【培优卷】北师大版（2024）七下 2.3 平行线的性质 同步练习
一、选择题
1．（2024七下·威县期中）已知题目：“直线a∥b，直线l⊥b，垂足为A，l交a于点B，点C在直线b上，且在直线l的左侧．在直线a上取一点D，连接CD，过点D作DE⊥CD，交直线l于点E．若∠BDE＝30°，求∠ACD的度数．”嘉嘉画出了如图所示的图形，并求出∠ACD＝60°，而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全”，下列判断正确的是（ ）
A．淇淇说得对，且∠ACD的另一个值是120°
B．淇淇说的不对，∠ACD就得60°
C．嘉嘉求的结果不对，∠ACD应得50°
D．两人都不对，∠ACD应有3个不同值
【答案】A
【知识点】余角；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：题目中没有D、C的相对位置，若D在直线l的右侧，则∠ACD也等于60°；但若D在C点左侧，则∠ACD=120°. 因此只有A选项正确.
故答案为：A.
【分析】本题考查平行的性质以及考虑问题的角度.
2．（2024七下·佛山期中）如图，，OE平分，OF平分，，，则下列结论：①；②；③；④；⑤.其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】垂线的概念；平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：由，可得，由平分可得，故①不正确，⑤正确；
由平分，平分，可得，故②正确；
OF平分， ∴，由可得，，∴，，∴，故③正确；
∵，∴，平分，∴
，故④正确．
故正确结论为②③④⑤
故答案为：D
【分析】由，可得，由平分可得，故①不正确，⑤正确；由平分，平分，可得，故②正确；
OF平分， 所以，由可得，，，故③正确；由，平分，所以，故④正确．
3． 如图， 平分 的反向延长线交 的平分线于点 ， 则 与 的数量关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念；平行公理的推论
【解析】【解答】解： 平分 平分 ，
过 作 ， 过 作 ， 则
即 ．
即 ．
故答案为：D
【分析】根据角平分线的定义可得，根据平行公理的推论可得，根据平行线的性质可得进而推出，根据，即可求得.
4．（2024七下·涪城期末）如图，已知直线，被直线所截，，是平面内任意一点点不在直线，，上，设，下列各式：，，，，可以表示的度数的有( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质的应用-求角度
【解析】【解答】解：
（1）当点D在AC的右边，AB上面时，如图所示，
∵CD∥AB
∴∠DCE＝∠EFB=β
又∵∠BAE＝α，
∴∠AEC=β-α
∴①正确
（2）当点E在在AC的右边，CD下面时，如图所示，
∵CD∥AB
∴∠BAE＝∠DFE=α
又∵∠DCE＝β，
∴∠AEC=α-β
∴②正确
（3）当点E在在AC的右边，AB与CD之间时，如图所示，
过点E，作EF∥AB
∵EF∥AB
∴EF∥AB∥CD
∵∠BAE＝α，∠DCE＝β，
∴∠AEF＝α，∠CEF＝β，
∠AEC=∠AEF+∠CEF=α+β
（4）当点D在AC的左边，AB上面时，如图所示，
∵CD∥AB
∴∠BAE＝∠DFE=α
又∵∠DCE＝β，
∴∠AEC=α-β
∴②正确
（5）当点D在AC的左边，CD正面时，如图所示，
∵CD∥AB
∴∠DCE＝∠EFB=β
又∵∠BAE＝α，
∴∠AEC=β-α
∴①正确
（6）当点D在AC的左边，AB与CD之间时，如图所示，
过点E，作EF∥AB
∵EF∥AB
∴EF∥AB∥CD
∵∠BAE＝α，∠DCE＝β，
∴∠AEF＝180°-α，∠CEF＝180°-β，
∠AEC=∠AEF+∠CEF=360°-α-β
∴④正确
∴①②④正确
故答案为：C．
【分析】根据题意，分6种情况，分别画出图形，过点E作AB的平行线，根据平行线的性质求解即可．
5．（2024七下·澄海期末）如图，AECF，∠ACF的平分线交AE于点B，G是CF上的一点，∠GBE的平分线交CF于点D，且BD⊥BC，下列结论：①BC平分∠ABG；②ACBG；③与∠DBE互余的角有2个；④若，则∠BDF=180° ，其中正确的是( )
A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】C
【知识点】角平分线的概念；平行线的判定与性质的应用-证明问题
【解析】【解答】解：∵CBD=90°，
∴∠ABC+∠EBD=90°，∠CBG+∠DBG=90°，
又∵∠DBG=∠EBD，
∴∠ABC=∠CBG，
∴BC平分∠ABG，故①正确；
∵AECF，
∴∠ABC=∠BCG，
∵BC平分∠ACF，
∴∠ACB=∠BCG，
∵∠ABC=∠CBG，
∴∠CBG=∠ACB，
∴ACBG，故②正确，
∵AECF，
∴∠DBE=∠BDG，
∵∠ABC=∠CBG=∠ACB=∠BCG，∠DBE=∠DBG=∠BDG
