圆的折叠问题—北师大版数学九（下）知识点训练
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（2021九上·惠州期末）如图，排水管截面的半径为5分米，水面宽分米，，则水的最大深度CD为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·深圳模拟）如图，在△ABC 中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，以边 AB 中点 O 为圆心，作半圆与 AC 相切，点 P，Q 分别是边 BC 和半圆上的动点，连接 PQ，则 PQ 长的最大值与最小 值的差是（ ）
A．6 B． C．9 D．7
3．（2023·横沥模拟）如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB＝θ，点E，F分别是AC，BC的中点，直线EF与⊙O交于G，H两点，若⊙O的半径是r，则GE+FH的最大值是（ ）
A．r（2﹣sinθ） B．r（2+sinθ）
C．r（2﹣cosθ） D．r（2+cosθ）
4．（2022·坪山模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=4．点F为射线CB上一动点，过点C作CM⊥AF于M，交AB于E，D是AB的中点，则DM长度的最小值是（ ）
A． B． C． D．
5．（2020九上·海珠期末）已知： 是 的直径， ， 是 的切线， 是 上一动点，若 ， ， ，则 的面积的最小值是（ ）
A．36 B．32 C．24 D．10.4
6．我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．例如线段AB的最小覆盖圆就是以线段AB为直径的圆．若在△ABC中，AB=AC，BC=6，∠BAC=120°，则△ABC的最小覆盖圆的半径是（ ）
A．3 B． C．2 D．
7．（2024九下·惠阳月考）如图，P为矩形的边的延长线上的动点，于H，点E在边上，若，，，则线段的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·深圳模拟）如图，直线l：分别与x轴、y轴交于点A、B．点P为直线l在第一象限的点．作△POB的外接圆，延长OC交于点D，当△POD的面积最小时，则的半径长为（ ）
A． B．2 C． D．3
二、填空题（每题3分，共15分）
9．（2024九上·汕尾期末）如图，在中，，，则面积的最大值为 ．
10．（2024·珠海模拟）如图，在中，，，，点P为平面内一点，且，过C作交的延长线于点Q，则的最大值为 ．
11．（2024·梅州模拟）在直角中，，，，点是内一点，满足，则的最小值为 .
12．（2024九上·惠州期中）如图，抛物线与轴负半轴交于点A，P是以点为圆心，半径为2的圆上的动点，是线段PA的中点，连接OQ，则线段OQ的最小值是 .
13．（2023九上·惠阳月考）如图，点的坐标为，点的坐标为，点、点关于原点对称，点是平面上一点，且满足，则线段的最小值为 ．
14．（2024九下·番禺月考）如图，内接于，已知是直径，，，点D在直径上方的半圆上运动，连接交于点E，则的长度为 ，的最大值为 ．
三、解答题（共7题，共61分）
15．（2024九上·靖宇期末）如图，有一直径是的圆形铁皮，现从中剪出一个圆周角是90°的最大扇形ABC．
（1）求AB的长；
（2）用该扇形铁皮围成一个圆锥，求所得圆锥的底面圆的半径．
16．（初中数学北师大版九年级下册第三章 圆练习题 (2)）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是 上的一个动点，连接AP，求AP的最小值．
17．（2024九上·自贡期末）在平面直角坐标系中，对于任意三点给出如下定义：三点中横坐标的最大值与最小值的差我们称为“横距”；三点中纵坐标的最大值与最小值的差我们称之为“纵距”：若三点的横距与纵距相等，我们称这三点为“等距点”．
已知：如图，点，点．
（1）在中，与点为等距点的是 ；
（2）点为轴上一动点，若三点为等距点，求的值；
（3）已知点，有一半径为1，圆心为的，若上存在点，使得三点为等距点，直接写出的取值的范围．
18．（2024·东莞模拟）【探索发现】有张形状为直角三角形的纸片，小俊同学想用些大小不同的圆形纸片去覆盖这张三角形纸片，经过多次操作发现，如图，以斜边为直径作圆，刚好是可以把覆盖的面积最小的圆，称之为最小覆盖圆．
（1）【理解应用】我们也可以用一些大小不同的圆覆盖锐角三角形和钝角三角形，请你通过操作探究解决下列问题：如图在中，，试用直尺和圆规作出这个三角形的最小覆盖圆不写作法，保留作图痕迹．
（2）【拓展提升】如图，在中，，，，请求出的最小覆盖圆的半径．
19．（2023九上·深圳期中）小学阶段，我们了解到圆：平面上到定点的距离等于定长的所有的点组成的图形叫做圆。在一节数学实践活动课上，老师手拿着三个正方形硬纸板和几个不同的圆形的盘子，他向同学们提出了这样一个问题：已知手中圆盘的直径为，手中的三个正方形硬纸板的边长均为，若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，能否用这个圆盘将其盖住？问题提出后，同学们七嘴八舌，经过讨论，大家得出了一致性的结论是：本题实际上是求在不同情况下将三个正方形硬纸板无重叠地适当放置，圆盘能盖住时的最小直径.然后将各种情形下的直径值与进行比较，若小于或等于就能盖住，反之，则不能盖住.老师把同学们探索性画出的四类图形画在黑板上，如图所示.
