【精品解析】圆与反比例函数—北师大版数学九（下）知识点训练

圆与反比例函数—北师大版数学九（下）知识点训练
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（2019·福田模拟）如图，一次函数y＝2x与反比例函数y （k＞0）的图象交于A，B两点，点P在以C（﹣2，0）为圆心，1为半径的⊙C上，Q是AP的中点，已知OQ长的最大值为 ，则k的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理
【解析】【解答】解：连接BP，
由对称性得：OA＝OB，
∵Q是AP的中点，
∴OQ BP，
∵OQ长的最大值为 ，
∴BP长的最大值为 2＝3，
如图，当BP过圆心C时，BP最长，过B作BD⊥x轴于D，
∵CP＝1，
∴BC＝2，
∵B在直线y＝2x上，
设B（t，2t），则CD＝t﹣（﹣2）＝t+2，BD＝﹣2t，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：BC2＝CD2+BD2，
∴22＝（t+2）2+（﹣2t）2，
t＝0（舍）或 ，
∴B（ ， ），
∵点B在反比例函数y （k＞0）的图象上，
∴k ；
故答案为：C．
【分析】连接BP，根据题意即可得到OQ和PB的最大值，所以当BP过圆心C时，BP最长，过B作BD⊥x轴于D，设出点P的坐标，在直角三角形BCD中，根据勾股定理得到点B的坐标，代入反比例函数中，即可求出k的数值。
2．（2017·广陵模拟）如图，点A（1，2）在反比例函数y= （x＞0）上，B为反比例函数图象上一点，不与A重合，当以OB为直径的圆经过A点，点B的坐标为（　　）
A．（2，1） B．（3， ） C．（4，0.5） D．（5，0.4）
【答案】C
【知识点】圆周角定理；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：将点A（1，2）代入y= ，得：k=2，
则反比例函数解析式为y= ，
设点B（m， ），
如图，连接AB，过点A作x轴的平行线，交y轴于点C，过点B作y轴的平行线，交直线AC于点D，
则∠OCA=∠D=90°，
∴∠AOC+∠OAC=90°，
∵OB为圆的直径，
∴∠OAB=90°，
∴∠OAC+∠BAD=90°，
∴∠AOC=∠BAD，
则△AOC∽△BAD，
∴ = ，即 = ，
解得：m=1（舍）或m=4，
则点B（4，0.5），
故C符合题意.
故答案为：C．
【分析】利用待定系数法求得反比例函数的解析式，设B点的坐标，再证明△AOC∽△BAD，根据相似三角形的性质可得到关于m的方程求解可得.
3．如图，是反比例函数的图象上的一个动点，以点为圆心，OP长为半径的圆与x轴相交于点，延长OP交于点，连结AB，则的面积为（　　）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的面积；反比例函数-动态几何问题；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵过点P作OQ⊥x轴于点Q，如图：
是反比例函数的图象上的一个动点，
∴
∴.
因为点P为圆心，OP为半径，
∴OB=2OP，即.
∵OB为直径，
∴∠OAB=90°，
∴PQ//AB，
∴△OPQ∽△OBA，
∴
∴
故答案为：B.
【分析】过点P作OQ⊥x轴于点Q，根据反比例函数的几何意义得，继而可得△POQ的面积；根据圆周角定理的推论得∠OAB=90°，从而可证明△OPQ∽△OBA，利用相似三角形面积的性质即可求出△OAB的面积.
4．（2023九上·长春期中）如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数y=（k>0，x>0）的图象上，分别以A、B为圆心，1为半径作圆，当⊙A与x轴相切、⊙B与y轴相切时，连结AB，AB=4，则k的值为（　　）
A．3 B．4 C．4 D．5
【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；勾股定理；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：过点A，B分别作y，x轴的垂线，垂足分别为E，D，AE，BD交于点C，由题意可得：
A点纵坐标为1，b点横坐标为1
则A点横坐标为：x=k，B点纵坐标为：y=k
∴A（k，1），B（1，k）
∴C（1，1）
则AC=k-1，BC=k-1
∴
解得：k=5或-3（舍去）
故答案为：D
【分析】过点A，B分别作y，x轴的垂线，垂足分别为E，D，AE，BD交于点C，由圆的性质可知A点纵坐标为1，b点横坐标为1，代入函数解析式可求出A，B点坐标，则AC=k-1，BC=k-1，再根据勾股定理即可求出答案.
5．（2023九上·石家庄期中）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点P是反比例函数y＝（x＞0）图象上的一个动点，若以点P为圆心，3为半径的圆与直线y＝x相交，交点为A、B，当弦AB的长等于2时，点P的坐标为（　　）
A．（1，6）和（6，1） B．（2，3）和（3，2）
C．（，3）和（3，） D．（，2）和（2，）
【答案】C
【知识点】反比例函数-动态几何问题；圆-动点问题
【解析】【解答】解：当点P在直线y=x上方时，连接PA，作PH⊥AB
∴
∴PH=2
作PM⊥x轴交直线AB于点C
设OM=a，则CM=a
∵
∴P
∴
解得：
∴P
当点P在直线y=x下方时，由对称性可知P
故答案为：C
【分析】当点P在直线y=x上方时，连接PA，作PH⊥AB，根据垂径定理可得，则PH=2，作PM⊥x轴交直线AB于点C，设OM=a，则CM=a，可得P，再将点P坐标代入反比例函数解析式可求出P点坐标，当点P在直线y=x下方时，由对称性可知P，即可求出答案.
6．（2022·衢江模拟）如图，点是反比例函数的图象上的一个动点，以点为圆心，为半径的圆与轴交于点，延长交圆于点，连结，则的面积是（　　）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的面积；圆周角定理；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：点是反比例函数的图象上的一个动点，
，
延长OP交圆P于点B，且，
，
由圆周角定理得：，即，
，
的面积是.
故答案为：B.
【分析】根据点P在反比例函数图象上可得xD=，由题意可得B（2x，2D），由圆周角定理得∠OAB=90°，则OA=2x，AB=2D，接下来根据三角形的面积公式进行计算.
7．（2022·大方模拟）如图，的斜边OB落在x轴上，，，以O为圆心．OB长为半径作弧交OC的延长线于点D，过点C作，交圆弧于点E．若反比例函数的图像经过点E，则k的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理；矩形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：过点E作EH⊥OB，CM⊥OB，连接OE，如图所示：
由题意得四边形CMHE是矩形，
∵，，
∴，
∴OE=4，
∵，CM⊥OB，
∴，
∵四边形CMHE是矩形，
∴EH=CM=2，
∴，
∴，
将代入得：，
解得：，
故答案为：C
【分析】过点E作EH⊥OB，CM⊥OB，连接OE，先根据等腰直角三角形的性质得到，进而结合题意根据矩形的性质得到EH=CM=2，再运用勾股定理求出OH，从而得到点E的坐标，最后代入反比例函数解析式即可求解。
8．（2023九上·石家庄期中） 如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A、B两点，分别以A、B两点为圆心，画与x轴相切的两个圆，若点A的坐标为（2，1），则图中两个阴影部分面积的和是（　　）
A． B． C．π D．4π
【答案】C
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；切线的性质；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：∵点A的坐标为（2，1）且圆A与x轴相切
∴圆A的半径为1
∵点A和点B是正比例函数与反比例函数的图象的交点
∴点B的坐标为（-2，-1）
同理可得圆B的半径为1
∴圆A与圆B关于原点中心对称
∴圆A的阴影部分与圆B空白的部分完全重合
∴圆A的阴影部分与圆B空白的部分的面积相等
∴圆中两阴影部分的面积之和为：
故答案为：C
【分析】根据点A坐标及切线性质可得圆A的半径为1，根据正比例函数与反比例函数的交点特征可得点B的坐标为（-2，-1），则圆B的半径为1，可判断圆A与圆B关于原点中心对称，圆A的阴影部分与圆B空白的部分完全重合，则阴影部分面积的和为圆A的面积即可求出答案.