∴与∠DBE互余的角有∠ABC，∠GBC，∠ACB，∠GCB，有4个，
故③错误，
∵∠BDF=180°-∠BDG，∠BDG=90°-∠BCG=90°-∠ACB，
又∵∠ACB=×（180°-α）=90°-，
∴∠BDF=180°-[90°-（90°-）]=180°-，故④正确，
综上，正确的有①②④．
故答案为：C．
【分析】根据平行线的性质得出∠A和∠ACB的关系，再根据角平分线的性质找出图中相等的角，由等角的余角相等即可得出结论．
6．（2024七下·诸暨期末）如图，直线，现将一副直角三角尺按如下步骤及要求摆放于同一平面内：
步骤：将一块含的直角三角尺如图放置，使得点，落于直线上，直角顶点位于两平行线之间；
步骤：将另一块含的直角三角尺进行放置，使得点落于直线上点在点的右边，边经过点，满足；
根据以上步骤，的度数可以是选项中的哪三项( )
；；；；；．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的判定与性质的应用-三角尺问题
【解析】【解答】解：过点G作GH∥AB，如图所示，
∵AB∥CD，∴AB∥GH∥CD，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
过点G作GH∥AB，过点M作MK∥AB，如图所示，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴；
过点G作GK∥AB交PN于点K，如图所示，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：A
【分析】分三种情况讨论，结合平行线的性质，三角形内角和定理，即可求解．
二、填空题
7．（2024七下·修水期末）如图，已知直线，被直线所截，，点是平面内位于直线右侧的一个动点（点不在直线，上）．设，，在点的运动过程中，的度数可能是 ．（结果用含，的式子表示）
【答案】，或
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：①当点P在位于直线AB与CD之间
如图，过点P作MP∥AB
∴∠BGP=∠MPG=α
∵MP∥AB，AB//CD，
∴MP∥CD
∴∠MPH=∠DHP=β
∴∠P=∠MPH+∠MPG=α+β；
②当点P在直线AB的上方时
如图，过点P作PN∥AB
∴∠BGP=∠NPG=α
∵，PN∥AB
∴PN∥CD
∴∠DHP=∠NPH=β
∴∠P=∠NPH-∠NPG=β-α；
③当点P在直线CD的下方时
如图：过点P作PQ∥CD
∴∠DHP=∠HPQ=β
∵AB∥CD，PQ∥CD
∴AB∥PQ
∴∠BGP=∠GPQ=α
∴∠P=∠GPQ-∠HPQ=α-β.
故答案为：，或.
【分析】
根据点P的位置，可以得出三种情况：
①当点P在位于直线AB与CD之间时，过点过点P作MP∥AB，得出：CD∥AB∥PM，根据两直线平行，内错角相等得出：∠BGP=∠MPG=α，∠MPH=∠DHP=β，再根据∠P=∠MPH+∠MPG得出的度数
②当点P在位于直线AB上方时，过点P作PN∥AB，同理得：CD∥AB∥PN，根据两直线平行，内错角相等得出：∠BGP=∠NPG=α，∠DHP=∠NPH=β，再根据∠P=∠NPH-∠NPG得出的度数；
③当点P在直线CD的下方时，过点P作PQ∥CD，同理得出的度数.
8．（2024七下·遵义期末）如图，将长方形纸片依次折叠两次：第一次以为折痕，使点A落在上的点E处；第二次以为折痕，使点N与点E重合，点B落在点处.若，则的度数为 .
【答案】55°
【知识点】平行线的性质；平行线的判定与性质的应用-折叠问题
【解析】【解答】解：由将长方形纸片第一次折叠可得：
∵，
∴
∴20°+90°+2∠ENH=180°
∴∠ENH=35°
由第二次折叠可得：
，
∴=35°
在△HEN中，
即2∠EHG+35°+35°=180°
∴∠EHG=55°
故答案为：
【分析】根据折叠性质可得，，，利用平行线的性质，可得，结合三角形的内角和性质，得到，进而求得∠EHG=55°．
9．（2024七上·海曙期末）如图，在科学《光的反射》活动课中，小明同学将支架平面镜放置在水平桌面上，镜面的调节角，激光笔发出的光束射到平面镜上后，形成反射光束，发现，若激光笔与水平天花板（直线）的夹角，则与天花板所形成的角的度数可用含的代数式表示为 ．
【答案】或.
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，当点H在点P左侧时，过点G作，，，，，，依据反射定理可知，，，；当点H在点P右侧时，过点G作，如图所示，，，，依据反射定理可知，，，，，故答案为：或.
【分析】分两种情况：①当点H在点P左侧时，过点G作；②当点H在点P右侧时，过点G作，分别作图根据平行线的性质进行求解即可．
10．（2024七下·临平月考）图1是一款充电夹子式折叠台灯，图2为其平面示意图，该台灯放在水平的桌面MN上，AB，BC，CD为支架连杆，DE为台灯灯面，它们可绕连接点B，C，D旋转，已知，台灯长，在旋转接点B，C，D的过程中，点B，E之间的最大距离是 cm.若，则 度.
