圆与二次函数—北师大版数学九（下）知识点训练
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（2024九上·朝阳期末）用一个圆心角为（为常数，）的扇形作圆锥的侧面，记扇形的半径为，所作的圆锥的底面圆的周长为l，侧面积为，当在一定范围内变化时，与都随的变化而变化，则l与与满足的函数关系分别是（ ）
A．一次函数关系，一次函数关系 B．二次函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，二次函数关系 D．二次函数关系，一次函数关系
【答案】C
【知识点】一次函数的概念；二次函数的定义；弧长的计算；扇形面积的计算
【解析】【解答】由题意得：
与满足的函数关系分别是一次函数关系，二次函数关系，
【分析】根据弧长公式，扇形面积的计算公式得出l、S与R的关系即可求解.
2．（2023九上·宿城期末）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，抛物线的顶点为D，点C为的中点，以C为圆心，长为半径在x轴的上方作一个半圆，点E为半圆上一动点，连接，取的中点F，当点E沿着半圆从点A运动至点B的过程中，线段 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；两点之间线段最短；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：如图，连接，交于G，连接，，
∵，
∴抛物线的顶点坐标坐标为：，即，
∵当时，
解得：，，
∴，，
∴，
∴为的中点，而F为的中点，
∴，
∴F在以G为圆心，半径为1的半圆周上运动，
当A，F，G三点共线时，最短，
此时，
∴的最小值为：，
故答案为：C.
【分析】连接CD，交⊙C于G，连接GF、CE，根据抛物线的解析式可得顶点坐标为D（1，-4），则CD=4，令y=0，求出x的值，可得点A、B的坐标，则CG=AC=BC=2，推出GF为△CDE的中位线，则GF=CE=1，故当A，F，G三点共线时，AF最短，据此求解.
3．如图 ， 动点 在线段 上（不与点 重合）， 1． 分别以 为直径作半圆， 记图中所示的阴影部分面积为 ， 线段 的长为 ． 当点 从点 移动到点 时， 随 的变化而变化，则阴影面积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数的最值；圆的面积
【解析】【解答】解：∵AB=1，AP=x，
∴BP=1-x.
∴
.
∵，
∴有最大值，
故阴影面积的最大值为.
故答案为：D.
【分析】根据阴影部分的面积=大半圆的面积减去两个小半圆的面积，列出y与x的函数解析式，把解析式化成顶点式，即可求得函数的最大值.
4．（2022·乐山模拟）如图，点P在抛物线y＝x2﹣3x+1上运动，若以P为圆心的圆与x轴、y轴都相切，则符合上述条件的所有的点P共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；切线的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵若以P为圆心的圆与x轴、y轴都相切，
∴x＝y或x＝﹣y，
当x＝y时，即x2﹣3x+1＝x，
∵Δ＝b2﹣4ac＝12＞0，
∴方程有两个不相等的实数解；
当x＝﹣y时，即x2﹣3x+1＝﹣x，
∵Δ＝b2﹣4ac＝0，
∴方程有两个相等的实数解；
综上可知符合上述条件的所有的点P共有3个，
故答案为：B．
【分析】 若以P为圆心的圆与x轴、y轴都相切，则点P的横纵坐标的绝对值相等，即x＝±y，将其代入抛物线的解析式，再判定一元二次方程是否有解即可．
5．（2021·蕉岭模拟）已知抛物线y＝a(x﹣3)2+过点C(0，4)，顶点为M，与x轴交于A、B两点.如图所示以AB为直径作圆，记作⊙D，下列结论：①抛物线的对称轴是直线x＝3；②点C在⊙D外；③在抛物线上存在一点E，能使四边形ADEC为平行四边形；④直线CM与⊙D相切。正确的结论是（ ）
A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③④
【答案】B
【知识点】圆的综合题；二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】由抛物线y＝a(x﹣3)2+可知：抛物线的对称轴x＝3，故①符合题意；
∵抛物线y＝a(x﹣3)2+过点C(0，4)，
∴4＝9a+，解得：a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣(x﹣3)2+，
令y＝0，则﹣(x﹣3)2+＝0，解得：x＝8或x＝﹣2，
∴A(﹣2，0)，B(8，0)；
∴AB＝10，
∴AD＝5，
∴OD＝3
∵C(0，4)，
∴CD＝，
∴CD＝AD，
∴点C在圆上，故②不符合题意；
过点C作CE∥AB，交抛物线于E，
∵C(0，4)，
代入y＝﹣(x﹣3)2+得：4＝﹣(x﹣3)2+，
解得：x＝0，或x＝6，
∴CE＝6，
∴AD≠CE，
∴四边形ADEC不是平行四边形，故③不符合题意；
由抛物线y＝a(x﹣3)2+可知：M(3，)，
∵C(0，4)，
∴直线CM为y＝x+4，直线CD为：y＝x+4，
∴CM⊥CD，
∵CD＝AD＝5，
∴直线CM与⊙D相切，故④符合题意；
故答案为：B.
【分析】①根据抛物线的解析式即可判定；②求得AD、CD的长进行比较即可判定；③过点C作CE∥AB，交抛物线于E，AD=CE，根据一组等边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定；④求得直线CM和直线CD的解析式，通过它们的斜率进行判定即可。
6．（初中数学北师大版七年级下册3.3用图象表示的变量间关系练习题（部分试题超纲））如图，∠BAC=60°，点O从A点出发，以2cm/s的速度沿∠BAC的角平分线向右运动，在运动过程中，以O为圆心的圆始终保持与∠BAC的两边相切，设⊙O的面积为S（cm2），则⊙O的面积S与圆心O运动的时间t（s）的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：∵∠BAC=60°，AO是∠BAC的角平分线，
∴∠BAO=30°，
设⊙O的半径为r，AB是⊙O的切线，
∵AO=2t，
∴r=t，
∴S=πt2，
∴S是圆心O运动的时间t的二次函数，
∵π＞0，
∴抛物线的开口向上，
故答案为：D．
【分析】根据角平分线的性质得到∠BAO=30°，设⊙O的半径为r，AB是⊙O的切线，根据直角三角形的性质得到r=t，根据圆的面积公式即可得到结论．
7．（2024·攀枝花模拟）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，顶点为，以为直径在轴上方画半圆交轴于点，圆心为，是半圆上一动点，连接，点为的中点．下列四种说法：
点在上；
；
当点沿半圆从点运动至点时，点运动的路径长为；
线段的长可以是．
其中正确说法的个数为( )
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理；二次函数的其他应用；圆-动点问题
【解析】【解答】解：抛物线与坐标轴交于点，，，
，，，
点，的半径为，
，
顶点的坐标为：，
，
点在上．
，故点不在上，故不正确；
圆心为，是半圆上一动点，点在上，点为的中点．
，故正确；
图中实点、、、是点运动中所处的位置，
则是等腰直角三角形的中位线，，交于点，则四边形为正方形，
当点在半圆任意位置时，中点为，连接，则，连接，
则，则点的运动轨迹为以为圆心的半圆，
则运动的路径长，故正确；
由得，当点运动到点的位置时，的长最大，
最大值为，
线段的长不可以是，故不正确．
故正确说法有：．
故答案为：．
【分析】先根据二次函数与坐标轴的交点问题结合而成函数的图象与性质得到，，顶点，①根据勾股定理求出，进而即可求解；②根据垂径定理结合题意即可求解；③点P的运动轨迹为以I为圆心的半圆，则点Q的运动轨迹为以R为圆心的半圆，进而即可求解；④结合题意运用勾股定理即可求解。
8．（2021九上·乐清期末）图，抛物线的图像与x轴交于点A，B，交y轴于点C，动点P在射线AB运动，作△BCP的外接圆⊙M，当圆心M落在该抛物线上时，则AP的值（ ）
A．3 B．4 C．5 D．3.5
【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；等腰三角形的性质；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：令 ，，解得或，
故 ， ，
令，则， ，
线段的垂直平分线为，
的外接圆的圆心在线段的垂直平分线上，
由，解得或（舍弃），
点坐标为，
如图1中，作于，
，，
，
，.
故答案为：A.
【分析】△PBC的外接圆的圆心在线段BC的垂直平分线y=-x上，然后求出直线y=-x与抛物线的交点，即得点M，再确定点P并求出AP的长即可.
