圆与一次函数—北师大版数学九（下）知识点训练
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（2024九上·拱墅月考）已知，，三点可以确定一个圆，则以下点坐标不满足要求的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；确定圆的条件
【解析】【解答】解：设直线的解析式为，
∵M（1，2），N（3，-3），
，
解得：，
，
A、当时，，∴不在直线上，根据不在同一直线三点确定一个圆得与，可以确定一个圆，此选项不符合题意；
B、当时，，∴（-3，5）不在直线MN上，根据不在同一直线三点确定一个圆得（-3，5）与，可以确定一个圆，此选项不符合题意；
C、当时，，∴在直线上，根据不在同一直线三点确定一个圆得（-1，7）与，不能确定一个圆，此选项符合题意；
D、当时，，∴（1，-3）不在直线MN上，根据不在同一直线三点确定一个圆得（1，-3）与，可以确定一个圆，此选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】由题意，用待定系数法求出直线的解析式，再把各选项中的点的横坐标代入函数解析式计算求出对应的纵坐标，与已知的纵坐标比较可判断点是否在直线MN上，然后根据不在同一直线上的三点能确定一个圆即可判断求解．
2．（2023九下·沭阳月考）在平面直角坐标系中，以为圆心，为半径作圆，M为上一点，若点N的坐标为，则线段的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数的图象；垂线段最短及其应用；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：点的坐标为，
点为直线上任意一点，如下图所示：
直线为函数的图象，则为直线上一点，为上一点，
由图象可知：过点作垂线，当、分别是垂线与、的交点时，的长度最大，
此时：，
把代入得：，
把代入得：，解得：，
∴，，
，
，
，
，
此时，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据点N的坐标可得点N为直线y=2x+4上任意一点，由图象可知：过点P作AB的垂线，当M、N分别是垂线与AB、⊙P的交点时，MN的长度最大，易得点A、B的坐标，求出AB的值，根据三角函数的概念可得NP，然后利用MN=PN+MP进行计算.
3．（2024九上·栾城期末）如图，直线与圆心在原点，半径为的圆有公共点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；直线与圆的位置关系；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：过原点作交于点C，
直线与坐标轴的交点为A、B两点，
令解得，故A点坐标为：
令解得，故B点坐标为：
故直线到坐标原点的距离为：，
直线与圆有公共点，
故；
故答案为：C．
【分析】过原点作交于点C，求出与坐标轴交点坐标，再根据勾股定理可得AB，再根据三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
4．（2023·播州模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于，两点，圆心在轴上的经过，两点，则的半径为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；圆的相关概念；一次函数图象与坐标轴交点问题；直角三角形的性质
【解析】【解答】解题过程如下：
连接PB
则PB为圆P的半径.
∵ 直线与坐标轴交于，两点，
∴ 令x=0，得y=，则B（），
令y=0，得x=3，则A（3，0）
∴ OB=，OA=3
∴ AB=
∴ ∠OAB=30°
∵ PA=PB
∴ ∠PBA=30°
∴ ∠OBP=30°
∴ OP=
∴+PB=OA=3
∴ PB=2
故答案为：C
【分析】本题考查圆的基础知识、求半径和一次函数与坐标轴的交点问题。
根据一次函数与坐标轴的交点，得到线段的长，求出角度，可知半径的数量关系，列式求解即可。
5．（2024九上·绵阳期末）如图，的圆心M在一次函数位于第一象限中的图象上，与y轴交于C、D两点，若与x轴相切，且，则半径是（ ）
A．或5 B．5或6 C．或6 D．5
【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理；切线的性质；一次函数的性质
【解析】【解答】解：如图所示：设 与x轴相切与点K，连接MK，MC，过点M作y轴的垂线交y轴与点H，
与x轴相切，
，
∠KOM=∠OHM=90°，
四边形OKMH是矩形，
M在一次函数的图象上，
设点M的坐标为，
OK=MH=a，CM=MK=，
CM=MH，
，
在中，，
即，
解得：a=5或，
MK=6或MK=.
故答案为：C.
【分析】设 与x轴相切与点K，连接MK，MC，过点M作y轴的垂线交y轴与点H，先证四边形OKMH是矩形，设点M的坐标为，利用等腰三角形的性质及矩形的性质分别表示出CM、CH、MH的长，再利用勾股定理求出a的值，进而得到圆的半径.
6．（2020九上·南昌期末）如图，直线y＝ x＋ 与x轴、y轴分别相交于A、B两点，圆心P的坐标为（1，0），⊙P与y轴相切于点O．若将⊙P沿x轴向左移动，当⊙P与该直线相交时，满足横坐标为整数的点P的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【知识点】一次函数的图象；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：根据直线与坐标轴的交点，得出A，B的坐标，再利用三角形相似得出圆与直线相切时的坐标，进而得出相交时的坐标．
∵直线y＝ x＋ 与x轴、y轴分别相交于A、B两点，圆心P的坐标为（1，0），
∴A点的坐标为0＝ x＋
x=-3，A（-3，0），
B点的坐标为：（0， ），
∴AB=2
将圆P沿x轴向左移动，当圆P与该直线相切于C1时，P1C1=1，
根据△AP1C1∽△ABO，
∴AP1=2，
∴P1的坐标为：（-1，0），
将圆P沿x轴向左移动，当圆P与该直线相切于C2时，P2C2=1，
根据△AP2C2∽△ABO，
∴AP2=2，
P2的坐标为：（-5，0），
从-1到-5，整数点有-2，-3，-4，故横坐标为整数的点P的个数是3个．
故答案为：A．
【分析】先求出函数与x轴、y轴的交点坐标，进一步求出函数与x轴的夹角，计算出 ⊙P 与AB相切时点P的坐标，判断出P的横坐标的取值范围.