【答案】50；83
【知识点】两点之间线段最短；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴BC=CD=15cm，DE=AB=20cm.
∵由题意，可知各线段可围绕点D、C、B、A自由转动
又∵两点之间线段最短
∴当点E、D、C、B四点共线时，B、E之间的距离能取到最大值
∴最大距离=DE+DC+BC=20+15+15=50cm
故答案为50.
（2）如图所示，过点B作直线FG∥MN.
∵MN∥FG，MN∥DE
∴FG∥ED.
∴∠FBA=∠BAN=35°
∴∠CBF=∠CBA-∠FBA=7°
∴∠D=∠C-∠CBF=83°
故答案为：83.
【分析】（1）当点E、D、C、B四点共线时，B、E之间的距离能取到最大值，进而利用DE+DC+BC代入数据计算即可求解；
（2）过点B作直线FG∥MN.利用平行线的性质即可求解.
11．（2024七下·金溪期中）如图，直线，点E，F分别在直线，上，点P为直线与间一动点，连接，，且，的平分线与的平分线交于点Q，则的度数为 ．
【答案】或120°
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：分两种情况讨论：
①如图1，过点，分别作，，
，
．
，．
．
的平分线与的平分线交于点，
，．
，
，
同理可得；
②如图2，过点，分别作，，
，
．
，．
，
．
的平分线与的平分线交于点，
，．
．
，同①可得．
综上所述，的度数为或．
故答案为：或
【分析】分两种情况讨论，当点P，Q在EF同侧或异侧时，先画出图形，再利用角平分线的定义和平行线的性质，分别求解即可．
12．（2024七下·瑞金期中） 如图，直线上有两点、，分别引两条射线、，，，射线、分别绕点，点以度/秒和度/秒的速度同时顺时针转动，在射线转动一周的时间内，使得与平行所有满足条件的时间 ．
【答案】秒或秒
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：∵∠EAB=70°，∠DCF=60°，
∴∠BAC=110°，∠ACD=120°，
①当AB于CD在EF的两侧时，如图所示：
∴∠ACD=120°-（3t）°，∠BAC=110°-t°，
∵AB//CD，
∴∠ACD=∠BAC，
∴120°-（3t）°=110°-t°，
解得：t=5；
②当CD旋转到与AB都在EF的右侧时，如图所示：
∴∠DCF=360°-（3t）°-60°=300°-（3t）°，∠BAC=110°-t°，
∵AB//CD，
∴∠DCF=∠BAC，
∴300°-（3t）°=110°-t°，
解得：t=95；
③当CD旋转到与AB都在EF的左侧时，如图所示：
∴∠DCF=（3t）°-（180°-60°+180°）=（3t）°-300°，∠BAC=t°-110°，
∵AB//CD，
∴∠DCF=∠BAC，
∴（3t）°-300°=t°-110°，
解得：t=95，
∴此情况不存在，
综上所述，当时间t的值为5秒或95秒时，CD与AB平行，
故答案为：5秒或95秒.
【分析】分类讨论：①当AB于CD在EF的两侧时，②当CD旋转到与AB都在EF的右侧时，③当CD旋转到与AB都在EF的左侧时，再分别画出图形并利用平行线的性质列出方程求解即可.
13．（2024七下·庐江期中） 如图，，，垂足为A，交于点，点在射线上．
①若平分，则 ．
②若，在直线上取一点，连接，过点作，交直线于点，若，则 ．
【答案】；或
【知识点】垂线的概念；平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：①如图所示：
∵PQ//MN，l⊥MN，
∴∠ABP=∠BAM=90°，
∴∠PBC=∠PBA=45°，
∵PQ//MN，
∴∠PBC+∠BCM=180°，
∴∠BCM=135°；
故答案为：135°；
②分两种情况，
1)如图所示：
∵∠BDE=30°，CD⊥DE，
∴∠CDB=60°，
∵PQ//MN，
∴∠ACD+∠CDB=180°，
∴∠ACD=180°-60°=120°；
2)如图所示：
∵∠BDE=30°，CD⊥DE，
∴∠BDC=∠BDE+∠CDE=120°，
∵PQ//MN，
∴∠BDC+∠ACD=180°，
∴∠ACD=60°，
综上所述：∠ACD=60°或120°，
故答案为：60°或120°。
【分析】①根据题意求出∠ABP=∠BAM=90°，再根据平行线的性质求出∠ACD+∠CDB=180°，最后计算求解即可；
②分类讨论，先作图，再根据平行线的性质计算求解即可。
三、解答题
14．（2024八上·岳阳开学考）如图平分，平分，判断，是否平行，并说明理由．
（1）条件和结论互换，改成了：“如图，平分，平分，，则“
小明认为这个结论正确，你赞同他的想法吗？请说明理由．
（2）小明发现：若将其中一条角平分线改成的垂线，则“”这个结论不成立请帮小明完成探究：
如图，，平分，，是与的夹角，是与的夹角，
①若，求的度数；
②试说明：．
（3）如图若，，平分，请直接写出与的等量关系 ．
【答案】（1）解：平分，平分，，
，
．
赞同他的说法，理由如下：
，
，
平分，平分，
，
，
（2）解：，
，
，，
，
，
，
，
平分，
．
，
，
平分，
，
，
，
，
．
（3）
