(共61张PPT)
第三章 一元函数的导数及其应用
第1节 导数的概念及运算
1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.
2.通过函数图象，理解导数的几何意义.
3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(形如f(ax＋b))的导数.
目 录
CONTENTS
知识诊断自测
01
考点聚焦突破
02
课时分层精练
03
知识诊断自测
1
ZHISHIZHENDUANZICE
1.导数的概念
f′(x0)
y′|x＝x0.
2.导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的______，相应的切线方程为______________________.
斜率
y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)
3.基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝____
f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0) f′(x)＝____________
f(x)＝sin x f′(x)＝______________
f(x)＝cos x f′(x)＝________________
f(x)＝ax(a＞0，且a≠1) f′(x)＝________________
0
αxα－1
cos x
－sin x
axln a
基本初等函数 导函数
f(x)＝ex f′(x)＝______
f(x)＝logax(a＞0，且a≠1) f′(x)＝ _______
f(x)＝ln x f′(x)＝_______
ex
4.导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有：
(1)[f(x)±g(x)]′＝____________；
(2)[f(x)g(x)]′＝____________________；
f′(x)±g′(x)
f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
(4)[cf(x)]′＝_____.
cf′(x)
5.复合函数的定义及其导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝_________，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
yu′·ux′
1.可导奇函数的导数是偶函数，可导偶函数的导数是奇函数，可导周期函数的导数还是周期函数.
2.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.并注意“在点P处的切线”,说明点P为切点，点P既在曲线上，又在切线上；“过点P处的切线”，说明点P不一定是切点，点P一定在切线上，但不一定在曲线上.
3.函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，|f′(x)|的大小反映了f(x)图象变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.
常用结论与微点提醒
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的瞬时变化率.( )
(2)函数f(x)＝sin(－x)的导数f′(x)＝cos x.( )
(3)求f′(x0)时，可先求f(x0)，再求f′(x0).( )
(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( )
√
解析 (2)f(x)＝sin(－x)＝－sin x，则f′(x)＝－cos x，错误.
(3)求f′(x0)时，应先求f′(x)，再代入求值，错误.
(4)函数y＝x2与x＝0这条直线只有一个公共点，但它们相交，错误.
×
×
×
2.(多选)下列导数的运算中正确的是( )
ABD
4.(选修二P82T11改编)已知曲线y＝xex在点(1，e)处的切线与曲线y＝aln x＋2在点(1，2)处的切线平行，则a＝________.
2e
解析 由y＝xex，得y′＝ex(x＋1)，
所以该曲线在点(1，e)处的切线斜率为2e，
所以该曲线在点(1，2)处切线斜率为a.
因为两切线平行，
所以a＝2e.
考点聚焦突破
2
KAODIANJUJIAOTUPO
考点一 导数的概念
感悟提升
B
A
考点二 导数的运算
解 (1)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2xsin x＋x2cos x.
感悟提升
1.求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.
2.抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.
3.复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.
BC
解析 对于A，(log23)′＝0，故A错误；
对于C，(sin2x)′＝2sin xcos x＝sin 2x，故C正确；
(2)(2024·江西名校联考)已知f(x)＝ex－f′(0)x，则f(2)＝( )
A.e2－4 B.e2－2 C.e2－1 D.e2－e
C
考点三 导数的几何意义
C
y＝0(答案不唯一)
解析 由y＝x2(x＋1)＝x3＋x2，得y′＝3x2＋2x，
设切点坐标为(t，t2(t＋1))，
则过切点的切线方程为y－t2(t＋1)＝(3t2＋2t)(x－t)，
当t＝0时，切线方程为y＝0，当t＝1时，切线方程为y＝5x－3，
综上，直线l的方程为y＝0或5x－y－3＝0或15x＋125y－9＝0.
角度2 求切点坐标或参数
例4 (1)(2024·榆林模拟)已知函数f(x)＝aln x＋x2的图象在x＝1处的切线方程为3x－y＋b＝0，则a＋b＝( )
A.－2 B.－1 C.0 D.1
B
又f(x)的图象在x＝1处的切线方程为3x－y＋b＝0，
所以f′(1)＝a＋2＝3，解得a＝1，
则f(x)＝ln x＋x2，所以f(1)＝1，
将点(1，1)代入切线方程得3－1＋b＝0，
解得b＝－2，故a＋b＝－1.故选B.
(2)(2024·济南质检)设x0>1，曲线f(x)＝aln x－3x＋2a(a≠0)在点P(x0，0)处的切线经过点(0，2e)，则aln x0＝( )
A.0 B.1 C.e D.2e
C
解析 由题意得f(x0)＝0，
即aln x0－3x0＋2a＝0，①
将(0，2e)代入得2e＝－a＋3x0，②
联立①②解得a＝x0＝e，
故aln x0＝e.故选C.
(3)(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是____________________.
(－∞，－4)∪(0，＋∞)
解析 因为y＝(x＋a)ex，
所以y′＝(x＋a＋1)ex.
设切点为A(x0，(x0＋a)ex0)，O为坐标原点，
依题意得，切线斜率kOA＝y′|x＝x0＝(x0＋a＋1)ex0，
所以切线的方程为y－(x0＋a)ex0＝[ex0＋(x0＋a)ex0](x－x0)，
又切线过原点，
所以－(x0＋a)ex0＝[ex0＋(x0＋a)ex0](－x0)，
因为曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，
所以Δ＝a2＋4a>0，
解得a<－4或a>0.
感悟提升
求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点处”的切线方程的不同.过点处的切点坐标不知道，要设出切点坐标，根据：①斜率相等，②切点在切线上，③切点在曲线上建立方程(组)求解，求出切点坐标是解题的关键.
训练3 (1)函数f(x)＝ln x＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是( )
A.(－∞，2] B.(－∞，2) C.(2，＋∞) D.(0，＋∞)
B
解析 函数f(x)＝ln x＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，
所以a的取值范围是(－∞，2).
(2)(2024·南通质检)已知函数f(x)＝x3－2x2＋2x，则曲线y＝f(x)经过点A(1，1)的切线方程是________________________.
3x－4y＋1＝0或x－y＝0
解析 设切点为(t，t3－2t2＋2t)，
由题意知f′(x)＝3x2－4x＋2，所以切线的斜率k＝3t2－4t＋2，
所以切线方程为y－(t3－2t2＋2t)＝(3t2－4t＋2)(x－t).
因为切线过点A(1，1)，
所以1－(t3－2t2＋2t)＝(3t2－4t＋2)(1－t)，即(t－1)2(2t－1)＝0，
又切线过点A(1，1)，
得切线方程为3x－4y＋1＝0或x－y＝0.
微点突破 公切线问题
1.求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，直线与抛物线相切可用判别式法.
2.公切线条数的判断问题可转化为方程根的个数求解问题.
一、共切点的公切线问题
例1 已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝x2－m，g(x)＝6ln x－4x，设两曲线y＝f(x)与y＝g(x)在公共点处的切线相同，则m等于( )
A.－3 B.1 C.3 D.5
D
解析 依题意，设曲线y＝f(x)与y＝g(x)在公共点(x0，y0)处的切线相同.
∵f(x)＝x2－m，g(x)＝6ln x－4x，
∵x0>0，∴x0＝1，m＝5.
二、不共切点的公切线问题
例2 (2024·湖北名校联考)若直线x＋y＋m＝0是曲线f(x)＝x3＋nx－52与曲线g(x)＝x2－3ln x的公切线，则m－n＝( )
A.－30 B.－25 C.26 D.28
C
解析 设直线x＋y＋m＝0与曲线f(x)＝x3＋nx－52相切于点(a，－a－m)，与曲线g(x)＝x2－3ln x相切于点(b，－b－m)，b>0.