（1）通过计算，在图1中圆盘刚好能盖住正方形纸板的最小直径应为 .（填准确数
（2）图2能盖住三个正方形硬纸板所需的圆盘最小直径为 ，图3能盖住三个正方形硬纸板所需的圆盘最小直径为 .（填准确数）
（3）拓展：按图4中的放置，三个正方形放置后为轴对称图形，当圆心落在边上时，圆的直径是多少，请你写出该种情况下求圆盘最小直径的过程，并判断是否能盖住.（计算中可能用到的数据，为了计算方便，本问在计算过程中，根据实际情况最后的结果可对个别数据取整数）
20．（2023·坪山模拟）课本呈现：如图1，在射门游戏中，球员射中球门的难易程度与他所处的位置对球门的张角（）有关．当球员在，处射门时，则有张角．某数学小组由此得到启发，探究当球员在球门同侧的直线射门时的最大张角．
问题探究：
（1）如图2，小明探究发现，若过、两点的动圆与直线相交于点、，当球员在处射门时，则有．
小明证明过程如下：
设直线交圆于点，连接，则
∵
∴
∴
（2）如图3，小红继续探究发现，若过、两点的动圆与直线相切于点，当球员在处射门时，则有，你同意吗？请你说明理由．
（3）问题应用：如图4，若，米，是中点，球员在射线上的点射门时的最大张角为，则的长度为 米．
（4）问题迁移：如图5，在射门游戏中球门，是球场边线，，是直角，．若球员沿带球前进，记足球所在的位置为点，求的最大度数．（参考数据：，，，，．）
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：∵圆O的直径为10分米，
∴OA=5（分米），
∵OD⊥AB，AB＝8（分米），
∴
∴水的最大深度CD＝OC－OD＝5－3=2（分米），
故答案为：C．
【分析】利用垂径定理和勾股定理求出OD的长，最后利用线段的和差求出CD的长即可。
2．【答案】D
【知识点】切线的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，设与AC相切于点E连接OE，作OP1⊥BC垂足为P1交于Q1，
此时垂线段OP1最短，P1Q1最小值为OP1-OQ1，
∵AB=10，AC=8，BC=6，
∴AB2= AC2+BC2，
∴∠C = 90°，
∵∠OP1B=90°，
∴OP1∥AC，
∵AO=OB，
∴P1C=P1B，
∴，
∴P1Q1最小值为OQ1-OQ1=1，
如图，当Q2在AB边上时，P2与B重合时，P2Q2经过圆心，
经过圆心的弦最长，
P2Q2最大值=5+3=8，
∴PQ长的最大值与最小值的差是7.
故答案为：D.
【分析】如图，设与AC相切于点E，连接OE，作OP1⊥BC垂足为P1交于Q1，此时垂线段OP1最短，P1Q1最小值为OP1-OQ1，求出OP1，如图当Q2在AB边上时，P2与B重合时，P2Q2最大值=5+3=8，由此不难解决问题.
3．【答案】A
【知识点】圆的相关概念；圆周角定理；三角形的中位线定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，作直径AP，连接BP，
∴∠ABP=90°，
∵∠P=∠C= θ ，
∴sinP=sinθ =，
∴AB=2rsinθ ，
∵E、F分别是AC、BC得中点，
∴EF=AB=rsinθ ，
∵GE+FH=GH-EF，
∴当GH长最大时，GE+FH有最大值，而当GH是圆的直径时，GH最大，
∴GE+FH得最大值为2r-rsinθ =r(2-sinθ).
故答案为：A.
【分析】作直径AP，连接BP，由直径所对的圆周角是直角得∠ABP=90°，由同弧所对的圆周角相等得∠P=∠C= θ ，从而根据∠P的正弦函数可得AB=2rsinθ ，由三角形中位线定理得EF=AB=rsinθ ，结合GE+FH=GH-EF，可得当GH长最大时，GE+FH有最大值，而当GH是圆的直径时，GH最大，从而即可得出答案.
4．【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系；圆-动点问题
【解析】【解答】解：如图，取AC的中点T，连接DT，MT．
∵AD=DB，AT=TC，
∴DT=BC=2，
∵CE⊥AF，
∴∠AMC=90°，
∴TM=AC=3，
∴点M的运动轨迹是以T为圆心，TM为半径的圆，
∴DM≥TM-DT=3-2=1，
∴DM的最小值为1，
故答案为：C．
【分析】取AC的中点T，连接DT，MT，根据三角形中位线的性质及直角三角形斜边上中线的性质可得DT=BC=2，TM=AC=3，再利用DM≥TM-DT=3-2=1，可得答案。
5．【答案】B
【知识点】三角形的面积；切线的性质；圆-动点问题
【解析】【解答】∵ 是 的直径， ， 是 的切线，
∴AB⊥AD，AB⊥BC，
∴AD∥BC，即：四边形ABCD是直角梯形，
过点D作DQ⊥BC于点Q，则四边形ABQD是矩形，
∵ ， ， ，
∴QC=BC-BQ=BC-AD=16-10=6，DQ=AB=2×4=8，
∴ ，
作MN∥CD与 相切与点P，此时，点P是 上所有的点中，到MN距离最小的点，即：此时， 的面积的最小值= 平行四边形MNCD面积的一半．
过点M作ME⊥BC于点E，则AM=BE，ME=AB=8，
∵MN=CD=10，
∴ ，
∵MN是 的切线，
∴MP=MA，NP=NB，
设MP=MA=BE=x，
∴10-x=6+x，解得：x=2，
∴BN=EN+BE=6+2=8，
∴NC=BC-BN=16-8=8，
∴平行四边形MNCD的面积=NC×DQ=8×8=64，
∴ 的面积的最小值=64÷2=32．
故答案为：B．
【分析】过点D作DQ⊥BC于点Q，则四边形ABQD是矩形，进而求出 ，作MN∥CD与 相切与点P，此时，点P是 上所有的点中，到MN距离最小的点，即：此时， 的面积的最小值= 平行四边形MNCD面积的一半．过点M作ME⊥BC于点E，则AM=BE，ME=AB=8，通过切线长定理，列方程，求出BE=2，进而得到：NC=8，求出平行四边形MNCD的面积，即可得到答案．
6．【答案】A
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：作AD⊥BC于D，如图所示：则∠ADB=90°，
∵AB=AC，
∴BD=CD=BC=3，∠B=∠C=30°，
∴AD=BD=＜3，
∴△ABC的最小覆盖圆的半径是BC边的一半=3，
故选：A．
【分析】作AD⊥BC于D，由等腰三角形的三线合一性质得出BD=CD= BC=3，得出AD=，即可得出结果．
7．【答案】D
【知识点】点与圆的位置关系；定角定弦辅助圆模型
【解析】【解答】解：连接AC，以AC为直径作的外接圆，
∵，
∴点H在上，
∵E是内一点，当E，O，H三点共线时，取最大值，
过O作于F，则F为的中点
∴，
∴
在中，，
∵，
∴线段的最大值为．
故答案为：D.