二、填空题（每题3分，共15分）
9．（2023九上·无为月考）在平面直角坐标系中，已知的半径为2，圆心P在抛物线上运动，当与x轴相切，且圆心P在第二象限内时，圆心P的坐标为 ．
【答案】
【知识点】切线的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】设 与x轴相切的切点为点A，
的半径为2，圆心P在抛物线上运动，
当与x轴相切时，PA=2，
即，即或，
解得：或x=0，
又圆心P在第二象限内 ，
圆心P的坐标为 ，
【分析】根据 的半径为2，以及与x轴相切时，PA=2，即y=2，求出x的值，结合圆心P所在象限即可得出结论.
10．（2024九上·石家庄期末）刘微是我国魏晋时期卓越的数学家，他首次提出“割圆术”，利出圆内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆周率．如图，多边形是的内接正边形．已知的半径为，的度数为，点到的距离为，的面积为．下面推断中，
①当变化时，随的变化而变化，与满足函数关系．②无论n，r为何值，总有．③若为定值，当变化时，随的变化而变化，与满足二次函数关系．其中正确的是 ．（填序号）．
【答案】①③
【知识点】正比例函数的图象和性质；反比例函数的图象；反比例函数的性质；二次函数的定义；圆内接正多边形；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：①当n变化时，随n的变化而变化，与n满足函数关系，①正确；
②当时，，，如图所示：
∴，故②错误；
③如图所示：
∵n为定值，，
∴为定值，
∵，
∴，
∴S与r满足二次函数关系． ③正确；
故答案为：①③
【分析】根据正多边形与圆的关系，解直角三角形，正比例函数，反比例函数，二次函数的定义结合题意分别表示出与n、d与r、S与r的关系式，进而即可求解。
11．（2020九上·丰南月考）如图，已知 的半径为2，圆心P在抛物线 上运动；当 与x轴相切时；圆心P的坐标为 .
【答案】（ ，2）或（- ，2）或（0，-2）
【知识点】直线与圆的位置关系；二次函数的其他应用
【解析】【解答】∵⊙P的半径为2，圆心P在抛物线 上运动，
∴当⊙P与x轴相切时，假设切点为A，
∴PA=2，
∴
即 ，或 =-2
解得x= 或x=0，
∴P点的坐标为：（ ，2）或（- ，2）或（0，-2）
【分析】根据切线的性质：圆心到x轴的距离等于半径列出方程求解即可。
12．（2022·东营模拟）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连结OQ．则线段OQ的最小值是 ．
【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；勾股定理；点与圆的位置关系；三角形的中位线定理
【解析】【解答】如图，连接PB，
∵抛物线与x轴交于A、B两点，
∴，
解得x=4或x=-4，
∴A(-4，0)，B(4，0)，
∴OA=OB，
∵Q是线段PA的中点，
∴OQ是△ABP的中位线，
∴OQ=，当BP最小时，OQ最小，
设BC与圆较近的交点为D，
∵点，B(4，0)，
∴BC==5，
∵圆的半径为2，
∴BD=5-2=3，
∴OQ==，
根据圆的性质，当P位于BC与圆的第一个交点位置时，取得最小值，
∴OQ=，
故答案为：．
【分析】连接PB，由求出y=0时x值，即得A(-4，0)，B(4，0)，可得OA=OB，即得OQ是△ABP的中位线，可得OQ=，当BP最小时，OQ最小，设BC与圆较近的交点为D，当P与D重合时，BP最小，利用勾股定理求出BC=5，可求BD=BC-CD=3，即得OQ的最小值==.
13．（2024九上·柳南期末）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于、，点关于抛物线对称轴的对称点为点，点在轴上，点在以点为圆心，半径为的圆上，当取得最小值时，点坐标是 .
【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：对于，
令，则，
令，解得或，
故点A、B、C的坐标分别为，
抛物线的对称轴为直线，则点，
作点D关于y轴的对称点，连接交y轴于点E，交圆B于点F，则点E、F为所求点，
则最小，
设直线解析式为，
将代入，得，
解得，，
，
时，
点E的坐标为．
故答案为：
【分析】先根据二次函数与坐标轴的交点得到点A、B、C的坐标分别为，进而根据二次函数的图象得到抛物线的对称轴为直线，则点，根据轴对称-最短距离问题作点D关于y轴的对称点，连接交y轴于点E，交圆B于点F，则点E、F为所求点，从而根据勾股定理即可求出其最小值，再运用待定系数法求出直线BH的函数解析式，从而根据一次函数与坐标轴的交点即可求解。
三、解答题（共7题，共61分）
14．（2023·茂南模拟）如图，以为圆心，5为半径的与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，抛物线经过A、B、C三点，顶点为F．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）求抛物线的解析式及顶点F的坐标；
（3）已知P是抛物线上位于第四象限的点，且满足，连接，判断直线与的位置关系并说明理由．
【答案】（1）解：∵以 为圆心，5为半径的 与x轴交于A、B两点，
∴ ，
连接 ，
在 中， ， ，
由勾股定理得 ，
∴ ；
（2）解：∵点 在抛物线上，
∴设抛物线的解析式为 ，
∵点 在抛物线上，
∴ ，解得 ，
∴抛物线的解析式为： ，即 ，
∵
∴ ；
（3）解：直线 与 相切，理由如下：
∵ 中，底边 上的高 ，
∴P是抛物线上位于第四象限的点，且满足 ，则 ，
如图，连接 ，过点P作 对称轴 于点G，则 ，
在 中，由勾股定理得： ，
∴点P在 上，
由（2）知， ，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得： ，
在 中，∵ ，
∴ 为直角三角形， ，
∵点P在 上，且 ，
∴直线 与 相切．
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；勾股定理的逆定理；切线的判定
【解析】【分析】（1）易得A（-2，0）、B（8，0），连接CE，根据线段的和差关系可得OE=AE-OA=3，CE=5，利用勾股定理求出OC的值，据此可得点C的坐标；
（2）由题意可设抛物线的解析式为y=a(x+2)(x-8)，将C（0，-4）代入求出a的值，据此可得抛物线的解析式以及顶点F的坐标；
（3）由题意可得P是抛物线上位于第四象限的点，且满足S△ABP=S△ABC，则P（6，-4） ，连接PE、PF，过点P作PG⊥对称轴EF于点G，则PG=3，EG=4，由勾股定理求出PE的值，推出点P在圆上，求出EF的值，由FG=EF-EG可得FG，利用勾股定理求出PF，根据勾股定理逆定理知△EFP为直角三角形，且∠EPF=90°，据此判断.
