计算出AE的值. 然后利用△ABE∽△AFB，得到，从而计算AF的值，可得EF长，最后利用AE-2EF，即可得AC长.
6．【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接EO并延长交于点H，连接AH，过点O作OF⊥AB于F，延长OF交于点G，连接OB，如图，
∵EH为直径，
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴半径为，
∴
∵OG⊥AB于F，
∴
由折叠得：
∴
∴
∴
故答案为：C.
【分析】连接EO并延长交于点H，连接AH，过点O作OF⊥AB于F，延长OF交于点G，连接OB，根据圆周角定理得到：然后解直角三角形得到利用勾股定理求出EH得长度，然后根据垂径定理得到：由折叠得：最后再利用勾股定理即可求解.
7．【答案】D
【知识点】垂径定理；扇形面积的计算；轴对称的性质
【解析】【解答】解：作 于E，交 于点D、 于点F，如图所示：
由翻折可知DE=EO，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵直径 ，
∴弧AD=弧CD
∴ ，
∴ ，
由对称性可知阴影部分面积等于扇形COB的面积，
∴ .
故答案为：D.
【分析】作OE⊥AC于点点E，交于点D、于点F，根据折叠的性质得出，得出∠EOA=60°，从而得出∠COB=60°，利用S阴影部分=，即可得出答案.
8．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；扇形面积的计算；翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：连接AC，DC，过点C作CE⊥AB与E，点D关于BC的对称点D'，连接CD'，BD'，设AC=x，如图所示：
∵AB为直径，
∴∠BCA=90°，
∵，
∴，
根据勾股定理得
，
即，
解得，，
∴，
∴，
∴AE=，
∵BC为折痕，点D与点D'对称，
∴∠CBA=∠CBD'，，
∴，
∴CD=AC，
∵CE⊥AD，
∴DE=AE=2，AD=4，
∴弓形AC=弓形DC，
∴S阴影=S△ACD=．
故答案为：C．
【分析】连接AC，DC，过点C作CE⊥AB与E，点D关于BC的对称点D'，连接CD'，BD'，设AC=x，根据直径时圆周角性质可知∠BCA=90°，运用锐角三角函数的定义结合勾股定理可求得，，然后运用面积桥计算求得CE与AE，从而根据折叠的性质得到∠CBA=∠CBD'， ，可得AC=CD，结合等腰三角形的性质求得AE=DE=2，最后运用弓形AC=弓形DC进行面积转化即可求解。
9．【答案】2或或
【知识点】勾股定理；垂径定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵AB为直径，DE为弦，AB=2，
∴DE≤AB.
当DE的长为正整数时，DE= 1或2.
当DE=2时，即DE为直径，
∵DE⊥AB，
∴将 沿DE翻折交直线AB于点F，此时F与点A重合，
故FB=2；
①当DE=1，且在点C在线段OB之间时，如图，
连接OD，
此时
∵DE⊥AB，
∴
.
∴.
∴.
∴.
②当DE=1，且点C在线段OA之间时，如图：
连接OD，
同理可得，
∴.
∴.
综上，可得线段FB的长为2或或.
故答案为：2或或.
【分析】根据DE的长为正整数，可得DE=2或DE=1，DE=2时，B与A重合，可求BF长；DE=1时，分点C在OB边上和OA边上两种情况分别求OC长，即可得到BC，2BC即为BF的长.
10．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；菱形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：设翻折前点D的对应点是点，连接、、、、，如图：
则：
∴，
∵，
∴
∴，
∴四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即：
∴，
∴
∵，
∴，
∴；
故答案为：.
【分析】设翻折前点D的对应点是点D′，连接DD′、AD′、BD′、BD、BC，根据弧、弦的关系可得AD′=AD=BD′=BD，推出四边形ADBD′是菱形，∠BAD=∠BAD′=∠DAD′，由等腰三角形的性质可得∠C=∠BDC=∠ABC，利用两角对应相等的两个三角形相似可得△ABC∽△BDC，根据相似三角形的性质可得AD=CD，据此求解.