【分析】连接AC，以AC为直径作的外接圆，当E，O，H三点共线时，EH取最大值，再过O作于F，根据勾股定理求出，而，由，即可求解．
8．【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理；三角形的外接圆与外心；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：A（8，0），B（4，0），
OA=8，OB=4，
由勾股定理得，
在 中，OD是直径，
，
，
，
，
，
当最小时，则OP最小，
点P在线段AB上运动，
当时，OP最小，
，
，
，
，
，
OD=4，
的半径长为 2.
故答案为：B.
【分析】将表示为，从而当 △POD的面积最小时 ，时，OP最小，再根据三角函数可解出直径得出结果.
9．【答案】
【知识点】三角形的面积；圆周角定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图，作△ABC的外接圆，连接OB，OC
∵∠BAC=45°，
∴∠BOC=2∠BAC=90°，
过点0作OD⊥BC，垂足为D
∵OB=OC
∴
∵∠BOC=90°，OD⊥BC
∴
∴
∵BC=4保持不变，
∴BC边上的高越大，则△ABC的面积越大，当高过圆心时，最大，
此时BC边上的高为：
∴△ABC的最大面积是：
故答案为：
【分析】作△ABC的外接圆，连接OB，OC，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠BOC=2∠BAC=90°，过点0作OD⊥BC，垂足为D，根据边之间的关系可得，再根据勾股定理可得OB，则BC边上的高越大，则△ABC的面积越大，当高过圆心时，最大，此时BC边上的高为：，再根据三角形面积即可求出答案.
10．【答案】
【知识点】勾股定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：，
∴四点共圆，
，
∴为直径，
，
，
，
，
，
∴当为直径时，最大，，
，
故答案为：．
【分析】证明四点共圆，求出直径AB=5，然后根据等角的正切值相等求出，可得当为直径时，最大，进而计算即可．
11．【答案】2
【知识点】三角形三边关系；勾股定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，
∴∠BCD+∠DCA=90°，
∵∠DBC=∠DCA，
∴∠CBD+∠BCD=90°，
∴∠BDC=90°，
∴点D在以BC为直径的⊙O上，连接OA交⊙O于点D，此时DA最小，
在Rt△CAO中，∵∠OCA=90°，AC=4，OC=BC=3，
根据勾股定理得：，
∴DA=OA-OD=5-3=2．
故答案为：2．
【分析】首先证明∠BDC=90°，点D在以BC为直径的⊙O上，连接OA与⊙O交于点D，此时DA最小，利用勾股定理求出，根据DA=OA-OD，即可得到答案．
12．【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：如图，设抛物线与x轴的另一个交点为B，
，当y=0时，=0，解得x1=4，x2=-4，
∴A（-4，0），B（4，0），
连接BP，
∵Q是PA的中点，OA=OB，
∴OQ=BP，
∴当BP值最小时，OQ最小，
连接BC交圆于点P'，此时BP值最小，则BP=BP'，即是点P运动到点P'位置时，BP最小，
BC==5，
∴BP'=BC-OP'=5-2=3，
∴ 线段OQ的最小值是.
故答案为：.
【分析】设抛物线与x轴的另一个交点为B，由可求A（-4，0），B（4，0），连接BP，可得OQ是△BAP的中位线，可得OQ=BP，当BP值最小时，OQ最小，连接BC交圆于点P'，此时BP值最小，则BP=BP'，即是点P运动到点P'位置时，BP最小，求出此时BP'的长即可.
13．【答案】3
【知识点】勾股定理；圆周角定理；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：以为直径作，连接与交于点，过点作轴于点，
此时满足，的值最小，
点的坐标是，即，
在中，由勾股定理得，
，
∴．
故答案为：．
【分析】以为直径作，连接与交于点，此时的值最小，根据勾股定理求出，由，计算求解即可．
14．【答案】；
【知识点】含30°角的直角三角形；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：∵是直径，
∴，
∵，，
∴，
分别过点C，D作CF⊥AB于点F，DG⊥AB于点G，
则
∵，
，
所以当DG取最大值时，的值最大，
当点D位于的中点时，DG取最大值为1，
所以的值最大值为．
故答案为：，．
【分析】由直径所对的圆周角是直角得∠ACB=90°，进而根据∠ABC的余弦函数定义及特殊锐角三角函数值可求出BC的长；分别过点C，D作CF⊥AB于点F，DG⊥AB于点G，由同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行得DG∥CF，由平行于三角形一边的直线，截其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似得△DGE∽△CFE，由相似三角形对应边成比例建立方程可得，从而得出当DG取最大值时，的值最大，而当点D位于的中点时，DG取最大值为1，从而可得答案.