7．（2023·姜堰模拟）在平面直角坐标系中，点A在直线l上，以A为圆心，为半径的圆与y轴的另一个交点为E，给出如下定义：若线段，和直线l上分别存在点B，点C和点D，使得四边形是矩形（点顺时针排列），则称矩形为直线l的“理想矩形”.例如，右图中的矩形为直线l的“理想矩形”.若点，则直线的“理想矩形”的面积为（ ）
A．12 B． C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数的图象；勾股定理；矩形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：过点作轴于点，连接、，如图.
点的坐标为，
，，.
点在直线上，
，
解得.
设直线与轴相交于点，
当时，，点，，
，
，.
在中，.
在中，.
所求“理想矩形” 面积为；
故答案为：B.
【分析】过点作轴于点，连接、，由点A坐标可求出AC=AO=5，AF=3，OF=4，将点代入中求出k=1，即得y=x+1，可得G（0，1），△FGA为等腰直角三角形，可得∠FGA=45°，AG=3，利用解直角三角形求出AB的长，再利用勾股定理求出BC，根据矩形的面积公式计算即可.
8．（2023·乐山）如图5，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，C、D是半径为1的上两动点，且，P为弦CD的中点．当C、D两点在圆上运动时，面积的最大值是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：当x=0时，y=-2，
当y=0时，x=-2，
∴B（0，-2），A（-2，0），
∴BO=AO=2，
∴由勾股定理得，
∴AB为定值，
∴要使△BAP的面积最大，即使以AB为底的高达到最大，
故当PO的延长线刚好与AB垂直时，此时EP即为最大，连接OD，如图所示：
∵，的半径为1，
∴，
∴由勾股定理得，
∵BA⊥EO，
∴，
∴，
∴，
故答案为：D
【分析】先运用一次函数与坐标轴的交点坐标得到OA和BO的长，再运用勾股定理即可求出AB为定值，进而得到要使△BAP的面积最大，即使以AB为底的高达到最大，当PO的延长线刚好与AB垂直时，此时EP即为最大，连接OD，再根据勾股定理结合题意即可得到PE的长，进而运用三角形的面积即可求解。
二、填空题（每题3分，共18分）
9．在平面直角坐标系中，为坐标原点，则直线与以点为圆心，1为半径的圆的位置关系为
【答案】相切
【知识点】切线的判定；一次函数图象与坐标轴交点问题；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，作，
交坐标轴于点A、B，
，
，
，
，
，
，
直线与圆相切.
故答案为：相切.
【分析】利用一次函数的性质求得点A、B坐标，进而得到是等腰直角三角形，再通过等腰直角三角形的性质求得点O到AB的距离，即可判定直线与圆相切.
10．（2023九上·路桥月考）如图，是以原点为圆心，半径为的圆，点是直线上的一点，过点作的一条切线，为切点，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理的应用；直线与圆的位置关系；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：∵ 为 的切线，
∴，
又∵ 圆的半径为，
∴OQ=2，
∴，
则欲求的最小值 ，只需求的最小值；
又∵为直角三角形，
∴，即，
∴当OP最小时，PQ最小；
由题意，当时，OP最小；
根据直线，可得OB=6，OA=6；
由勾股定理可得，
当时，，
即，
解得，
此时由，可得，解
∴；
故答案为：.
【分析】根据可将 的最小值转化为求的最小值，根据勾股定理和等面积法求的最小值即可.
11．（2024九下·岳阳开学考）如图，直线，点坐标为（1，0），过点作轴的垂线交直线于点，以原点为圆心， 长为半径画弧交轴于点；再过点作轴的垂线交直线于点，以原点为圆心，长为半径画弧交轴于点；…，按此做法进行下去，点的坐标为 .
【答案】
【知识点】探索图形规律；与一次函数相关的规律问题
【解析】【解答】解：因为直线，点坐标为（1，0），过点作轴的垂线交直线于点，
所以点的坐标为（1，），
因为以原点为圆心，长为半径画弧x轴于点，，
所以，
所以点的坐标为（2，0），
所以的坐标为（2，），
同理：点的坐标为（4，0），
以此类推可得出点的坐标为（，0）.
所以点的坐标为，
故答案为：.
【分析】先利用勾股定理求出可得点的坐标为（2，0），的坐标为（2，），再求出规律点的坐标为（，0），最后将n=2020带入计算即可.
12．（2024·拱墅模拟）在直角坐标系xOy中，对于直线l：y＝kx+b，给出如下定义：若直线l与某个圆相交，则两个交点之间的距离称为直线l关于该圆的“圆截距”．如图，点M的坐标为（﹣1，0），若⊙M的半径为2，当k的取值在实数范围内变化时，直线l关于⊙M的“圆截距”的最小值为，则b的值为 ．
【答案】±1
【知识点】垂径定理；直线与圆的位置关系；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：如图所示，设直线l与交于B、C，与y轴交于D，过点M作于E，连接MB，
，
在中，由勾股定理得，
当ME最大时，BE最小，即此时BC最小，
，
当点E与点D重合时，ME最大，即此时BC最小，
直线l关于的“圆截距”的最小值为，即，
，
，
，
，
解得．
故答案为：．
【分析】如图所示，设直线l与交于B、C，与y轴交于D，过点M作于E，连接MB，先证明当点E与点D重合时，ME最大，即此时BC最小，再由，求出，可得，解得．
13．（2023九上·阿城期中）如图，已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P是以为圆心，1为半径的圆上一动点，连接．则面积的最大值与最小值的差为 ．
【答案】5
【知识点】点与圆的位置关系；一次函数图象与坐标轴交点问题；圆-动点问题
【解析】【解答】解：∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点 ，∴点A(4，0)，点B（0，-3），则设点P到直线的距离为d，则的面积：设点C到直线AB的距离为根据圆性质可得d的最大值为最小值为则面积的最大值与最小值的差为
故答案为：5.