11．【答案】/
【知识点】扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：如图，连接，设l交于点D，
由翻折的性质得：，，，
，
，
即是等边三角形，
，由勾股定理得，
，
故答案为：．
【分析】连接，设l交于点D，先利用勾股定理求出，再利用割补法和扇形面积公式求解即可。
12．【答案】或或
【知识点】圆内接正多边形；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：设的半径为，当经过的中点，即经过的中点，
∴，
当经过的中点，则，
∴，，
在中，
∴
解得：（负值舍去）
当经过的中点，即经过的中点，设的中点为，
∴
∴
解得：
综上所述，半径为、、
故答案为：或或．
【分析】分经过的中点，经过的中点或经过的中点三种情况讨论，根据勾股定理分别计算解题即可．
13．【答案】
【知识点】垂径定理的实际应用；切线的性质
【解析】【解答】解：
作点O关于AP的对称点，连接
过点A作AF垂直BC于点F，则
，且
四边形为正方形
作
故答案为
【分析】l利用垂径定理，勾股定理，含角的三角形的性质即可求出答案。
14．【答案】解：BC与⊙O相切，理由如下：
如图，连接OD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
由折叠的性质得：∠CAD＝∠OAD，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴AC∥OD，
∵∠ACB=90°，
∴∠ODB＝∠ACB＝90°，
∴OD⊥BC，
∵OD是⊙O的半径，
∴BC与⊙O相切．
【知识点】切线的判定
【解析】【分析】连接OD，根据等腰三角形“等边对等角”、折叠的性质得∠OAD＝∠ODA=∠CAD，从而求出AC∥OD，进而得∠ODB＝∠ACB＝90°，最后根据切线的判定定理即可得证BC与⊙O相切．
15．【答案】（1）证明： 连结 OC 如图 所示．
，
∴
∴CE是的切线。
（2）解：连结 OF， 过点 O 作 于点 G ，如图 所示 ．
，
，

【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；圆周角定理；切线的判定；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）连结 OC，根据折叠的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，证明∠OCE=90°即可得证；
（2）连结 OF， 过点 O 作 于点 G，根据圆周角定理，30°的直角三角形的性质，扇形的面积公式求解即可。
16．【答案】（1）证明：如图，连接，
，
，，
，
，
由折叠的性质得：，
，即，
又是的半径，
直线与相切．
（2）解：如图，连接，，
由折叠的性质得：，，
，
，
，
由圆周角定理得：，
，
，
，
又，，
是等边三角形，
，，
，，
，
则阴影部分的面积为．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理；切线的判定；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）根据垂径定理可得，再根据折叠性质得，即可得，再根据切线得判定定理即可求出答案。
（2）连接，，根据折叠性质可得AC=CG，再根据圆周角性质可得，即可得，再根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，根据等边三角形的性质，勾股定理可得，可得 阴影部分的面积为，代入计算即可求出答案。
17．【答案】（1）解：过点作的延长线于点，
则，
，
，
，
，
，
在中，，
，，
，
与直线相切；
（2）解：①；②四边形为菱形，
证明如下：
由折叠可知，，
，，
，，
，
四边形为平行四边形，
又，
四边形为菱形．
【知识点】平行线的判定；勾股定理；菱形的判定；切线的判定；弧长的计算
【解析】【解答】解：（2）①如图所示，经过点
故第一空填：
【分析】（1）作出圆心到AB的垂线DH，从问题入手，半径已知要证明相切，就转化为证明圆心到直线AB的距离DH等于半径DC；DH所在的三角形是直角三角形，很容易相等利用勾股定理求DH，故问题转化为求斜边BD和直角边BH，BD是已知BC和半径DC的差，可求；BH由已知30°角、三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和、余角定义、30°角所对直角边等于斜边一半可求，至此整理思路即可；
（2）弧长是圆周长的一部分，故要通过圆周长和圆心角求得；圆心角可用外角定理来求，圆周长根据题意结合图形可知直径也可求，整理思路即可；所证四边形的邻边BD、DE均为圆的半径，故已知一组邻边相等的情况下证明菱形，只需要先证明四边形是平行四边形即可，根据折叠性质外角定理等易由同位角相等或内错角相等或同旁内角互补证明两组对边分别平行，整理思路，写出证明过程。