15．【答案】（1）解：连接BC，如图
∵，
∴BC为⊙O的直径，其，
∴；
（2）解：设所得圆锥的底面圆的半径为r，根据题意得，
解得：．
【知识点】圆周角定理；弧长的计算；圆锥的计算
【解析】【分析】（1）连接BC，利用90°圆周角所对的弦是直径求出，再利用勾股定理求得的长；
（2）根据圆锥的展开图、扇形的弧长公式和圆的周长公式建立方程求解。弧长公式：。
16．【答案】解：找到BC的中点E，连接AE，交半圆于P2，在半圆上取P1，连接AP1，EP1，
可见，AP1+EP1＞AE，
即AP2是AP的最小值，
∵AE= = ，P2E=1，
∴AP2= ﹣1．
【知识点】勾股定理；点与圆的位置关系
【解析】【分析】找到BC的中点E，连接AE，交半圆于P2，在半圆上取P1，连接AP1，EP1，可见，AP1+EP1＞AE，即AP2是AP的最小值，再根据勾股定理求出AE的长，然后减掉半径即可．
17．【答案】（1）
（2）解：代入，纵距：．
①时，横距；
②时，横距（舍去）：
③时，横距．
综上：或2．
（3）解：或
【知识点】坐标与图形性质；点与圆的位置关系；定义新运算
【解析】【解答】（1）解：∵点，点，
对于，横距，纵距为；
∴点E与点不是等距点；
对于，横距，纵距为；
∴点F与点不是等距点；
对于，横距，纵距为；
∴点G与点是等距点；
故答案为：；
（3）解：设点Q的坐标为，
∵，，半径为1，
∴Q点的横坐标的范围为：，
∴点A，D，Q三点的横距为，
∵，，Q三点为等距点，
∴点A，D，Q三点的纵距，
∴点Q的纵坐标为或4，
即圆经过直线或，
∵圆心为，半径为1，
∴或．
【分析】（1）根据“等距点”的定义直接求解；
（2）根据“等距点”的定义可得横距纵距，再分三种情况：时 或时 或时 ，分别根据横距等于3建立方程求解；
（3）设点Q的坐标为（x，y），根据“等距点”的定义，可得Q点的横坐标的范围为：，从而得到点A，D，Q三点的纵距=4，进而得到圆与直线y=-2或y=4的关系，即可求解。
18．【答案】（1）解：如图，作的垂直平分线，交于点，以点为圆心，的长为半径作圆即可；
（2）解：如图，的最小覆盖圆为的外接圆，
连接、，过作，
中，，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
的最小覆盖圆的半径为．
【知识点】垂径定理；尺规作图-垂直平分线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）以BC为直径做圆，即可得到答案；
（2）的最小覆盖圆为的外接圆，连接、，过作，解直角三角形OAH即可得到答案。
19．【答案】（1）
（2）；
（3）解：如图设圆心到最上面横线的距离为，到最下面横线的距离为，根据勾股定理可得，
，
解得，
∵，
∴，即
∴圆盘能盖住此种情况摆放硬纸板.
【知识点】勾股定理的应用；正方形的性质；圆的相关概念；垂径定理的实际应用；圆周角定理
【解析】【解答】解：(1)如图1，连接BD，
∵∠A=90°，∴BD为直径，
∵BD=
即圆盘的最小直径为
故答案为：
(2)
如图2，连接OA，OB，OC，
∵三个正方形的边长相同，∴OA=OB=OC，
∴O为圆的圆心，
∵OA=
∴圆盘的最小直径是cm.
如图3，连接AC，
∵∠B=90°，∴AC是直径，
∵AC=
即圆盘的最小直径是cm.
故答案为：，.
【分析】(1)先根据图确定直径为这个矩形的对角线，再根据勾股定理计算出这条对角线的长即可.
(2)图2中可知小正方形对角线为圆 盘的半径，根据勾股定理计算出对角线的值，再计算直径即可.图3中，圆盘的直径为A和C两点的连线，根据勾股定理计算出AC即可.
(3) 先确定圆心，根据圆心到B、N的距离相等，结合勾股定理列方程求出OE，再计算OB，从而得到最小的直径值.
20．【答案】（1）解：设直线交圆于点，连接，则，
∵，
∴，
∴
（2）解：同意，理由如下，如图3，记直线交过、两点的动圆于点G，连接，则，
∵，
∴，
∴
（3）10
（4）解：如图5，作线段的垂直平分线交于，交于点P，由（2）可知，点P即为所求，则四边形为矩形，
记动圆的圆心为O，设，则，
在中，由勾股定理得，，即，
解得，
∴，
∵，
∴，
∴的最大度数为．
【知识点】三角形的外角性质；圆周角定理；切线的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：（3）过点A、B分别作⊙O′与OP相切于点P，由（2）可得：此时射门最好.
∵∠APB=45°，⊙O′与OP相切，
∴∠OPB=90°.
∵OB=，
∴OP==10.
故答案为：10.
【分析】（1）设直线BP交圆于点E，连接AE，由圆周角定理可得∠ACB=∠AEB，由外角的性质可得∠AEB=∠APB+∠EAP，则∠ACB=∠APB+∠EAP，据此证明；
（2）记直线BC交过A、B两点的动圆于点G，连接AG，由圆周角定理可得∠AFB=∠AGB，由外角的性质可得∠AGB=∠ACB+∠GAC，则∠AFB=∠ACB+∠GAC，据此证明；
（3）过点A、B分别作⊙O′与OP相切于点P，由（2）可得：此时射门最好，根据切线的性质可得∠OPB=90°，则OP=，据此求解；
（4）作线段AB的垂直平分线交AB于M，交EF于点P，由（2）可知：点P即为所求，则四边形DEPM为矩形，记动圆的圆心为O，设OA=OP=OB=x，则OM=25-x，在Rt△AMO中，由勾股定理可得x的值，然后求出OM，由圆周角定理可得∠AOM=2∠APM=∠APB，利用三角函数的概念求出tan∠APB的值，据此解答.