又两曲线的公切线斜率为－1，
所以1－3ln 1＝－1－m，
解得m＝－2.
由f(x)＝x3＋nx－52知f′(x)＝3x2＋n，
又两曲线的公切线斜率为－1，
则3a2＋n＝－1，
即n＝－3a2－1，
故a3－(3a2＋1)a－52＝－a＋2，
整理得a3＝－27，故a＝－3，
所以n＝－3a2－1＝－28，
故m－n＝26.故选C.
训练 (1)(2024·杭州模拟)已知函数f(x)＝ax2与g(x)＝ln x的图象在公共点处有共同
的切线，则实数a的值为________.
解析 设公共点为P(x0，y0)(x0＞0)，
由f(x)＝ax2，得f′(x)＝2ax，
因为函数f(x)与g(x)的图象在公共点P(x0，y0)处有共同的切线，
(2)若曲线C1：y＝ax2(a＞0)与曲线C2：y＝ex存在公共切线，则a的取值范围为
______________.
解析 由y＝ax2(a＞0)得y′＝2ax，
由y＝ex得y′＝ex.
与曲线C2切于点(x2，ex2)，
即y＝ex2x－(x2－1)ex2，
因为a＞0，所以x1＞0，
当x∈(0，2)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增.
课时分层精练
3
KESHIFENCENGJINGLIAN
BD
C中，(5x)′＝5xln 5，其余正确.
D
C
A
5.(多选)已知函数f(x)的图象如图，f′(x)是f(x)的导函数，则下列结论正确的是( )
A.f′(3)＞f′(2) B.f′(3)＜f′(2)
C.f(3)－f(2)＞f′(3) D.f(3)－f(2)＜f′(2)
BCD
解析 由图知f′(2)＞f′(3)＞0，故A错误，B正确.
D
解析 ∵f′(x)＝2sin αx＋2－sin α－3，
∴f′(1)＝2sin α＋2－sin α－3.
∵－1≤sin α≤1，∴2－1≤2sin α≤2，
易得f′(1)的最大值为2＋2－1－3<0，
7.(2024·大连模拟)若直线y＝2x是曲线y＝x(ex－a)的切线，则a＝( )
A.－e B.－1 C.1 D.e
B
解析 设切点坐标为(x0，x0(ex0－a))，
因为y＝x(ex－a)，
所以y′＝(ex－a)＋xex＝(1＋x)ex－a，
所以在切点处的切线的斜率为(1＋x0)ex0－a，
切线方程为y－x0(ex0－a)＝[(1＋x0)ex0－a](x－x0)，
8.(2024·丽水质检)设f(x)＝ex2，则f′(x)＝________，其在点(0，1)处的切线方程为________.
2xex2
y＝1
解析 因为f(x)＝ex2，
所以f′(x)＝(x2)′ex2＝2xex2，则f′(0)＝0.
故曲线y＝f(x)在点(0，1)处的切线方程为y＝1.
1
依题意，m＝f′(1)＝2－a.
又点P(1，f(1))在直线y＝mx＋m上，
所以f(1)＝1＋a＝2m，
因此1＋a＝2(2－a)，
解得a＝1.
10.已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________.
0
∵g(x)＝xf(x)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，
又由题意可知f(3)＝1，
11.已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.
(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
解 因为f′(x)＝3x2－8x＋5，
所以f′(2)＝1，
又f(2)＝－2，
所以曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－(－2)＝x－2，
即x－y－4＝0.
(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程.
整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，
解得x0＝2或x0＝1，
所以经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0或y＋2＝0.
12.已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R).
(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；
解 f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2).
解得b＝0，a＝－3或1.
(2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围.
解 因为曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，
所以关于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根，
所以Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)＞0，
13.(2024·丹东段测)设直线l与曲线f(x)＝2x3－x＋1相切于点M(x1，f(x1))，相交于另一点N(x2，f(x2))，则( )
A.x2＝－2x1 B.x2＝2x1 C.x2＝－2x1－1 D.x2＝2x1－1
A
解析 ∵f(x)＝2x3－x＋1，切点M(x1，f(x1))，∴f′(x)＝6x2－1，
∴x2＝－2x1，故选A.
14.已知f(x)＝ex，g(x)＝ln x＋2，直线l是f(x)与g(x)的公切线，求直线l的方程.
解 设直线l与f(x)＝ex的切点为(x1，y1)，
则y1＝ex1，f′(x)＝ex，
∴f′(x1)＝ex1，
∴切点为(x1，ex1)，切线斜率k＝ex1，
∴切线方程为y－ex1＝ex1(x－x1)，
即y＝ex1·x－x1ex1＋ex1，①
同理设直线l与g(x)＝ln x＋2的切点为(x2，y2)，
由题意知，①与②相同，
把③代入④有－x1ex1＋ex1＝－x1＋1，
即(1－x1)(ex1－1)＝0，解得x1＝1或x1＝0，
当x1＝1时，切线方程为y＝ex；当x1＝0时，切线方程为y＝x＋1，
综上，直线l的方程为y＝ex或y＝x＋1.(共54张PPT)
第三章 一元函数的导数及其应用
第4节 导数与函数的极值
1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.
2.会用导数求函数的极大值、极小值.
3.会利用极值求参数.
目 录
CONTENTS
知识诊断自测
01
考点聚焦突破
02
课时分层精练
03
知识诊断自测
1
ZHISHIZHENDUANZICE
1.函数的极小值
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧__________，右侧_________.则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.
f′(x)＜0
f′(x)＞0
2.函数的极大值
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧___________，右侧__________.则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.
3.极小值点、极大值点统称为________，极小值和极大值统称为______.
f′(x)＞0
f′(x)＜0
极值点
极值
1.对于可导函数f(x)，f′(x)＝0是f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件，例如，f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的极值点.
2.极值点不是点，而是一个实数，极大值与极小值没有必然联系，极小值可能比极大值还大.
常用结论与微点提醒
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数可能没有极值，也可能不止一个.( )
(2)单调函数没有极值.( )
(3)极值点出现在区间的内部，端点不能是极值点.( )
(4)极大值一定大于极小值.( )
√
√
√
×
2.如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为( )
A
解析 由题意知在x＝－1处f′(－1)＝0，且其两侧导数值符号左负右正.
A.1 B.2
C.3 D.4
3.函数f(x)＝x3－12x的极小值为________，极大值为________.
-16
16
解析 由题意可得f′(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2)，
令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝2.
则f′(x)，f(x)随x的变化情况如表所示.
x (－∞，－2) －2 (－2，2) 2 (2，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ? 极大值 ? 极小值 ?
所以函数f(x)在x＝－2处取得极大值16，函数f(x)在x＝2处取得极小值－16.
4.(选修二P104T9改编)函数f(x)＝x(x－c)2有极值，则实数c的取值范围是___________________.
(－∞，0)∪(0，＋∞)
解析 f′(x)＝(x－c)2＋2x(x－c)＝3x2－4cx＋c2.
由题意知f′(x)有变号零点，
∴Δ＝16c2－12c2＝4c2>0，
解得c≠0，
即c∈(－∞，0)∪(0，＋∞).
考点聚焦突破
2
KAODIANJUJIAOTUPO
考点一 根据函数图象判断极值
例1 设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )
A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)
D.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
D
解析 由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；
当－2
2时，f′(x)>0.
由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值.
感悟提升
由图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点：(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点；(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性.两者结合可得极值点.
训练1 函数f(x)的定义域为R，其导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)极值点的个数为________.