18．【答案】（1）解：如图1，点P（1，0）关于y轴的对称点（﹣1，0），再关于直线x＝2的对称点P1（5，0）；
（2）解：点Q(2，1)关于y轴的对称点(﹣2，1)， 设过点(﹣2，1)和(3，2)的直线的解析式为y=kx+b， ， 解得 k=﹣ ，b= ，
∴y＝﹣ x+ ，
∵点(﹣2，1)和(3，2)关于直线l对称，
∴直线l过点(﹣2，1)和(3，2)连线的中点且与直线y＝ x+ 垂直，
∵点(﹣2，1)和(3，2)连线的中点为( ， )，
∴设直线l的解析式为y＝﹣5x+n，
∴ ＝﹣5× +n，
解得：n＝4，
∴直线l的解析式为：y＝﹣5x+4；
（3）解：①如图4中， 由题意b＝ M1M′，由此可知，当M1M′的值最大时，可得b的最大值， ∵直线OM′的解析式为y＝ x，
∴tan∠M′OD＝ ，
∴∠MM′O＝∠M′OD＝30°，
∵OM＝2，易知，OM⊥OM′时，MM′的值最大，最大值为4，
∴b的最大值为2，
如图5中，易知当点M在x轴的正半轴上时，可得b的最小值，最小值为﹣1，
综上所述，满足条件的b取值范围为﹣1≤b≤2；
②设E（t，0），如图6中，设点E关于y轴的对称点为E1，E1关于直线y＝ x+1的对称点为E′，易知当点N在⊙E上运动时，点N′在⊙E′上运动，由此可见当⊙E′与y轴相切或相交时满足条件．
连接E1E′交直线y＝ x+1于K，易知直线E1E′的解析式为y＝﹣ x﹣ ，
由 ，解得 ，
∴K( ， )，
∵KE1＝KE′，
∴E′( ， )，
当⊙E′与y轴相切时，| |＝2，解得t＝ ﹣4或 +4，
综上所述，满足条件的t的取值范围为 ﹣4≤t≤ +4．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）根据“l变换点”的定义，分别画出图形，即可解决问题；（2）根据“l变换点”的定义，得到对称点的坐标，根据待定系数法即可得到结论；（3）①根据“l变换点”的定义，画出图形，求出b的最大值以及最小值即可解决问题；
②如图6中，设点E关于y轴的对称点为E1，E1关于直线y= x+1的对称点为E′，易知当点N在⊙E上运动时，点N′在⊙E′上运动，由此可见当⊙E′与y轴相切或相交时满足条件，想办法求出点E′的坐标即可解决问题．
19．【答案】（1）；
（2）解：，理由如下：
设折叠前点的对应点，连接、，如图：
由折叠可知，，
四边形是的圆内接四边形，
，
，
；
（3）解：在的条件下，，，则．
延长交于点，连接，过点作于点，如图，
则．
在中，由勾股定理得，，
，，
∽，
，
平分，
，
，
，
设，则，
，
在中，由勾股定理得，，
即，
解得或不合题意，舍去，
．
即的长为．
【知识点】圆内接四边形的性质；圆的综合题
【解析】【解答】解：（1）连接OO'，O'A，O'B
由题意可得：
都为等边三角形
由折叠性质可知
∵四边形AO'BD是的内接四边形
【分析】(1)连接OO'，O'A，O'B根据等边三角形判定定理可得都为等边三角形可得，由折叠性质，圆内接四边形性质即可求出答案。
（2） 设折叠前点的对应点，连接、 ，根据折叠性质，圆内接四边形性质即可求出答案。
（3） 延长交于点，连接，过点作于点，在中，由勾股定理得，，再根据相似三角形判定定理可得∽，即可得，再根据角平分线性质可得，设，则，则，根据勾股定理列出方程，解方程即可求出答案。
20．【答案】（1）证明：在矩形ABCD中， ，
△OED是△OAD沿OD折叠得到的，
，即 ，
DE是半圆O的切线
（2）解： △OED是△OAD沿OD折叠得到的，
，
，
在 中， ，
，
在 中， ，
，解得 ，
答：x的值为 .
（3）解：在 中， ，
△OED是△OAD沿OD折叠得到的，
，
是 的直径，
，即 ，
，
，
，
，
，
，
，
，即 ，
（ ）
（4）解： 或
【知识点】矩形的性质；圆周角定理；切线的判定；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】（4）解：由（2）知，当E在DB上时， ，
如图，当点E在DC上时， ，
∴当 时，半圆O与△BCD的边有两个交点；
当半圆O经过点C时，半圆O与△BCD的边有两个交点，
连接OC，如图：
在 中， ，
，
，解得 ，
∴当 时，半圆O与△BCD的边有两个交点；
综上所述，当半圆O与△BCD的边有两个交点时，x的取值范围为： 或 .
【分析】（1）由折叠及矩形的性质可得 ，根据切线的判定定理即证；
（2）由折叠的性质可得 ，从而得出 ，由勾股定理求出BD=5，可得EB=DB-ED=2，在 中， 由建立关于x方程并解之即可；
（3）由勾股定理可得， 先证 ，可得 ，据此求出 ，再证 ，可得 ，据此即可求解；
（4）结合图形，分情况讨论即可求出x范围.