1 / 1圆的折叠问题—北师大版数学九（下）知识点训练
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（2021九上·惠州期末）如图，排水管截面的半径为5分米，水面宽分米，，则水的最大深度CD为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：∵圆O的直径为10分米，
∴OA=5（分米），
∵OD⊥AB，AB＝8（分米），
∴
∴水的最大深度CD＝OC－OD＝5－3=2（分米），
故答案为：C．
【分析】利用垂径定理和勾股定理求出OD的长，最后利用线段的和差求出CD的长即可。
2．（2024·深圳模拟）如图，在△ABC 中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，以边 AB 中点 O 为圆心，作半圆与 AC 相切，点 P，Q 分别是边 BC 和半圆上的动点，连接 PQ，则 PQ 长的最大值与最小 值的差是（ ）
A．6 B． C．9 D．7
【答案】D
【知识点】切线的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，设与AC相切于点E连接OE，作OP1⊥BC垂足为P1交于Q1，
此时垂线段OP1最短，P1Q1最小值为OP1-OQ1，
∵AB=10，AC=8，BC=6，
∴AB2= AC2+BC2，
∴∠C = 90°，
∵∠OP1B=90°，
∴OP1∥AC，
∵AO=OB，
∴P1C=P1B，
∴，
∴P1Q1最小值为OQ1-OQ1=1，
如图，当Q2在AB边上时，P2与B重合时，P2Q2经过圆心，
经过圆心的弦最长，
P2Q2最大值=5+3=8，
∴PQ长的最大值与最小值的差是7.
故答案为：D.
【分析】如图，设与AC相切于点E，连接OE，作OP1⊥BC垂足为P1交于Q1，此时垂线段OP1最短，P1Q1最小值为OP1-OQ1，求出OP1，如图当Q2在AB边上时，P2与B重合时，P2Q2最大值=5+3=8，由此不难解决问题.
3．（2023·横沥模拟）如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB＝θ，点E，F分别是AC，BC的中点，直线EF与⊙O交于G，H两点，若⊙O的半径是r，则GE+FH的最大值是（ ）
A．r（2﹣sinθ） B．r（2+sinθ）
C．r（2﹣cosθ） D．r（2+cosθ）
【答案】A
【知识点】圆的相关概念；圆周角定理；三角形的中位线定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，作直径AP，连接BP，
∴∠ABP=90°，
∵∠P=∠C= θ ，
∴sinP=sinθ =，
∴AB=2rsinθ ，
∵E、F分别是AC、BC得中点，
∴EF=AB=rsinθ ，
∵GE+FH=GH-EF，
∴当GH长最大时，GE+FH有最大值，而当GH是圆的直径时，GH最大，
∴GE+FH得最大值为2r-rsinθ =r(2-sinθ).
故答案为：A.
【分析】作直径AP，连接BP，由直径所对的圆周角是直角得∠ABP=90°，由同弧所对的圆周角相等得∠P=∠C= θ ，从而根据∠P的正弦函数可得AB=2rsinθ ，由三角形中位线定理得EF=AB=rsinθ ，结合GE+FH=GH-EF，可得当GH长最大时，GE+FH有最大值，而当GH是圆的直径时，GH最大，从而即可得出答案.
4．（2022·坪山模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=4．点F为射线CB上一动点，过点C作CM⊥AF于M，交AB于E，D是AB的中点，则DM长度的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系；圆-动点问题
【解析】【解答】解：如图，取AC的中点T，连接DT，MT．
∵AD=DB，AT=TC，
∴DT=BC=2，
∵CE⊥AF，
∴∠AMC=90°，
∴TM=AC=3，
∴点M的运动轨迹是以T为圆心，TM为半径的圆，
∴DM≥TM-DT=3-2=1，
∴DM的最小值为1，
故答案为：C．
【分析】取AC的中点T，连接DT，MT，根据三角形中位线的性质及直角三角形斜边上中线的性质可得DT=BC=2，TM=AC=3，再利用DM≥TM-DT=3-2=1，可得答案。
5．（2020九上·海珠期末）已知： 是 的直径， ， 是 的切线， 是 上一动点，若 ， ， ，则 的面积的最小值是（ ）
A．36 B．32 C．24 D．10.4
【答案】B
【知识点】三角形的面积；切线的性质；圆-动点问题
【解析】【解答】∵ 是 的直径， ， 是 的切线，
∴AB⊥AD，AB⊥BC，
∴AD∥BC，即：四边形ABCD是直角梯形，
过点D作DQ⊥BC于点Q，则四边形ABQD是矩形，
∵ ， ， ，
∴QC=BC-BQ=BC-AD=16-10=6，DQ=AB=2×4=8，
∴ ，
作MN∥CD与 相切与点P，此时，点P是 上所有的点中，到MN距离最小的点，即：此时， 的面积的最小值= 平行四边形MNCD面积的一半．
过点M作ME⊥BC于点E，则AM=BE，ME=AB=8，
∵MN=CD=10，
∴ ，
∵MN是 的切线，
∴MP=MA，NP=NB，
设MP=MA=BE=x，
∴10-x=6+x，解得：x=2，
∴BN=EN+BE=6+2=8，
∴NC=BC-BN=16-8=8，
∴平行四边形MNCD的面积=NC×DQ=8×8=64，
∴ 的面积的最小值=64÷2=32．
故答案为：B．
【分析】过点D作DQ⊥BC于点Q，则四边形ABQD是矩形，进而求出 ，作MN∥CD与 相切与点P，此时，点P是 上所有的点中，到MN距离最小的点，即：此时， 的面积的最小值= 平行四边形MNCD面积的一半．过点M作ME⊥BC于点E，则AM=BE，ME=AB=8，通过切线长定理，列方程，求出BE=2，进而得到：NC=8，求出平行四边形MNCD的面积，即可得到答案．
6．我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．例如线段AB的最小覆盖圆就是以线段AB为直径的圆．若在△ABC中，AB=AC，BC=6，∠BAC=120°，则△ABC的最小覆盖圆的半径是（ ）
A．3 B． C．2 D．
【答案】A
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：作AD⊥BC于D，如图所示：则∠ADB=90°，
∵AB=AC，
∴BD=CD=BC=3，∠B=∠C=30°，
∴AD=BD=＜3，
∴△ABC的最小覆盖圆的半径是BC边的一半=3，
故选：A．
【分析】作AD⊥BC于D，由等腰三角形的三线合一性质得出BD=CD= BC=3，得出AD=，即可得出结果．
7．（2024九下·惠阳月考）如图，P为矩形的边的延长线上的动点，于H，点E在边上，若，，，则线段的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】点与圆的位置关系；定角定弦辅助圆模型
【解析】【解答】解：连接AC，以AC为直径作的外接圆，
∵，
∴点H在上，
∵E是内一点，当E，O，H三点共线时，取最大值，
过O作于F，则F为的中点
∴，
∴
在中，，
∵，
∴线段的最大值为．
故答案为：D.