4
解析 如图所示，设导函数f′(x)的图象与x轴的交点从左到右分别为x1，x2，x3，x4，x5，由函数的极值的定义可知，在极值点处的左右两侧的导函数值符号相反，可得x1，x4为函数f(x)的极大值点，x2，x5为函数f(x)的极小值点，所以函数f(x)极值点的个数为4.
考点二 求已知函数的极值
ACD
解析 由题意得f′(x)＝e2x＋2xe2x－2x－1＝e2x(2x＋1)－(2x＋1)＝(2x＋1)(e2x－1),
(2)已知函数f(x)＝ln x＋2ax2＋2(a＋1)x(a≠0)，讨论函数f(x)的极值.
解 因为f(x)＝ln x＋2ax2＋2(a＋1)x，
所以f(x)的定义域为(0，＋∞)，
若a>0，则当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0恒成立，
故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，无极值.
感悟提升
运用导数求函数f(x)极值的一般步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)解方程f′(x)＝0，求出导函数在定义域内的所有根；(4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号；(5)求出极值.
1
当x＜0或x＞1时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；
当0＜x＜1时，f′(x)＞0，f(x)单调递增.
所以f(x)的极小值为f(0)＝1.
(2)已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R)，讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数.
当a≤0时，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，
则函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，此时函数f(x)在定义域上无极值点；
综上可知，当a≤0时，函数f(x)无极值点，
考点三 由函数的极值求参数
例3 (1)若x＝2是函数f(x)＝x2＋2(a－2)x－4aln x的极大值点，则实数a的取值范围是( )
A.(－∞，－2) B.(－2，＋∞) C.(2，＋∞) D.(－2，2)
A
①若a≥0，当x＞2时，f′(x)＞0，
当0＜x＜2时，f′(x)＜0，
所以当x＝2时，f(x)取得极小值，不满足题意，故舍去.
②若a＜－2，由f′(x)＞0可得0＜x＜2或x＞－a，
由f′(x)＜0可得2＜x＜－a，
所以当x＝2时，f(x)取得极大值，满足题意.
③若－2＜a＜0，由f′(x)＞0可得0＜x＜－a或x＞2，
由f′(x)＜0可得－a＜x＜2，
所以当x＝2时，f(x)取得极小值，不满足题意.
④若a＝－2，则f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，此时f(x)无极值.
综上，a＜－2满足条件，故选A.
(2)(2024·苏州质检)已知函数f(x)＝x(ln x－ax)在(0，＋∞)上有两个极值，则实数
a的取值范围为____________.
解析 f′(x)＝ln x＋1－2ax，
当0＜x＜1时，g′(x)＞0，g(x)单调递增；
当x＞1时，g′(x)＜0，g(x)单调递减，
所以g(x)的极大值为g(1)＝1，
又当x＞1时，g(x)＞0，
当x→＋∞时，g(x)→0，
当x→0时，g(x)→－∞，
感悟提升
1.已知函数极值确定函数解析式中的参数时，要根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解，求解后要检验.
2.判断极值点的个数，转化为导数的根的个数.
训练3 (1)(2024·南京六校联考)若函数f(x)＝x＋(x2－ax)ln x的极值点是1，则f′(2)＝( )
A.4ln 2＋1 B.2ln 2＋1 C.2ln 2 D.1
B
解析 因为f(x)＝x＋(x2－ax)ln x，
因为1是f(x)的极值点，
所以f′(1)＝(2－a)ln 1＋1－a＋1＝0，得a＝2.
经检验a＝2满足题意，
故f′(2)＝2ln 2＋1.
BCD
由f(x)既有极大值也有极小值，
可知关于x的方程ax2－bx－2c＝0有两个不等的正实根x1，x2，
所以b与a同号，c与a异号，故bc<0，所以A错误，BCD正确.
课时分层精练
3
KESHIFENCENGJINGLIAN
1.(多选)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，
则( )
A.－3是函数y＝f(x)的极值点
B.－1是函数y＝f(x)的极小值点
C.y＝f(x)在区间(－3，1)上单调递增
D.－2是函数y＝f(x)的极大值点
AC
解析 根据导函数的图象可知，
当x∈(－∞，－3)时，f′(x)<0，当x∈(－3，1)时，f′(x)≥0，
所以函数y＝f(x)在(－∞，－3)上单调递减，在(－3，1)上单调递增，
可知－3是函数y＝f(x)的极值点，所以A正确.
因为函数y＝f(x)在(－3，1)上单调递增，
可知－1不是函数y＝f(x)的极小值点，－2也不是函数y＝f(x)的极大值点，
所以B错误，C正确，D错误.
B
B
∵f(x)在x＝2处取得极小值，
∴f′(2)＝4a－2＝0，
∴f(x)在(0，1)，(2，＋∞)上单调递增，在(1，2)上单调递减，
C
得f′(x)＝x2＋2(a－1)x＋1.
根据题意得[2(a－1)]2－4≤0，
解得0≤a≤2.
5.(2024·成都诊断)若函数f(x)＝x(x＋a)2在x＝1处有极大值，则实数a的值为( )
A.1 B.－1或－3 C.－1 D.－3
D
解析 因为f(x)＝x(x＋a)2，
所以f′(x)＝(x＋a)2＋2x(x＋a)＝(x＋a)(3x＋a)，
由函数f(x)＝x(x＋a)2在x＝1处有极大值，
可得f′(1)＝(1＋a)(3＋a)＝0，
解得a＝－1或a＝－3，
当a＝－1时，f′(x)＝(x－1)(3x－1)，
当a＝－3时，f′(x)＝(x－3)(3x－3)，
当x∈(－∞，1)时，f′(x)>0，当x∈(1，3)时，f′(x)<0，
f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，3)上单调递减，
所以f(x)在x＝1处有极大值，符合题意.
综上，a＝－3.
D
解析 由图象可知f(x)的图象经过点(1，0)与(2，0)，x1，x2是f(x)的极值点，
∴1＋b＋c＝0，8＋4b＋2c＝0，解得b＝－3，c＝2，
∴f(x)＝x3－3x2＋2x，∴f′(x)＝3x2－6x＋2，
x1，x2是方程3x2－6x＋2＝0的两根，
AB
解析 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x＋1.
对于A，因为f(1)＝0，f′(1)＝1，
所以曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝x－1，故A正确；
当01时，f(x)>0，
所以方程f(x)＝1有且只有一个根，故D错误.
8.(2024·潍坊模拟)写出一个存在极值的奇函数f(x)＝____________________.
sin x(答案不唯一)
解析 正弦函数f(x)＝sin x为奇函数，且存在极值.
9.函数f(x)＝2x－xln x的极值是________.
e
解析 因为f′(x)＝2－(ln x＋1)＝1－ln x，
令f′(x)＞0，解得0＜x＜e；
令f′(x)＜0，解得x＞e，
所以x＝e时，f(x)取得极大值，f(x)极大值＝f(e)＝e.
10.(2024·厦门调研)已知函数f(x)＝xln x＋mex有两个极值点，则实数m的取值范
围是_____________.
解析 f′(x)＝ln x＋1＋mex(x＞0)，
∴h(x)在(0，＋∞)上单调递减且h(1)＝0，∴当x∈(0，1]时，h(x)≥0，
即g′(x)≥0，g(x)在(0，1]上单调递增；
当x∈(1，＋∞)时，h(x)＜0，
即g′(x)＜0，g(x)在(1，＋∞)上单调递减，
而当x→0时，g(x)→－∞，当x→＋∞时，g(x)→0，
若f(x)有两个极值点，只要y＝－m和g(x)的图象在(0，＋∞)上有两个交点，
11.设函数f(x)＝ax3－2x2＋x＋c(a＞0).