1 / 1圆的折叠问题—北师大版数学九（下）知识点训练
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（初中数学北师大版九年级下册第三章 圆练习题 (3)）把一张圆纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则弧AB的度数是（　　）
A．120° B．135° C．150° D．165°
【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：连接OA、OB，作OM⊥AB于M，如图，
根据折叠的性质得OM= OA，
在Rt△OAM中，∵sinA= = ，
∴∠A=30°，
∵OA=OB，
∴∠B=∠A=30°，
∴∠AOB=120°，
∴弧AB的度数是120°．
故选A．
【分析】连接OA、OB，作OM⊥AB于M，如图，利用折叠的性质得OM等于半径的一半，再在Rt△OAM中利用三角函数可得到∠A=30°，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和求出∠AOB的度数，再利用圆心角、弧、弦的关系得到弧AB的度数．
2．如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，半径OA=2，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，使点O恰好落在弧AB上的点D处，折痕为BC，则图中阴影部分的面积是（　　）
A．π B．π﹣ C．π﹣ D．π﹣
【答案】D
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接OD．
根据折叠的性质，CD=CO，BD=BO，∠DBC=∠OBC，
∴OB=OD=BD，
即△OBD是等边三角形，
∴∠DBO=60°，
∴∠CBO=∠DBO=30°，
∵∠AOB=90°，
∴OC=OB tan∠CBO=2×=，
∴S△BDC=S△OBC=×OB×OC=×2×=，S扇形AOB= π×22=π，
∴整个阴影部分的面积为：S扇形AOB﹣S△BDC﹣S△OBC=π﹣﹣=π﹣．
故选D．
【分析】首先连接OD，由折叠的性质，可得CD=CO，BD=BO，∠DBC=∠OBC，则可得△OBD是等边三角形，继而求得OC的长，即可求得△OBC与△BCD的面积，又在扇形OAB中，∠AOB=90°，半径OA=2，即可求得扇形OAB的面积，继而求得阴影部分面积．
3．在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．如图，若点D与圆心O不重合，∠BAC=25°，则∠DCA的度数（　　）
A．35° B．40° C．45° D．65°
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠BAC=25°，
∴∠B=90°﹣∠BAC=90°﹣25°=65°，
根据翻折的性质，所对的圆周角为∠B，所对的圆周角为∠ADC，
∴∠ADC+∠B=180°，
∴∠B=∠CDB=65°，
∴∠DCA=∠CDB﹣∠A=65°﹣25°=40°．
故选B．
【分析】首先连接BC，由AB是直径，可求得∠ACB=90°，则可求得∠B的度数，然后由翻折的性质可得，所对的圆周角为∠B， 所对的圆周角为∠ADC，继而求得答案．
4．（2021·武汉）如图， 是 的直径， 是 的弦，先将 沿 翻折交 于点 .再将 沿 翻折交 于点 .若 ，设 ，则 所在的范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：将⊙O沿BC翻折得到⊙O′，将⊙O′沿BD翻折得到⊙O″，则⊙O、⊙O′、⊙O″为等圆.
∵⊙O与⊙O′为等圆，劣弧AC与劣弧CD所对的角均为∠ABC，
∴ .
同理： .
又∵F是劣弧BD的中点，
∴ .
∴ .
∴弧AC的度数=180°÷4=45°.
∴∠B= ×45°=22.5°.
∴ 所在的范围是 ；
故答案为：B.
【分析】 如图，连接AC，CD，DE．证明∠CAB＝3α，利用三角形内角和定理求出α即可求解．
5．（2024九上·嘉兴期末）如图，是一条弦，将劣弧沿弦翻折，连结并延长交翻折后的弧于点，连结，若，则的长为（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理的应用；圆周角定理；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，延长AO交于点E，过B作BF⊥AE于点F.
劣弧沿AB翻折，得到弧ACB，所以弧ACB所在的圆和是等圆.
又因为和所对的角都是∠BAF，
∴=.
∴BC=BE=1.
∵AE是直径，
∴∠ABE=90°，
∴.
∵BF⊥AE，
∴CF=EF，∠ABE=∠AFB=90°，∠BAF=∠EAB，
∴△ABE∽△AFB，
∴，即
∴，
∴EF=AE－AF=
∴AC=AE－2EF=
故答案为：C.