【分析】连接AC，以AC为直径作的外接圆，当E，O，H三点共线时，EH取最大值，再过O作于F，根据勾股定理求出，而，由，即可求解．
8．（2023·深圳模拟）如图，直线l：分别与x轴、y轴交于点A、B．点P为直线l在第一象限的点．作△POB的外接圆，延长OC交于点D，当△POD的面积最小时，则的半径长为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理；三角形的外接圆与外心；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：A（8，0），B（4，0），
OA=8，OB=4，
由勾股定理得，
在 中，OD是直径，
，
，
，
，
，
当最小时，则OP最小，
点P在线段AB上运动，
当时，OP最小，
，
，
，
，
，
OD=4，
的半径长为 2.
故答案为：B.
【分析】将表示为，从而当 △POD的面积最小时 ，时，OP最小，再根据三角函数可解出直径得出结果.
二、填空题（每题3分，共15分）
9．（2024九上·汕尾期末）如图，在中，，，则面积的最大值为 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；圆周角定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图，作△ABC的外接圆，连接OB，OC
∵∠BAC=45°，
∴∠BOC=2∠BAC=90°，
过点0作OD⊥BC，垂足为D
∵OB=OC
∴
∵∠BOC=90°，OD⊥BC
∴
∴
∵BC=4保持不变，
∴BC边上的高越大，则△ABC的面积越大，当高过圆心时，最大，
此时BC边上的高为：
∴△ABC的最大面积是：
故答案为：
【分析】作△ABC的外接圆，连接OB，OC，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠BOC=2∠BAC=90°，过点0作OD⊥BC，垂足为D，根据边之间的关系可得，再根据勾股定理可得OB，则BC边上的高越大，则△ABC的面积越大，当高过圆心时，最大，此时BC边上的高为：，再根据三角形面积即可求出答案.
10．（2024·珠海模拟）如图，在中，，，，点P为平面内一点，且，过C作交的延长线于点Q，则的最大值为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：，
∴四点共圆，
，
∴为直径，
，
，
，
，
，
∴当为直径时，最大，，
，
故答案为：．
【分析】证明四点共圆，求出直径AB=5，然后根据等角的正切值相等求出，可得当为直径时，最大，进而计算即可．
11．（2024·梅州模拟）在直角中，，，，点是内一点，满足，则的最小值为 .
【答案】2
【知识点】三角形三边关系；勾股定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，
∴∠BCD+∠DCA=90°，
∵∠DBC=∠DCA，
∴∠CBD+∠BCD=90°，
∴∠BDC=90°，
∴点D在以BC为直径的⊙O上，连接OA交⊙O于点D，此时DA最小，
在Rt△CAO中，∵∠OCA=90°，AC=4，OC=BC=3，
根据勾股定理得：，
∴DA=OA-OD=5-3=2．
故答案为：2．
【分析】首先证明∠BDC=90°，点D在以BC为直径的⊙O上，连接OA与⊙O交于点D，此时DA最小，利用勾股定理求出，根据DA=OA-OD，即可得到答案．
12．（2024九上·惠州期中）如图，抛物线与轴负半轴交于点A，P是以点为圆心，半径为2的圆上的动点，是线段PA的中点，连接OQ，则线段OQ的最小值是 .
【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：如图，设抛物线与x轴的另一个交点为B，
，当y=0时，=0，解得x1=4，x2=-4，
∴A（-4，0），B（4，0），
连接BP，
∵Q是PA的中点，OA=OB，
∴OQ=BP，
∴当BP值最小时，OQ最小，
连接BC交圆于点P'，此时BP值最小，则BP=BP'，即是点P运动到点P'位置时，BP最小，
BC==5，
∴BP'=BC-OP'=5-2=3，
∴ 线段OQ的最小值是.
故答案为：.
【分析】设抛物线与x轴的另一个交点为B，由可求A（-4，0），B（4，0），连接BP，可得OQ是△BAP的中位线，可得OQ=BP，当BP值最小时，OQ最小，连接BC交圆于点P'，此时BP值最小，则BP=BP'，即是点P运动到点P'位置时，BP最小，求出此时BP'的长即可.