15．（数学试题（123））如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，以OA为直径的半圆，圆心为B，半径为1．过y轴上点C（0，2）作直线CD与⊙B相切于点E，交x轴于点D．二次函数y=ax2－2ax+c的图象过点C和D交x轴另一点为F点．
（1）求抛物线对应的函数表达式；
（2）连接OE，如图2，求sin∠AOE的值；
（3）如图3，若直线CD与抛物线对称轴交于点Q，M是线段OC上一动点，过M作MN//CD交x轴于N，连接QM，QN，设CM=t，△QMN的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围．S是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）证明：连接BE
∵CD与⊙B相切于点E∴BE⊥CD
设点D的坐标为（x，0），则BD=x－1
在△OCD和△EBD中，∴△OCD∽△EBD
∴即 ∴CD=2x－2 在Rt△OCD中，OC2+OD2=CD2即22+x2=（2x－2）2解得x1= ，x2=0（舍去）
即点D的坐标为（ ，0）
把C（0，2），D（ ，0）代入y=ax2－2ax+c中得：
函数解析式为：y= x2+ x+2
（2）解：连接BE，CB，CB交OE于H∵CD与⊙O相切于E，CO⊥OB于O，BO为⊙O半径
∴CO与⊙O相切于O
∴BC⊥OE于点H ∴∠OCH+∠COH=∠BOH+∠COH=90°，
∴∠BOH=∠COH
即∠AOE=∠OCB ∴sin∠AOE= sin∠OCB=
在Rt△OCB中，∵OB=1，OC=2 由勾股定理得 =
∴
（3）存在，理由如下： 连接DM，据题意有CM=t，OC=2，OD= ，则OM=2-t∵MN//CD ∴∠ONM=∠ODC且S△QMN=S△DMN
∴tan∠ONM=tan∠ODC
∴∴ON= ∴
∵S=S△QMN=S△DMN= ∴S=
∵点M在OC上运动 ∴
∵S与t成二次函数关系，且 < 0
∴当t=1时，S有最大值， 为
【知识点】二次函数的最值；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质；同角三角函数的关系；切线长定理
【解析】【分析】（1）根据切线的性质得出BE⊥CD，设点D的坐标为（x，0），则BD=x－1，然后证出△OCD∽△EBD ，根据相似三角形对应边成比例得出OC∶EB=CD∶BD，即2∶1=CD∶x-1，从而得出CD=2x－2 ，在Rt△OCD中，根据勾股定理列出关于x的方程，求解得出x的值，得出D点的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）连接BE，CB，CB交OE于H，根据切线的判定定理判断出CO与⊙O相切于O，根据切线长定理得出BC⊥OE于点H ，根据同角的余角相等得出 ∠BOH=∠COH，即∠AOE=∠OCB，根据等角的同名三角函数值相等得出sin∠AOE= sin∠OCB= O B ∶C B ，在Rt△OCB中，由勾股定理得出BC的长度，从而得出答案；
（3）连接DM，据题意有CM=t，OC=2，OD= ，则OM=2-t；根据二直线平行同位角相等得出∠ONM=∠ODC，同时两平行线间的距离相等，根据同底等高得出S△QMN=S△DMN ，再根据等角的同名三角函数值相等得出tan∠ONM=tan∠ODC，根据三角函数的定义，从而列出方程，表示出ON的长度，进而表示出ND，根据S=S△QMN=S△DMN= N D · O M，从而得出s与t之间的函数关系式；根据点M在OC上运动 故 0 < t < 2 ，S与t成二次函数关系中二次项的系数 < 0，从而得出答案当t=1时，S有最大值， S 最 大 值 = 。
16．（2022·南山模拟）已知：如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点B在y轴的正半轴上，且tan∠OAB，点P是线段AB上的一个动点，以点P为圆心，PA为半径作⊙P交x轴于C点，记过点A、B、C的抛物线顶点为D点，设PA＝5m．
（1）求线段OA和AB的长．
（2）①求用含字母m的代数式来表示点C的坐标．
②当点C在x轴的正半轴上，且OC：PA＝8：15时，求抛物线的解析式．
（3）如图2，过点D作DE∥x轴交y轴于点E，作直线CD交y轴于点F，当⊙P与△DEF其中一边所在的直线相切时，求所有满足条件的m的值．
【答案】（1）解：，
，
在中，，
，
由勾股定理得，
即长为4，长为5；
（2）解：①如下图所示，过点P作轴于点M，
在中，，
，
，
，，
，
，
即；
②，
，
解得，
，
设抛物线的解析式为：，
把代入解析式得，
解得，
，
即抛物线的解析式为；
（3）解：，，
设抛物线解析式为，
由图知，点C在x轴正半轴上，
①当与相切时，如下图所示，
经过点D，且，
且于点D，
，
，
即，
把，代入抛物线的解析式，
得：，
解得：，
此时的值为；
②当与相切时，如下图所示，
连接，
，
，
，
，
又，
，
，
即，
，
把，代入抛物线的解析式，
得：，
解得，
此时m的值为；
③当与相切时，如下图所示，
则，
，
，
综上，符合条件的m的值为或或．
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定与性质；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）根据A点的坐标确定OA的长，根据函数值求出OB的长度，利用勾股定理求出AB的长即可；
（2）①过点P作轴于点M，根据，求出PM，MA进而求出AC即可得出C点的坐标；
②根据①求出C点坐标，设抛物线的解析式为，将点B的坐标代入求出a的值即可；
（3）分三种情况分别求出当与三角形DEF三边相切时m的值即可。
17．（2013·深圳）如图1，过点A（0，4）的圆的圆心坐标为C（2，0），B是第一象限圆弧上的一点，且BC⊥AC，抛物线y= x2+bx+c经过C、B两点，与x轴的另一交点为D．
（1）点B的坐标为（ ， ），抛物线的表达式为 ；
（2）如图2，求证：BD∥AC；
（3）如图3，点Q为线段BC上一点，且AQ=5，直线AQ交⊙C于点P，求AP的长．
【答案】（1）6；2；y= x2+ x﹣7
（2）证明：在抛物线表达式y= x2+ x﹣7中，令y=0，即 x2+ x﹣7=0，
解得x=2或x=7，∴D（7，0）．
如答图2所示，
过点B作BE⊥x轴于点E，则DE=OD﹣OE=1，CD=OD﹣OC=5．
在Rt△BDE中，由勾股定理得：BD= = = ；
在Rt△BCE中，由勾股定理得：BC= = = ．
在△BCD中，BD= ，BC= ，CD=5，
∵BD2+BC2=CD2
∴△BCD为直角三角形，∠CBD=90°，
∴∠CBD=∠ACB=90°，
∴AC∥BD
（3）解：如答图3所示：
由（2）知AC=BC= ，又AQ=5，
则在Rt△ACQ中，由勾股定理得：CQ= = = ．
过点C作CF⊥PQ于点F，
∵S△ACQ= AC CQ= AQ CF，
∴CF= = =2．
在Rt△ACF中，由勾股定理得：AF= = =4．
由垂径定理可知，AP=2AF，
∴AP=8．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；勾股定理的逆定理；垂径定理；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】（1.）解：如答图1所示，过点B作BE⊥x轴于点E．
∵AC⊥BC，
∴∠ACO+∠BCE=90°，
∵∠ACO+∠OAC=90°，∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠OAC=∠BCE，∠ACO=∠CBE．
∵在△AOC与△CEB中，
∴△AOC≌△CEB（ASA）．
∴CE=OA=4，BE=OC=2，
∴OE=OC+CE=6．
∴B点坐标为（6，2）．
∵点C（2，0），B（6，2）在抛物线y= x2+bx+c上，
∴ ，
解得b= ，c=﹣7．
∴抛物线的表达式为：y= x2+ x﹣7．
【分析】（1）如答图1，作辅助线，证明△AOC≌△CEB，由此得到点B的坐标；再由点C、B的坐标，利用待定系数法求出抛物线的表达式；（2）如答图2，作辅助线，求出△BCD三边的长度，再利用勾股定理的逆定理判定其为直角三角形，从而问题得证；（3）如答图3，利用勾股定理依次求出CQ、CF、AF的长度，然后利用垂径定理AP=2AF求出AP的长度．
18．（2017·潮南模拟）如图，⊙E的圆心E（3，0），半径为5，⊙E与y轴相交于A，B两点（点A在点B的上方），与x轴的正半轴交于点C，直线l的解析式为y= x+4，与x轴相交于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）判断直线l与⊙E的位置关系，并说明理由；