【知识点】角平分线的概念；平行线的判定与性质的应用-求角度
【解析】【解答】解：（3）结论：，
理由：∵AB∥CD，
∴∠BAC＋∠ACD＝180°，
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACD＝2∠2，
∵AP⊥AC，
∴∠PAC＝90°，
∴∠BAC＝∠PAC＋∠1＝90°＋∠1，
∴∠BAC＋∠ACD＝90°＋∠1＋2∠2＝180°，
∴∠1＋2∠2＝90°．
【分析】（1）先利用角平分线的定义可得∠BAC＝2∠1，∠ACD＝2∠2，再结合∠1＋∠2＝90°，可得∠BAC＋∠ACD＝180°，证出AB∥CD；若条件和结论互换，根据两直线平行，同旁内角互补可得∠BAC＋∠ACD＝180°，根据角平分线的定义得到的∠BAC＝2∠1，∠ACD＝2∠2，即可证明∠1＋∠2＝90°；
（2）①先求出∠ACD＝∠ACP ∠2，再根据两直线平行，同旁内角互补，求出∠BAC，最后利用角平分线的定义求出∠1的度数即可；
②根据AB∥CD，得到∠BAC＋∠ACD＝180°，再利用AP平分∠BAC得到∠BAC＝2∠1，结合∠ACD＝90° ∠2，即可得证；
（3）先根据AB∥CD，证出∠BAC＋∠ACD＝180°，再利用CP平分∠ACD得到∠ACD＝2∠2，结合∠BAC＝∠PAC＋∠1＝90°＋∠1，即可得证．
15．（2024七下·定南期末）【阅读理解】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”．与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”中，当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”这体现了转化思想．
（1）【建立模型】如图①②已知AB∥CD，点E在直线AB、CD之间，请分别写出∠AEC与∠BAE、∠DCE之间的关系，并对图②中的结论进行证明．
（2）【解决问题】如图是一盏可调节台灯，如图3为示意图．固定支撑杆AO⊥底座MN于点O，AB与BC是分别可绕点A和B旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线CD、CE组成的∠DCE＝45°始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线CD∥MN，CE∥BA，求∠BAO的度数．
（3）【拓展应用】如图（4），已知AB∥CD，BE和DF分别平分∠ABF和∠CDE，若2∠E﹣∠F＝75°，求∠CDE的度数．
【答案】（1）解：如图①，过E作直线EF∥AB，
而AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠A+∠AEF＝180°，∠C+∠CEF＝180°，
∴∠A+∠AEF+∠CEF+∠C＝360°，
即∠A+∠AEC+∠C＝360°；
如图②，过E作直线EF∥AB，
而AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠A＝∠AEF，∠C＝∠CEF，
∴∠A+∠C＝∠AEF+∠CEF＝∠AEC；
（2）解：如图③，延长DC，AB交于点Q，过A作AF∥CD，
而MN∥CD，
∴MN∥AF∥CD，
∴∠FAB＝∠Q，∠FAO+∠AOM＝180°，
∵∠DCE＝45°，AB∥CE，
∴∠DCE＝∠Q＝45°，
∴∠BAF＝45°，
∵AO⊥MN，
∴∠AOM＝90°，
∴∠FAO＝90°，
∴∠BAO＝45°+90°＝135°；
（3）解：如图④，
由（1）的结论可得：∠E＝∠ABE+∠CDE，∠F＝∠A B F+∠C D F，
∵BE和DF分别平分∠ABF和∠CDE，
∵2∠E﹣∠F＝75°，
∴2∠ABE+2∠CDE﹣∠ABF﹣∠CDF＝75°，
∴，
∴∠CDE＝50°；
【知识点】平行线的判定与性质的应用-求角度；平行线的判定与性质的应用-证明问题
【解析】【分析】（1）过E作直线EF∥AB，可得AB∥EF∥CD，再利用平行线的性质可得结论；
（2）延长DC，AB交于点Q，过A作AF∥CD，可得MN∥AF∥CD，根据平行线的性质可得∠FAB＝∠Q，∠FAO+∠AOM＝180°，由AB∥CE可得∠DCE＝∠Q＝45°，利用垂线的定义，结合角的和差即可求解；
（3）由（1）的结论可得∠E＝∠ABE+∠CDE，∠F＝∠A B F+∠C D F，根据平行线的定义，结合2∠E﹣∠F＝75°，即可求出∠CDE的度数．
1 / 1【培优卷】北师大版（2024）七下 2.3 平行线的性质 同步练习
一、选择题
1．（2024七下·威县期中）已知题目：“直线a∥b，直线l⊥b，垂足为A，l交a于点B，点C在直线b上，且在直线l的左侧．在直线a上取一点D，连接CD，过点D作DE⊥CD，交直线l于点E．若∠BDE＝30°，求∠ACD的度数．”嘉嘉画出了如图所示的图形，并求出∠ACD＝60°，而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全”，下列判断正确的是（ ）
A．淇淇说得对，且∠ACD的另一个值是120°
B．淇淇说的不对，∠ACD就得60°
C．嘉嘉求的结果不对，∠ACD应得50°