(1)当a＝1，且函数f(x)的图象过点(0，1)时，求函数f(x)的极小值；
解 f′(x)＝3ax2－4x＋1.
函数f(x)的图象过点(0，1)时，有f(0)＝c＝1.
当a＝1时，f(x)＝x3－2x2＋x＋1，f′(x)＝3x2－4x＋1，
所以函数f(x)的极小值是f(1)＝13－2×12＋1＋1＝1.
(2)若f(x)在(－∞，＋∞)上无极值点，求a的取值范围.
解 若f(x)在(－∞，＋∞)上无极值点，则f(x)在(－∞，＋∞)上是单调函数，
即f′(x)＝3ax2－4x＋1≥0或f′(x)＝3ax2－4x＋1≤0恒成立.
因为a＞0，所以f′(x)＝3ax2－4x＋1≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，
则有Δ＝(－4)2－4×3a×1≤0，
方程x2－x＋a＝0的判别式为Δ＝(－1)2－4a＝1－4a.
所以f′(x)＜0，函数单调递减，故函数f(x)没有极值点；
函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
x1·x2＝a，x1＋x2＝1，
当x1·x2＝a＞0时，方程有两个不相等的正实数根，
当x∈(0，x1)时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；
当x∈(x1，x2)时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增；
当x∈(x2，＋∞)时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减，
因此当x＝x1时，函数有极小值点，当x＝x2时，函数有极大值点，
当x1·x2＝a≤0时，方程有一个正实数根和一个负实数根，或是一个正实数根和零根，
当x∈(0，x2)时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增；
当x∈(x2，＋∞)时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减，
所以当x＝x2时，函数有极大值点，
因此当a∈(－∞，0]时，函数有一个极值点.
综上所述，当a∈(－∞，0]时，函数有一个极值点；
13.(2021·全国乙卷)设a≠0，若x＝a为函数f(x)＝a(x－a)2(x－b)的极大值点，则( )
A.ab C.aba2
D
解析 当a>0时，根据题意画出函数f(x)的大致图象，如图1所示，观察可知b>a.
图1
当a<0时，根据题意画出函数f(x)的大致图象，如图2所示，观察可知a>b.
综上，可知必有ab>a2成立.故选D.
图2
所以g′(x)＝x2－ax＋cos x－(x－a)sin x－cos x
＝x(x－a)－(x－a)sin x＝(x－a)(x－sin x)，
令h(x)＝x－sin x，
则h′(x)＝1－cos x≥0，
所以h(x)在R上单调递增.
因为h(0)＝0，
所以，当x>0时，h(x)>0；当x<0时，h(x)<0.
(1)当a<0时，g′(x)＝(x－a)(x－sin x)，
当x∈(－∞，a)时，x－a<0，g′(x)>0，g(x)单调递增；
当x∈(a，0)时，x－a>0，g′(x)<0，g(x)单调递减；
当x∈(0，＋∞)时，x－a>0，g′(x)>0，g(x)单调递增.
所以，当x＝a时，g(x)取到极大值，
当x＝0时，g(x)取到极小值，极小值是g(0)＝－a.
(2)当a＝0时，g′(x)＝x(x－sin x)，
当x∈(－∞，＋∞)时，g′(x)≥0，g(x)单调递增；
所以g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，g(x)无极大值也无极小值.
(3)当a>0时，g′(x)＝(x－a)(x－sin x)，
当x∈(－∞，0)时，x－a<0，g′(x)>0，g(x)单调递增；
当x∈(0，a)时，x－a<0，g′(x)<0，g(x)单调递减.
当x∈(a，＋∞)时，x－a>0，g′(x)>0，g(x)单调递增.
所以，当x＝0时，g(x)取到极大值，极大值是g(0)＝－a；
当a＝0时，g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值；(共50张PPT)
第三章 一元函数的导数及其应用
第2节 导数与函数的单调性(一)
1.借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.
2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).
目 录
CONTENTS
知识诊断自测
01
考点聚焦突破
02
课时分层精练
03
知识诊断自测
1
ZHISHIZHENDUANZICE
1.函数的单调性与导数的关系
条件 恒有 结论
函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 f′(x)＞0 f(x)在(a，b)上__________
f′(x)＜0 f(x)在(a，b)上__________
f′(x)＝0 f(x)在(a，b)上是__________
单调递增
单调递减
常数函数
2.利用导数判断函数单调性的步骤
第1步，确定函数的________；
第2步，求出导函数f′(x)的______；
第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性.
定义域
零点
1.若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立.
2.若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则x∈(a，b)时，f′(x)＞0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则x∈(a，b)时，f′(x)＜0有解.
常用结论与微点提醒
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)＞0.( )
(2)在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根为有限个，则f(x)在(a，b)内单调递减.( )
(3)若函数f(x)在定义域上都有f′(x)＞0，则f(x)在定义域上一定单调递增.( )
(4)函数f(x)＝x－sin x在R上是增函数.( )
×
√
解析 (1)f(x)在(a，b)内单调递增，则有f′(x)≥0.
×
√
2.(多选)已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是( )
CD
解析 由题意得，当x∈(－∞，c)时，f′(x)＞0，
所以函数f(x)在(－∞，c)上单调递增，
因为a＜b＜c，所以f(c)＞f(b)＞f(a).
当x∈(c，e)时，f′(x)＜0，
所以函数f(x)在(c，e)上单调递减，
因为c＜d＜e，所以f(c)＞f(d)＞f(e).
A.f(b)＞f(c)＞f(d) B.f(b)＞f(a)＞f(e)
C.f(c)＞f(b)＞f(a) D.f(c)＞f(d)＞f(e)
3.(选修二P97T2改编)函数f(x)＝x3＋2x2－4x的单调递增区间是
____________________________.
4.(选修二P89练习T2改编)若函数f(x)＝x3＋ax2－ax在R上单调递增，则实数a的取值范围是________.
[－3，0]
解析 f′(x)＝3x2＋2ax－a≥0在R上恒成立，
所以4a2＋12a≤0，
解得－3≤a≤0.
考点聚焦突破
2
KAODIANJUJIAOTUPO
考点一 利用导函数的图象研究函数的单调性
例1 (1)设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则其导函数y＝f′(x)的图象可能是( )
D
解析 由f(x)的图象可知，f(x)在(－∞，0)上为单调递减函数，故x∈(－∞，0)时,f′(x)＜0，故排除A，C；
当x∈(0，＋∞)时，函数f(x)的图象是先递增，再递减，最后再递增，所以f′(x)的值是先正，再负，最后是正，因此排除B，故选D.
(2)f′(x)是f(x)的导函数，若函数y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象可能是( )
C
解析 由y＝f′(x)的图象可得：在(－∞，b)上f′(x)≥0，在(b，＋∞)上f′(x)＜0，
根据原函数图象与导函数图象的关系可得：y＝f(x)在(－∞，b)上单调递增，在(b，＋∞)上单调递减，可排除A，D，且在x＝0处，f′(x)＝0，即在x＝0处，y＝f(x)的切线的斜率为0，可排除B，故选C.
感悟提升
由原函数图象识别导函数图象的依据：若f(x)单调递增，则f′(x)的图象一定在x轴的上方；若f(x)单调递减，则f′(x)的图象一定在x轴的下方；若f(x)是常函数，则f′(x)＝0；由导函数图象识别原函数图象的依据：根据f′(x)＞0，则f(x)单调递增，f′(x)＜0，则f(x)单调递减.