二、填空题（每题3分，共15分）
9．（2024·南山模拟）如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点点B为顶点，分别作菱形AOCD和菱形OBEF，点D，E在x轴上，以点O为圆心，OA长为半径作弧AC，连接BF．则阴影部分面积之和为　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数系数k的几何意义；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，过点A作AH⊥OD，
∵A（，1），
∴AH=1，OH=，k=xy=，
∴y=，OA==2，△OAH的面积=OH·OH=，
∴∠OAH=30°，
∵四边形OACD是菱形，
∴∠AOC=2∠AOH=60°，菱形OACD的面积=4×△OAH的面积=2，
∴扇形OAC的面积==π，
∵点B在函数y=图象上，且BF⊥OE，
∴△BOF的面积=，
∴ 阴影部分面积之和= 菱形OACD的面积-扇形OAC的面积+△BOF的面积=2-π+
=.
故答案为：.
【分析】过点A作AH⊥OD，由点A坐标可求出反比例函数表达式y=和OA的长，利用直角三角形的性质求出∠OAH的度数，利用菱形的性质求出∠AOC的度数，从而求出扇形OAC的面积及菱形OACD的面积，再利用反比例函数系数k的几何意义求出△BOF的面积，利用阴影部分面积之和= 菱形OACD的面积-扇形OAC的面积+△BOF的面积即可求解.
10．（2023·海曙模拟）如图，点A (7，7)，过A作AB⊥x轴于点B，C是反比例函数y=图像上一动点且在△AOB内部，以C为圆心为半径作⊙C，当⊙C与△AOB的边相切时，点C的纵坐标是　 　．
【答案】4或
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；切线的判定与性质；解直角三角形；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点A (7，7)，AB⊥x轴，
∴OB=BA，∠ABO=90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠AOB=45°即OA是第一象限的角平分线，
∴OA的函数解析式为y=x，
当圆C与OA边相切时切点且E，连接CE，过点C作CF∥x轴，交OA于点F，
∴∠EFC=∠AOB=45°，∠CEF=90°，
∴CE=EF=
∴，
设点C（m，），
∴点F，
∴
解之：m1=-4（舍去），m2=6，
∴点C的纵坐标为；
当圆C与AB边相切时，切点为G，
∴CG=，CG⊥AB，
∴点C横坐标为，
∴点C的纵坐标为.
故答案为：4或
【分析】利用点A的坐标可证得△AOB是等腰直角三角形，由此可知OA是第一象限的角平分线，可得到OA的函数解析式为y=x；再分情况讨论：当圆C与OA边相切时切点且E，连接CE，过点C作CF∥x轴，交OA于点F，易证∠EFC=∠AOB=45°，∠CEF=90°，利用解直角三角形求出CF的长，设点C（m，），可表示出点F的坐标，由此可得到关于m的方程，解方程求出m的值，可得到点C的纵坐标；当圆C与AB边相切时，切点为G，可得到CG=，CG⊥AB，即可得到点C的横坐标，再利用反比例函数解析式求出点C的纵坐标；综上所述可得到点C的纵坐标.
11．（2023·深圳模拟）如图，一次函数y=2x与反比例函数y=(k>0)的图象交于A，B两点，点M在以C(4，0)为圆心，半径为2的 ⊙ C上，N是BM的中点，已知ON长的最大值为3，则k的值是　 　
【答案】
【知识点】一元二次方程的根；反比例函数的性质；反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理的应用
【解析】【解答】 过点A作AD⊥OC于点D，连接AM，当且仅当AM过点C时，AM才最大．由正、反比例函数的图象的交点关于原点成中心对称，从而OA=OB，又N是BM的中点，于是ON是△ABM的中位线，所以AM= 2ON．根据题意可知ON长的最大值为3，此时AM最大值为6，于是AC=6-2=4．令A(t，2t)，则CD=OC-OD=4-t，AD=2t，
由勾股定理，得(4- t)2+(2t)2=42，整理，得5t-28t=0，解得t1=，t2=0 (舍去)，
于是A(，)．
由双曲线y=过点A，得k= ．
故答案为．
故答案为．
【分析】连接AN，根据反比例函数性质，A、B关于原点O对称，所以O是线段AB的中点，又N是线段BM的中点，所以ON是△ABM的中位线，当ON取得最大值时，AM也取得最大值，由于M在⊙C上运动，所以当A、C、M三点共线时，AM最大，为6，结合勾股定理进行分析。
12．如图，OA在x轴上，OB在y轴上，OA=8，AB=10，点C在边OA上，AC=2，⊙P的圆心P在线段BC上，且⊙P与边AB，AO都相切．若反比例函数y=（k≠0）的图象经过圆心P，则k=　 　 ．
【答案】﹣5　
【知识点】一次函数的图象；切线的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】作PD⊥OA于D，PE⊥AB于E，作CH⊥AB于H，如图，设⊙P的半径为r，∵⊙P与边AB，AO都相切，∴PD=PE=r，AD=AE，
在Rt△OAB中，∵OA=8，AB=10，∴OB==6，∵AC=2，∴OC=6，∴△OBC为等腰直角三角形，∴△PCD为等腰直角三角形，
∴PD=CD=r，∴AE=AD=2+r，∵∠CAH=∠BAO，∴△ACH∽△ABO，∴=，即=，解得CH=，∴AH===，
∴BH=10﹣=，∵PE∥CH，∴△BEP∽△BHC，∴=，即=，解得r=1，∴OD=OC﹣CD=6﹣1=5，∴P（5，﹣1），
∴k=5×（﹣1）=﹣5．故答案为：﹣5
【分析】作PD⊥OA于D，PE⊥AB于E，作CH⊥AB于H，如图，设⊙P的半径为r，根据切线的性质和切线长定理得到PD=PE=r，AD=AE，再 利用勾股定理计算出OB=6，则可判断△OBC为等腰直角三角形，从而得到△PCD为等腰直角三角形，则PD=CD=r，AE=AD=2+r，通过证明 △ACH∽△ABO，利用相似比计算出CH=，接着利用勾股定理计算出AH=，所以BH=10﹣=，然后证明△BEH∽△BHC，利用相似比得到即=，解得r=1，从而易得P点坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k的值．
13．（2023·成都模拟）在平面直角坐标系xOy中，直线分别交y轴负半轴，反比例函数的图象于点A，B，以B为圆心，AB长为半径画弧，交平行于x轴的直线AE于点C，作CD垂直于x轴交反比例函数的图象于点D．若，的面积为2，则k的值等于　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：
设B（a，b）
设OA=2x，则CM=2x
，
，
B，D在反比例函数的图像上
故答案为
【分析】过点B作于点F，连接DF，设B（a，b），由等腰三角形的性质得出AF=CF=a，设OA=2x，证出，求出，则可得出答案。
三、解答题（共7题，共61分）
14．（2024九上·昌黎期末）如图，已知一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，且与y轴交于点B，第一象限内点C在反比例函数为的图像上，且以点C为圆心的圆与x轴，y轴分别相切于点D，B．
（1）求n的值；
（2）求一次函数的表达式；
（3）当时，直接写出x的取值范围．
【答案】（1）解：在中，当时，，
∴；
（2）解：如图所示，连接，
∵以点为圆心的圆与轴，轴分别相切于点，
∴，轴，轴，
∴可设点C的坐标为，
∴，
∴或（负值舍去），
∴点B的坐标为，
将点、代入中，
∴，
∴，
∴一次函数解析式为；
（3）x的取值范围为：和．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；切线的性质
【解析】【解答】（3）解：联立，解得或，
∴一次函数与反比例函数的另一个交点坐标为，
由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时，自变量的取值范围为和，
∴当时，x的取值范围为：和．
【分析】（1）将点A坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
（2）连接，根据切线性质可得，轴，轴， 可设点C的坐标为，代入反比例函数解析式可得点B的坐标为，再根据待定系数法将点A，B坐标代入一次函数解析式即可求出答案.