（3）动点P在抛物线上，当点P到直线l的距离最小时，求出点P的坐标及最小距离．
【答案】（1）解：如图1，连接AE，由已知得：AE=CE=5，OE=3，
在Rt△AOE中，由勾股定理得：OA= = =4，
∵OC⊥AB，
∴由垂径定理得：OB=OA=4，OC=OE+CE=3+5=8，
∴A（0，4），B（0，﹣4），C（8，0），
∵抛物线的顶点为C，
∴设抛物线的解析式为：y=a（x﹣8）2，
将点B的坐标代入得：64a=﹣4，
a=﹣ ，
∴y=﹣ （x﹣8）2，
∴抛物线的解析式为：y=﹣ +x﹣4；
（2）解：直线l与⊙E相切；
理由是：在直线l的解析式y= x+4中，
当y=0时，即 x+4=0，x=﹣ ，
∴D（﹣ ，0），
当x=0时，y=4，
∴点A在直线l上，
在Rt△AOE和Rt△DOA中，
∵ ， ，
∴ ，
∵∠AOE=∠DOA=90°，
∴△AOE∽△DOA，
∴∠AEO=∠DAO，
∵∠AEO+∠EAO=90°，
∴∠DAO+∠EAO=90°，
即∠DAE=90°，
∴直线l与⊙E相切；
（3）解：如图2，过点P作直线l的垂线PQ，过点P作直线PM⊥x轴，交直线l于点M，
设M（m， m+4），P（m，﹣ m2+m﹣4），
则PM= +4﹣（﹣ m2+m﹣4）= ﹣ m+8= + ，
当m=2时，PM取最小值是 ，
此时，P（2，﹣ ），
对于△PQM，
∵PM⊥x轴，
∴∠QMP=∠DAO=∠AEO，
又∠PQM=90°，
∴△PQM的三个内角固定不变，
∴在动点P运动过程中，△PQM的三边的比例关系不变，
∴当PM取得最小值时，PQ也取得最小值，
PQ最小=PM最小 sin∠QMP=PM最小 sin∠AEO= = ，
∴当抛物线上的动点P（2，﹣ ）时，点P到直线l的距离最小，其最小距离为 ．
【知识点】勾股定理；垂径定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用勾股定理求OA的长，由垂径定理得：OB=OA=4，写出A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求抛物线的解析式；（2）先求直线l与两坐标轴的交点坐标，再证明△AOE∽△DOA，可得结论：直线l与⊙E相切；（3）如图2，作辅助线，构建直角△PQM，根据解析式设M（m， m+4），P（m，﹣ m2+m﹣4），则PM= + ，当m=2时，PM取最小值是 ，计算点P（2，﹣ ），说明△PQM的三个内角固定不变，即△PQM的三边的比例关系不变，当PM取得最小值时，PQ也取得最小值，根据三角函数计算PQ的最小值即可．
19．（2024·宝安模拟）如图1是某餐馆外的伸缩遮阳棚，其轮廓全部展开后可近似看成一个圆，即弧AOC，已知OA和遮阳棚杆子OD在同一条直线上，且与地面垂直，当上午某一时刻太阳光从东边照射，光线与地面呈角时，光线恰好能照到杆子底部D点，已知OD长为．
（1）求遮阳棚半径OA的长度．
（2）如图2当下午某一时刻太阳光从西边照射，光线与地面呈角，在遮阳棚外，距离遮阳棚外檐点正下方点的点处有一株高为的植物，请问植物顶端是否会被阳光照射到 请说明理由．
（3）如图3为扩大遮阳面积，餐馆更换了遮阳棚，新遮阳棚轮廓可近似看成抛物线的一部分，已知新遮阳棚上最高点仍为点，且外檐点到的距离为、到的距离为．现需过遮阳棚上-点为其搭设架子，架子由线段、线段两部分组成，其中，与地面垂直，若要保证从遮阳棚上的任意一点（不含点）都能按照上述要求搭设架子，则至少需要准备多少的钢材搭设架子
【答案】（1）解：∵ 弧AOC
∴ OA=OC
∵ OC⊥AD，∠ODC=45°
∴ OD=OC=2m
∴ OA=2m
（2）解：如图所示，MP与弧线AOC相切于M，连接OM，OP，延长FH交MP于点K
∴ ∠OMP=90°，∠MPD=60°，FH=1.2m，EF=m
∵ ∠D=90°，OD=OM
∴ OP平分∠DPM
∴ ∠OPD=30°
∴ DP=
∴ PF=OP-OE-EF=
∴ tan∠MPD=tan∠60°=
∴ KF=＞FH
∴ 高为的植物不会被阳光照射到.
（3）解：如图，以D为与原点，AD所在直线为y轴，DH所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
∴ A（0，4）C'（）
设抛物线解析式为y=ax2+b（a≠0），把 A（0，4）C'（）代入解析式得：y=
设点P（m，）（0＜m≤）
∴ GP=m，PH=，
∴ GP+PH=
∴ m=1时，GP+PH有最大值，是m.
则要保证从遮阳棚上的任意一点（不含点）都能按照上述要求搭设架子，则至少需要准备m的钢材搭设架子.
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；角平分线的判定；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【分析】本题考查二次函数的应用，待定系数法求解析式，求最值，解直角三角形，角平分线的判定与性质，等腰直角三角形，圆的切线性质等知识，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，建立平面直角坐标系的方法，求二次函数最值是解题关键。（1）由OA=OC，证 OD=OC=2m得 OA=2m；（2）MP与弧线AOC相切于M，连接OM，OP，延长FH交MP于点K，证OP平分∠DPM，得 ∠OPD=30°，得DP=， PF=；根据 tan∠MPD=，得 KF=1.27＞FH
，可得答案.（3）以D为与原点，AD所在直线为y轴，DH所在直线为x轴建立平面直角坐标系，得A（0，4）C'（）求抛物线解析式：y=设点P（m，）（0＜m≤）得GP+PH=，可知 m=1时，GP+PH有最大值，是.
20．（2024九下·深圳模拟）【项目式学习】
项目主题：建筑学中“拱”的建造及装饰
项目背景：拱结构由于其美观且坚固的特点，在古代建筑中得到了广泛的应用，并在现代建筑中也有不少应用．目前已知对拱最早的使用是公元前年美索不达米亚地区的砖拱，公园前年两河流域（现在伊拉克中部）王朝的近似抛物线型砖拱已经横跨近米、高米了（如图）．（注：抛物线拱，就是由截面均为抛物线形状弧构成的拱．）
项目素材：
素材：某地在进行景观改造过程中模拟建设了一座与王朝的砖拱同样跨度（即图中的地面米）和高度（最高点离地面米）的抛物线拱（图（）为其中一处抛物线拱截面）．
在图（）的抛物线拱截面距离地面米高的墙面上安装有一根用于灯光布置的横梁．
素材：图（）为另一处抛物线拱截面．景点要求工人师傅在抛物线拱上做一个正方形（）装饰品，要求两点在抛物线上（在的左侧），是抛物线的顶点，且与地面垂直．
素材：如图（），景点管理公司利用素材1中的横梁安装了一个半径为米的圆形灯光饰品，后来为了美观，公司要求安装灯光的师傅将圆形灯光饰品改装成月牙形的灯光饰品，安装师傅于是将原圆形灯光饰品的一段劣弧沿一条直线翻折，交于点．
项目任务：
任务：素材中横梁的长度是多少米 （结果若有根号则保留根号）
任务：素材中工人师傅的安装计划若能实现，那么点距离地面的高度是 米．
任务：在素材中，经测量发现，．请直接写出两月牙尖的距离．
【答案】任务：如图（a）建立直角坐标系
由题意可知：AB=28，OP=40
∴，设抛物线的解析式为：，
把B(14，0)代入中得：
，解得：，
∴，
令，
∴，解得：，
∴，
∴（米）．
任务：；
任务：如图：设圆的圆心为O，连接，作于I，
∵EF=EM+MF=10+6=16且⊙O的半径为8，
∴EF是圆O的直径，
由题意知：
∴，
∵，
∴，
∴OI=OF-FI=8-3=5
在Rt△ONI中，
∵
在Rt△ENI中，
故两月牙尖的距离为米.
【知识点】圆周角定理；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：任务2：如图：连接交y轴于E，
由题意可得：C，D两点关于y轴对称，设点D横坐标为b
在正方形中，ED=EP=EC=b
∴OE=OP-EP=40-b
∴
把D(b，40-b)代入中得：
，解得：或0（舍去）
∴40-b=40-4.9=35.1
∴
∴点距离地面的高度是米．
故答案为：．
【分析】任务：先建立合适的平面直角坐标系，根据题意得出AB=28，OP=40，得出B，P的坐标，再设，把B点坐标代入，求出a值，得出解析式，再令y=20，求出G，H两点的坐标即可
任务2：先设点D的横坐标为b，根据正方形的性质，得出：ED=EP=EC=b，从而计算出OE的值，
这样得出点C，D的坐标，再把点C或点D的坐标代入中，解出b，从而求出点C的坐标，即可知道点C到地面的高度
任务3：先根据EF=EM+MF=10+6=16，得出EF是圆O的直径，再根据相等的圆周角所得的弧相等，得出：，从而得出：，再根据等腰三角形三线合一，求出IF的值，先在在Rt△ONI中，利用勾股定理求出，再在在Rt△ENI中，求出NE即可.
