(共55张PPT)
第五章 平面向量、复数
第4节 复 数
1.理解复数的基本概念.
2.理解复数相等的充要条件.
3.了解复数的代数表示法及其几何意义.
4.会进行复数代数形式的四则运算.
5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.
目 录
CONTENTS
知识诊断自测
01
考点聚焦突破
02
课时分层精练
03
知识诊断自测
1
ZHISHIZHENDUANZICE
1.复数的有关概念
(1)定义：我们把集合____＝{a＋bi|a，b∈R}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做复数z的_____，b叫做复数z的______ (i为虚数单位).
C
实部
虚部
(2)分类：
满足条件(a，b为实数)
复数的 分类 a＋bi为实数 _____
a＋bi为虚数 _____
a＋bi为纯虚数 ___________
b＝0
b≠0
a＝0且b≠0
a＝c且b＝d
a＝c，b＝－d
|a＋bi|
|z|
Z(a，b)
3.复数的运算
(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.
(a±c)+(b±d)i
(ac±bd)+(bc±ad)i
常用结论与微点提醒
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.( )
(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.( )
(3)原点是实轴与虚轴的交点.( )
(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.( )
×
×
√
√
解析 (1)虚部为b；(2)虚数不可以比较大小.
2.(必修二P69例1改编)若复数z＝m＋1＋(m－1)i为纯虚数，则m＝________.
－1
－2＋i
考点聚焦突破
2
KAODIANJUJIAOTUPO
考点一 复数的概念
例1 (1)(2023·全国甲卷)若复数(a＋i)(1－ai)＝2，a∈R，则a＝( )
A.－2 B.－1 C.1 D.2
C
解析 因为(a＋i)(1－ai)＝2a＋(1－a2)i＝2，
所以2a＝2且1－a2＝0，解得a＝1.
A
解析 因为z1z2＝(a－3i)(2＋i)＝(2a＋3)＋(a－6)i是纯虚数，
AC
感悟提升
解决复数概念问题的方法及注意事项
(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.
(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部.
C
C
D
解析 设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，
因为|z|＝|z－1|＝1，且复数z对应的点在第一象限，
考点二 复数的四则运算
A
B
感悟提升
1.复数的乘法类似于多项式的乘法运算；
2.复数的除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数.
C
4＋i
考点三 复数的几何意义
例3 (1)(2023·新高考Ⅱ卷)在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
A
解析 因为(1＋3i)(3－i)＝3－i＋9i－3i2＝6＋8i，
所以该复数在复平面内对应的点为(6，8)，位于第一象限，故选A.
(2)(2024·广州模拟)复数z＝(a＋2)－(a＋3)i在复平面内对应的点Z位于第二象限，则实数a的取值范围为( )
A.(－∞，－2) B.(－3，－2)
C.(－2，＋∞) D.(－∞，－3)
D
解析 由复数z＝(a＋2)－(a＋3)i在复平面内对应的点Z位于第二象限，
4
又因为曲线|z－3|＝1表示以A(3，0)为圆心，1为半径的圆，所以|AZ1|＝5，
故Z1与Z之间的最小距离为5－1＝4.
感悟提升
B
D
(3)已知复数z满足|z＋i|＝|z－i|，则|z＋1＋2i|的最小值为________.
2
解析 设复数z在复平面内对应的点为Z，
因为复数z满足|z＋i|＝|z－i|，
所以由复数的几何意义可知，点Z到点(0，－1)和(0，1)的距离相等，
所以在复平面内点Z的轨迹为x轴，
又|z＋1＋2i|表示点Z到点(－1，－2)的距离，
所以问题转化为x轴上的动点Z到定点(－1，－2)距离的最小值，
所以|z＋1＋2i|的最小值为2.
课时分层精练
3
KESHIFENCENGJINGLIAN
C
C
解析 由题意可知z＝－1＋i，
A
解析 因为(2z＋3)i＝3z，2zi＋3i＝3z，(3－2i)z＝3i，
A
解析 由题可知z1＝2－i，z2＝5i，
5.设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则( )
A.(x＋1)2＋y2＝1 B.(x－1)2＋y2＝1
C.x2＋(y－1)2＝1 D.x2＋(y＋1)2＝1
C
解析 因为z在复平面内对应的点为(x，y)，
所以z＝x＋yi(x，y∈R).
因为|z－i|＝1，所以|x＋(y－1)i|＝1，
所以x2＋(y－1)2＝1.
D
解析 设z＝a＋bi(a，b∈R)，由题意知a2＋b2≠0，
经验证可知，a＝4，b＝－3符合，
即复数z可以是4－3i.
A
C
9.(2023·上海卷)已知复数z＝1＋i，则|1－i·z|＝________.