（3）联立一次函数与反比例函数解析式求出交点坐标， 当一次函数图象在反比例函数图象上方时，有，结合函数图象即可求出答案.
（1）解：在中，当时，，
∴；
（2）解：如图所示，连接，
∵以点为圆心的圆与轴，轴分别相切于点，
∴，轴，轴，
∴可设点C的坐标为，
∴，
∴或（负值舍去），
∴点B的坐标为，
将点、代入中，
∴，
∴，
∴一次函数解析式为；
（3）解：联立，解得或，
∴一次函数与反比例函数的另一个交点坐标为，
由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时，自变量的取值范围为和，
∴当时，x的取值范围为：和．
15．（浙教版2019年数学中考模拟试卷8）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，P是反比例函数y＝ （x＞0）图象上任意一点，以P为圆心，PO为半径的圆与x轴交于点 A、与y轴交于点B，连接AB.
（1）求证：P为线段AB的中点；
（2）求△AOB的面积.
【答案】（1）证明：∵点A、O、B在⊙P上，且∠AOB＝90°，
∴AB为⊙P直径，
即P为AB中点；
（2）解：∵P为 （x＞0）上的点，
设点P的坐标为（m，n），则mn＝12，
过点P作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，
∴M的坐标为（m，0），N的坐标为（0，n），
且OM＝m，ON＝n，
∵点A、O、B在⊙P上，
∴M为OA中点，OA＝2 m；
N为OB中点，OB＝2 n，
∴S△AOB＝ OA O B＝2mn＝24.
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）根据同圆的半径相等得出PA=PB，故点 P为AB中点；
（2） 设点P的坐标为（m，n）， 根据反比例函数图象上的点的坐标特点，得出 mn＝12， 过点P作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N， 根据点的坐标与图形的性质得出 M的坐标为（m，0），N的坐标为（0，n）， 故 OM＝m，ON＝n， 根据垂径定理得出 OA＝2 m， OB＝2 n，从而根据 S△AOB＝ OA O B＝2mn 即可得出答案。
16．（2018·金乡模拟）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，P是反比例函数 图象上任意一点，以P为圆心，PO为半径的圆与x轴交于点 A、与y轴交于点B，连接AB．
（1）求证：P为线段AB的中点；
（2）求△AOB的面积．
【答案】（1）证明：∵点A、O、B在⊙P上，且∠AOB=90°，
∴AB为⊙P直径， 即P为AB中点
（2）解：∵P为 （x＞0）上的点，
设点P的坐标为（m，n），则mn=12， 过点P作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，
∴M的坐标为（m，0），N的坐标为（0，n），且OM=m，ON=n，∵点A、O、B在⊙P上，
∴M为OA中点，OA=2 m；N为OB中点，OB=2 n， ∴S△AOB= OA O B=2mn=24．
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据90度的圆周角所对的弦是直径可得AB是直径，所以P为AB的中点；
（2） 过点P作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，由（1）知，P为AB的中点，所以可得三角形AOB的面积=4三角形POM的面积，根据反比例函数的k的几何意义可得三角形POM的面积=，所以三角形AOB的面积可求解。
17．（2022·天河模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线y= x与双曲线交于A，B两点，其中A的坐标为（1，a），P是以点C（ - 2，2）为圆心，半径长为1的圆上一动点，连接AP，Q为AP的中点.
（1）求双曲线的解析式：
（2）将直线y = x向上平移m（m > 0）个单位长度，若平移后的直线与⊙C相切，求m的值
（3）求线段OQ长度的最大值.
【答案】（1）解：∵点A（1，a）在直线y=x上，
∴a=1，
∴点A的坐标为（1，1），
∴把点A坐标代入到反比例函数解析式得，
∴，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：由题意得平移后的直线解析式为，
如图所示，设直线与圆C的切点为D，与y轴的交点为H，连接OC，过点C作CE⊥x轴于E，
∴点H的坐标为（0，m）
∴OH=m，
∵点C（-2，2），
∴CE=OE=2，
∴∠COE=45°，
∴∠DOH=45°，
同理可证∠BOE=45°，
∴∠BOC=90° ，即OC⊥AB，
∵直线与直线AB平行，
∴OC与直线垂直，
又∵直线与圆C相切于点C，
∴CD与直线垂直，
∴C、O、D三点共线，
∵圆C的半径为1，
∴，
∵∠ODH=90°，∠DOH=45°，
∴∠DHO=45°，
∴，
∴，
∴
同理当切点D在圆O上方时可以求得，
综上所述，若平移后的直线与⊙C相切，或；
（3）解：如图所示，连接PB，PC，BC，
由对称性可知A、B关于原点对称，即O是AB的中点，
∴点B的坐标为（-1，-1），
∵Q是AP的中点，
∴OQ是△APB的中位线，
∴，
∴要想OQ最大，则PB最大，
∵，
∴当P、B、C三点共线，且P在C点上方时，PB有最大值，即PB=PC+BC=1+BC，
∵点C（-2，2），点B（-1，-1），
∴，
∴，
∴
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；圆的综合题；圆-动点问题
【解析】【分析】（1）将点A（1，a）代入直线y=x得到a=1，从而得出k的值；
（2）连接OC，设直线与圆C的切点为D，与y轴的交点为H，连接OC，过点C作CE⊥x轴于E，先求出OC的长，再利用平行线的性质及切线的性质可得OD的长，再利用等腰直角三角形的性质可得DH的长，最后求出OH的长，即可得到m的值，从而得解；
（3）当P、B、C三点共线，且P在C点上方时，PB有最大值，即PB=PC+BC=1+BC，利用两点之间的距离公式可得，求出，即可得到。
18．（2020九上·长沙期中）若一个圆的圆心P（ ，y）落在反比例函数 在第一象限的图象上，则称这个圆为“比心圆”．
（1）当比心圆同时与 轴和y轴相切时，求圆心P的坐标和⊙P半径；
（2）若比心圆以OP为半径，交 轴和y轴分别为点A和点B，判断△OAB的面积是否为定值？如果是定值请求出，如果不是请说明理由；
（3）若比心圆的半径为1，请直接写出当比心圆与 轴或y轴相交时的圆心P的横坐标 的取值范围．
【答案】（1）解：如图所示，连接OP、PA、PB
∵比心圆同时与 轴和y轴相切
∴PA⊥y轴，PB⊥x轴，且PA=PB，
∴点P处 ，
∴ ，解得 ，
∵P（ ，y）落在反比例函数 在第一象限的图象上
∴圆心P（2，2），半径PA=2
（2）解：如图2，在 的图像上任取一点P，设P点坐标为 ，过P作PE⊥y轴，PF⊥轴，
∴ ，
∴ ，
∵由圆的性质可知OA=OP=OB，
∴ ，
∴ ，
∵P在 的图像上，
∴ ，
∴△OAB的面积是为定值，且 ；
（3）解：如图3，比心圆的半径为1，且与 轴或y轴相交，
情况一：与y轴相交，P距离y轴的距离，即横坐标大于零，小于1，此时x的取值范围：0情况二：与x轴相交，P距离x轴的距离，即纵坐标大于零，小于1，此时 ，解得x>4，即此时x的取值范围：x>4，
综上：x的取值范围：04.