1 / 1圆与二次函数—北师大版数学九（下）知识点训练
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（2024九上·朝阳期末）用一个圆心角为（为常数，）的扇形作圆锥的侧面，记扇形的半径为，所作的圆锥的底面圆的周长为l，侧面积为，当在一定范围内变化时，与都随的变化而变化，则l与与满足的函数关系分别是（ ）
A．一次函数关系，一次函数关系 B．二次函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，二次函数关系 D．二次函数关系，一次函数关系
2．（2023九上·宿城期末）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，抛物线的顶点为D，点C为的中点，以C为圆心，长为半径在x轴的上方作一个半圆，点E为半圆上一动点，连接，取的中点F，当点E沿着半圆从点A运动至点B的过程中，线段 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图 ， 动点 在线段 上（不与点 重合）， 1． 分别以 为直径作半圆， 记图中所示的阴影部分面积为 ， 线段 的长为 ． 当点 从点 移动到点 时， 随 的变化而变化，则阴影面积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·乐山模拟）如图，点P在抛物线y＝x2﹣3x+1上运动，若以P为圆心的圆与x轴、y轴都相切，则符合上述条件的所有的点P共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．（2021·蕉岭模拟）已知抛物线y＝a(x﹣3)2+过点C(0，4)，顶点为M，与x轴交于A、B两点.如图所示以AB为直径作圆，记作⊙D，下列结论：①抛物线的对称轴是直线x＝3；②点C在⊙D外；③在抛物线上存在一点E，能使四边形ADEC为平行四边形；④直线CM与⊙D相切。正确的结论是（ ）
A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③④
6．（初中数学北师大版七年级下册3.3用图象表示的变量间关系练习题（部分试题超纲））如图，∠BAC=60°，点O从A点出发，以2cm/s的速度沿∠BAC的角平分线向右运动，在运动过程中，以O为圆心的圆始终保持与∠BAC的两边相切，设⊙O的面积为S（cm2），则⊙O的面积S与圆心O运动的时间t（s）的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024·攀枝花模拟）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，顶点为，以为直径在轴上方画半圆交轴于点，圆心为，是半圆上一动点，连接，点为的中点．下列四种说法：
点在上；
；
当点沿半圆从点运动至点时，点运动的路径长为；
线段的长可以是．
其中正确说法的个数为( )
A．个 B．个 C．个 D．个
8．（2021九上·乐清期末）图，抛物线的图像与x轴交于点A，B，交y轴于点C，动点P在射线AB运动，作△BCP的外接圆⊙M，当圆心M落在该抛物线上时，则AP的值（ ）
A．3 B．4 C．5 D．3.5
二、填空题（每题3分，共15分）
9．（2023九上·无为月考）在平面直角坐标系中，已知的半径为2，圆心P在抛物线上运动，当与x轴相切，且圆心P在第二象限内时，圆心P的坐标为 ．
10．（2024九上·石家庄期末）刘微是我国魏晋时期卓越的数学家，他首次提出“割圆术”，利出圆内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆周率．如图，多边形是的内接正边形．已知的半径为，的度数为，点到的距离为，的面积为．下面推断中，
①当变化时，随的变化而变化，与满足函数关系．②无论n，r为何值，总有．③若为定值，当变化时，随的变化而变化，与满足二次函数关系．其中正确的是 ．（填序号）．
11．（2020九上·丰南月考）如图，已知 的半径为2，圆心P在抛物线 上运动；当 与x轴相切时；圆心P的坐标为 .
12．（2022·东营模拟）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连结OQ．则线段OQ的最小值是 ．
13．（2024九上·柳南期末）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于、，点关于抛物线对称轴的对称点为点，点在轴上，点在以点为圆心，半径为的圆上，当取得最小值时，点坐标是 .
三、解答题（共7题，共61分）
14．（2023·茂南模拟）如图，以为圆心，5为半径的与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，抛物线经过A、B、C三点，顶点为F．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）求抛物线的解析式及顶点F的坐标；
（3）已知P是抛物线上位于第四象限的点，且满足，连接，判断直线与的位置关系并说明理由．
15．（数学试题（123））如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，以OA为直径的半圆，圆心为B，半径为1．过y轴上点C（0，2）作直线CD与⊙B相切于点E，交x轴于点D．二次函数y=ax2－2ax+c的图象过点C和D交x轴另一点为F点．
（1）求抛物线对应的函数表达式；
（2）连接OE，如图2，求sin∠AOE的值；
（3）如图3，若直线CD与抛物线对称轴交于点Q，M是线段OC上一动点，过M作MN//CD交x轴于N，连接QM，QN，设CM=t，△QMN的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围．S是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，说明理由．
16．（2022·南山模拟）已知：如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点B在y轴的正半轴上，且tan∠OAB，点P是线段AB上的一个动点，以点P为圆心，PA为半径作⊙P交x轴于C点，记过点A、B、C的抛物线顶点为D点，设PA＝5m．
（1）求线段OA和AB的长．
（2）①求用含字母m的代数式来表示点C的坐标．
②当点C在x轴的正半轴上，且OC：PA＝8：15时，求抛物线的解析式．
（3）如图2，过点D作DE∥x轴交y轴于点E，作直线CD交y轴于点F，当⊙P与△DEF其中一边所在的直线相切时，求所有满足条件的m的值．
17．（2013·深圳）如图1，过点A（0，4）的圆的圆心坐标为C（2，0），B是第一象限圆弧上的一点，且BC⊥AC，抛物线y= x2+bx+c经过C、B两点，与x轴的另一交点为D．
（1）点B的坐标为（ ， ），抛物线的表达式为 ；
（2）如图2，求证：BD∥AC；
（3）如图3，点Q为线段BC上一点，且AQ=5，直线AQ交⊙C于点P，求AP的长．
18．（2017·潮南模拟）如图，⊙E的圆心E（3，0），半径为5，⊙E与y轴相交于A，B两点（点A在点B的上方），与x轴的正半轴交于点C，直线l的解析式为y= x+4，与x轴相交于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）判断直线l与⊙E的位置关系，并说明理由；
（3）动点P在抛物线上，当点P到直线l的距离最小时，求出点P的坐标及最小距离．
19．（2024·宝安模拟）如图1是某餐馆外的伸缩遮阳棚，其轮廓全部展开后可近似看成一个圆，即弧AOC，已知OA和遮阳棚杆子OD在同一条直线上，且与地面垂直，当上午某一时刻太阳光从东边照射，光线与地面呈角时，光线恰好能照到杆子底部D点，已知OD长为．
（1）求遮阳棚半径OA的长度．
（2）如图2当下午某一时刻太阳光从西边照射，光线与地面呈角，在遮阳棚外，距离遮阳棚外檐点正下方点的点处有一株高为的植物，请问植物顶端是否会被阳光照射到 请说明理由．
（3）如图3为扩大遮阳面积，餐馆更换了遮阳棚，新遮阳棚轮廓可近似看成抛物线的一部分，已知新遮阳棚上最高点仍为点，且外檐点到的距离为、到的距离为．现需过遮阳棚上-点为其搭设架子，架子由线段、线段两部分组成，其中，与地面垂直，若要保证从遮阳棚上的任意一点（不含点）都能按照上述要求搭设架子，则至少需要准备多少的钢材搭设架子
20．（2024九下·深圳模拟）【项目式学习】
项目主题：建筑学中“拱”的建造及装饰
项目背景：拱结构由于其美观且坚固的特点，在古代建筑中得到了广泛的应用，并在现代建筑中也有不少应用．目前已知对拱最早的使用是公元前年美索不达米亚地区的砖拱，公园前年两河流域（现在伊拉克中部）王朝的近似抛物线型砖拱已经横跨近米、高米了（如图）．（注：抛物线拱，就是由截面均为抛物线形状弧构成的拱．）
项目素材：
素材：某地在进行景观改造过程中模拟建设了一座与王朝的砖拱同样跨度（即图中的地面米）和高度（最高点离地面米）的抛物线拱（图（）为其中一处抛物线拱截面）．
在图（）的抛物线拱截面距离地面米高的墙面上安装有一根用于灯光布置的横梁．
素材：图（）为另一处抛物线拱截面．景点要求工人师傅在抛物线拱上做一个正方形（）装饰品，要求两点在抛物线上（在的左侧），是抛物线的顶点，且与地面垂直．
素材：如图（），景点管理公司利用素材1中的横梁安装了一个半径为米的圆形灯光饰品，后来为了美观，公司要求安装灯光的师傅将圆形灯光饰品改装成月牙形的灯光饰品，安装师傅于是将原圆形灯光饰品的一段劣弧沿一条直线翻折，交于点．
项目任务：
任务：素材中横梁的长度是多少米 （结果若有根号则保留根号）
任务：素材中工人师傅的安装计划若能实现，那么点距离地面的高度是 米．
任务：在素材中，经测量发现，．请直接写出两月牙尖的距离．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一次函数的概念；二次函数的定义；弧长的计算；扇形面积的计算
【解析】【解答】由题意得：
与满足的函数关系分别是一次函数关系，二次函数关系，
【分析】根据弧长公式，扇形面积的计算公式得出l、S与R的关系即可求解.