【分析】延长AC交于点E，连接BE，过B点作BF⊥AE于F点. 利用折叠的性质可判断BC和BE所在圆为等圆，则根据圆周角定理得到BC=BF，所以BC=BF=1，再利用等腰三角形的性质得到CF=EF，接着根据圆周角定理得到∠ABE=90°，利用勾股定理可计算出AE的值. 然后利用△ABE∽△AFB，得到，从而计算AF的值，可得EF长，最后利用AE-2EF，即可得AC长.
6．（2024·上城模拟）如图，在⊙O中，将沿弦AB翻折，使恰好经过圆心O，C是劣弧AB上一点. 已知AE=2，tan∠CBA=，则AB的长为 （　　）
A． B．6 C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接EO并延长交于点H，连接AH，过点O作OF⊥AB于F，延长OF交于点G，连接OB，如图，
∵EH为直径，
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴半径为，
∴
∵OG⊥AB于F，
∴
由折叠得：
∴
∴
∴
故答案为：C.
【分析】连接EO并延长交于点H，连接AH，过点O作OF⊥AB于F，延长OF交于点G，连接OB，根据圆周角定理得到：然后解直角三角形得到利用勾股定理求出EH得长度，然后根据垂径定理得到：由折叠得：最后再利用勾股定理即可求解.
7．（2021·湘潭模拟）如图， 是 的直径，且 ， 是 上一点，将 沿直线 翻折，若翻折后的圆弧恰好经过点 ，则图中阴影部分的面积为（　　）.
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】垂径定理；扇形面积的计算；轴对称的性质
【解析】【解答】解：作 于E，交 于点D、 于点F，如图所示：
由翻折可知DE=EO，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵直径 ，
∴弧AD=弧CD
∴ ，
∴ ，
由对称性可知阴影部分面积等于扇形COB的面积，
∴ .
故答案为：D.
【分析】作OE⊥AC于点点E，交于点D、于点F，根据折叠的性质得出，得出∠EOA=60°，从而得出∠COB=60°，利用S阴影部分=，即可得出答案.
8．（2022·威宁模拟）如图，为的直径，将沿翻折，翻折后的弧交于D．若，，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C．8 D．10
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；扇形面积的计算；翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：连接AC，DC，过点C作CE⊥AB与E，点D关于BC的对称点D'，连接CD'，BD'，设AC=x，如图所示：
∵AB为直径，
∴∠BCA=90°，
∵，
∴，
根据勾股定理得
，
即，
解得，，
∴，
∴，
∴AE=，
∵BC为折痕，点D与点D'对称，
∴∠CBA=∠CBD'，，
∴，
∴CD=AC，
∵CE⊥AD，
∴DE=AE=2，AD=4，
∴弓形AC=弓形DC，
∴S阴影=S△ACD=．
故答案为：C．
【分析】连接AC，DC，过点C作CE⊥AB与E，点D关于BC的对称点D'，连接CD'，BD'，设AC=x，根据直径时圆周角性质可知∠BCA=90°，运用锐角三角函数的定义结合勾股定理可求得，，然后运用面积桥计算求得CE与AE，从而根据折叠的性质得到∠CBA=∠CBD'， ，可得AC=CD，结合等腰三角形的性质求得AE=DE=2，最后运用弓形AC=弓形DC进行面积转化即可求解。
二、填空题（每题3分，共15分）
9．（2024·江西）如图，是的直径，，点C在线段上运动，过点C的弦，将沿翻折交直线于点F，当的长为正整数时，线段的长为　 　．
【答案】2或或
【知识点】勾股定理；垂径定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵AB为直径，DE为弦，AB=2，
∴DE≤AB.
当DE的长为正整数时，DE= 1或2.
当DE=2时，即DE为直径，
∵DE⊥AB，
∴将 沿DE翻折交直线AB于点F，此时F与点A重合，
故FB=2；
①当DE=1，且在点C在线段OB之间时，如图，
连接OD，
此时
∵DE⊥AB，
∴
.
∴.
∴.
∴.
②当DE=1，且点C在线段OA之间时，如图：
连接OD，
同理可得，
∴.
∴.
综上，可得线段FB的长为2或或.
故答案为：2或或.
【分析】根据DE的长为正整数，可得DE=2或DE=1，DE=2时，B与A重合，可求BF长；DE=1时，分点C在OB边上和OA边上两种情况分别求OC长，即可得到BC，2BC即为BF的长.
10．（2023·泉州模拟）如图，是的弦（不是直径），将沿翻折交于点D.若，，则＝　 　.
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；菱形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：设翻折前点D的对应点是点，连接、、、、，如图：
则：
∴，
∵，
∴
∴，
∴四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即：
∴，
∴
∵，
∴，
∴；
故答案为：.