D．两人都不对，∠ACD应有3个不同值
2．（2024七下·佛山期中）如图，，OE平分，OF平分，，，则下列结论：①；②；③；④；⑤.其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3． 如图， 平分 的反向延长线交 的平分线于点 ， 则 与 的数量关系是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024七下·涪城期末）如图，已知直线，被直线所截，，是平面内任意一点点不在直线，，上，设，下列各式：，，，，可以表示的度数的有( )
A． B． C． D．
5．（2024七下·澄海期末）如图，AECF，∠ACF的平分线交AE于点B，G是CF上的一点，∠GBE的平分线交CF于点D，且BD⊥BC，下列结论：①BC平分∠ABG；②ACBG；③与∠DBE互余的角有2个；④若，则∠BDF=180° ，其中正确的是( )
A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③④
6．（2024七下·诸暨期末）如图，直线，现将一副直角三角尺按如下步骤及要求摆放于同一平面内：
步骤：将一块含的直角三角尺如图放置，使得点，落于直线上，直角顶点位于两平行线之间；
步骤：将另一块含的直角三角尺进行放置，使得点落于直线上点在点的右边，边经过点，满足；
根据以上步骤，的度数可以是选项中的哪三项( )
；；；；；．
A． B． C． D．
二、填空题
7．（2024七下·修水期末）如图，已知直线，被直线所截，，点是平面内位于直线右侧的一个动点（点不在直线，上）．设，，在点的运动过程中，的度数可能是 ．（结果用含，的式子表示）
8．（2024七下·遵义期末）如图，将长方形纸片依次折叠两次：第一次以为折痕，使点A落在上的点E处；第二次以为折痕，使点N与点E重合，点B落在点处.若，则的度数为 .
9．（2024七上·海曙期末）如图，在科学《光的反射》活动课中，小明同学将支架平面镜放置在水平桌面上，镜面的调节角，激光笔发出的光束射到平面镜上后，形成反射光束，发现，若激光笔与水平天花板（直线）的夹角，则与天花板所形成的角的度数可用含的代数式表示为 ．
10．（2024七下·临平月考）图1是一款充电夹子式折叠台灯，图2为其平面示意图，该台灯放在水平的桌面MN上，AB，BC，CD为支架连杆，DE为台灯灯面，它们可绕连接点B，C，D旋转，已知，台灯长，在旋转接点B，C，D的过程中，点B，E之间的最大距离是 cm.若，则 度.
11．（2024七下·金溪期中）如图，直线，点E，F分别在直线，上，点P为直线与间一动点，连接，，且，的平分线与的平分线交于点Q，则的度数为 ．
12．（2024七下·瑞金期中） 如图，直线上有两点、，分别引两条射线、，，，射线、分别绕点，点以度/秒和度/秒的速度同时顺时针转动，在射线转动一周的时间内，使得与平行所有满足条件的时间 ．
13．（2024七下·庐江期中） 如图，，，垂足为A，交于点，点在射线上．
①若平分，则 ．
②若，在直线上取一点，连接，过点作，交直线于点，若，则 ．
三、解答题
14．（2024八上·岳阳开学考）如图平分，平分，判断，是否平行，并说明理由．
（1）条件和结论互换，改成了：“如图，平分，平分，，则“
小明认为这个结论正确，你赞同他的想法吗？请说明理由．
（2）小明发现：若将其中一条角平分线改成的垂线，则“”这个结论不成立请帮小明完成探究：
如图，，平分，，是与的夹角，是与的夹角，
①若，求的度数；
②试说明：．
（3）如图若，，平分，请直接写出与的等量关系 ．
15．（2024七下·定南期末）【阅读理解】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”．与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”中，当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”这体现了转化思想．
（1）【建立模型】如图①②已知AB∥CD，点E在直线AB、CD之间，请分别写出∠AEC与∠BAE、∠DCE之间的关系，并对图②中的结论进行证明．
（2）【解决问题】如图是一盏可调节台灯，如图3为示意图．固定支撑杆AO⊥底座MN于点O，AB与BC是分别可绕点A和B旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线CD、CE组成的∠DCE＝45°始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线CD∥MN，CE∥BA，求∠BAO的度数．
（3）【拓展应用】如图（4），已知AB∥CD，BE和DF分别平分∠ABF和∠CDE，若2∠E﹣∠F＝75°，求∠CDE的度数．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】余角；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：题目中没有D、C的相对位置，若D在直线l的右侧，则∠ACD也等于60°；但若D在C点左侧，则∠ACD=120°. 因此只有A选项正确.