13．（2023九上·惠阳月考）如图，点的坐标为，点的坐标为，点、点关于原点对称，点是平面上一点，且满足，则线段的最小值为 ．
【答案】3
【知识点】勾股定理；圆周角定理；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：以为直径作，连接与交于点，过点作轴于点，
此时满足，的值最小，
点的坐标是，即，
在中，由勾股定理得，
，
∴．
故答案为：．
【分析】以为直径作，连接与交于点，此时的值最小，根据勾股定理求出，由，计算求解即可．
14．（2024九下·番禺月考）如图，内接于，已知是直径，，，点D在直径上方的半圆上运动，连接交于点E，则的长度为 ，的最大值为 ．
【答案】；
【知识点】含30°角的直角三角形；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：∵是直径，
∴，
∵，，
∴，
分别过点C，D作CF⊥AB于点F，DG⊥AB于点G，
则
∵，
，
所以当DG取最大值时，的值最大，
当点D位于的中点时，DG取最大值为1，
所以的值最大值为．
故答案为：，．
【分析】由直径所对的圆周角是直角得∠ACB=90°，进而根据∠ABC的余弦函数定义及特殊锐角三角函数值可求出BC的长；分别过点C，D作CF⊥AB于点F，DG⊥AB于点G，由同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行得DG∥CF，由平行于三角形一边的直线，截其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似得△DGE∽△CFE，由相似三角形对应边成比例建立方程可得，从而得出当DG取最大值时，的值最大，而当点D位于的中点时，DG取最大值为1，从而可得答案.
三、解答题（共7题，共61分）
15．（2024九上·靖宇期末）如图，有一直径是的圆形铁皮，现从中剪出一个圆周角是90°的最大扇形ABC．
（1）求AB的长；
（2）用该扇形铁皮围成一个圆锥，求所得圆锥的底面圆的半径．
【答案】（1）解：连接BC，如图
∵，
∴BC为⊙O的直径，其，
∴；
（2）解：设所得圆锥的底面圆的半径为r，根据题意得，
解得：．
【知识点】圆周角定理；弧长的计算；圆锥的计算
【解析】【分析】（1）连接BC，利用90°圆周角所对的弦是直径求出，再利用勾股定理求得的长；
（2）根据圆锥的展开图、扇形的弧长公式和圆的周长公式建立方程求解。弧长公式：。
16．（初中数学北师大版九年级下册第三章 圆练习题 (2)）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是 上的一个动点，连接AP，求AP的最小值．
【答案】解：找到BC的中点E，连接AE，交半圆于P2，在半圆上取P1，连接AP1，EP1，
可见，AP1+EP1＞AE，
即AP2是AP的最小值，
∵AE= = ，P2E=1，
∴AP2= ﹣1．
【知识点】勾股定理；点与圆的位置关系
【解析】【分析】找到BC的中点E，连接AE，交半圆于P2，在半圆上取P1，连接AP1，EP1，可见，AP1+EP1＞AE，即AP2是AP的最小值，再根据勾股定理求出AE的长，然后减掉半径即可．
17．（2024九上·自贡期末）在平面直角坐标系中，对于任意三点给出如下定义：三点中横坐标的最大值与最小值的差我们称为“横距”；三点中纵坐标的最大值与最小值的差我们称之为“纵距”：若三点的横距与纵距相等，我们称这三点为“等距点”．
已知：如图，点，点．
（1）在中，与点为等距点的是 ；
（2）点为轴上一动点，若三点为等距点，求的值；
（3）已知点，有一半径为1，圆心为的，若上存在点，使得三点为等距点，直接写出的取值的范围．
【答案】（1）
（2）解：代入，纵距：．
①时，横距；
②时，横距（舍去）：
③时，横距．
综上：或2．
（3）解：或
【知识点】坐标与图形性质；点与圆的位置关系；定义新运算
【解析】【解答】（1）解：∵点，点，
对于，横距，纵距为；
∴点E与点不是等距点；
对于，横距，纵距为；
∴点F与点不是等距点；
对于，横距，纵距为；
∴点G与点是等距点；
故答案为：；
（3）解：设点Q的坐标为，
∵，，半径为1，
∴Q点的横坐标的范围为：，
∴点A，D，Q三点的横距为，
∵，，Q三点为等距点，
∴点A，D，Q三点的纵距，
∴点Q的纵坐标为或4，
即圆经过直线或，
∵圆心为，半径为1，
∴或．
【分析】（1）根据“等距点”的定义直接求解；
（2）根据“等距点”的定义可得横距纵距，再分三种情况：时 或时 或时 ，分别根据横距等于3建立方程求解；
（3）设点Q的坐标为（x，y），根据“等距点”的定义，可得Q点的横坐标的范围为：，从而得到点A，D，Q三点的纵距=4，进而得到圆与直线y=-2或y=4的关系，即可求解。
18．（2024·东莞模拟）【探索发现】有张形状为直角三角形的纸片，小俊同学想用些大小不同的圆形纸片去覆盖这张三角形纸片，经过多次操作发现，如图，以斜边为直径作圆，刚好是可以把覆盖的面积最小的圆，称之为最小覆盖圆．
（1）【理解应用】我们也可以用一些大小不同的圆覆盖锐角三角形和钝角三角形，请你通过操作探究解决下列问题：如图在中，，试用直尺和圆规作出这个三角形的最小覆盖圆不写作法，保留作图痕迹．
（2）【拓展提升】如图，在中，，，，请求出的最小覆盖圆的半径．
【答案】（1）解：如图，作的垂直平分线，交于点，以点为圆心，的长为半径作圆即可；
（2）解：如图，的最小覆盖圆为的外接圆，
连接、，过作，
中，，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
的最小覆盖圆的半径为．
【知识点】垂径定理；尺规作图-垂直平分线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）以BC为直径做圆，即可得到答案；
（2）的最小覆盖圆为的外接圆，连接、，过作，解直角三角形OAH即可得到答案。
19．（2023九上·深圳期中）小学阶段，我们了解到圆：平面上到定点的距离等于定长的所有的点组成的图形叫做圆。在一节数学实践活动课上，老师手拿着三个正方形硬纸板和几个不同的圆形的盘子，他向同学们提出了这样一个问题：已知手中圆盘的直径为，手中的三个正方形硬纸板的边长均为，若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，能否用这个圆盘将其盖住？问题提出后，同学们七嘴八舌，经过讨论，大家得出了一致性的结论是：本题实际上是求在不同情况下将三个正方形硬纸板无重叠地适当放置，圆盘能盖住时的最小直径.然后将各种情形下的直径值与进行比较，若小于或等于就能盖住，反之，则不能盖住.老师把同学们探索性画出的四类图形画在黑板上，如图所示.