训练1 (1)设函数f(x)的图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能为( )
C
解析 由f(x)的图象知：当x∈(－∞，1)时，f(x)单调递减，f′(x)＜0，
当x∈(1，4)时，f(x)单调递增，f′(x)＞0，
当x∈(4，＋∞)时，f(x)单调递减，f′(x)＜0，
由选项各图知：选项C符合题意，故选C.
(2)已知f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，那么f(x)的图象最有可能是图中的( )
D
解析 由题意可知，当x∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，导函数f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；
当x∈(0，2)时，导函数f′(x)＞0，函数f(x)单调递增，由选项可知图象D符合.
考点二 不含参函数的单调性
例2 (1)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A.f(x)＝sin 2x B.f(x)＝xex C.f(x)＝x3－x D.f(x)＝－x＋ln x
B
对于B，f′(x)＝(x＋1)ex＞0，符合题意；
(1，＋∞)
φ(x)在(0，＋∞)上单调递减，且φ(1)＝0，
∴当x∈(0，1)时，φ(x)＞0，
当x∈(1，＋∞)时，φ(x)＜0，
∴f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减.
感悟提升
确定不含参的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开.
训练2 已知定义在区间[0，π]上的函数f(x)＝x＋2cos x，判断函数f(x)的单调性.
解 f′(x)＝1－2sin x，x∈[0，π]，
考点三 含参函数的单调性
此时函数f(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)；
综上所述，当a≤0时，函数f(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)；
当a＝2时，函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；
感悟提升
若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的正负及两根的大小；若不能因式分解，则需讨论判别式Δ的正负，二次项系数的正负，两根的大小及根是否在定义域内.
训练3 (2021·全国乙卷节选)讨论函数f(x)＝x3－x2＋ax＋1的单调性.
解 由题意知f(x)的定义域为R，f′(x)＝3x2－2x＋a，
对于f′(x)＝0，Δ＝(－2)2－4×3a＝4(1－3a).
令f′(x)>0，则xx2；令f′(x)<0，则x1所以f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减.
课时分层精练
3
KESHIFENCENGJINGLIAN
1.函数f(x)＝2x－sin x在(－∞，＋∞)上是( )
A.增函数 B.减函数 C.先增后减 D.不确定
A
解析 ∵f(x)＝2x－sin x，
∴f′(x)＝2－cos x>0在(－∞，＋∞)上恒成立，
∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数.
2.函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是( )
D
解析 f′(x)>0的解集对应y＝f(x)的单调递增区间，f′(x)<0的解集对应y＝f(x)的单调递减区间，验证只有D符合.
D
D
C
当0＜x＜e时f′(x)＞0，函数f(x)单调递增，
当x＞e时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减，排除D.
6.函数f(x)＝2x3－ax＋6的一个单调递增区间为[1，＋∞)，则减区间是( )
A.(－∞，0) B.(－1，1) C.(0，1) D.(－∞，1)，(0，1)
B
解析 函数f(x)＝2x3－ax＋6，则f′(x)＝6x2－a，
当a≤0时，f′(x)≥0恒成立，函数f(x)在其定义域内单调递增.
∴x∈(－1，1)时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减.
7.已知定义在(0，3]上的函数f(x)的图象如图，则不等式f′(x)＜0的解集为( )
B
解析 观察图象可得函数f(x)在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，2)上单调递减，在区间(2，3]上单调递增，所以不等式f′(x)＜0的解集为(1，2)，故选B.
8.已知函数f(x)满足下列条件：①f(x)的导函数f′(x)为偶函数；②f(x)在区间(－∞，
－2)，(2，＋∞)上单调递增，则f(x)的一个解析式为f(x)＝________________.
(答案不唯一)
解析 因为f(x)在区间(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递增，
所以当x∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)时，f′(x)＞0.
又f(x)的导函数f′(x)为偶函数，
所以令f′(x)＝x2－4，满足题意，
9.函数f(x)＝(x－1)ex－x2的单调递增区间为_______________________，单调递减区间为____________.
(－∞，0)，(ln 2，＋∞)
(0，ln 2)
解析 f′(x)＝xex－2x＝x(ex－2)，
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝ln 2，
当x∈(－∞，0)∪(ln 2，＋∞)时，f′(x)＞0，
当x∈(0，ln 2)时，f′(x)＜0.
∴f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(ln 2，＋∞)，单调递减区间为(0，ln 2).
-2
解析 f′(x)＝x2＋2mx＋n，
由f(x)的单调递减区间是(－3，1)，
得f′(x)＜0的解集为(－3，1)，
则－3，1是f′(x)＝0的解，
∴－2m＝－3＋1＝－2，n＝1×(－3)＝－3，
可得m＝1，n＝－3，
故m＋n＝－2.
所以k＝1.
(2)求函数f(x)的单调区间.
所以h(x)在(0，＋∞)上单调递减.
由h(1)＝0知，当00，所以f′(x)>0；
当x>1时，h(x)<0，所以f′(x)<0.
综上，f(x)的单调递增区间是(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞).
解 由题意，f(x)的定义域为(0，＋∞)，
①若a≥0，则当00，
当x>3时，f′(x)<0，
∴f(x)在(0，3)上单调递增，在(3，＋∞)上单调递减；
②若－33，由f′(x)>0，得－a∴f(x)在(0，－a)，(3，＋∞)上单调递减，在(－a，3)上单调递增；
③若a＝－3，则f′(x)≤0恒成立，
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
④若a<－3，由f′(x)<0，得0－a，
由f′(x)>0，得3∴f(x)在(0，3)，(－a，＋∞)上单调递减，在(3，－a)上单调递增.
CD
①当a≥0时，f′(x)＞0，函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数；
令g(x)＝ax2＋(2a＋2)x＋a，则有Δ＝(2a＋2)2－4a2＝8a＋4，
则在区间(0，x1)，(x2，＋∞)上，g(x)＜0，则有f′(x)＜0，函数f(x)为减函数，在区间(x1，x2)上，f′(x)＞0，函数f(x)为增函数；(共54张PPT)
第三章 一元函数的导数及其应用
第3节 导数与函数的单调性(二)
1.会根据函数的单调性求参数的范围.
2.会利用函数的单调性解不等式、比较函数值的大小.
目 录
CONTENTS
考点聚焦突破
01
课时分层精练
02
考点聚焦突破
1
KAODIANJUJIAOTUPO
考点一 利用单调性求参数范围
(2，＋∞)
解析 因为f(x)＝(x2－mx＋2)ex，
所以f′(x)＝(2x－m)ex＋(x2－mx＋2)ex＝[x2＋(2－m)x＋2－m]ex，
当且仅当x＋1＝1，
即x＝0时取等号，
所以m>2.
(2)(2023·全国乙卷)设a∈(0，1)，若函数f(x)＝ax＋(1＋a)x在(0，＋∞)上单调递增，
则a的取值范围是__________________.
因为ax＞0，所以g(x)≥0.
因为a∈(0，1)，
所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
故只需满足g(0)≥0，
即ln a＋ln(1＋a)＝ln(a＋a2)≥0，
感悟提升
根据函数单调性求参数的方法：
(1)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且在(a，b)内的任一非空子区间上，f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解.
(2)函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f′(x)>0(或f′(x)<0)在该区间上存在解集.
(3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上不单调，则转化为f′(x)＝0在(a，b)上有解(需验证解的两侧导数是否异号).
A
因为f(x)在其定义域的一个子区间(2k－1，2k＋1)内不单调，
[e－2，＋∞)
解得a≥e－2.
考点二 利用单调性比较大小
D
解析 由题意，得f′(x)＝3－2sin x.
因为－1≤sin x≤1，所以f′(x)>0恒成立，所以f(x)是增函数.
又log24感悟提升
利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件判断已知(或构造后的)函数的单调性，利用其单调性比较大小.