故答案为：A.
【分析】本题考查平行的性质以及考虑问题的角度.
2．【答案】D
【知识点】垂线的概念；平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：由，可得，由平分可得，故①不正确，⑤正确；
由平分，平分，可得，故②正确；
OF平分， ∴，由可得，，∴，，∴，故③正确；
∵，∴，平分，∴
，故④正确．
故正确结论为②③④⑤
故答案为：D
【分析】由，可得，由平分可得，故①不正确，⑤正确；由平分，平分，可得，故②正确；
OF平分， 所以，由可得，，，故③正确；由，平分，所以，故④正确．
3．【答案】D
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念；平行公理的推论
【解析】【解答】解： 平分 平分 ，
过 作 ， 过 作 ， 则
即 ．
即 ．
故答案为：D
【分析】根据角平分线的定义可得，根据平行公理的推论可得，根据平行线的性质可得进而推出，根据，即可求得.
4．【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质的应用-求角度
【解析】【解答】解：
（1）当点D在AC的右边，AB上面时，如图所示，
∵CD∥AB
∴∠DCE＝∠EFB=β
又∵∠BAE＝α，
∴∠AEC=β-α
∴①正确
（2）当点E在在AC的右边，CD下面时，如图所示，
∵CD∥AB
∴∠BAE＝∠DFE=α
又∵∠DCE＝β，
∴∠AEC=α-β
∴②正确
（3）当点E在在AC的右边，AB与CD之间时，如图所示，
过点E，作EF∥AB
∵EF∥AB
∴EF∥AB∥CD
∵∠BAE＝α，∠DCE＝β，
∴∠AEF＝α，∠CEF＝β，
∠AEC=∠AEF+∠CEF=α+β
（4）当点D在AC的左边，AB上面时，如图所示，
∵CD∥AB
∴∠BAE＝∠DFE=α
又∵∠DCE＝β，
∴∠AEC=α-β
∴②正确
（5）当点D在AC的左边，CD正面时，如图所示，
∵CD∥AB
∴∠DCE＝∠EFB=β
又∵∠BAE＝α，
∴∠AEC=β-α
∴①正确
（6）当点D在AC的左边，AB与CD之间时，如图所示，
过点E，作EF∥AB
∵EF∥AB
∴EF∥AB∥CD
∵∠BAE＝α，∠DCE＝β，
∴∠AEF＝180°-α，∠CEF＝180°-β，
∠AEC=∠AEF+∠CEF=360°-α-β
∴④正确
∴①②④正确
故答案为：C．
【分析】根据题意，分6种情况，分别画出图形，过点E作AB的平行线，根据平行线的性质求解即可．
5．【答案】C
【知识点】角平分线的概念；平行线的判定与性质的应用-证明问题
【解析】【解答】解：∵CBD=90°，
∴∠ABC+∠EBD=90°，∠CBG+∠DBG=90°，
又∵∠DBG=∠EBD，
∴∠ABC=∠CBG，
∴BC平分∠ABG，故①正确；
∵AECF，
∴∠ABC=∠BCG，
∵BC平分∠ACF，
∴∠ACB=∠BCG，
∵∠ABC=∠CBG，
∴∠CBG=∠ACB，
∴ACBG，故②正确，
∵AECF，
∴∠DBE=∠BDG，
∵∠ABC=∠CBG=∠ACB=∠BCG，∠DBE=∠DBG=∠BDG
∴与∠DBE互余的角有∠ABC，∠GBC，∠ACB，∠GCB，有4个，
故③错误，
∵∠BDF=180°-∠BDG，∠BDG=90°-∠BCG=90°-∠ACB，
又∵∠ACB=×（180°-α）=90°-，
∴∠BDF=180°-[90°-（90°-）]=180°-，故④正确，
综上，正确的有①②④．
故答案为：C．
【分析】根据平行线的性质得出∠A和∠ACB的关系，再根据角平分线的性质找出图中相等的角，由等角的余角相等即可得出结论．
6．【答案】A
【知识点】平行线的判定与性质的应用-三角尺问题
【解析】【解答】解：过点G作GH∥AB，如图所示，
∵AB∥CD，∴AB∥GH∥CD，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
过点G作GH∥AB，过点M作MK∥AB，如图所示，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴；
过点G作GK∥AB交PN于点K，如图所示，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：A
【分析】分三种情况讨论，结合平行线的性质，三角形内角和定理，即可求解．
7．【答案】，或
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：①当点P在位于直线AB与CD之间
如图，过点P作MP∥AB
∴∠BGP=∠MPG=α
∵MP∥AB，AB//CD，
∴MP∥CD
∴∠MPH=∠DHP=β
∴∠P=∠MPH+∠MPG=α+β；
②当点P在直线AB的上方时
如图，过点P作PN∥AB
∴∠BGP=∠NPG=α
∵，PN∥AB
∴PN∥CD
∴∠DHP=∠NPH=β
∴∠P=∠NPH-∠NPG=β-α；
③当点P在直线CD的下方时
如图：过点P作PQ∥CD
∴∠DHP=∠HPQ=β
∵AB∥CD，PQ∥CD
∴AB∥PQ
∴∠BGP=∠GPQ=α
∴∠P=∠GPQ-∠HPQ=α-β.