【分析】本题主要直线的坐标轴的交点，圆上的点到直线的距离，根据题意可得设点P到直线的距离为d，则的面积：可得的面积最大小是由d决定的，设点C到直线AB的距离为根据圆性质可得d的最大值为最小值为从而可得则面积的最大值与最小值的差.
14．（2022·德州模拟）如图，圆心都在x轴正半轴上的半圆O1，半圆O2，…，半圆On与直线y=x相切．设半圆O1，半圆O2，…，半圆On的半径分别是r1，r2， ，rn，则当r1=1时，r2022= ．
【答案】32021
【知识点】与一次函数相关的规律问题
【解析】【解答】解：过点O1作O1H1⊥l于H1，过点O2作O2H2⊥l于H2，过点O3作O3H3⊥l于H3，如图，
∵半圆O1，半圆O2，…，半圆On与直线y=x相切，
∴O1H1=r1，O2H2=r2，O3H3=r3，
∵正比例函数的解析式为y=x，
∴直线l与x轴的正半轴的夹角为30°，
在Rt△H1OO1中，OO1=2O1H1=2r1=2，
在Rt△H2OO2中，OO2=2O2H2，即3+r2=2r2，解得r2=3，
在Rt△H3OO2中，OO3=2O3H3，即3+6+r3=2r3，解得r3=9，
∵r1=30，r2=31，r3=32，
∴r2022=32021．
故答案为：32021．
【分析】过点O1作O1H1⊥l于H1，过点O2作O2H2⊥l于H2，过点O3作O3H3⊥l于H3，先求出O1H1=r1，O2H2=r2，O3H3=r3，求解可得r1=30，r2=31，r3=32，再求出规律，最后求出r2022=32021即可。
三、综合题（共5题，共58分）
15．如图，在平面直角坐标系中，以原点О为圆心，3为半径作圆，直线y=mx-m+2与О相交于A，B两点，求弦AB的最小长度.
【答案】解：如图，
∵直线y=mx-m+2必过点D（1，2），
∴最短的弦AB是过点D且与该圆直径垂直的弦，
∵点D的坐标是（1，2），
∴OD=，
∵⊙O的半径为3，
∴OA=3，
∴AD==2，
∴AB=2AD=4，
∴AB的长的最小值为4.
【知识点】勾股定理；垂径定理；一次函数中的动态几何问题
【解析】【分析】 根据题意得出直线y=mx-m+2必过点D（1，2），求出最短的弦AB是过点D且与该圆直径垂直的弦，求出OD的长，再利用勾股定理求出AD，从而得出AB的长，即可得出答案．
16．一次函数的图象与轴的负半轴相交于点.与轴的正半轴相交丁点.且的外接圆的圆心的横坐标为-3.求：
（1）一次函数的表达式.
（2）图中阴影部分的面积.
【答案】（1）解：
是的直径
点的横坐标为-3
解得
一次函数的解析式为
（2）解：如图，连接
，是的直径
，
，
，
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；圆周角定理；扇形面积的计算；直角三角形的性质
【解析】【分析】(1)由圆周角定理可得AB是的直径，再通过中点公式由点M的横坐标求得点A的坐标，接着利用角直角三角形得到OB的长度，进而求得点B坐标，然后利用待定系数法计算出k、b的值，从而得到一次函数解析式.
(2)利用直角三角形的性质求得扇形AMO的圆心角度数和半径长度，及的面积，再通过扇形面积计算公式求得扇形AMO的面积，然后用割补法得到阴影部分的面积.
17．（2023·光明模拟）圆周角定理：圆周角的度数等于它所对的弧上的圆心角度数的一半．下面根据圆周角定理进行探究．
（1）如图1，是的弦，点C是上一点，连接，过点O作于点D，连接，，求的大小．
（2）在平面直角坐标系中，已知点，．
（ⅰ）如图2，点P为直线上的一个动点．请从：①；②；③中任选一个，求出相应的P点坐标；
（ⅱ）如图3，点M为直线上的一个动点，连接．当最大时，求出此时的面积．
【答案】（1）解：连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
（2）解：（ⅰ）当点P在x轴上方时，作的中垂线与x轴交于点C（如图），
设P，A，B三点所在圆的圆心为Q，易知点Q在直线上，设，
则，
∴，
①当时：，
即，，
∴，，
∵，
∴，
解得或者（舍去），
此时，
当点P在x轴下方时，由轴对称可知：，
综上所述，当时，或，
②当时：，
即，，
∴，，
∵，
∴，
解得或者（舍去），
此时，
当点P在x轴下方时，由轴对称可知：，
综上所述，当时，或，
③当时：，
即，，
∴，，
∵，
∴，
解得或者（舍去），
此时，
当点P在x轴下方时，由轴对称可知：，
综上所述，当时，或，
（ⅱ）
作线段的中垂线分别与x轴、直线交于点E、F（如图1），
设M、A、B三点所在圆的圆心为Q，半径为R，易知点Q在直线上，，
则有，
如图2，当与直线相切时，最大，
∴，此时为等腰直角三角形，
，
，
在中：，
解得：或（舍去），
∴，
∴，
即为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
【知识点】圆的综合题；一次函数中的动态几何问题；圆-动点问题
【解析】【分析】（1）连接OB，先求出，再求出即可；
（2）（ⅰ）分类讨论：当点P在x轴上方时，当点P在x轴下方时， 再分别求解即可；
（ⅱ）作线段的中垂线分别与x轴、直线交于点E、F，设M、A、B三点所在圆的圆心为Q，半径为R，易知点Q在直线上，，利用勾股定理求出或（舍去），再证出为等腰直角三角形，可得，再求出，最后利用三角形的面积公式求解即可。
18．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A，B，以AB为直径构造圆，点C在上运动，点D在上，CD交OA于点P，且
（1）求CD的长.