【知识点】三角形的面积；反比例函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）根据比心圆同时与 轴和y轴相切，可得 PA⊥y轴，PB⊥x轴，且PA=PB， 再联立解析式求解即可；
（2）根据三角形的面积公式及圆的性质求解即可；
（3）分类讨论， ①与y轴相交，P距离y轴的距离；② 与x轴相交，P距离x轴的距离，进行作答即可。
19．（2023九上·历下期中） 小静发现希腊数学家曾利用反比例函数图象将一个角三等分，具体方法如下：
第一步：建立平面直角坐标系，将已知锐角∠AOB的顶点与原点O重合，角的一边OB与x轴正方向重合．在平面直角坐标系里，绘制函数的图象，图象与已知角的另一边OA交于点P．
第二步：以P为圆心、以20P为半径作弧，交函数的图象于点R．
第三步：分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两线相交于点M，连接OM，得到∠MOB（如图1）．
这时．
为什么？小静想要证明这个结论却没有思路，便询问老师．
老师进行了指导：分别过点P和R作y轴和x轴的平行线，两线交于点Q（如图2），解答这道题的关键就是证明O，Q，M三点共线，在平面直角坐标系中，证明三点共线最直接的做法是先用两点确定一条直线的表达式，再证明第三点在这条直线上．
老师指导后，小静若有所思．请你和小静一起，完成下列问题．
图1 图2
（1）已知，，，请说明C、D、E三点共线．
（2）在“三等分角”的作图中（如图2），请证明O，Q，M三点共线．
（3）在（2）的基础上，请证明．
【答案】（1）解：设直线CE解析式为，将，代入得
，解得
将代入得，
D在直线CE上，C、D、E三点共线
（2）解：轴，轴，设，
设OM的解析式为，
，，
直线OM的解析式为：，
当时，，
，点Q在直线OM上；
（3）解：设PR交QM于点D，
∵过P，R作x，y轴的平行线，四边形PORM为矩形，
，
由外角定理，，
，，，
又四边形PORM为矩形，
，，
，
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；矩形的性质
【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可得出直线CD的解析式，再将点E的坐标代入解析式判断即可；
（2） 设， ，得出点M的坐标，根据矩形的性质用m、n表示出点Q、M的坐标，求出直线OQ的解析式，判断即可；
（3）根据矩形的性质得出HM=HP=HQ=HR， 由外角定理，， 再根据四边形PORM为矩形，得出，即可得出即可。
20．（2019·湖南模拟）如图，一次函数y=2x与反比例函数y= (k＞0)的图象交于A、B两点，点P在以C(-2，0)为圆心，1为半径的圆上，Q是AP的中点
（1）若AO= ，求k的值；
（2）若OQ长的最大值为 ，求k的值；
（3）若过点C的二次函数y=ax2+bx+c同时满足以下两个条件：①a+b+c=0；②当a≤x≤a+1时，函数y的最大值为4a，求二次项系数a的值．
【答案】（1）解：设A(m，n)，
∵AO= ，
∴m2+n2=5，
∵一次函数y=2x的图象经过A点，
∴n=2m，
∴m2+(2m)2=5，解得m=±1，
∵A在第一象限，
∴m=1，
∴A(1，2)，
∵点A在反比例函数y= (k＞0)的图象上，
∴k=1×2=2；
（2）解：如图，连接BP，
由对称性得：OA=OB，
∵Q是AP的中点，
∴OQ= BP，
∵OQ长的最大值为 ，
∴BP长的最大值为 ×2=3，
如图2，当BP过圆心C时，BP最长，过B作BD⊥x轴于D，
∵CP=1，
∴BC=2，
∵B在直线y=2x上，
设B(t，2t)，则CD=t-(-2)=t+2，BD=-2t，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：BC2=CD2+BD2，
∴22=(t+2)2+(-2t)2，
t=0(舍)或- ，
∴B(- ，- )，
∵点B在反比例函数y= (k＞0)的图象上，
∴k=- ×(- )= ；
（3）解：∵抛物线经过点C(-2，0)，
∴4a-2b+c=0，
又∵a+b+c=0，
∴b=a，c=-2a，
∴y=ax2+ax-2a=a(x+ )2- a，
∵- ＜a≤x≤a+1或a≤x≤a+1＜- ，
当x=a时，取得最大值4a，
则a a2+a a-2a=4a，
解得a=-3或2，
当x=a+1时，取得最大值4a，
则a(a+1)2+a(a+1)-2a=4a，
解得a=-4或1，
综上所述所求a的值为-3或2或-4或1．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；点与圆的位置关系；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）设A(m，n)，根据勾股定理和一次函数图象上点的坐标特征得出 ，解方程组即可求得A的坐标，代入y= 可求得k的值；（2）作辅助线，先确定OQ长的最大时，点P的位置，当BP过圆心C时，BP最长，设B(t，2t)，则CD=t-(-2)=t+2，BD=-2t，根据勾股定理计算t的值，可得k的值；（3）根据题意写出抛物线的解析式为：y=ax2+ax-2a=a(x+ )2- a，即可判定- 在a≤x≤a+1范围外，故存在两种可能，即当x=a时，有最大值4a，或x=a+1时有最大值4a，分别代入求得即可．
1 / 1圆与反比例函数—北师大版数学九（下）知识点训练
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（2019·福田模拟）如图，一次函数y＝2x与反比例函数y （k＞0）的图象交于A，B两点，点P在以C（﹣2，0）为圆心，1为半径的⊙C上，Q是AP的中点，已知OQ长的最大值为 ，则k的值为（　　）
A． B． C． D．
2．（2017·广陵模拟）如图，点A（1，2）在反比例函数y= （x＞0）上，B为反比例函数图象上一点，不与A重合，当以OB为直径的圆经过A点，点B的坐标为（　　）
A．（2，1） B．（3， ） C．（4，0.5） D．（5，0.4）
3．如图，是反比例函数的图象上的一个动点，以点为圆心，OP长为半径的圆与x轴相交于点，延长OP交于点，连结AB，则的面积为（　　）
A．3 B． C． D．
4．（2023九上·长春期中）如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数y=（k>0，x>0）的图象上，分别以A、B为圆心，1为半径作圆，当⊙A与x轴相切、⊙B与y轴相切时，连结AB，AB=4，则k的值为（　　）
A．3 B．4 C．4 D．5
5．（2023九上·石家庄期中）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点P是反比例函数y＝（x＞0）图象上的一个动点，若以点P为圆心，3为半径的圆与直线y＝x相交，交点为A、B，当弦AB的长等于2时，点P的坐标为（　　）
A．（1，6）和（6，1） B．（2，3）和（3，2）
C．（，3）和（3，） D．（，2）和（2，）
6．（2022·衢江模拟）如图，点是反比例函数的图象上的一个动点，以点为圆心，为半径的圆与轴交于点，延长交圆于点，连结，则的面积是（　　）
A．3 B． C． D．