【分析】设翻折前点D的对应点是点D′，连接DD′、AD′、BD′、BD、BC，根据弧、弦的关系可得AD′=AD=BD′=BD，推出四边形ADBD′是菱形，∠BAD=∠BAD′=∠DAD′，由等腰三角形的性质可得∠C=∠BDC=∠ABC，利用两角对应相等的两个三角形相似可得△ABC∽△BDC，根据相似三角形的性质可得AD=CD，据此求解.
11．（2023·章丘模拟）如图．将扇形翻折，使点与圆心重合，展开后折痕所在直线与交于点，连接．若，则图中阴影部分的面积是　 　．
【答案】/
【知识点】扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：如图，连接，设l交于点D，
由翻折的性质得：，，，
，
，
即是等边三角形，
，由勾股定理得，
，
故答案为：．
【分析】连接，设l交于点D，先利用勾股定理求出，再利用割补法和扇形面积公式求解即可。
12．（2024九上·瑞安期中）如图，正方形的边长为，以边上的动点为圆心，为半径作圆，将沿翻折至，若过一边上的中点，则的半径为　 　．
【答案】或或
【知识点】圆内接正多边形；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：设的半径为，当经过的中点，即经过的中点，
∴，
当经过的中点，则，
∴，，
在中，
∴
解得：（负值舍去）
当经过的中点，即经过的中点，设的中点为，
∴
∴
解得：
综上所述，半径为、、
故答案为：或或．
【分析】分经过的中点，经过的中点或经过的中点三种情况讨论，根据勾股定理分别计算解题即可．
13．（2023·成都模拟）如图，中，，斜边，以边为直径在另一侧作半圆，点为半圆上一点，将半圆沿所在直线翻折，翻折后的与边相切于点，与边相交于点，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】垂径定理的实际应用；切线的性质
【解析】【解答】解：
作点O关于AP的对称点，连接
过点A作AF垂直BC于点F，则
，且
四边形为正方形
作
故答案为
【分析】l利用垂径定理，勾股定理，含角的三角形的性质即可求出答案。
三、解答题（共7题，共61分）
14．（2024·镇江）如图，将△ABC沿过点A的直线翻折并展开，点C的对应点C'落在边AB上，折痕为AD，点O在边AB上，⊙O经过点A、D．若∠ACB＝90°，判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由．
【答案】解：BC与⊙O相切，理由如下：
如图，连接OD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
由折叠的性质得：∠CAD＝∠OAD，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴AC∥OD，
∵∠ACB=90°，
∴∠ODB＝∠ACB＝90°，
∴OD⊥BC，
∵OD是⊙O的半径，
∴BC与⊙O相切．
【知识点】切线的判定
【解析】【分析】连接OD，根据等腰三角形“等边对等角”、折叠的性质得∠OAD＝∠ODA=∠CAD，从而求出AC∥OD，进而得∠ODB＝∠ACB＝90°，最后根据切线的判定定理即可得证BC与⊙O相切．
15． 如图， 是 的直径， 为 上一点 ( 不与点 重合)， 连结 ， 过点 作 ，垂足为点 ． 将 沿 翻折， 点 落在点 处得 交 于点 ．
（1） 求证： 是 的切线．
（2） 若 ， 求阴影部分的面积．
【答案】（1）证明： 连结 OC 如图 所示．
，
∴
∴CE是的切线。
（2）解：连结 OF， 过点 O 作 于点 G ，如图 所示 ．
，
，

【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；圆周角定理；切线的判定；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）连结 OC，根据折叠的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，证明∠OCE=90°即可得证；
（2）连结 OF， 过点 O 作 于点 G，根据圆周角定理，30°的直角三角形的性质，扇形的面积公式求解即可。
16．（2023·红花岗模拟） 如图，已知是的直径，弦于点，连接，将沿翻折得到，直线与直线相交于点．
（1）求证：直线与相切；
（2）若，求阴影部分的面积．
【答案】（1）证明：如图，连接，
，
，，
，
，
由折叠的性质得：，
，即，
又是的半径，