C
所以f′(x)＞0，
即f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
(2)若函数y＝f(x)满足xf′(x)＞－f(x)在R上恒成立，且a＞b，则( )
A.af(b)＞bf(a) B.af(a)＞bf(b) C.af(a)＜bf(b) D.af(b)＜bf(a)
B
解析 由xf′(x)＞－f(x)，
设g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝xf′(x)＋f(x)＞0，
所以g(x)在R上是增函数，
又a＞b，
所以g(a)＞g(b)，
即af(a)＞bf(b)，故选B.
考点三 利用单调性解不等式
B
解析 由题意可知f(x)的定义域为(0，＋∞).
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减.
感悟提升
利用函数的单调性解不等式的关键是首先判断函数的单调性，易错之处忽视函数的定义域，如本例中，需要求2x－1＞0，且1－x＞0.
(－∞，3)
所以f(x)在R上单调递减，
又f(x)＝－f(－x)，所以f(x)为奇函数，
所以f(3a2)＋f(2a－1)≥0 f(3a2)≥－f(2a－1)＝f(1－2a)，
微点突破 导数中的函数构造问题
通过构造函数，利用导数判断其单调性解决问题的类型有：
1.通过导数的运算法则构造函数
2.通过具体变量构造函数
若题目所给的条件含有两个变量，可通过变形使两个变量分别置于等号或不等号两边，即可构造函数，并且利用函数的单调性求解.
一、通过导数的运算法则构造
角度1 利用f(x)与ex构造
例1 (2024·长沙联考)已知函数f(x)的导函数为f′(x),且f(x)＋f′(x)>0在R上恒成立，
则不等式e2x＋1f(2x＋1)>e3－xf(3－x)的解集是_____________.
解析 令g(x)＝exf(x)，
则g′(x)＝ex[f(x)＋f′(x)]>0，
所以g(x)在R上单调递增，e2x＋1f(2x＋1)>e3－xf(3－x)，
即g(2x＋1)>g(3－x)，
(0，2)
解析 由题意，令g(x)＝x2f(x)，x∈(0，＋∞)，
则g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)<0，
∴g(x)在(0，＋∞)上单调递减.
∴x2f(x)>3，即g(x)>g(2)，
∴原不等式的解集为(0，2).
BD
二、通过变量构造具体函数
例4 已知a＜5，且ae5＝5ea，b＜4且be4＝4eb，c＜3且ce3＝3ec，则( )
A.c＜b＜a B.b＜c＜a C.a＜c＜b D.a＜b＜c
D
∵ae5＝5ea，a＜5，∴a＞0.
当0＜x＜1时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x＞1时，f′(x)＞0，f(x)单调递增.
∵f(5)＝f(a)，而0＜a＜5，故0＜a＜1.
同理，0＜b＜1，0＜c＜1，f(4)＝f(b)，f(3)＝f(c).
∵f(5)＞f(4)＞f(3)，∴f(a)＞f(b)＞f(c)，0＜a＜b＜c＜1.
B
∴g(x)在R上为增函数，
又a＞0，
∴g(a)＞g(0)，
C
解析 构造函数f(x)＝ex－ln x，x∈(0，1)，
(2)若0＜x1＜x2＜1，则( )
A.ex2－ex1＞ln x2－ln x1 B.ex2－ex1＜ln x2－ln x1
C.x2ex1＞x1ex2 D.x2ex1＜x1ex2
∴f(x)在(0，1)上不单调，无法判断f(x1)与f(x2)的大小，故A，B错误；
c＜a＜b
a＜b＜c
所以函数F(x)在(0，π)上单调递增，
所以a＜b＜c.
课时分层精练
3
KESHIFENCENGJINGLIAN
C
解析 f′(x)＝－x2＋a，
∴f′(x)＝－x2＋a＝0有两个不相等的实数根，
∴a＞0.
B
3.已知a∈R,则“a≤2”是“f(x)＝ln x＋x2－ax在(0，＋∞)上单调递增”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
A
D
解析 当x≥0时，f′(x)＝ex＋cos x，
因为ex≥1，cos x∈[－1，1]，所以当x≥0时，f′(x)＝ex＋cos x≥0恒成立，
所以f(x)在[0，＋∞)上单调递增，
又f(x)是定义在R上的偶函数，
所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，f(－π)＝f(π)＝eπ，
所以由f(2x－1)A
∴c＜a，即b＜c＜a.
B
7.若0＜x1＜x2＜1，则( )
A.ex2－ex1＜2x2－2x1 B.ex2－ex1＞2x2－2x1
C.x2ln x1＜x1ln x2 D.x2ln x1＞x1ln x2
C
解析 对于A，B选项：ex2－ex1＜2x2－2x1 ex2－2x2＜ex1－2x1；ex2－ex1＞2x2－2x1 ex2－2x2＞ex1－2x1，
构造函数f(x)＝ex－2x，A项可变成f(x2)＜f(x1)；
B项可变为f(x2)＞f(x1)，求导得f′(x)＝ex－2，令f′(x)＝0即ex－2＝0 x＝ln 2，
所以x∈(－∞，ln 2),函数f(x)单调递减；x∈(ln 2，＋∞)，函数f(x)单调递增，
因为0＜ln 2＜1，且0＜x1＜x2＜1，
所以无法判断f(x2)，f(x1)的大小关系，故A，B错误；
所以x∈(0，e)，g(x)单调递增；x∈(e，＋∞)，g(x)单调递减；
8.已知函数f(x)＝e|x－1|＋x2－2x，则使得f(x)＞f(2x)成立的x的取值范围是
_____________.
解析 因为f(x)＝e|x－1|＋x2－2x＝e|x－1|＋(x－1)2－1，则f(x＋1)＝e|x|＋x2－1，
令g(x)＝e|x|＋x2－1，则f(x)的图象是由g(x)的图象向右平移1个单位得到，
又g(－x)＝e|－x|＋(－x)2－1＝e|x|＋x2－1＝g(x)，即g(x)＝e|x|＋x2－1为偶函数，
且当x≥0时g(x)＝ex＋x2－1，
所以g(x)在[0，＋∞)上单调递增，则g(x)在(－∞，0)上单调递减，
所以f(x)在(1，＋∞)上单调递增，在(－∞，1)上单调递减，且关于x＝1对称，
b＜a＜c
∵e≈2.718，π≈3.14，e2＞2π，
∴b＜a.
综上b＜a＜c.
又a>0，
因为f(x)在[1，2]上不单调，
即为：2x－2ey－3＝0.
(2)若f(x)在(2，＋∞)上为减函数，求a的取值范围.
解 由f(x)在(2，＋∞)上为减函数，
∴u(x)在(2，＋∞)上单调递增，
∴u(x)＞u(2)＝0，2a≤0，
因此a∈(－∞，0].
所以f(t)在(1，＋∞)上单调递增，
所以f(t)＞f(1)＝0，
D
∴y＝x－1－ln x在(1，＋∞)上单调递增，
∴x－1－ln x>0，
∴ln x又f(ln x)∴需要f(x)在(1，＋∞)上单调递增，
∴f′(x)＝(a2－1)ex－1－x≥0对 x∈(1，＋∞)恒成立，
当x>1时，g′(x)<0，g(x)在(1，＋∞)上单调递减，
故g(x)14.已知函数f(x)＝aln x－ax－3.
(1)求f(x)的单调区间；
当a＞0时，f(x)的单调递增区间为(0，1)，
单调递减区间为(1，＋∞)；
当a＜0时，f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，
单调递减区间为(0，1)；
当a＝0时，f(x)为常数函数，无单调区间.
∴g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2.