故答案为：，或.
【分析】
根据点P的位置，可以得出三种情况：
①当点P在位于直线AB与CD之间时，过点过点P作MP∥AB，得出：CD∥AB∥PM，根据两直线平行，内错角相等得出：∠BGP=∠MPG=α，∠MPH=∠DHP=β，再根据∠P=∠MPH+∠MPG得出的度数
②当点P在位于直线AB上方时，过点P作PN∥AB，同理得：CD∥AB∥PN，根据两直线平行，内错角相等得出：∠BGP=∠NPG=α，∠DHP=∠NPH=β，再根据∠P=∠NPH-∠NPG得出的度数；
③当点P在直线CD的下方时，过点P作PQ∥CD，同理得出的度数.
8．【答案】55°
【知识点】平行线的性质；平行线的判定与性质的应用-折叠问题
【解析】【解答】解：由将长方形纸片第一次折叠可得：
∵，
∴
∴20°+90°+2∠ENH=180°
∴∠ENH=35°
由第二次折叠可得：
，
∴=35°
在△HEN中，
即2∠EHG+35°+35°=180°
∴∠EHG=55°
故答案为：
【分析】根据折叠性质可得，，，利用平行线的性质，可得，结合三角形的内角和性质，得到，进而求得∠EHG=55°．
9．【答案】或.
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，当点H在点P左侧时，过点G作，，，，，，依据反射定理可知，，，；当点H在点P右侧时，过点G作，如图所示，，，，依据反射定理可知，，，，，故答案为：或.
【分析】分两种情况：①当点H在点P左侧时，过点G作；②当点H在点P右侧时，过点G作，分别作图根据平行线的性质进行求解即可．
10．【答案】50；83
【知识点】两点之间线段最短；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴BC=CD=15cm，DE=AB=20cm.
∵由题意，可知各线段可围绕点D、C、B、A自由转动
又∵两点之间线段最短
∴当点E、D、C、B四点共线时，B、E之间的距离能取到最大值
∴最大距离=DE+DC+BC=20+15+15=50cm
故答案为50.
（2）如图所示，过点B作直线FG∥MN.
∵MN∥FG，MN∥DE
∴FG∥ED.
∴∠FBA=∠BAN=35°
∴∠CBF=∠CBA-∠FBA=7°
∴∠D=∠C-∠CBF=83°
故答案为：83.
【分析】（1）当点E、D、C、B四点共线时，B、E之间的距离能取到最大值，进而利用DE+DC+BC代入数据计算即可求解；
（2）过点B作直线FG∥MN.利用平行线的性质即可求解.
11．【答案】或120°
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：分两种情况讨论：
①如图1，过点，分别作，，
，
．
，．
．
的平分线与的平分线交于点，
，．
，
，
同理可得；
②如图2，过点，分别作，，
，
．
，．
，
．
的平分线与的平分线交于点，
，．
．
，同①可得．
综上所述，的度数为或．
故答案为：或
【分析】分两种情况讨论，当点P，Q在EF同侧或异侧时，先画出图形，再利用角平分线的定义和平行线的性质，分别求解即可．
12．【答案】秒或秒
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：∵∠EAB=70°，∠DCF=60°，
∴∠BAC=110°，∠ACD=120°，
①当AB于CD在EF的两侧时，如图所示：
∴∠ACD=120°-（3t）°，∠BAC=110°-t°，
∵AB//CD，
∴∠ACD=∠BAC，
∴120°-（3t）°=110°-t°，
解得：t=5；
②当CD旋转到与AB都在EF的右侧时，如图所示：
∴∠DCF=360°-（3t）°-60°=300°-（3t）°，∠BAC=110°-t°，
∵AB//CD，
∴∠DCF=∠BAC，
∴300°-（3t）°=110°-t°，
解得：t=95；
③当CD旋转到与AB都在EF的左侧时，如图所示：
∴∠DCF=（3t）°-（180°-60°+180°）=（3t）°-300°，∠BAC=t°-110°，
∵AB//CD，
∴∠DCF=∠BAC，
∴（3t）°-300°=t°-110°，
解得：t=95，
∴此情况不存在，
综上所述，当时间t的值为5秒或95秒时，CD与AB平行，
故答案为：5秒或95秒.
【分析】分类讨论：①当AB于CD在EF的两侧时，②当CD旋转到与AB都在EF的右侧时，③当CD旋转到与AB都在EF的左侧时，再分别画出图形并利用平行线的性质列出方程求解即可.