2．【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；两点之间线段最短；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：如图，连接，交于G，连接，，
∵，
∴抛物线的顶点坐标坐标为：，即，
∵当时，
解得：，，
∴，，
∴，
∴为的中点，而F为的中点，
∴，
∴F在以G为圆心，半径为1的半圆周上运动，
当A，F，G三点共线时，最短，
此时，
∴的最小值为：，
故答案为：C.
【分析】连接CD，交⊙C于G，连接GF、CE，根据抛物线的解析式可得顶点坐标为D（1，-4），则CD=4，令y=0，求出x的值，可得点A、B的坐标，则CG=AC=BC=2，推出GF为△CDE的中位线，则GF=CE=1，故当A，F，G三点共线时，AF最短，据此求解.
3．【答案】D
【知识点】二次函数的最值；圆的面积
【解析】【解答】解：∵AB=1，AP=x，
∴BP=1-x.
∴
.
∵，
∴有最大值，
故阴影面积的最大值为.
故答案为：D.
【分析】根据阴影部分的面积=大半圆的面积减去两个小半圆的面积，列出y与x的函数解析式，把解析式化成顶点式，即可求得函数的最大值.
4．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；切线的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵若以P为圆心的圆与x轴、y轴都相切，
∴x＝y或x＝﹣y，
当x＝y时，即x2﹣3x+1＝x，
∵Δ＝b2﹣4ac＝12＞0，
∴方程有两个不相等的实数解；
当x＝﹣y时，即x2﹣3x+1＝﹣x，
∵Δ＝b2﹣4ac＝0，
∴方程有两个相等的实数解；
综上可知符合上述条件的所有的点P共有3个，
故答案为：B．
【分析】 若以P为圆心的圆与x轴、y轴都相切，则点P的横纵坐标的绝对值相等，即x＝±y，将其代入抛物线的解析式，再判定一元二次方程是否有解即可．
5．【答案】B
【知识点】圆的综合题；二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】由抛物线y＝a(x﹣3)2+可知：抛物线的对称轴x＝3，故①符合题意；
∵抛物线y＝a(x﹣3)2+过点C(0，4)，
∴4＝9a+，解得：a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣(x﹣3)2+，
令y＝0，则﹣(x﹣3)2+＝0，解得：x＝8或x＝﹣2，
∴A(﹣2，0)，B(8，0)；
∴AB＝10，
∴AD＝5，
∴OD＝3
∵C(0，4)，
∴CD＝，
∴CD＝AD，
∴点C在圆上，故②不符合题意；
过点C作CE∥AB，交抛物线于E，
∵C(0，4)，
代入y＝﹣(x﹣3)2+得：4＝﹣(x﹣3)2+，
解得：x＝0，或x＝6，
∴CE＝6，
∴AD≠CE，
∴四边形ADEC不是平行四边形，故③不符合题意；
由抛物线y＝a(x﹣3)2+可知：M(3，)，
∵C(0，4)，
∴直线CM为y＝x+4，直线CD为：y＝x+4，
∴CM⊥CD，
∵CD＝AD＝5，
∴直线CM与⊙D相切，故④符合题意；
故答案为：B.
【分析】①根据抛物线的解析式即可判定；②求得AD、CD的长进行比较即可判定；③过点C作CE∥AB，交抛物线于E，AD=CE，根据一组等边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定；④求得直线CM和直线CD的解析式，通过它们的斜率进行判定即可。
6．【答案】D
【知识点】二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：∵∠BAC=60°，AO是∠BAC的角平分线，
∴∠BAO=30°，
设⊙O的半径为r，AB是⊙O的切线，
∵AO=2t，
∴r=t，
∴S=πt2，
∴S是圆心O运动的时间t的二次函数，
∵π＞0，
∴抛物线的开口向上，
故答案为：D．
【分析】根据角平分线的性质得到∠BAO=30°，设⊙O的半径为r，AB是⊙O的切线，根据直角三角形的性质得到r=t，根据圆的面积公式即可得到结论．
7．【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理；二次函数的其他应用；圆-动点问题
【解析】【解答】解：抛物线与坐标轴交于点，，，
，，，
点，的半径为，
，
顶点的坐标为：，
，
点在上．
，故点不在上，故不正确；
圆心为，是半圆上一动点，点在上，点为的中点．
，故正确；
图中实点、、、是点运动中所处的位置，
则是等腰直角三角形的中位线，，交于点，则四边形为正方形，
当点在半圆任意位置时，中点为，连接，则，连接，
则，则点的运动轨迹为以为圆心的半圆，
则运动的路径长，故正确；
由得，当点运动到点的位置时，的长最大，
最大值为，
线段的长不可以是，故不正确．
故正确说法有：．
故答案为：．
【分析】先根据二次函数与坐标轴的交点问题结合而成函数的图象与性质得到，，顶点，①根据勾股定理求出，进而即可求解；②根据垂径定理结合题意即可求解；③点P的运动轨迹为以I为圆心的半圆，则点Q的运动轨迹为以R为圆心的半圆，进而即可求解；④结合题意运用勾股定理即可求解。
8．【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；等腰三角形的性质；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：令 ，，解得或，
故 ， ，
令，则， ，
线段的垂直平分线为，
的外接圆的圆心在线段的垂直平分线上，
由，解得或（舍弃），
点坐标为，
如图1中，作于，
，，
，
，.
故答案为：A.
【分析】△PBC的外接圆的圆心在线段BC的垂直平分线y=-x上，然后求出直线y=-x与抛物线的交点，即得点M，再确定点P并求出AP的长即可.
9．【答案】
【知识点】切线的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】设 与x轴相切的切点为点A，
的半径为2，圆心P在抛物线上运动，
当与x轴相切时，PA=2，
即，即或，
解得：或x=0，
又圆心P在第二象限内 ，
圆心P的坐标为 ，
【分析】根据 的半径为2，以及与x轴相切时，PA=2，即y=2，求出x的值，结合圆心P所在象限即可得出结论.
10．【答案】①③
【知识点】正比例函数的图象和性质；反比例函数的图象；反比例函数的性质；二次函数的定义；圆内接正多边形；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：①当n变化时，随n的变化而变化，与n满足函数关系，①正确；
②当时，，，如图所示：
∴，故②错误；
③如图所示：
∵n为定值，，
∴为定值，
∵，
∴，
∴S与r满足二次函数关系． ③正确；
故答案为：①③
【分析】根据正多边形与圆的关系，解直角三角形，正比例函数，反比例函数，二次函数的定义结合题意分别表示出与n、d与r、S与r的关系式，进而即可求解。
11．【答案】（ ，2）或（- ，2）或（0，-2）
【知识点】直线与圆的位置关系；二次函数的其他应用
【解析】【解答】∵⊙P的半径为2，圆心P在抛物线 上运动，
∴当⊙P与x轴相切时，假设切点为A，
∴PA=2，
∴
即 ，或 =-2
解得x= 或x=0，
∴P点的坐标为：（ ，2）或（- ，2）或（0，-2）
【分析】根据切线的性质：圆心到x轴的距离等于半径列出方程求解即可。
12．【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；勾股定理；点与圆的位置关系；三角形的中位线定理
【解析】【解答】如图，连接PB，
∵抛物线与x轴交于A、B两点，
∴，
解得x=4或x=-4，
∴A(-4，0)，B(4，0)，
∴OA=OB，
∵Q是线段PA的中点，
∴OQ是△ABP的中位线，
∴OQ=，当BP最小时，OQ最小，
设BC与圆较近的交点为D，
∵点，B(4，0)，
∴BC==5，
∵圆的半径为2，
∴BD=5-2=3，
∴OQ==，
根据圆的性质，当P位于BC与圆的第一个交点位置时，取得最小值，
∴OQ=，
故答案为：．
【分析】连接PB，由求出y=0时x值，即得A(-4，0)，B(4，0)，可得OA=OB，即得OQ是△ABP的中位线，可得OQ=，当BP最小时，OQ最小，设BC与圆较近的交点为D，当P与D重合时，BP最小，利用勾股定理求出BC=5，可求BD=BC-CD=3，即得OQ的最小值==.