（2）求证：OP=PD.
（3）若CE∥OA，交圆于另一点E，连结DE，当△CDE为等腰三角形时，求所有满足条件的点P的坐标。
【答案】（1）解：，
当y=0时，则，解得x=8，
∴A（8，0），
∴OA=8，
∵
∴CD=OA=8.
（2）证明：连接CO，DA，如图
∵
∴
∴CO=AD，
∵∠OAD=∠OCD，∠OPC=∠APD，
∴△COP≌△ADP（AAS）
∴PO=PD.
（3）解：（3）①当CE=CD，如图，连接BP，则CE=CD=OA=8，
∵CE∥OA，
∴四边形COAE为矩形，
∵∠AOB=90°，
∴点B、C重合，
设PD=OP=x，则BP=CP=8-x，
由可得B（0，6），则OB=6，
∵BO2+OP2=BP2，即62+x2=(8-x)2，解得x=，
∴P（，0）.
②当CD=ED，如图，设圆心F，连接DF并延长分别交OA、CE于点M、H，
∵DC=DE，
∴，
∴DH⊥CE，
∵CE∥OA，
∴DH⊥OA，
∴OM=AM，
∴FM=OB=3，OM=OA=4，
∵AB==10，且AB为直径，
∴DF=5，
∴MD=FD-FM=2，
设OP=PD=x，则PM=4-x，
在Rt△PMD中，由勾股定理得22+（4-x）2=x2，解得x=，
∴P（，0）.
③当EC=ED时，如图，设圆心F，作EG⊥CD，PT⊥CE，FM⊥OA，延长MF交CE于点H，连接CF，则CF=AB=5，
∵FG⊥CD，
∴CG=CD=4，E、F、G三点共线，
∴FG==3，
∴GE=GF+FE=3+5=8，
∴CE==，
∵FH⊥CE，EG⊥CD，
∴∠HFE+∠HEF=∠GCE+∠HEF，
∴∠HFE=∠GCE，
则tan∠HFE=tan∠GCE=2，
∵HF⊥CE，
∴HE=CE=，
∴HF==，
∵PT⊥CE，MH⊥CE，CE∥OA，
∴四边形TPMH为矩形，
∴TP=HM=HF+FM=+3，
∵∠PCT=∠GCE，∠CGE=∠CTP=90°，
∴△CEG∽△CPT，
∴，
∴CP=，
∴OP=PD=CD-CP=，
∴P（，0）
综上所述：满足条件的点P为：点或(，0)或(，0)
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；圆的综合题；相似三角形的判定与性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）由求出A的坐标，即得OA的长，由可得CD=OA=8.
（2）连接CO，DA，可证△COP≌△ADP（AAS），可得PO=PD.
（3）分三种情况：①当CE=CD，②当CD=ED，③当EC=ED时，据此分别画图并解答即可.
19．（2022·苍南模拟）如图，直线分别交x轴、y轴于点A，B，以A为圆心，为半径作半圆，交半圆弧于点C，弦轴，交y轴正半轴于点E，连结.
（1）求的半径长及直线的函数表达式.
（2）求的值.
（3）P为x轴上一点.
①当平行于四边形的一边时，求出所有符合条件的的长.
②若直线恰好平分五边形的面积，求点P的横坐标.（直接写出答案即可）
【答案】（1）解：如图，过点作轴，
分别交x轴、y轴于点A，B，
令，则，
令，则，
，
，
又，
设过点的直线为，则
解得
直线的解析式为
（2）解：如图，连接，过点作轴，
，
是等腰直角三角形
是等腰直角三角形
在中，
（3）解：①
由（2）可知
i)当时，
，
令，得
当时，
i i)当时，
设，过点
解得
令，得
i i i)当时，
设直线的解析式为
令，得，
综上所述，的长为：
②
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；一次函数图象与坐标轴交点问题；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】(3)②如图，设与，分别交于，过点作轴，
平分五边形，
，
设
①
由①可知，
②
联立①②得
解得
设直线解析式为
令，得
【分析】（1）过点C作CF⊥x轴，易得A（1，0），B（0，3），求出OA、OB、AB的值，根据同角的余角相等可得∠OBA=∠FAC，证明△OAB≌△FCA，得到CF=OA=1，AF=OB=3，则C（4，1），然后利用待定系数法就可求出直线BC的解析式；
（2）连接AD，过点D作DG⊥x轴，易得D（-2，1），推出△DEB、△ABC是等腰直角三角形，得到∠ABD=∠EBC，然后根据三角函数的概念进行计算；
（3）①利用三角函数的概念求出tan∠EOD的值，推出BC∥DO，当PC∥OD时，求出直线BC的解析式，进而可得点P、A的坐标，求出PA的值；当PC∥BD时，求出直线BD、PC的解析式，得到点P的坐标，据此可得PA的值；当PC∥AB时，求出直线PC的解析式，同理可得AP的值；
②设EP与BC，DO分别交于M、N，过点M作MS⊥x轴，根据三角形的面积公式以及面积间的和差关系可得五边形ACBDO的面积，然后求出四边形BDNM、△BEC的面积，设S1=S△BEM，S2=S△EMC，则S1+S2=4，证明△EMC∽△END，根据相似三角形的性质可得S2+S1=，求出S1，得到MS，根据三角函数的概念求出BS，然后求出OS，得到点M的坐标，利用待定系数法求出直线EP的解析式，据此可得点P的坐标.