13．【答案】；或
【知识点】垂线的概念；平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：①如图所示：
∵PQ//MN，l⊥MN，
∴∠ABP=∠BAM=90°，
∴∠PBC=∠PBA=45°，
∵PQ//MN，
∴∠PBC+∠BCM=180°，
∴∠BCM=135°；
故答案为：135°；
②分两种情况，
1)如图所示：
∵∠BDE=30°，CD⊥DE，
∴∠CDB=60°，
∵PQ//MN，
∴∠ACD+∠CDB=180°，
∴∠ACD=180°-60°=120°；
2)如图所示：
∵∠BDE=30°，CD⊥DE，
∴∠BDC=∠BDE+∠CDE=120°，
∵PQ//MN，
∴∠BDC+∠ACD=180°，
∴∠ACD=60°，
综上所述：∠ACD=60°或120°，
故答案为：60°或120°。
【分析】①根据题意求出∠ABP=∠BAM=90°，再根据平行线的性质求出∠ACD+∠CDB=180°，最后计算求解即可；
②分类讨论，先作图，再根据平行线的性质计算求解即可。
14．【答案】（1）解：平分，平分，，
，
．
赞同他的说法，理由如下：
，
，
平分，平分，
，
，
（2）解：，
，
，，
，
，
，
，
平分，
．
，
，
平分，
，
，
，
，
．
（3）
【知识点】角平分线的概念；平行线的判定与性质的应用-求角度
【解析】【解答】解：（3）结论：，
理由：∵AB∥CD，
∴∠BAC＋∠ACD＝180°，
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACD＝2∠2，
∵AP⊥AC，
∴∠PAC＝90°，
∴∠BAC＝∠PAC＋∠1＝90°＋∠1，
∴∠BAC＋∠ACD＝90°＋∠1＋2∠2＝180°，
∴∠1＋2∠2＝90°．
【分析】（1）先利用角平分线的定义可得∠BAC＝2∠1，∠ACD＝2∠2，再结合∠1＋∠2＝90°，可得∠BAC＋∠ACD＝180°，证出AB∥CD；若条件和结论互换，根据两直线平行，同旁内角互补可得∠BAC＋∠ACD＝180°，根据角平分线的定义得到的∠BAC＝2∠1，∠ACD＝2∠2，即可证明∠1＋∠2＝90°；
（2）①先求出∠ACD＝∠ACP ∠2，再根据两直线平行，同旁内角互补，求出∠BAC，最后利用角平分线的定义求出∠1的度数即可；
②根据AB∥CD，得到∠BAC＋∠ACD＝180°，再利用AP平分∠BAC得到∠BAC＝2∠1，结合∠ACD＝90° ∠2，即可得证；
（3）先根据AB∥CD，证出∠BAC＋∠ACD＝180°，再利用CP平分∠ACD得到∠ACD＝2∠2，结合∠BAC＝∠PAC＋∠1＝90°＋∠1，即可得证．
15．【答案】（1）解：如图①，过E作直线EF∥AB，
而AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠A+∠AEF＝180°，∠C+∠CEF＝180°，
∴∠A+∠AEF+∠CEF+∠C＝360°，
即∠A+∠AEC+∠C＝360°；
如图②，过E作直线EF∥AB，
而AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠A＝∠AEF，∠C＝∠CEF，
∴∠A+∠C＝∠AEF+∠CEF＝∠AEC；
（2）解：如图③，延长DC，AB交于点Q，过A作AF∥CD，
而MN∥CD，
∴MN∥AF∥CD，
∴∠FAB＝∠Q，∠FAO+∠AOM＝180°，
∵∠DCE＝45°，AB∥CE，
∴∠DCE＝∠Q＝45°，
∴∠BAF＝45°，
∵AO⊥MN，
∴∠AOM＝90°，
∴∠FAO＝90°，
∴∠BAO＝45°+90°＝135°；
（3）解：如图④，
由（1）的结论可得：∠E＝∠ABE+∠CDE，∠F＝∠A B F+∠C D F，
∵BE和DF分别平分∠ABF和∠CDE，
∵2∠E﹣∠F＝75°，
∴2∠ABE+2∠CDE﹣∠ABF﹣∠CDF＝75°，
∴，
∴∠CDE＝50°；
【知识点】平行线的判定与性质的应用-求角度；平行线的判定与性质的应用-证明问题
【解析】【分析】（1）过E作直线EF∥AB，可得AB∥EF∥CD，再利用平行线的性质可得结论；
（2）延长DC，AB交于点Q，过A作AF∥CD，可得MN∥AF∥CD，根据平行线的性质可得∠FAB＝∠Q，∠FAO+∠AOM＝180°，由AB∥CE可得∠DCE＝∠Q＝45°，利用垂线的定义，结合角的和差即可求解；
（3）由（1）的结论可得∠E＝∠ABE+∠CDE，∠F＝∠A B F+∠C D F，根据平行线的定义，结合2∠E﹣∠F＝75°，即可求出∠CDE的度数．
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