7．（2022·大方模拟）如图，的斜边OB落在x轴上，，，以O为圆心．OB长为半径作弧交OC的延长线于点D，过点C作，交圆弧于点E．若反比例函数的图像经过点E，则k的值是（　　）
A． B． C． D．
8．（2023九上·石家庄期中） 如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A、B两点，分别以A、B两点为圆心，画与x轴相切的两个圆，若点A的坐标为（2，1），则图中两个阴影部分面积的和是（　　）
A． B． C．π D．4π
二、填空题（每题3分，共15分）
9．（2024·南山模拟）如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点点B为顶点，分别作菱形AOCD和菱形OBEF，点D，E在x轴上，以点O为圆心，OA长为半径作弧AC，连接BF．则阴影部分面积之和为　 　．
10．（2023·海曙模拟）如图，点A (7，7)，过A作AB⊥x轴于点B，C是反比例函数y=图像上一动点且在△AOB内部，以C为圆心为半径作⊙C，当⊙C与△AOB的边相切时，点C的纵坐标是　 　．
11．（2023·深圳模拟）如图，一次函数y=2x与反比例函数y=(k>0)的图象交于A，B两点，点M在以C(4，0)为圆心，半径为2的 ⊙ C上，N是BM的中点，已知ON长的最大值为3，则k的值是　 　
12．如图，OA在x轴上，OB在y轴上，OA=8，AB=10，点C在边OA上，AC=2，⊙P的圆心P在线段BC上，且⊙P与边AB，AO都相切．若反比例函数y=（k≠0）的图象经过圆心P，则k=　 　 ．
13．（2023·成都模拟）在平面直角坐标系xOy中，直线分别交y轴负半轴，反比例函数的图象于点A，B，以B为圆心，AB长为半径画弧，交平行于x轴的直线AE于点C，作CD垂直于x轴交反比例函数的图象于点D．若，的面积为2，则k的值等于　 　．
三、解答题（共7题，共61分）
14．（2024九上·昌黎期末）如图，已知一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，且与y轴交于点B，第一象限内点C在反比例函数为的图像上，且以点C为圆心的圆与x轴，y轴分别相切于点D，B．
（1）求n的值；
（2）求一次函数的表达式；
（3）当时，直接写出x的取值范围．
15．（浙教版2019年数学中考模拟试卷8）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，P是反比例函数y＝ （x＞0）图象上任意一点，以P为圆心，PO为半径的圆与x轴交于点 A、与y轴交于点B，连接AB.
（1）求证：P为线段AB的中点；
（2）求△AOB的面积.
16．（2018·金乡模拟）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，P是反比例函数 图象上任意一点，以P为圆心，PO为半径的圆与x轴交于点 A、与y轴交于点B，连接AB．
（1）求证：P为线段AB的中点；
（2）求△AOB的面积．
17．（2022·天河模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线y= x与双曲线交于A，B两点，其中A的坐标为（1，a），P是以点C（ - 2，2）为圆心，半径长为1的圆上一动点，连接AP，Q为AP的中点.
（1）求双曲线的解析式：
（2）将直线y = x向上平移m（m > 0）个单位长度，若平移后的直线与⊙C相切，求m的值
（3）求线段OQ长度的最大值.
18．（2020九上·长沙期中）若一个圆的圆心P（ ，y）落在反比例函数 在第一象限的图象上，则称这个圆为“比心圆”．
（1）当比心圆同时与 轴和y轴相切时，求圆心P的坐标和⊙P半径；
（2）若比心圆以OP为半径，交 轴和y轴分别为点A和点B，判断△OAB的面积是否为定值？如果是定值请求出，如果不是请说明理由；
（3）若比心圆的半径为1，请直接写出当比心圆与 轴或y轴相交时的圆心P的横坐标 的取值范围．
19．（2023九上·历下期中） 小静发现希腊数学家曾利用反比例函数图象将一个角三等分，具体方法如下：
第一步：建立平面直角坐标系，将已知锐角∠AOB的顶点与原点O重合，角的一边OB与x轴正方向重合．在平面直角坐标系里，绘制函数的图象，图象与已知角的另一边OA交于点P．
第二步：以P为圆心、以20P为半径作弧，交函数的图象于点R．
第三步：分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两线相交于点M，连接OM，得到∠MOB（如图1）．
这时．
为什么？小静想要证明这个结论却没有思路，便询问老师．
老师进行了指导：分别过点P和R作y轴和x轴的平行线，两线交于点Q（如图2），解答这道题的关键就是证明O，Q，M三点共线，在平面直角坐标系中，证明三点共线最直接的做法是先用两点确定一条直线的表达式，再证明第三点在这条直线上．
老师指导后，小静若有所思．请你和小静一起，完成下列问题．
图1 图2
（1）已知，，，请说明C、D、E三点共线．
（2）在“三等分角”的作图中（如图2），请证明O，Q，M三点共线．
（3）在（2）的基础上，请证明．
20．（2019·湖南模拟）如图，一次函数y=2x与反比例函数y= (k＞0)的图象交于A、B两点，点P在以C(-2，0)为圆心，1为半径的圆上，Q是AP的中点
（1）若AO= ，求k的值；
（2）若OQ长的最大值为 ，求k的值；
（3）若过点C的二次函数y=ax2+bx+c同时满足以下两个条件：①a+b+c=0；②当a≤x≤a+1时，函数y的最大值为4a，求二次项系数a的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理
【解析】【解答】解：连接BP，
由对称性得：OA＝OB，
∵Q是AP的中点，
∴OQ BP，
∵OQ长的最大值为 ，
∴BP长的最大值为 2＝3，
如图，当BP过圆心C时，BP最长，过B作BD⊥x轴于D，
∵CP＝1，
∴BC＝2，
∵B在直线y＝2x上，
设B（t，2t），则CD＝t﹣（﹣2）＝t+2，BD＝﹣2t，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：BC2＝CD2+BD2，
∴22＝（t+2）2+（﹣2t）2，
t＝0（舍）或 ，
∴B（ ， ），
∵点B在反比例函数y （k＞0）的图象上，
∴k ；
故答案为：C．
【分析】连接BP，根据题意即可得到OQ和PB的最大值，所以当BP过圆心C时，BP最长，过B作BD⊥x轴于D，设出点P的坐标，在直角三角形BCD中，根据勾股定理得到点B的坐标，代入反比例函数中，即可求出k的数值。
2．【答案】C
【知识点】圆周角定理；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：将点A（1，2）代入y= ，得：k=2，
则反比例函数解析式为y= ，
设点B（m， ），
如图，连接AB，过点A作x轴的平行线，交y轴于点C，过点B作y轴的平行线，交直线AC于点D，
则∠OCA=∠D=90°，
∴∠AOC+∠OAC=90°，
∵OB为圆的直径，
∴∠OAB=90°，
∴∠OAC+∠BAD=90°，
∴∠AOC=∠BAD，
则△AOC∽△BAD，
∴ = ，即 = ，
解得：m=1（舍）或m=4，
则点B（4，0.5），
故C符合题意.