1 / 1圆与一次函数—北师大版数学九（下）知识点训练
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（2024九上·拱墅月考）已知，，三点可以确定一个圆，则以下点坐标不满足要求的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023九下·沭阳月考）在平面直角坐标系中，以为圆心，为半径作圆，M为上一点，若点N的坐标为，则线段的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024九上·栾城期末）如图，直线与圆心在原点，半径为的圆有公共点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·播州模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于，两点，圆心在轴上的经过，两点，则的半径为（ ）
A．1 B． C．2 D．
5．（2024九上·绵阳期末）如图，的圆心M在一次函数位于第一象限中的图象上，与y轴交于C、D两点，若与x轴相切，且，则半径是（ ）
A．或5 B．5或6 C．或6 D．5
6．（2020九上·南昌期末）如图，直线y＝ x＋ 与x轴、y轴分别相交于A、B两点，圆心P的坐标为（1，0），⊙P与y轴相切于点O．若将⊙P沿x轴向左移动，当⊙P与该直线相交时，满足横坐标为整数的点P的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（2023·姜堰模拟）在平面直角坐标系中，点A在直线l上，以A为圆心，为半径的圆与y轴的另一个交点为E，给出如下定义：若线段，和直线l上分别存在点B，点C和点D，使得四边形是矩形（点顺时针排列），则称矩形为直线l的“理想矩形”.例如，右图中的矩形为直线l的“理想矩形”.若点，则直线的“理想矩形”的面积为（ ）
A．12 B． C． D．
8．（2023·乐山）如图5，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，C、D是半径为1的上两动点，且，P为弦CD的中点．当C、D两点在圆上运动时，面积的最大值是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
二、填空题（每题3分，共18分）
9．在平面直角坐标系中，为坐标原点，则直线与以点为圆心，1为半径的圆的位置关系为
10．（2023九上·路桥月考）如图，是以原点为圆心，半径为的圆，点是直线上的一点，过点作的一条切线，为切点，则的最小值为 ．
11．（2024九下·岳阳开学考）如图，直线，点坐标为（1，0），过点作轴的垂线交直线于点，以原点为圆心， 长为半径画弧交轴于点；再过点作轴的垂线交直线于点，以原点为圆心，长为半径画弧交轴于点；…，按此做法进行下去，点的坐标为 .
12．（2024·拱墅模拟）在直角坐标系xOy中，对于直线l：y＝kx+b，给出如下定义：若直线l与某个圆相交，则两个交点之间的距离称为直线l关于该圆的“圆截距”．如图，点M的坐标为（﹣1，0），若⊙M的半径为2，当k的取值在实数范围内变化时，直线l关于⊙M的“圆截距”的最小值为，则b的值为 ．
13．（2023九上·阿城期中）如图，已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P是以为圆心，1为半径的圆上一动点，连接．则面积的最大值与最小值的差为 ．
14．（2022·德州模拟）如图，圆心都在x轴正半轴上的半圆O1，半圆O2，…，半圆On与直线y=x相切．设半圆O1，半圆O2，…，半圆On的半径分别是r1，r2， ，rn，则当r1=1时，r2022= ．
三、综合题（共5题，共58分）
15．如图，在平面直角坐标系中，以原点О为圆心，3为半径作圆，直线y=mx-m+2与О相交于A，B两点，求弦AB的最小长度.
16．一次函数的图象与轴的负半轴相交于点.与轴的正半轴相交丁点.且的外接圆的圆心的横坐标为-3.求：
（1）一次函数的表达式.
（2）图中阴影部分的面积.
17．（2023·光明模拟）圆周角定理：圆周角的度数等于它所对的弧上的圆心角度数的一半．下面根据圆周角定理进行探究．
（1）如图1，是的弦，点C是上一点，连接，过点O作于点D，连接，，求的大小．
（2）在平面直角坐标系中，已知点，．
（ⅰ）如图2，点P为直线上的一个动点．请从：①；②；③中任选一个，求出相应的P点坐标；
（ⅱ）如图3，点M为直线上的一个动点，连接．当最大时，求出此时的面积．
18．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A，B，以AB为直径构造圆，点C在上运动，点D在上，CD交OA于点P，且
（1）求CD的长.
（2）求证：OP=PD.
（3）若CE∥OA，交圆于另一点E，连结DE，当△CDE为等腰三角形时，求所有满足条件的点P的坐标。
19．（2022·苍南模拟）如图，直线分别交x轴、y轴于点A，B，以A为圆心，为半径作半圆，交半圆弧于点C，弦轴，交y轴正半轴于点E，连结.
（1）求的半径长及直线的函数表达式.
（2）求的值.
（3）P为x轴上一点.
①当平行于四边形的一边时，求出所有符合条件的的长.
②若直线恰好平分五边形的面积，求点P的横坐标.（直接写出答案即可）
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；确定圆的条件
【解析】【解答】解：设直线的解析式为，
∵M（1，2），N（3，-3），
，
解得：，
，
A、当时，，∴不在直线上，根据不在同一直线三点确定一个圆得与，可以确定一个圆，此选项不符合题意；
B、当时，，∴（-3，5）不在直线MN上，根据不在同一直线三点确定一个圆得（-3，5）与，可以确定一个圆，此选项不符合题意；
C、当时，，∴在直线上，根据不在同一直线三点确定一个圆得（-1，7）与，不能确定一个圆，此选项符合题意；
D、当时，，∴（1，-3）不在直线MN上，根据不在同一直线三点确定一个圆得（1，-3）与，可以确定一个圆，此选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】由题意，用待定系数法求出直线的解析式，再把各选项中的点的横坐标代入函数解析式计算求出对应的纵坐标，与已知的纵坐标比较可判断点是否在直线MN上，然后根据不在同一直线上的三点能确定一个圆即可判断求解．
2．【答案】D
【知识点】一次函数的图象；垂线段最短及其应用；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：点的坐标为，
点为直线上任意一点，如下图所示：
直线为函数的图象，则为直线上一点，为上一点，
由图象可知：过点作垂线，当、分别是垂线与、的交点时，的长度最大，
此时：，
把代入得：，
把代入得：，解得：，
∴，，
，
，
，
，
此时，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据点N的坐标可得点N为直线y=2x+4上任意一点，由图象可知：过点P作AB的垂线，当M、N分别是垂线与AB、⊙P的交点时，MN的长度最大，易得点A、B的坐标，求出AB的值，根据三角函数的概念可得NP，然后利用MN=PN+MP进行计算.