∵g(x)在区间(t，3)上不是单调函数，
即g′(x)在区间(t，3)上有变号零点.
当g′(t)＜0时，即3t2＋(m＋4)t－2＜0对任意t∈[1，2]恒成立，
由于g′(0)＜0，
故只要g′(1)＜0且g′(2)＜0，
即m＜－5且m＜－9，即m＜－9，(共72张PPT)
第三章 一元函数的导数及其应用
第5节 导数与函数的最值
1.理解函数最值与极值的关系.
2.会求闭区间上函数的最大值、最小值.
3.了解最值在现实生活中的应用.
目 录
CONTENTS
知识诊断自测
01
考点聚焦突破
02
课时分层精练
03
知识诊断自测
1
ZHISHIZHENDUANZICE
1.函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.
2.求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：
(1)求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的______；
(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值__________比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
极值
f(a)，f(b)
1.若函数在开区间(a，b)内的极值点只有一个，则其极值点为函数的最值点.
2.若函数在闭区间[a，b]内的最值点不是端点，则其最值点亦为其极值点.
3.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值.
常用结论与微点提醒
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)有极值的函数一定有最值，有最值的函数不一定有极值.( )
(2)函数的极大值不一定是最大值，最小值也不一定是极小值.( )
(3)函数f(x)在区间(a，b)上不存在最值.( )
(4)连续函数f(x)在区间[a，b]上一定存在最值.( )
×
√
解析 (1)反例：有极值的函数不一定有最值，如图所示，函数f(x)有极值，但没有最值.(3)反例：f(x)＝x2在区间(－1，2)上的最小值为0.
×
√
－10
解析 f′(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2)，
4
解析 f′(x)＝x2－4，x∈[0，3]，
当x∈[0，2)时，f′(x)＜0；
当x∈(2，3]时，f′(x)＞0，
所以f(x)在[0，2)上单调递减，在(2，3]上单调递增.
又f(0)＝m，f(3)＝－3＋m.在[0，3]上，f(x)max＝f(0)＝4，
所以m＝4.
考点聚焦突破
2
KAODIANJUJIAOTUPO
考点一 求已知函数的最值
D
若a≤0，则f′(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
若a>0，则当x>a时，f′(x)<0；
当00，
所以f(x)在(0，a)上单调递增，在(a，＋∞)上单调递减.
感悟提升
求函数f(x)在[a，b]上最值的方法
(1)若函数在区间[a，b]上单调递增或递减，f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值.
(2)若函数在闭区间[a，b]内有极值，要先求出[a，b]上的极值，与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成.
训练1 (1)函数f(x)＝ex－x(e为自然对数的底数)在区间[－1，1]上的最大值是______________.
e－1
(2)已知函数f(x)＝(x2－2x)ex(x∈R，e为自然对数的底数).
①求函数f(x)的单调区间；
解 f(x)＝(x2－2x)ex，
求导得f′(x)＝ex(x2－2)，ex＞0，
令f′(x)＝ex(x2－2)＞0，即x2－2＞0，
令f′(x)＝ex(x2－2)＜0，即x2－2＜0，
②求函数f(x)在区间[0，m]上的最大值和最小值.
考点二 由函数的最值求参数
由f(4)＝2(64＋16a＋a2)＝8得a＝－10或a＝－6(舍去)，
当a＝－10时，f(x)在[1，4]上单调递减，
f(x)在[1，4]上的最小值为f(4)＝8，符合题意.综上，a＝－10.
感悟提升
若所给函数f(x)含参数，则需通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值.
训练2 (1)已知函数f(x)＝ln x＋ax存在最大值0，则a＝________.
所以当a≥0时，f′(x)＞0恒成立，故f(x)单调递增，不存在最大值，
[－2，1)
解析 由于f′(x)＝－x2＋1，
易知f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递减，在(－1，1)上单调递增，
故若函数f(x)在(a，10－a2)上存在最大值，
考点三 生活中的优化问题
例3 我国是一个人口大国，产粮、储粮是关系国计民生的大事.现某储粮机构拟在长100米，宽80米的长方形地面建立两座完全相同的粮仓(设计要求：顶部为圆锥形，底部为圆柱形，圆锥高与底面直径为1∶10，粮仓高为50米，两座粮仓连体紧靠矩形一边)，已知稻谷容重为600千克每立方米，粮仓厚度忽略不计，估算两个粮仓最多能储存稻谷(π取近似值3)( )
A.105 000吨 B.68 160吨 C.157 000吨 D.146 500吨
A
解析 由于粮仓高50米，顶部为圆锥形，底部为圆柱形，圆锥高与底面直径为1∶10，
因为V′＝100π(50x－x2)，当0＜x＜50时，V′(x)＞0，V(x)在(0，50)上单调递增，
感悟提升
解决最优化问题，应从以下几个方面入手：
(1)设出变量，找出函数关系式，确定定义域；
(2)在实际应用问题中，若函数f(x)在定义域内只有一个极值点，则它就是最值点.
B
微点突破 三次函数的图象和性质
1.定义
定义1：形如f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的函数，称为“三次函数”；
定义2：三次函数的导数f′(x)＝3ax2＋2bx＋c(a≠0)，把Δ＝4b2－12ac叫做三次函数导函数的判别式.
2.性质
(1)单调性
一般地，当b2－3ac≤0时，三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)在R上是单调函数；
当b2－3ac＞0时，三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)在R上有三个单调区间.
(根据a＞0，a＜0两种不同情况进行分类讨论)
(3)三次函数零点的问题
①当Δ＝4b2－12ac≤0时，由不等式f′(x)≥0恒成立，函数是单调递增的(a＞0)，所以三次函数仅有一个零点.
②当Δ＝4b2－12ac＞0时，由方程f′(x)＝0有两个不同的实根x1，x2，不妨设x1＜x2，可知，以a＞0为例，x1为函数的极大值点，x2为函数的极小值点，且函数y＝f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，此时结合函数图象可知：
(ⅰ)若f(x1)·f(x2)＞0，即函数y＝f(x)的极大值和极小值同号，所以函数有且只有一个零点；
(ⅱ)若f(x1)·f(x2)＜0，即函数y＝f(x)的极大值和极小值异号，函数图象与x轴必有三个交点，所以函数有三个不同零点；
(ⅲ)若f(x1)·f(x2)＝0，则f(x1)与f(x2)中有且只有一个值为0，所以函数有两个不同零点.
一、 三次函数的零点问题
例1 已知函数f(x)＝ax3＋bx2－3x(a，b∈R)，且f(x)在x＝1和x＝3处取得极值.
(1)求函数f(x)的解析式；
解 f′(x)＝3ax2＋2bx－3，
因为f(x)在x＝1和x＝3处取得极值，
(2)设函数g(x)＝f(x)＋t，若g(x)＝f(x)＋t有且仅有一个零点，求实数t的取值范围.
当x＞3或x＜1时，g′(x)＜0，当1＜x＜3时，g′(x)＞0，
所以函数g(x)在(－∞，1)，(3，＋∞)上递减，在(1，3)上递增，
又x取足够大的正数时，g(x)＜0，x取足够小的负数时，g(x)＞0，
因此，为使曲线y＝g(x)与x轴有一个交点，结合g(x)的单调性，
因为f(x)在x＝0处取得极值，
所以f′(0)＝m＝0.
经验证m＝0符合题意.
(2)若过(2，t)可作曲线y＝f(x)的三条切线，求t的取值范围.
则g′(x)＝x2－4＝0，解得x＝±2.
当x＜－2或x＞2时，g′(x)＞0，
所以g(x)在(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递增；当－2＜x＜2时，g′(x)＜0，
所以g(x)在(－2，2)上单调递减.