13．【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：对于，
令，则，
令，解得或，
故点A、B、C的坐标分别为，
抛物线的对称轴为直线，则点，
作点D关于y轴的对称点，连接交y轴于点E，交圆B于点F，则点E、F为所求点，
则最小，
设直线解析式为，
将代入，得，
解得，，
，
时，
点E的坐标为．
故答案为：
【分析】先根据二次函数与坐标轴的交点得到点A、B、C的坐标分别为，进而根据二次函数的图象得到抛物线的对称轴为直线，则点，根据轴对称-最短距离问题作点D关于y轴的对称点，连接交y轴于点E，交圆B于点F，则点E、F为所求点，从而根据勾股定理即可求出其最小值，再运用待定系数法求出直线BH的函数解析式，从而根据一次函数与坐标轴的交点即可求解。
14．【答案】（1）解：∵以 为圆心，5为半径的 与x轴交于A、B两点，
∴ ，
连接 ，
在 中， ， ，
由勾股定理得 ，
∴ ；
（2）解：∵点 在抛物线上，
∴设抛物线的解析式为 ，
∵点 在抛物线上，
∴ ，解得 ，
∴抛物线的解析式为： ，即 ，
∵
∴ ；
（3）解：直线 与 相切，理由如下：
∵ 中，底边 上的高 ，
∴P是抛物线上位于第四象限的点，且满足 ，则 ，
如图，连接 ，过点P作 对称轴 于点G，则 ，
在 中，由勾股定理得： ，
∴点P在 上，
由（2）知， ，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得： ，
在 中，∵ ，
∴ 为直角三角形， ，
∵点P在 上，且 ，
∴直线 与 相切．
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；勾股定理的逆定理；切线的判定
【解析】【分析】（1）易得A（-2，0）、B（8，0），连接CE，根据线段的和差关系可得OE=AE-OA=3，CE=5，利用勾股定理求出OC的值，据此可得点C的坐标；
（2）由题意可设抛物线的解析式为y=a(x+2)(x-8)，将C（0，-4）代入求出a的值，据此可得抛物线的解析式以及顶点F的坐标；
（3）由题意可得P是抛物线上位于第四象限的点，且满足S△ABP=S△ABC，则P（6，-4） ，连接PE、PF，过点P作PG⊥对称轴EF于点G，则PG=3，EG=4，由勾股定理求出PE的值，推出点P在圆上，求出EF的值，由FG=EF-EG可得FG，利用勾股定理求出PF，根据勾股定理逆定理知△EFP为直角三角形，且∠EPF=90°，据此判断.
15．【答案】（1）证明：连接BE
∵CD与⊙B相切于点E∴BE⊥CD
设点D的坐标为（x，0），则BD=x－1
在△OCD和△EBD中，∴△OCD∽△EBD
∴即 ∴CD=2x－2 在Rt△OCD中，OC2+OD2=CD2即22+x2=（2x－2）2解得x1= ，x2=0（舍去）
即点D的坐标为（ ，0）
把C（0，2），D（ ，0）代入y=ax2－2ax+c中得：
函数解析式为：y= x2+ x+2
（2）解：连接BE，CB，CB交OE于H∵CD与⊙O相切于E，CO⊥OB于O，BO为⊙O半径
∴CO与⊙O相切于O
∴BC⊥OE于点H ∴∠OCH+∠COH=∠BOH+∠COH=90°，
∴∠BOH=∠COH
即∠AOE=∠OCB ∴sin∠AOE= sin∠OCB=
在Rt△OCB中，∵OB=1，OC=2 由勾股定理得 =
∴
（3）存在，理由如下： 连接DM，据题意有CM=t，OC=2，OD= ，则OM=2-t∵MN//CD ∴∠ONM=∠ODC且S△QMN=S△DMN
∴tan∠ONM=tan∠ODC
∴∴ON= ∴
∵S=S△QMN=S△DMN= ∴S=
∵点M在OC上运动 ∴
∵S与t成二次函数关系，且 < 0
∴当t=1时，S有最大值， 为
【知识点】二次函数的最值；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质；同角三角函数的关系；切线长定理
【解析】【分析】（1）根据切线的性质得出BE⊥CD，设点D的坐标为（x，0），则BD=x－1，然后证出△OCD∽△EBD ，根据相似三角形对应边成比例得出OC∶EB=CD∶BD，即2∶1=CD∶x-1，从而得出CD=2x－2 ，在Rt△OCD中，根据勾股定理列出关于x的方程，求解得出x的值，得出D点的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）连接BE，CB，CB交OE于H，根据切线的判定定理判断出CO与⊙O相切于O，根据切线长定理得出BC⊥OE于点H ，根据同角的余角相等得出 ∠BOH=∠COH，即∠AOE=∠OCB，根据等角的同名三角函数值相等得出sin∠AOE= sin∠OCB= O B ∶C B ，在Rt△OCB中，由勾股定理得出BC的长度，从而得出答案；
（3）连接DM，据题意有CM=t，OC=2，OD= ，则OM=2-t；根据二直线平行同位角相等得出∠ONM=∠ODC，同时两平行线间的距离相等，根据同底等高得出S△QMN=S△DMN ，再根据等角的同名三角函数值相等得出tan∠ONM=tan∠ODC，根据三角函数的定义，从而列出方程，表示出ON的长度，进而表示出ND，根据S=S△QMN=S△DMN= N D · O M，从而得出s与t之间的函数关系式；根据点M在OC上运动 故 0 < t < 2 ，S与t成二次函数关系中二次项的系数 < 0，从而得出答案当t=1时，S有最大值， S 最 大 值 = 。
16．【答案】（1）解：，
，
在中，，
，
由勾股定理得，
即长为4，长为5；
（2）解：①如下图所示，过点P作轴于点M，
在中，，
，
，
，，
，
，
即；
②，
，
解得，
，
设抛物线的解析式为：，
把代入解析式得，
解得，
，
即抛物线的解析式为；
（3）解：，，
设抛物线解析式为，
由图知，点C在x轴正半轴上，
①当与相切时，如下图所示，
经过点D，且，
且于点D，
，
，
即，
把，代入抛物线的解析式，
得：，
解得：，
此时的值为；
②当与相切时，如下图所示，
连接，
，
，
，
，
又，
，
，
即，
，
把，代入抛物线的解析式，
得：，
解得，
此时m的值为；
③当与相切时，如下图所示，
则，
，
，
综上，符合条件的m的值为或或．
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定与性质；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）根据A点的坐标确定OA的长，根据函数值求出OB的长度，利用勾股定理求出AB的长即可；
（2）①过点P作轴于点M，根据，求出PM，MA进而求出AC即可得出C点的坐标；
②根据①求出C点坐标，设抛物线的解析式为，将点B的坐标代入求出a的值即可；
（3）分三种情况分别求出当与三角形DEF三边相切时m的值即可。
17．【答案】（1）6；2；y= x2+ x﹣7
（2）证明：在抛物线表达式y= x2+ x﹣7中，令y=0，即 x2+ x﹣7=0，
解得x=2或x=7，∴D（7，0）．
如答图2所示，
过点B作BE⊥x轴于点E，则DE=OD﹣OE=1，CD=OD﹣OC=5．
在Rt△BDE中，由勾股定理得：BD= = = ；
在Rt△BCE中，由勾股定理得：BC= = = ．
在△BCD中，BD= ，BC= ，CD=5，
∵BD2+BC2=CD2
∴△BCD为直角三角形，∠CBD=90°，
∴∠CBD=∠ACB=90°，
∴AC∥BD
（3）解：如答图3所示：
由（2）知AC=BC= ，又AQ=5，
则在Rt△ACQ中，由勾股定理得：CQ= = = ．
过点C作CF⊥PQ于点F，
∵S△ACQ= AC CQ= AQ CF，
∴CF= = =2．
在Rt△ACF中，由勾股定理得：AF= = =4．
由垂径定理可知，AP=2AF，