3．【答案】C
【知识点】勾股定理；直线与圆的位置关系；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：过原点作交于点C，
直线与坐标轴的交点为A、B两点，
令解得，故A点坐标为：
令解得，故B点坐标为：
故直线到坐标原点的距离为：，
直线与圆有公共点，
故；
故答案为：C．
【分析】过原点作交于点C，求出与坐标轴交点坐标，再根据勾股定理可得AB，再根据三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
4．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；圆的相关概念；一次函数图象与坐标轴交点问题；直角三角形的性质
【解析】【解答】解题过程如下：
连接PB
则PB为圆P的半径.
∵ 直线与坐标轴交于，两点，
∴ 令x=0，得y=，则B（），
令y=0，得x=3，则A（3，0）
∴ OB=，OA=3
∴ AB=
∴ ∠OAB=30°
∵ PA=PB
∴ ∠PBA=30°
∴ ∠OBP=30°
∴ OP=
∴+PB=OA=3
∴ PB=2
故答案为：C
【分析】本题考查圆的基础知识、求半径和一次函数与坐标轴的交点问题。
根据一次函数与坐标轴的交点，得到线段的长，求出角度，可知半径的数量关系，列式求解即可。
5．【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理；切线的性质；一次函数的性质
【解析】【解答】解：如图所示：设 与x轴相切与点K，连接MK，MC，过点M作y轴的垂线交y轴与点H，
与x轴相切，
，
∠KOM=∠OHM=90°，
四边形OKMH是矩形，
M在一次函数的图象上，
设点M的坐标为，
OK=MH=a，CM=MK=，
CM=MH，
，
在中，，
即，
解得：a=5或，
MK=6或MK=.
故答案为：C.
【分析】设 与x轴相切与点K，连接MK，MC，过点M作y轴的垂线交y轴与点H，先证四边形OKMH是矩形，设点M的坐标为，利用等腰三角形的性质及矩形的性质分别表示出CM、CH、MH的长，再利用勾股定理求出a的值，进而得到圆的半径.
6．【答案】A
【知识点】一次函数的图象；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：根据直线与坐标轴的交点，得出A，B的坐标，再利用三角形相似得出圆与直线相切时的坐标，进而得出相交时的坐标．
∵直线y＝ x＋ 与x轴、y轴分别相交于A、B两点，圆心P的坐标为（1，0），
∴A点的坐标为0＝ x＋
x=-3，A（-3，0），
B点的坐标为：（0， ），
∴AB=2
将圆P沿x轴向左移动，当圆P与该直线相切于C1时，P1C1=1，
根据△AP1C1∽△ABO，
∴AP1=2，
∴P1的坐标为：（-1，0），
将圆P沿x轴向左移动，当圆P与该直线相切于C2时，P2C2=1，
根据△AP2C2∽△ABO，
∴AP2=2，
P2的坐标为：（-5，0），
从-1到-5，整数点有-2，-3，-4，故横坐标为整数的点P的个数是3个．
故答案为：A．
【分析】先求出函数与x轴、y轴的交点坐标，进一步求出函数与x轴的夹角，计算出 ⊙P 与AB相切时点P的坐标，判断出P的横坐标的取值范围.
7．【答案】B
【知识点】一次函数的图象；勾股定理；矩形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：过点作轴于点，连接、，如图.
点的坐标为，
，，.
点在直线上，
，
解得.
设直线与轴相交于点，
当时，，点，，
，
，.
在中，.
在中，.
所求“理想矩形” 面积为；
故答案为：B.
【分析】过点作轴于点，连接、，由点A坐标可求出AC=AO=5，AF=3，OF=4，将点代入中求出k=1，即得y=x+1，可得G（0，1），△FGA为等腰直角三角形，可得∠FGA=45°，AG=3，利用解直角三角形求出AB的长，再利用勾股定理求出BC，根据矩形的面积公式计算即可.
8．【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：当x=0时，y=-2，
当y=0时，x=-2，
∴B（0，-2），A（-2，0），
∴BO=AO=2，
∴由勾股定理得，
∴AB为定值，
∴要使△BAP的面积最大，即使以AB为底的高达到最大，
故当PO的延长线刚好与AB垂直时，此时EP即为最大，连接OD，如图所示：
∵，的半径为1，
∴，
∴由勾股定理得，
∵BA⊥EO，
∴，
∴，
∴，
故答案为：D
【分析】先运用一次函数与坐标轴的交点坐标得到OA和BO的长，再运用勾股定理即可求出AB为定值，进而得到要使△BAP的面积最大，即使以AB为底的高达到最大，当PO的延长线刚好与AB垂直时，此时EP即为最大，连接OD，再根据勾股定理结合题意即可得到PE的长，进而运用三角形的面积即可求解。
9．【答案】相切
【知识点】切线的判定；一次函数图象与坐标轴交点问题；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，作，
交坐标轴于点A、B，
，
，
，
，
，
，
直线与圆相切.
故答案为：相切.
【分析】利用一次函数的性质求得点A、B坐标，进而得到是等腰直角三角形，再通过等腰直角三角形的性质求得点O到AB的距离，即可判定直线与圆相切.