因为有三条切线，
所以方程t＝g(x)有三个不同的解，y＝t与y＝g(x)的图象有三个不同的交点，
BC
由上述可得f(x)＋f(1－x)＝2，
①＋②得，2S＝2＋2＋…＋2＋2＝2×99 S＝99，
训练 (1)设三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋1的导函数f′(x)＝3ax(x－1)，且a＞2，则函数f(x)的零点个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
D
解析 由f′(x)＝3ax(x－1)且a＞2知,当0＜x＜1时，f′(x)＜0，当x＜0或x＞1时,f′(x)＞0，则函数f(x)在(－∞，0)，(1，＋∞)上单调递增，在(0，1)上单调递减，
所以函数有三个零点.
A
解析 令f(x)＝x3＋6x2＋13x，则f′(x)＝3x2＋12x＋13，
设h(x)＝f′(x)＝3x2＋12x＋13，
令h′(x)＝6x＋12＝0，
解得x＝－2，
又f(－2)＝(－2)3＋6×(－2)2＋13×(－2)＝－10，
∴函数f(x)的图象关于点(－2，－10)成中心对称.
所以f(m)＋f(n)＝－20，
又f′(x)＝3x2＋12x＋13＝3(x＋2)2＋1＞0，
所以函数f(x)＝x3＋6x2＋13x在R上单调递增，
所以m＋n＝2×(－2)＝－4.
解得a＝0，
∴tan α≥－1，
令g′(x)＝0，解得x＝0或x＝1，
当x＜0或x＞1时，g′(x)＜0，当0＜x＜1时，g′(x)＞0，
所以g(x)在(－∞，0)，(1，＋∞)上单调递减，在(0，1)上单调递增，
所以方程m＝g(x)有三个不同的解，y＝m与y＝g(x)的图象有三个不同的交点，
课时分层精练
3
KESHIFENCENGJINGLIAN
1.已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是( )
C
解析 由题图可知，当x≤c时，f′(x)≥0，
所以函数f(x)在(－∞，c]上单调递增，
又a＜b＜c，所以f(a)＜f(b)＜f(c)，故A不正确；
A.f(b)＞f(a)＞f(c)
B.函数f(x)在x＝c处取得最大值，在x＝e处取得最小值
C.函数f(x)在x＝c处取得极大值，在x＝e处取得极小值
D.函数f(x)的最小值为f(d)
因为f′(c)＝0，f′(e)＝0，且当x＜c时，f′(x)＞0；
当c＜x＜e时，f′(x)＜0；当x＞e时，f′(x)＞0.
所以函数f(x)在x＝c处取得极大值，但不一定取得最大值，在x＝e处取得极小值，不一定是最小值，故B不正确，C正确；
由题图可知，当d≤x≤e时，f′(x)≤0，所以函数f(x)在[d，e]上单调递减，从而f(d)＞f(e)，所以D不正确.故选C.
A
由f′(x)＝x2－4＞0，得x＞2或x＜－2，
由f′(x)＝x2－4＜0，得－2＜x＜2，
所以f(x)在[0，2)上单调递减，在(2，3]上单调递增，
B
解析 因为函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
B
解析 因为函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
因此函数f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
当x＝1时取最大值，满足题意.
4.(多选)已知函数f(x)＝x2ex，x∈R.下列结论正确的是( )
A.函数f(x)不存在最大值，也不存在最小值
B.函数f(x)存在极大值和极小值
C.函数f(x)有且只有1个零点
D.函数f(x)的极小值就是f(x)的最小值
BCD
解析 f(x)＝x2ex，x∈R，则f′(x)＝x(x＋2)ex，
令f′(x)＜0 －2＜x＜0，令f′(x)＞0 x＜－2或x＞0，
所以函数f(x)在(－2，0)上单调递减，在(－∞，－2)，(0，＋∞)上单调递增，且f(0)＝0，f(x)＝x2ex≥0，如图，所以f(x)min＝f(0)＝0，函数在x＝－2处取得极大值，在x＝0处取得极小值，极小值f(0)即为最小值，且函数有且只有一个零点0.
5.某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为p(p≥20)元，销售量为Q件，销售量Q与零售价p有如下关系：Q＝8 300－170p－p2，则这批商品的最大毛利润(毛利润＝销售收入－进货支出)为( )
A.30 000元 B.60 000元 C.28 000元 D.23 000元
D
解析 设毛利润为L(p)，
由题意知L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)＝(8 300－170p－p2)(p－20)＝－p3－150p2＋11 700p－166 000，
所以L′(p)＝－3p2－300p＋11 700.
令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去).此时，L(30)＝23 000.
因此当20≤p＜30时，L′(p)＞0，当p＞30时，L′(p)＜0，
所以L(30)是极大值，根据实际问题的意义知，L(30)也是最大值，
即零售定价为每件30元时，最大毛利润为23 000元.
A
若a＞0，令f′(x)＝0，即ax－cos x＝0，
画出函数y＝ax与y＝cos x的图象，如图所示，
综上可得，实数a的取值范围是(0，＋∞).
C
0
当x∈[0，1)时，f′(x)＞0；
当x∈(1，3]时，f′(x)＜0.
所以函数f(x)在[0，1)上单调递增，在(1，3]上单调递减.
所以f(x)min＝f(0)＝0.
解析 ∵f(x)＝ln x＋ln(2－x)＋ax的定义域为(0，2)，
∵x∈(0，1]，a＞0，
∴f(x)在(0，1]上单调递增，
80
解析 设全程运输成本为y元，
令y′＝0，得v＝80.当v>80时，y′>0；当0所以当v＝80时，全程运输成本最小.
11.(2024·湖北名校联考)已知函数f(x)＝ex(2x2＋ax－1)，其中a∈R.若f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程为2x＋by＋1＝0.求：
(1)函数f(x)的解析式；
解 依题意，f(0)＝－1，切点(0，－1)在切线2x＋by＋1＝0上，则b＝1，
f′(x)＝ex(2x2＋ax－1)＋ex(4x＋a)＝ex[2x2＋(a＋4)x＋a－1]，
而f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线斜率为－2，
则f′(0)＝a－1＝－2，解得a＝－1，
所以f(x)＝ex(2x2－x－1).
(2)函数f(x)在区间[－3，1]上的最值.
解 由(1)知，f′(x)＝ex(2x2＋3x－2)＝ex(x＋2)(2x－1)，
(2)当m＝640 m时，需要建多少个桥墩才能使y最小？
当0＜x＜64时，f′(x)＜0，f(x)在区间(0，64)内单调递减；
当64＜x＜640时，f′(x)＞0，f(x)在区间(64，640)内单调递增.
故需要建9个桥墩才能使y最小.
D
∵f(x)的最小值为－1，而f(0)＝－1，
∴x＝0是f(x)的一个极值点，
∴f′(0)＝1＋b＝0，解得b＝－1，
若a＜0，当x→－∞时，f(x)→－∞，不符合题意.
∴当x＜0时，f′(x)＜0；当x＞0时，f′(x)＞0，
∴f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，
∴f(0)＝－1是f(x)的最小值，满足题意；
又f(0)＝－1，当x→＋∞时，f(x)→0；
∴f(0)＝－1是f(x)的最小值，满足题意；
综上所述：a≥0，
∴a－b≥1.
解 因为F(x)＝af(x)，
令F′(x)>0得0e，
所以F(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，
所以F(x)在[a，2a]上的最小值为F(x)min＝min{F(a)，F(2a)}.
所以当0F(x)min＝F(a)＝ln a.
当a>2时，F(a)－F(2a)>0，
综上所述，当0