2
1
12.若2－3i是方程x2－4x＋a＝0(a∈R)的一个根，则其另外一个根是_________，a＝________.
2＋3i
13
解析 设方程的另外一根为x，
则x＋2－3i＝4，故x＝2＋3i，
a＝(2－3i)(2＋3i)＝13.
AD
解析 对于A，z2＝2i，其实部为零，虚部不为零，是纯虚数，故A正确；
对于B，z1－z2＝2－3i，其在复平面内对应的点为(2，－3)，位于第四象限，故B错误；
ABD
解析 对于A，复数z1在复平面内对应的点的坐标为(－2，1)，该点位于第二象限，故A正确；
对于C，由题意可得z2－1＋2i＝(x－1)＋(y＋2)i，
因为|z2－1＋2i|＝2，所以(x－1)2＋(y＋2)2＝4，故C错误；
对于D，因为z2在复平面内对应的点表示圆，
－1＋i
1(共49张PPT)
第五章 平面向量、复数
第1节 平面向量的概念及线性运算
1.了解向量的实际背景.
2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义.
3.理解向量的几何表示.
4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.
5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.
6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.
目 录
CONTENTS
知识诊断自测
01
考点聚焦突破
02
课时分层精练
03
知识诊断自测
1
ZHISHIZHENDUANZICE
大小
方向
长度
长度为0
1个单位
相同
相反
平行
相等
相同
相等
相反
2.向量的线性运算
b＋a
a＋(b＋c)
|λ||a|
相同
相反
0
λμa
λa＋μa
λa＋λb
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使________.
b＝λa
常用结论与微点提醒
√
×
×
√
解析 (2)若b＝0，则a与c不一定平行.
(3)共线向量所在的直线可以重合，也可以平行，则A，B，C，D四点不一定在一条直线上.
CD
解析 A错误，单位向量长度相等，但是方向不确定；
B错误，由于只有方向，没有大小，故x轴、y轴不是向量；
C正确，由于向量起点相同，但长度不相等或方向不同，所以终点不同；
D正确，海拔、温度、角度只有大小，没有方向，故不是向量.
考点聚焦突破
2
KAODIANJUJIAOTUPO
考点一 平面向量的概念
AD
解析 方向相反的两个非零向量必定平行，所以方向相反的两个非零向量一定共线，故A正确；
零向量是有方向的，其方向是任意的，故B错误；
两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点，故C错误；
C
感悟提升
A
对于B，向量a与b平行，且a或b为零向量时，不满足条件，故B错误；
对于C，因为向量是既有大小又有方向的量，
所以任意两个向量都不能比较大小，故C错误；
对于D，两个终点相同的向量，不一定是共线向量，故D错误.
D
考点二 平面向量的线性运算
D
解析 如图，取CD的中点G，连接BG，交AC于点H.
∵BE∥DG，BE＝DG，
∴四边形BEDG为平行四边形，∴BG∥DE.
又E为AB的中点，
∴AF＝FH，同理可得CH＝FH，
A
感悟提升
平面向量线性运算的常见类型及解题策略
(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义.
(2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值.
A
D
考点三 共线向量定理的应用
C
解析 因为c与d共线，所以存在k∈R，使得d＝kc，
即a＋(2x－1)b＝kxa＋kb.
D
感悟提升
C
解析 在△ABC中，因为点M是BC的中点，
C
课时分层精练
3
KESHIFENCENGJINGLIAN
1.化简2(a－3b)－3(a＋b)的结果为( )
A.a＋4b B.－a－9b
C.2a＋b D.a－3b
B
解析 2(a－3b)－3(a＋b)＝2a－6b－3a－3b＝－a－9b.
BC
解析 对于A，当a，b之一为零向量时，不成立，故A错误；
对于B，首尾顺次相接，B正确；
对于C，两个单位向量互相平行，这两个单位向量相等或相反(大小相等，方向相反)，故C正确；
对于D，当a＋b＝0时，零向量的方向是任意的，故D错误.
ABC
C
B
解析 因为四边形ABCD是边长为1的正方形，
A
A
解析 如图所示.
在△ABC中，因为AD为BC边上的中线，所以D为BC的中点.
8.已知向量a，b不共线，且c＝λa＋2b，d＝a＋(2λ－3)b，若c与d反向共线，则实数λ的值为________.
解析 由于c与d反向共线，
则存在实数k使c＝kd(k＜0)，
于是λa＋2b＝k[a＋(2λ－3)b]，整理得λa＋2b＝ka＋(2λk－3k)b.
直角三角形
(2)证明：B，E，F三点共线.
BD(共60张PPT)
第五章 平面向量、复数
第3节 平面向量的数量积及其应用
1.理解平面向量数量积的含义.