故答案为：C．
【分析】利用待定系数法求得反比例函数的解析式，设B点的坐标，再证明△AOC∽△BAD，根据相似三角形的性质可得到关于m的方程求解可得.
3．【答案】B
【知识点】三角形的面积；反比例函数-动态几何问题；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵过点P作OQ⊥x轴于点Q，如图：
是反比例函数的图象上的一个动点，
∴
∴.
因为点P为圆心，OP为半径，
∴OB=2OP，即.
∵OB为直径，
∴∠OAB=90°，
∴PQ//AB，
∴△OPQ∽△OBA，
∴
∴
故答案为：B.
【分析】过点P作OQ⊥x轴于点Q，根据反比例函数的几何意义得，继而可得△POQ的面积；根据圆周角定理的推论得∠OAB=90°，从而可证明△OPQ∽△OBA，利用相似三角形面积的性质即可求出△OAB的面积.
4．【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；勾股定理；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：过点A，B分别作y，x轴的垂线，垂足分别为E，D，AE，BD交于点C，由题意可得：
A点纵坐标为1，b点横坐标为1
则A点横坐标为：x=k，B点纵坐标为：y=k
∴A（k，1），B（1，k）
∴C（1，1）
则AC=k-1，BC=k-1
∴
解得：k=5或-3（舍去）
故答案为：D
【分析】过点A，B分别作y，x轴的垂线，垂足分别为E，D，AE，BD交于点C，由圆的性质可知A点纵坐标为1，b点横坐标为1，代入函数解析式可求出A，B点坐标，则AC=k-1，BC=k-1，再根据勾股定理即可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】反比例函数-动态几何问题；圆-动点问题
【解析】【解答】解：当点P在直线y=x上方时，连接PA，作PH⊥AB
∴
∴PH=2
作PM⊥x轴交直线AB于点C
设OM=a，则CM=a
∵
∴P
∴
解得：
∴P
当点P在直线y=x下方时，由对称性可知P
故答案为：C
【分析】当点P在直线y=x上方时，连接PA，作PH⊥AB，根据垂径定理可得，则PH=2，作PM⊥x轴交直线AB于点C，设OM=a，则CM=a，可得P，再将点P坐标代入反比例函数解析式可求出P点坐标，当点P在直线y=x下方时，由对称性可知P，即可求出答案.
6．【答案】B
【知识点】三角形的面积；圆周角定理；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：点是反比例函数的图象上的一个动点，
，
延长OP交圆P于点B，且，
，
由圆周角定理得：，即，
，
的面积是.
故答案为：B.
【分析】根据点P在反比例函数图象上可得xD=，由题意可得B（2x，2D），由圆周角定理得∠OAB=90°，则OA=2x，AB=2D，接下来根据三角形的面积公式进行计算.
7．【答案】C
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理；矩形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：过点E作EH⊥OB，CM⊥OB，连接OE，如图所示：
由题意得四边形CMHE是矩形，
∵，，
∴，
∴OE=4，
∵，CM⊥OB，
∴，
∵四边形CMHE是矩形，
∴EH=CM=2，
∴，
∴，
将代入得：，
解得：，
故答案为：C
【分析】过点E作EH⊥OB，CM⊥OB，连接OE，先根据等腰直角三角形的性质得到，进而结合题意根据矩形的性质得到EH=CM=2，再运用勾股定理求出OH，从而得到点E的坐标，最后代入反比例函数解析式即可求解。
8．【答案】C
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；切线的性质；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：∵点A的坐标为（2，1）且圆A与x轴相切
∴圆A的半径为1
∵点A和点B是正比例函数与反比例函数的图象的交点
∴点B的坐标为（-2，-1）
同理可得圆B的半径为1
∴圆A与圆B关于原点中心对称
∴圆A的阴影部分与圆B空白的部分完全重合
∴圆A的阴影部分与圆B空白的部分的面积相等
∴圆中两阴影部分的面积之和为：
故答案为：C
【分析】根据点A坐标及切线性质可得圆A的半径为1，根据正比例函数与反比例函数的交点特征可得点B的坐标为（-2，-1），则圆B的半径为1，可判断圆A与圆B关于原点中心对称，圆A的阴影部分与圆B空白的部分完全重合，则阴影部分面积的和为圆A的面积即可求出答案.
9．【答案】
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数系数k的几何意义；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，过点A作AH⊥OD，
∵A（，1），
∴AH=1，OH=，k=xy=，
∴y=，OA==2，△OAH的面积=OH·OH=，
∴∠OAH=30°，
∵四边形OACD是菱形，
∴∠AOC=2∠AOH=60°，菱形OACD的面积=4×△OAH的面积=2，
∴扇形OAC的面积==π，
∵点B在函数y=图象上，且BF⊥OE，
∴△BOF的面积=，
∴ 阴影部分面积之和= 菱形OACD的面积-扇形OAC的面积+△BOF的面积=2-π+
=.
故答案为：.
【分析】过点A作AH⊥OD，由点A坐标可求出反比例函数表达式y=和OA的长，利用直角三角形的性质求出∠OAH的度数，利用菱形的性质求出∠AOC的度数，从而求出扇形OAC的面积及菱形OACD的面积，再利用反比例函数系数k的几何意义求出△BOF的面积，利用阴影部分面积之和= 菱形OACD的面积-扇形OAC的面积+△BOF的面积即可求解.