直线与相切．
（2）解：如图，连接，，
由折叠的性质得：，，
，
，
，
由圆周角定理得：，
，
，
，
又，，
是等边三角形，
，，
，，
，
则阴影部分的面积为．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理；切线的判定；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）根据垂径定理可得，再根据折叠性质得，即可得，再根据切线得判定定理即可求出答案。
（2）连接，，根据折叠性质可得AC=CG，再根据圆周角性质可得，即可得，再根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，根据等边三角形的性质，勾股定理可得，可得 阴影部分的面积为，代入计算即可求出答案。
17．（2024九上·南昌期末）如图，在中，，，是上的动点，以为圆心，的长为半径作圆交于点，分别是上的点，将沿折叠，点与点恰好重合．
（1）如图1，若，证明与直线相切；
（2）如图2，若经过点，连接．
①的长是 ▲ ；
②判断四边形的形状，并证明．
【答案】（1）解：过点作的延长线于点，
则，
，
，
，
，
，
在中，，
，，
，
与直线相切；
（2）解：①；②四边形为菱形，
证明如下：
由折叠可知，，
，，
，，
，
四边形为平行四边形，
又，
四边形为菱形．
【知识点】平行线的判定；勾股定理；菱形的判定；切线的判定；弧长的计算
【解析】【解答】解：（2）①如图所示，经过点
故第一空填：
【分析】（1）作出圆心到AB的垂线DH，从问题入手，半径已知要证明相切，就转化为证明圆心到直线AB的距离DH等于半径DC；DH所在的三角形是直角三角形，很容易相等利用勾股定理求DH，故问题转化为求斜边BD和直角边BH，BD是已知BC和半径DC的差，可求；BH由已知30°角、三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和、余角定义、30°角所对直角边等于斜边一半可求，至此整理思路即可；
（2）弧长是圆周长的一部分，故要通过圆周长和圆心角求得；圆心角可用外角定理来求，圆周长根据题意结合图形可知直径也可求，整理思路即可；所证四边形的邻边BD、DE均为圆的半径，故已知一组邻边相等的情况下证明菱形，只需要先证明四边形是平行四边形即可，根据折叠性质外角定理等易由同位角相等或内错角相等或同旁内角互补证明两组对边分别平行，整理思路，写出证明过程。
18．（2020·湖南模拟）在平面直角坐标系xOy中，将点P沿着y轴翻折，得到的对应点再沿着直线l翻折得到点P1，则P1称为点P的“l变换点”．
（1）已知：点P（1，0），直线l：x＝2，求点P的“l变换点”的坐标；
（2）若点Q和它的“l变换点”Q1的坐标分别为（2，1）和（3，2），求直线l的解析式；
（3）如图，⊙O的半径为2．
①若⊙O上存在点M，点M的“l变换点”M1在射线 x（x≥0）上，直线l：x＝b，求b的取值范围；
②将⊙O在x轴上移动得到⊙E，若⊙E上存在点N，使得点N的“l变换点”N1在y轴上，且直线l的解析式为y＝ x+1，求E点横坐标的取值范围．
【答案】（1）解：如图1，点P（1，0）关于y轴的对称点（﹣1，0），再关于直线x＝2的对称点P1（5，0）；
（2）解：点Q(2，1)关于y轴的对称点(﹣2，1)， 设过点(﹣2，1)和(3，2)的直线的解析式为y=kx+b， ， 解得 k=﹣ ，b= ，
∴y＝﹣ x+ ，
∵点(﹣2，1)和(3，2)关于直线l对称，
∴直线l过点(﹣2，1)和(3，2)连线的中点且与直线y＝ x+ 垂直，
∵点(﹣2，1)和(3，2)连线的中点为( ， )，
∴设直线l的解析式为y＝﹣5x+n，
∴ ＝﹣5× +n，
解得：n＝4，
∴直线l的解析式为：y＝﹣5x+4；
（3）解：①如图4中， 由题意b＝ M1M′，由此可知，当M1M′的值最大时，可得b的最大值， ∵直线OM′的解析式为y＝ x，
∴tan∠M′OD＝ ，
∴∠MM′O＝∠M′OD＝30°，
∵OM＝2，易知，OM⊥OM′时，MM′的值最大，最大值为4，
∴b的最大值为2，
如图5中，易知当点M在x轴的正半轴上时，可得b的最小值，最小值为﹣1，
综上所述，满足条件的b取值范围为﹣1≤b≤2；
②设E（t，0），如图6中，设点E关于y轴的对称点为E1，E1关于直线y＝ x+1的对称点为E′，易知当点N在⊙E上运动时，点N′在⊙E′上运动，由此可见当⊙E′与y轴相切或相交时满足条件．
连接E1E′交直线y＝ x+1于K，易知直线E1E′的解析式为y＝﹣ x﹣ ，