10．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理的应用；直线与圆的位置关系；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：∵ 为 的切线，
∴，
又∵ 圆的半径为，
∴OQ=2，
∴，
则欲求的最小值 ，只需求的最小值；
又∵为直角三角形，
∴，即，
∴当OP最小时，PQ最小；
由题意，当时，OP最小；
根据直线，可得OB=6，OA=6；
由勾股定理可得，
当时，，
即，
解得，
此时由，可得，解
∴；
故答案为：.
【分析】根据可将 的最小值转化为求的最小值，根据勾股定理和等面积法求的最小值即可.
11．【答案】
【知识点】探索图形规律；与一次函数相关的规律问题
【解析】【解答】解：因为直线，点坐标为（1，0），过点作轴的垂线交直线于点，
所以点的坐标为（1，），
因为以原点为圆心，长为半径画弧x轴于点，，
所以，
所以点的坐标为（2，0），
所以的坐标为（2，），
同理：点的坐标为（4，0），
以此类推可得出点的坐标为（，0）.
所以点的坐标为，
故答案为：.
【分析】先利用勾股定理求出可得点的坐标为（2，0），的坐标为（2，），再求出规律点的坐标为（，0），最后将n=2020带入计算即可.
12．【答案】±1
【知识点】垂径定理；直线与圆的位置关系；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：如图所示，设直线l与交于B、C，与y轴交于D，过点M作于E，连接MB，
，
在中，由勾股定理得，
当ME最大时，BE最小，即此时BC最小，
，
当点E与点D重合时，ME最大，即此时BC最小，
直线l关于的“圆截距”的最小值为，即，
，
，
，
，
解得．
故答案为：．
【分析】如图所示，设直线l与交于B、C，与y轴交于D，过点M作于E，连接MB，先证明当点E与点D重合时，ME最大，即此时BC最小，再由，求出，可得，解得．
13．【答案】5
【知识点】点与圆的位置关系；一次函数图象与坐标轴交点问题；圆-动点问题
【解析】【解答】解：∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点 ，∴点A(4，0)，点B（0，-3），则设点P到直线的距离为d，则的面积：设点C到直线AB的距离为根据圆性质可得d的最大值为最小值为则面积的最大值与最小值的差为
故答案为：5.
【分析】本题主要直线的坐标轴的交点，圆上的点到直线的距离，根据题意可得设点P到直线的距离为d，则的面积：可得的面积最大小是由d决定的，设点C到直线AB的距离为根据圆性质可得d的最大值为最小值为从而可得则面积的最大值与最小值的差.
14．【答案】32021
【知识点】与一次函数相关的规律问题
【解析】【解答】解：过点O1作O1H1⊥l于H1，过点O2作O2H2⊥l于H2，过点O3作O3H3⊥l于H3，如图，
∵半圆O1，半圆O2，…，半圆On与直线y=x相切，
∴O1H1=r1，O2H2=r2，O3H3=r3，
∵正比例函数的解析式为y=x，
∴直线l与x轴的正半轴的夹角为30°，
在Rt△H1OO1中，OO1=2O1H1=2r1=2，
在Rt△H2OO2中，OO2=2O2H2，即3+r2=2r2，解得r2=3，
在Rt△H3OO2中，OO3=2O3H3，即3+6+r3=2r3，解得r3=9，
∵r1=30，r2=31，r3=32，
∴r2022=32021．
故答案为：32021．
【分析】过点O1作O1H1⊥l于H1，过点O2作O2H2⊥l于H2，过点O3作O3H3⊥l于H3，先求出O1H1=r1，O2H2=r2，O3H3=r3，求解可得r1=30，r2=31，r3=32，再求出规律，最后求出r2022=32021即可。
15．【答案】解：如图，
∵直线y=mx-m+2必过点D（1，2），
∴最短的弦AB是过点D且与该圆直径垂直的弦，
∵点D的坐标是（1，2），
∴OD=，
∵⊙O的半径为3，
∴OA=3，
∴AD==2，
∴AB=2AD=4，
∴AB的长的最小值为4.
【知识点】勾股定理；垂径定理；一次函数中的动态几何问题
【解析】【分析】 根据题意得出直线y=mx-m+2必过点D（1，2），求出最短的弦AB是过点D且与该圆直径垂直的弦，求出OD的长，再利用勾股定理求出AD，从而得出AB的长，即可得出答案．
16．【答案】（1）解：
是的直径
点的横坐标为-3
解得
一次函数的解析式为
（2）解：如图，连接
，是的直径
，
，
，
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；圆周角定理；扇形面积的计算；直角三角形的性质
【解析】【分析】(1)由圆周角定理可得AB是的直径，再通过中点公式由点M的横坐标求得点A的坐标，接着利用角直角三角形得到OB的长度，进而求得点B坐标，然后利用待定系数法计算出k、b的值，从而得到一次函数解析式.
(2)利用直角三角形的性质求得扇形AMO的圆心角度数和半径长度，及的面积，再通过扇形面积计算公式求得扇形AMO的面积，然后用割补法得到阴影部分的面积.