（1）通过计算，在图1中圆盘刚好能盖住正方形纸板的最小直径应为 .（填准确数
（2）图2能盖住三个正方形硬纸板所需的圆盘最小直径为 ，图3能盖住三个正方形硬纸板所需的圆盘最小直径为 .（填准确数）
（3）拓展：按图4中的放置，三个正方形放置后为轴对称图形，当圆心落在边上时，圆的直径是多少，请你写出该种情况下求圆盘最小直径的过程，并判断是否能盖住.（计算中可能用到的数据，为了计算方便，本问在计算过程中，根据实际情况最后的结果可对个别数据取整数）
【答案】（1）
（2）；
（3）解：如图设圆心到最上面横线的距离为，到最下面横线的距离为，根据勾股定理可得，
，
解得，
∵，
∴，即
∴圆盘能盖住此种情况摆放硬纸板.
【知识点】勾股定理的应用；正方形的性质；圆的相关概念；垂径定理的实际应用；圆周角定理
【解析】【解答】解：(1)如图1，连接BD，
∵∠A=90°，∴BD为直径，
∵BD=
即圆盘的最小直径为
故答案为：
(2)
如图2，连接OA，OB，OC，
∵三个正方形的边长相同，∴OA=OB=OC，
∴O为圆的圆心，
∵OA=
∴圆盘的最小直径是cm.
如图3，连接AC，
∵∠B=90°，∴AC是直径，
∵AC=
即圆盘的最小直径是cm.
故答案为：，.
【分析】(1)先根据图确定直径为这个矩形的对角线，再根据勾股定理计算出这条对角线的长即可.
(2)图2中可知小正方形对角线为圆 盘的半径，根据勾股定理计算出对角线的值，再计算直径即可.图3中，圆盘的直径为A和C两点的连线，根据勾股定理计算出AC即可.
(3) 先确定圆心，根据圆心到B、N的距离相等，结合勾股定理列方程求出OE，再计算OB，从而得到最小的直径值.
20．（2023·坪山模拟）课本呈现：如图1，在射门游戏中，球员射中球门的难易程度与他所处的位置对球门的张角（）有关．当球员在，处射门时，则有张角．某数学小组由此得到启发，探究当球员在球门同侧的直线射门时的最大张角．
问题探究：
（1）如图2，小明探究发现，若过、两点的动圆与直线相交于点、，当球员在处射门时，则有．
小明证明过程如下：
设直线交圆于点，连接，则
∵
∴
∴
（2）如图3，小红继续探究发现，若过、两点的动圆与直线相切于点，当球员在处射门时，则有，你同意吗？请你说明理由．
（3）问题应用：如图4，若，米，是中点，球员在射线上的点射门时的最大张角为，则的长度为 米．
（4）问题迁移：如图5，在射门游戏中球门，是球场边线，，是直角，．若球员沿带球前进，记足球所在的位置为点，求的最大度数．（参考数据：，，，，．）
【答案】（1）解：设直线交圆于点，连接，则，
∵，
∴，
∴
（2）解：同意，理由如下，如图3，记直线交过、两点的动圆于点G，连接，则，
∵，
∴，
∴
（3）10
（4）解：如图5，作线段的垂直平分线交于，交于点P，由（2）可知，点P即为所求，则四边形为矩形，
记动圆的圆心为O，设，则，
在中，由勾股定理得，，即，
解得，
∴，
∵，
∴，
∴的最大度数为．
【知识点】三角形的外角性质；圆周角定理；切线的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：（3）过点A、B分别作⊙O′与OP相切于点P，由（2）可得：此时射门最好.
∵∠APB=45°，⊙O′与OP相切，
∴∠OPB=90°.
∵OB=，
∴OP==10.
故答案为：10.
【分析】（1）设直线BP交圆于点E，连接AE，由圆周角定理可得∠ACB=∠AEB，由外角的性质可得∠AEB=∠APB+∠EAP，则∠ACB=∠APB+∠EAP，据此证明；
（2）记直线BC交过A、B两点的动圆于点G，连接AG，由圆周角定理可得∠AFB=∠AGB，由外角的性质可得∠AGB=∠ACB+∠GAC，则∠AFB=∠ACB+∠GAC，据此证明；
（3）过点A、B分别作⊙O′与OP相切于点P，由（2）可得：此时射门最好，根据切线的性质可得∠OPB=90°，则OP=，据此求解；
（4）作线段AB的垂直平分线交AB于M，交EF于点P，由（2）可知：点P即为所求，则四边形DEPM为矩形，记动圆的圆心为O，设OA=OP=OB=x，则OM=25-x，在Rt△AMO中，由勾股定理可得x的值，然后求出OM，由圆周角定理可得∠AOM=2∠APM=∠APB，利用三角函数的概念求出tan∠APB的值，据此解答.
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