由 ，解得 ，
∴K( ， )，
∵KE1＝KE′，
∴E′( ， )，
当⊙E′与y轴相切时，| |＝2，解得t＝ ﹣4或 +4，
综上所述，满足条件的t的取值范围为 ﹣4≤t≤ +4．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）根据“l变换点”的定义，分别画出图形，即可解决问题；（2）根据“l变换点”的定义，得到对称点的坐标，根据待定系数法即可得到结论；（3）①根据“l变换点”的定义，画出图形，求出b的最大值以及最小值即可解决问题；
②如图6中，设点E关于y轴的对称点为E1，E1关于直线y= x+1的对称点为E′，易知当点N在⊙E上运动时，点N′在⊙E′上运动，由此可见当⊙E′与y轴相切或相交时满足条件，想办法求出点E′的坐标即可解决问题．
19．（2023·红花岗模拟） 【问题背景】如图，在中，将劣弧沿弦所在的直线折叠，使得劣弧恰好过圆心，圆心关于直线的对称点为．
（1）【探究发现】如图，连接、，并延长交于，连接直接写出的度数为　 　 ，与的数量关系为　 　 ；
（2）【深入探究】如图，将劣弧沿弦所在的直线折叠，弧不经过圆心，在劣弧上取一点不与、重合，连接并延长交于点，连接、猜想与的数量关系，并说明理由；
（3）【拓展应用】如图，在条件下，若平分，，，求的长．
【答案】（1）；
（2）解：，理由如下：
设折叠前点的对应点，连接、，如图：
由折叠可知，，
四边形是的圆内接四边形，
，
，
；
（3）解：在的条件下，，，则．
延长交于点，连接，过点作于点，如图，
则．
在中，由勾股定理得，，
，，
∽，
，
平分，
，
，
，
设，则，
，
在中，由勾股定理得，，
即，
解得或不合题意，舍去，
．
即的长为．
【知识点】圆内接四边形的性质；圆的综合题
【解析】【解答】解：（1）连接OO'，O'A，O'B
由题意可得：
都为等边三角形
由折叠性质可知
∵四边形AO'BD是的内接四边形
【分析】(1)连接OO'，O'A，O'B根据等边三角形判定定理可得都为等边三角形可得，由折叠性质，圆内接四边形性质即可求出答案。
（2） 设折叠前点的对应点，连接、 ，根据折叠性质，圆内接四边形性质即可求出答案。
（3） 延长交于点，连接，过点作于点，在中，由勾股定理得，，再根据相似三角形判定定理可得∽，即可得，再根据角平分线性质可得，设，则，则，根据勾股定理列出方程，解方程即可求出答案。
20．（2022·荆州）如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点O是边AB上一个动点（不与点A重合），连接OD，将△OAD沿OD折叠，得到△OED；再以O为圆心，OA的长为半径作半圆，交射线AB于G，连接AE并延长交射线BC于F，连接EG，设OA＝x.
（1）求证：DE是半圆O的切线；
（2）当点E落在BD上时，求x的值；
（3）当点E落在BD下方时，设△AGE与△AFB面积的比值为y，确定y与x之间的函数关系式；
（4）直接写出：当半圆O与△BCD的边有两个交点时，x的取值范围.
【答案】（1）证明：在矩形ABCD中， ，
△OED是△OAD沿OD折叠得到的，
，即 ，
DE是半圆O的切线
（2）解： △OED是△OAD沿OD折叠得到的，
，
，
在 中， ，
，
在 中， ，
，解得 ，
答：x的值为 .
（3）解：在 中， ，
△OED是△OAD沿OD折叠得到的，
，
是 的直径，
，即 ，
，
，
，
，
，
，
，
，即 ，
（ ）
（4）解： 或
【知识点】矩形的性质；圆周角定理；切线的判定；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】（4）解：由（2）知，当E在DB上时， ，
如图，当点E在DC上时， ，
∴当 时，半圆O与△BCD的边有两个交点；
当半圆O经过点C时，半圆O与△BCD的边有两个交点，
连接OC，如图：
在 中， ，
，
，解得 ，
∴当 时，半圆O与△BCD的边有两个交点；
综上所述，当半圆O与△BCD的边有两个交点时，x的取值范围为： 或 .
【分析】（1）由折叠及矩形的性质可得 ，根据切线的判定定理即证；
（2）由折叠的性质可得 ，从而得出 ，由勾股定理求出BD=5，可得EB=DB-ED=2，在 中， 由建立关于x方程并解之即可；
（3）由勾股定理可得， 先证 ，可得 ，据此求出 ，再证 ，可得 ，据此即可求解；
（4）结合图形，分情况讨论即可求出x范围.
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