∴AP=8．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；勾股定理的逆定理；垂径定理；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】（1.）解：如答图1所示，过点B作BE⊥x轴于点E．
∵AC⊥BC，
∴∠ACO+∠BCE=90°，
∵∠ACO+∠OAC=90°，∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠OAC=∠BCE，∠ACO=∠CBE．
∵在△AOC与△CEB中，
∴△AOC≌△CEB（ASA）．
∴CE=OA=4，BE=OC=2，
∴OE=OC+CE=6．
∴B点坐标为（6，2）．
∵点C（2，0），B（6，2）在抛物线y= x2+bx+c上，
∴ ，
解得b= ，c=﹣7．
∴抛物线的表达式为：y= x2+ x﹣7．
【分析】（1）如答图1，作辅助线，证明△AOC≌△CEB，由此得到点B的坐标；再由点C、B的坐标，利用待定系数法求出抛物线的表达式；（2）如答图2，作辅助线，求出△BCD三边的长度，再利用勾股定理的逆定理判定其为直角三角形，从而问题得证；（3）如答图3，利用勾股定理依次求出CQ、CF、AF的长度，然后利用垂径定理AP=2AF求出AP的长度．
18．【答案】（1）解：如图1，连接AE，由已知得：AE=CE=5，OE=3，
在Rt△AOE中，由勾股定理得：OA= = =4，
∵OC⊥AB，
∴由垂径定理得：OB=OA=4，OC=OE+CE=3+5=8，
∴A（0，4），B（0，﹣4），C（8，0），
∵抛物线的顶点为C，
∴设抛物线的解析式为：y=a（x﹣8）2，
将点B的坐标代入得：64a=﹣4，
a=﹣ ，
∴y=﹣ （x﹣8）2，
∴抛物线的解析式为：y=﹣ +x﹣4；
（2）解：直线l与⊙E相切；
理由是：在直线l的解析式y= x+4中，
当y=0时，即 x+4=0，x=﹣ ，
∴D（﹣ ，0），
当x=0时，y=4，
∴点A在直线l上，
在Rt△AOE和Rt△DOA中，
∵ ， ，
∴ ，
∵∠AOE=∠DOA=90°，
∴△AOE∽△DOA，
∴∠AEO=∠DAO，
∵∠AEO+∠EAO=90°，
∴∠DAO+∠EAO=90°，
即∠DAE=90°，
∴直线l与⊙E相切；
（3）解：如图2，过点P作直线l的垂线PQ，过点P作直线PM⊥x轴，交直线l于点M，
设M（m， m+4），P（m，﹣ m2+m﹣4），
则PM= +4﹣（﹣ m2+m﹣4）= ﹣ m+8= + ，
当m=2时，PM取最小值是 ，
此时，P（2，﹣ ），
对于△PQM，
∵PM⊥x轴，
∴∠QMP=∠DAO=∠AEO，
又∠PQM=90°，
∴△PQM的三个内角固定不变，
∴在动点P运动过程中，△PQM的三边的比例关系不变，
∴当PM取得最小值时，PQ也取得最小值，
PQ最小=PM最小 sin∠QMP=PM最小 sin∠AEO= = ，
∴当抛物线上的动点P（2，﹣ ）时，点P到直线l的距离最小，其最小距离为 ．
【知识点】勾股定理；垂径定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用勾股定理求OA的长，由垂径定理得：OB=OA=4，写出A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求抛物线的解析式；（2）先求直线l与两坐标轴的交点坐标，再证明△AOE∽△DOA，可得结论：直线l与⊙E相切；（3）如图2，作辅助线，构建直角△PQM，根据解析式设M（m， m+4），P（m，﹣ m2+m﹣4），则PM= + ，当m=2时，PM取最小值是 ，计算点P（2，﹣ ），说明△PQM的三个内角固定不变，即△PQM的三边的比例关系不变，当PM取得最小值时，PQ也取得最小值，根据三角函数计算PQ的最小值即可．
19．【答案】（1）解：∵ 弧AOC
∴ OA=OC
∵ OC⊥AD，∠ODC=45°
∴ OD=OC=2m
∴ OA=2m
（2）解：如图所示，MP与弧线AOC相切于M，连接OM，OP，延长FH交MP于点K
∴ ∠OMP=90°，∠MPD=60°，FH=1.2m，EF=m
∵ ∠D=90°，OD=OM
∴ OP平分∠DPM
∴ ∠OPD=30°
∴ DP=
∴ PF=OP-OE-EF=
∴ tan∠MPD=tan∠60°=
∴ KF=＞FH
∴ 高为的植物不会被阳光照射到.
（3）解：如图，以D为与原点，AD所在直线为y轴，DH所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
∴ A（0，4）C'（）
设抛物线解析式为y=ax2+b（a≠0），把 A（0，4）C'（）代入解析式得：y=
设点P（m，）（0＜m≤）
∴ GP=m，PH=，
∴ GP+PH=
∴ m=1时，GP+PH有最大值，是m.
则要保证从遮阳棚上的任意一点（不含点）都能按照上述要求搭设架子，则至少需要准备m的钢材搭设架子.
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；角平分线的判定；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【分析】本题考查二次函数的应用，待定系数法求解析式，求最值，解直角三角形，角平分线的判定与性质，等腰直角三角形，圆的切线性质等知识，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，建立平面直角坐标系的方法，求二次函数最值是解题关键。（1）由OA=OC，证 OD=OC=2m得 OA=2m；（2）MP与弧线AOC相切于M，连接OM，OP，延长FH交MP于点K，证OP平分∠DPM，得 ∠OPD=30°，得DP=， PF=；根据 tan∠MPD=，得 KF=1.27＞FH
，可得答案.（3）以D为与原点，AD所在直线为y轴，DH所在直线为x轴建立平面直角坐标系，得A（0，4）C'（）求抛物线解析式：y=设点P（m，）（0＜m≤）得GP+PH=，可知 m=1时，GP+PH有最大值，是.
20．【答案】任务：如图（a）建立直角坐标系
由题意可知：AB=28，OP=40
∴，设抛物线的解析式为：，
把B(14，0)代入中得：
，解得：，
∴，
令，
∴，解得：，
∴，
∴（米）．
任务：；
任务：如图：设圆的圆心为O，连接，作于I，
∵EF=EM+MF=10+6=16且⊙O的半径为8，
∴EF是圆O的直径，
由题意知：
∴，
∵，
∴，
∴OI=OF-FI=8-3=5
在Rt△ONI中，
∵
在Rt△ENI中，
故两月牙尖的距离为米.
【知识点】圆周角定理；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：任务2：如图：连接交y轴于E，
由题意可得：C，D两点关于y轴对称，设点D横坐标为b
在正方形中，ED=EP=EC=b
∴OE=OP-EP=40-b
∴
把D(b，40-b)代入中得：
，解得：或0（舍去）
∴40-b=40-4.9=35.1
∴
∴点距离地面的高度是米．
故答案为：．
【分析】任务：先建立合适的平面直角坐标系，根据题意得出AB=28，OP=40，得出B，P的坐标，再设，把B点坐标代入，求出a值，得出解析式，再令y=20，求出G，H两点的坐标即可
任务2：先设点D的横坐标为b，根据正方形的性质，得出：ED=EP=EC=b，从而计算出OE的值，
这样得出点C，D的坐标，再把点C或点D的坐标代入中，解出b，从而求出点C的坐标，即可知道点C到地面的高度
任务3：先根据EF=EM+MF=10+6=16，得出EF是圆O的直径，再根据相等的圆周角所得的弧相等，得出：，从而得出：，再根据等腰三角形三线合一，求出IF的值，先在在Rt△ONI中，利用勾股定理求出，再在在Rt△ENI中，求出NE即可.
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