10．【答案】4或
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；切线的判定与性质；解直角三角形；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点A (7，7)，AB⊥x轴，
∴OB=BA，∠ABO=90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠AOB=45°即OA是第一象限的角平分线，
∴OA的函数解析式为y=x，
当圆C与OA边相切时切点且E，连接CE，过点C作CF∥x轴，交OA于点F，
∴∠EFC=∠AOB=45°，∠CEF=90°，
∴CE=EF=
∴，
设点C（m，），
∴点F，
∴
解之：m1=-4（舍去），m2=6，
∴点C的纵坐标为；
当圆C与AB边相切时，切点为G，
∴CG=，CG⊥AB，
∴点C横坐标为，
∴点C的纵坐标为.
故答案为：4或
【分析】利用点A的坐标可证得△AOB是等腰直角三角形，由此可知OA是第一象限的角平分线，可得到OA的函数解析式为y=x；再分情况讨论：当圆C与OA边相切时切点且E，连接CE，过点C作CF∥x轴，交OA于点F，易证∠EFC=∠AOB=45°，∠CEF=90°，利用解直角三角形求出CF的长，设点C（m，），可表示出点F的坐标，由此可得到关于m的方程，解方程求出m的值，可得到点C的纵坐标；当圆C与AB边相切时，切点为G，可得到CG=，CG⊥AB，即可得到点C的横坐标，再利用反比例函数解析式求出点C的纵坐标；综上所述可得到点C的纵坐标.
11．【答案】
【知识点】一元二次方程的根；反比例函数的性质；反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理的应用
【解析】【解答】 过点A作AD⊥OC于点D，连接AM，当且仅当AM过点C时，AM才最大．由正、反比例函数的图象的交点关于原点成中心对称，从而OA=OB，又N是BM的中点，于是ON是△ABM的中位线，所以AM= 2ON．根据题意可知ON长的最大值为3，此时AM最大值为6，于是AC=6-2=4．令A(t，2t)，则CD=OC-OD=4-t，AD=2t，
由勾股定理，得(4- t)2+(2t)2=42，整理，得5t-28t=0，解得t1=，t2=0 (舍去)，
于是A(，)．
由双曲线y=过点A，得k= ．
故答案为．
故答案为．
【分析】连接AN，根据反比例函数性质，A、B关于原点O对称，所以O是线段AB的中点，又N是线段BM的中点，所以ON是△ABM的中位线，当ON取得最大值时，AM也取得最大值，由于M在⊙C上运动，所以当A、C、M三点共线时，AM最大，为6，结合勾股定理进行分析。
12．【答案】﹣5　
【知识点】一次函数的图象；切线的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】作PD⊥OA于D，PE⊥AB于E，作CH⊥AB于H，如图，设⊙P的半径为r，∵⊙P与边AB，AO都相切，∴PD=PE=r，AD=AE，
在Rt△OAB中，∵OA=8，AB=10，∴OB==6，∵AC=2，∴OC=6，∴△OBC为等腰直角三角形，∴△PCD为等腰直角三角形，
∴PD=CD=r，∴AE=AD=2+r，∵∠CAH=∠BAO，∴△ACH∽△ABO，∴=，即=，解得CH=，∴AH===，
∴BH=10﹣=，∵PE∥CH，∴△BEP∽△BHC，∴=，即=，解得r=1，∴OD=OC﹣CD=6﹣1=5，∴P（5，﹣1），
∴k=5×（﹣1）=﹣5．故答案为：﹣5
【分析】作PD⊥OA于D，PE⊥AB于E，作CH⊥AB于H，如图，设⊙P的半径为r，根据切线的性质和切线长定理得到PD=PE=r，AD=AE，再 利用勾股定理计算出OB=6，则可判断△OBC为等腰直角三角形，从而得到△PCD为等腰直角三角形，则PD=CD=r，AE=AD=2+r，通过证明 △ACH∽△ABO，利用相似比计算出CH=，接着利用勾股定理计算出AH=，所以BH=10﹣=，然后证明△BEH∽△BHC，利用相似比得到即=，解得r=1，从而易得P点坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k的值．
13．【答案】
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：
设B（a，b）
设OA=2x，则CM=2x
，
，
B，D在反比例函数的图像上
故答案为
【分析】过点B作于点F，连接DF，设B（a，b），由等腰三角形的性质得出AF=CF=a，设OA=2x，证出，求出，则可得出答案。
14．【答案】（1）解：在中，当时，，
∴；
（2）解：如图所示，连接，
∵以点为圆心的圆与轴，轴分别相切于点，
∴，轴，轴，
∴可设点C的坐标为，
∴，
∴或（负值舍去），
∴点B的坐标为，
将点、代入中，
∴，
∴，
∴一次函数解析式为；
（3）x的取值范围为：和．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；切线的性质
【解析】【解答】（3）解：联立，解得或，
∴一次函数与反比例函数的另一个交点坐标为，
由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时，自变量的取值范围为和，
∴当时，x的取值范围为：和．
【分析】（1）将点A坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
（2）连接，根据切线性质可得，轴，轴， 可设点C的坐标为，代入反比例函数解析式可得点B的坐标为，再根据待定系数法将点A，B坐标代入一次函数解析式即可求出答案.
（3）联立一次函数与反比例函数解析式求出交点坐标， 当一次函数图象在反比例函数图象上方时，有，结合函数图象即可求出答案.
（1）解：在中，当时，，
∴；
（2）解：如图所示，连接，
∵以点为圆心的圆与轴，轴分别相切于点，
∴，轴，轴，
∴可设点C的坐标为，
∴，
∴或（负值舍去），
∴点B的坐标为，
将点、代入中，
∴，
∴，
∴一次函数解析式为；
（3）解：联立，解得或，
∴一次函数与反比例函数的另一个交点坐标为，
由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时，自变量的取值范围为和，
∴当时，x的取值范围为：和．
15．【答案】（1）证明：∵点A、O、B在⊙P上，且∠AOB＝90°，
∴AB为⊙P直径，
即P为AB中点；
（2）解：∵P为 （x＞0）上的点，
设点P的坐标为（m，n），则mn＝12，
过点P作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，
∴M的坐标为（m，0），N的坐标为（0，n），
且OM＝m，ON＝n，
∵点A、O、B在⊙P上，
∴M为OA中点，OA＝2 m；
N为OB中点，OB＝2 n，
∴S△AOB＝ OA O B＝2mn＝24.