17．【答案】（1）解：连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
（2）解：（ⅰ）当点P在x轴上方时，作的中垂线与x轴交于点C（如图），
设P，A，B三点所在圆的圆心为Q，易知点Q在直线上，设，
则，
∴，
①当时：，
即，，
∴，，
∵，
∴，
解得或者（舍去），
此时，
当点P在x轴下方时，由轴对称可知：，
综上所述，当时，或，
②当时：，
即，，
∴，，
∵，
∴，
解得或者（舍去），
此时，
当点P在x轴下方时，由轴对称可知：，
综上所述，当时，或，
③当时：，
即，，
∴，，
∵，
∴，
解得或者（舍去），
此时，
当点P在x轴下方时，由轴对称可知：，
综上所述，当时，或，
（ⅱ）
作线段的中垂线分别与x轴、直线交于点E、F（如图1），
设M、A、B三点所在圆的圆心为Q，半径为R，易知点Q在直线上，，
则有，
如图2，当与直线相切时，最大，
∴，此时为等腰直角三角形，
，
，
在中：，
解得：或（舍去），
∴，
∴，
即为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
【知识点】圆的综合题；一次函数中的动态几何问题；圆-动点问题
【解析】【分析】（1）连接OB，先求出，再求出即可；
（2）（ⅰ）分类讨论：当点P在x轴上方时，当点P在x轴下方时， 再分别求解即可；
（ⅱ）作线段的中垂线分别与x轴、直线交于点E、F，设M、A、B三点所在圆的圆心为Q，半径为R，易知点Q在直线上，，利用勾股定理求出或（舍去），再证出为等腰直角三角形，可得，再求出，最后利用三角形的面积公式求解即可。
18．【答案】（1）解：，
当y=0时，则，解得x=8，
∴A（8，0），
∴OA=8，
∵
∴CD=OA=8.
（2）证明：连接CO，DA，如图
∵
∴
∴CO=AD，
∵∠OAD=∠OCD，∠OPC=∠APD，
∴△COP≌△ADP（AAS）
∴PO=PD.
（3）解：（3）①当CE=CD，如图，连接BP，则CE=CD=OA=8，
∵CE∥OA，
∴四边形COAE为矩形，
∵∠AOB=90°，
∴点B、C重合，
设PD=OP=x，则BP=CP=8-x，
由可得B（0，6），则OB=6，
∵BO2+OP2=BP2，即62+x2=(8-x)2，解得x=，
∴P（，0）.
②当CD=ED，如图，设圆心F，连接DF并延长分别交OA、CE于点M、H，
∵DC=DE，
∴，
∴DH⊥CE，
∵CE∥OA，
∴DH⊥OA，
∴OM=AM，
∴FM=OB=3，OM=OA=4，
∵AB==10，且AB为直径，
∴DF=5，
∴MD=FD-FM=2，
设OP=PD=x，则PM=4-x，
在Rt△PMD中，由勾股定理得22+（4-x）2=x2，解得x=，
∴P（，0）.
③当EC=ED时，如图，设圆心F，作EG⊥CD，PT⊥CE，FM⊥OA，延长MF交CE于点H，连接CF，则CF=AB=5，
∵FG⊥CD，
∴CG=CD=4，E、F、G三点共线，
∴FG==3，
∴GE=GF+FE=3+5=8，
∴CE==，
∵FH⊥CE，EG⊥CD，
∴∠HFE+∠HEF=∠GCE+∠HEF，
∴∠HFE=∠GCE，
则tan∠HFE=tan∠GCE=2，
∵HF⊥CE，
∴HE=CE=，
∴HF==，
∵PT⊥CE，MH⊥CE，CE∥OA，
∴四边形TPMH为矩形，
∴TP=HM=HF+FM=+3，
∵∠PCT=∠GCE，∠CGE=∠CTP=90°，
∴△CEG∽△CPT，
∴，
∴CP=，
∴OP=PD=CD-CP=，
∴P（，0）
综上所述：满足条件的点P为：点或(，0)或(，0)
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；圆的综合题；相似三角形的判定与性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）由求出A的坐标，即得OA的长，由可得CD=OA=8.
（2）连接CO，DA，可证△COP≌△ADP（AAS），可得PO=PD.
（3）分三种情况：①当CE=CD，②当CD=ED，③当EC=ED时，据此分别画图并解答即可.
19．【答案】（1）解：如图，过点作轴，
分别交x轴、y轴于点A，B，
令，则，
令，则，
，
，
又，
设过点的直线为，则
解得
直线的解析式为
（2）解：如图，连接，过点作轴，
，
是等腰直角三角形
是等腰直角三角形
在中，
（3）解：①
由（2）可知
i)当时，
，
令，得
当时，
i i)当时，
设，过点
解得
令，得
i i i)当时，
设直线的解析式为
令，得，
综上所述，的长为：
②
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；一次函数图象与坐标轴交点问题；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】(3)②如图，设与，分别交于，过点作轴，
平分五边形，
，
设
①
由①可知，
②
联立①②得
解得
设直线解析式为
令，得
【分析】（1）过点C作CF⊥x轴，易得A（1，0），B（0，3），求出OA、OB、AB的值，根据同角的余角相等可得∠OBA=∠FAC，证明△OAB≌△FCA，得到CF=OA=1，AF=OB=3，则C（4，1），然后利用待定系数法就可求出直线BC的解析式；
（2）连接AD，过点D作DG⊥x轴，易得D（-2，1），推出△DEB、△ABC是等腰直角三角形，得到∠ABD=∠EBC，然后根据三角函数的概念进行计算；
（3）①利用三角函数的概念求出tan∠EOD的值，推出BC∥DO，当PC∥OD时，求出直线BC的解析式，进而可得点P、A的坐标，求出PA的值；当PC∥BD时，求出直线BD、PC的解析式，得到点P的坐标，据此可得PA的值；当PC∥AB时，求出直线PC的解析式，同理可得AP的值；
②设EP与BC，DO分别交于M、N，过点M作MS⊥x轴，根据三角形的面积公式以及面积间的和差关系可得五边形ACBDO的面积，然后求出四边形BDNM、△BEC的面积，设S1=S△BEM，S2=S△EMC，则S1+S2=4，证明△EMC∽△END，根据相似三角形的性质可得S2+S1=，求出S1，得到MS，根据三角函数的概念求出BS，然后求出OS，得到点M的坐标，利用待定系数法求出直线EP的解析式，据此可得点P的坐标.
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