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）根据同圆的半径相等得出PA=PB，故点 P为AB中点；
（2） 设点P的坐标为（m，n）， 根据反比例函数图象上的点的坐标特点，得出 mn＝12， 过点P作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N， 根据点的坐标与图形的性质得出 M的坐标为（m，0），N的坐标为（0，n）， 故 OM＝m，ON＝n， 根据垂径定理得出 OA＝2 m， OB＝2 n，从而根据 S△AOB＝ OA O B＝2mn 即可得出答案。
16．【答案】（1）证明：∵点A、O、B在⊙P上，且∠AOB=90°，
∴AB为⊙P直径， 即P为AB中点
（2）解：∵P为 （x＞0）上的点，
设点P的坐标为（m，n），则mn=12， 过点P作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，
∴M的坐标为（m，0），N的坐标为（0，n），且OM=m，ON=n，∵点A、O、B在⊙P上，
∴M为OA中点，OA=2 m；N为OB中点，OB=2 n， ∴S△AOB= OA O B=2mn=24．
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据90度的圆周角所对的弦是直径可得AB是直径，所以P为AB的中点；
（2） 过点P作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，由（1）知，P为AB的中点，所以可得三角形AOB的面积=4三角形POM的面积，根据反比例函数的k的几何意义可得三角形POM的面积=，所以三角形AOB的面积可求解。
17．【答案】（1）解：∵点A（1，a）在直线y=x上，
∴a=1，
∴点A的坐标为（1，1），
∴把点A坐标代入到反比例函数解析式得，
∴，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：由题意得平移后的直线解析式为，
如图所示，设直线与圆C的切点为D，与y轴的交点为H，连接OC，过点C作CE⊥x轴于E，
∴点H的坐标为（0，m）
∴OH=m，
∵点C（-2，2），
∴CE=OE=2，
∴∠COE=45°，
∴∠DOH=45°，
同理可证∠BOE=45°，
∴∠BOC=90° ，即OC⊥AB，
∵直线与直线AB平行，
∴OC与直线垂直，
又∵直线与圆C相切于点C，
∴CD与直线垂直，
∴C、O、D三点共线，
∵圆C的半径为1，
∴，
∵∠ODH=90°，∠DOH=45°，
∴∠DHO=45°，
∴，
∴，
∴
同理当切点D在圆O上方时可以求得，
综上所述，若平移后的直线与⊙C相切，或；
（3）解：如图所示，连接PB，PC，BC，
由对称性可知A、B关于原点对称，即O是AB的中点，
∴点B的坐标为（-1，-1），
∵Q是AP的中点，
∴OQ是△APB的中位线，
∴，
∴要想OQ最大，则PB最大，
∵，
∴当P、B、C三点共线，且P在C点上方时，PB有最大值，即PB=PC+BC=1+BC，
∵点C（-2，2），点B（-1，-1），
∴，
∴，
∴
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；圆的综合题；圆-动点问题
【解析】【分析】（1）将点A（1，a）代入直线y=x得到a=1，从而得出k的值；
（2）连接OC，设直线与圆C的切点为D，与y轴的交点为H，连接OC，过点C作CE⊥x轴于E，先求出OC的长，再利用平行线的性质及切线的性质可得OD的长，再利用等腰直角三角形的性质可得DH的长，最后求出OH的长，即可得到m的值，从而得解；
（3）当P、B、C三点共线，且P在C点上方时，PB有最大值，即PB=PC+BC=1+BC，利用两点之间的距离公式可得，求出，即可得到。
18．【答案】（1）解：如图所示，连接OP、PA、PB
∵比心圆同时与 轴和y轴相切
∴PA⊥y轴，PB⊥x轴，且PA=PB，
∴点P处 ，
∴ ，解得 ，
∵P（ ，y）落在反比例函数 在第一象限的图象上
∴圆心P（2，2），半径PA=2
（2）解：如图2，在 的图像上任取一点P，设P点坐标为 ，过P作PE⊥y轴，PF⊥轴，
∴ ，
∴ ，
∵由圆的性质可知OA=OP=OB，
∴ ，
∴ ，
∵P在 的图像上，
∴ ，
∴△OAB的面积是为定值，且 ；
（3）解：如图3，比心圆的半径为1，且与 轴或y轴相交，
情况一：与y轴相交，P距离y轴的距离，即横坐标大于零，小于1，此时x的取值范围：0情况二：与x轴相交，P距离x轴的距离，即纵坐标大于零，小于1，此时 ，解得x>4，即此时x的取值范围：x>4，
综上：x的取值范围：04.
【知识点】三角形的面积；反比例函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）根据比心圆同时与 轴和y轴相切，可得 PA⊥y轴，PB⊥x轴，且PA=PB， 再联立解析式求解即可；
（2）根据三角形的面积公式及圆的性质求解即可；
（3）分类讨论， ①与y轴相交，P距离y轴的距离；② 与x轴相交，P距离x轴的距离，进行作答即可。
19．【答案】（1）解：设直线CE解析式为，将，代入得
，解得
将代入得，
D在直线CE上，C、D、E三点共线
（2）解：轴，轴，设，
设OM的解析式为，
，，
直线OM的解析式为：，
当时，，
，点Q在直线OM上；
（3）解：设PR交QM于点D，
∵过P，R作x，y轴的平行线，四边形PORM为矩形，
，
由外角定理，，
，，，
又四边形PORM为矩形，
，，
，
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；矩形的性质
【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可得出直线CD的解析式，再将点E的坐标代入解析式判断即可；
（2） 设， ，得出点M的坐标，根据矩形的性质用m、n表示出点Q、M的坐标，求出直线OQ的解析式，判断即可；
（3）根据矩形的性质得出HM=HP=HQ=HR， 由外角定理，， 再根据四边形PORM为矩形，得出，即可得出即可。
20．【答案】（1）解：设A(m，n)，
∵AO= ，
∴m2+n2=5，
∵一次函数y=2x的图象经过A点，
∴n=2m，
∴m2+(2m)2=5，解得m=±1，
∵A在第一象限，
∴m=1，
∴A(1，2)，
∵点A在反比例函数y= (k＞0)的图象上，
∴k=1×2=2；
（2）解：如图，连接BP，
由对称性得：OA=OB，
∵Q是AP的中点，
∴OQ= BP，
∵OQ长的最大值为 ，
∴BP长的最大值为 ×2=3，
如图2，当BP过圆心C时，BP最长，过B作BD⊥x轴于D，
∵CP=1，
∴BC=2，
∵B在直线y=2x上，
设B(t，2t)，则CD=t-(-2)=t+2，BD=-2t，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：BC2=CD2+BD2，
∴22=(t+2)2+(-2t)2，
t=0(舍)或- ，
∴B(- ，- )，
∵点B在反比例函数y= (k＞0)的图象上，
∴k=- ×(- )= ；
（3）解：∵抛物线经过点C(-2，0)，
∴4a-2b+c=0，
又∵a+b+c=0，
∴b=a，c=-2a，
∴y=ax2+ax-2a=a(x+ )2- a，
∵- ＜a≤x≤a+1或a≤x≤a+1＜- ，
当x=a时，取得最大值4a，
则a a2+a a-2a=4a，
解得a=-3或2，
当x=a+1时，取得最大值4a，
则a(a+1)2+a(a+1)-2a=4a，
解得a=-4或1，
综上所述所求a的值为-3或2或-4或1．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；点与圆的位置关系；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）设A(m，n)，根据勾股定理和一次函数图象上点的坐标特征得出 ，解方程组即可求得A的坐标，代入y= 可求得k的值；（2）作辅助线，先确定OQ长的最大时，点P的位置，当BP过圆心C时，BP最长，设B(t，2t)，则CD=t-(-2)=t+2，BD=-2t，根据勾股定理计算t的值，可得k的值；（3）根据题意写出抛物线的解析式为：y=ax2+ax-2a=a(x+ )2- a，即可判定- 在a≤x≤a+1范围外，故存在两种可能，即当x=a时，有最大值4a，或x=a+1时有最大值4a，分别代入求得即可．
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