2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系.
3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.
4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题.
目 录
CONTENTS
知识诊断自测
01
考点聚焦突破
02
课时分层精练
03
知识诊断自测
1
ZHISHIZHENDUANZICE
|a||b|cos θ
|a||b|cos θ
3.平面向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律).
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
4.平面几何中的向量方法
三步曲：(1)用向量表示问题中的几何元素，将几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
1.有关向量夹角的两个结论
已知向量a，b
(1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；
若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0.
(2)若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；
若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π.
2.平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；
(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.
常用结论与微点提醒
×
解析 (1)两个向量夹角的范围是[0，π].
(4)由a·b＝a·c(a≠0)得|a||b|·cos〈a，b〉＝|a||c|·cos〈a，c〉，所以向量b和c不一定相等.
√
√
×
2.(必修二P34例11改编)设a＝(5，－7)，b＝(－6，－4)，设a，b的夹角为θ，则cos θ＝________.
3.(必修二P21例13改编)已知|a|＝3，|b|＝4，且a与b不共线，若(a＋kb)⊥(a－kb)，则实数k＝________.
考点聚焦突破
2
KAODIANJUJIAOTUPO
考点一 数量积的计算
B
解析 法一 由题意知，
A
感悟提升
1.计算平面向量数量积的主要方法
(1)利用定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.
(2)利用坐标运算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
(3)利用基底法求数量积.
(4)灵活运用平面向量数量积的几何意义.
2.数量积最值(范围)的解法：
(1)坐标法，通过建立直角坐标系，运用向量的坐标运算转化为代数问题处理.
(2)向量法，运用向量数量积的定义、不等式、极化恒等式等有关向量知识解决.
C
A
解析 由已知条件得|a＋b|2＝|a－b|2，即a·b＝0.
22
解析 如图，以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，
考点二 数量积的应用
D
解析 因为a＝(1，1)，b＝(1，－1)，
所以a＋λb＝(1＋λ，1－λ)，a＋μb＝(1＋μ，1－μ).
因为(a＋λb)⊥(a＋μb)，
所以(a＋λb)·(a＋μb)＝0，
所以(1＋λ)(1＋μ)＋(1－λ)(1－μ)＝0，整理得λμ＝－1.
角度1 夹角与垂直
例2 (1)(2023·新高考Ⅰ卷)已知向量a＝(1，1)，b＝(1，－1).若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则( )
A.λ＋μ＝1 B.λ＋μ＝－1 C.λμ＝1 D.λμ＝－1
D
所以c＝－a－b，等式两边同时平方得c2＝a2＋b2＋2a·b，
即2＝1＋1＋2a·b，解得a·b＝0.
法一 a－c＝a－(－a－b)＝2a＋b，b－c＝b－(－a－b)＝a＋2b，
所以(a－c)·(b－c)＝(2a＋b)·(a＋2b)＝2a2＋5a·b＋2b2＝4，
则a＝(1，0)，b＝(0，1)，
c＝－a－b＝(－1，－1)，
所以a－c＝(2，1)，b－c＝(1，2)，
即2a·b＝a2＋b2－3.①
由|a＋b|＝|2a－b|，
得a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，
整理得，3a2－6a·b＝0，
结合①，得3a2－3(a2＋b2－3)＝0，
(2)已知a，b是单位向量，a·b＝0，且向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是________________.
解析 a，b是单位向量，a·b＝0，
设a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(x，y)，
∴(x－1)2＋(y－1)2＝1，|c|表示以(1，1)为圆心，1为半径的圆上的点到原点的距离，
感悟提升
2.求向量模的最值（范围）的方法
（1）代数法，把所求的模表示成某个变量的函数求解；（2）几何法，利用模的几何意义求解.
训练2 (1)(2022·全国乙卷)已知向量a＝(2，1)，b＝(－2，4)，则|a－b|＝( )
A.2 B.3 C.4 D.5
D
解析 由题意知a－b＝(2，1)－(－2，4)＝(4，－3)，
B
解析 由题意知a＋b＝(5，3)，a－b＝(1，－1)，
(3)(多选)(2024·武汉调研)设a，b，c是三个非零向量，且相互不共线，则下列说法正确的是( )
A.若|a＋b|＝|a－b|，则a⊥b B.若|a|＝|b|，则(a＋b)⊥(a－b)
C.若a·c＝b·c，则a－b不与c垂直 D.(b·c)a－(a·c)b不与c垂直
AB
解析 a，b，c是三个非零向量，
对于A，|a＋b|＝|a－b|两边平方得(a＋b)2＝(a－b)2，
即a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，故a·b＝0，则a⊥b，故A正确；
对于B，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2，因为|a|＝|b|，
所以(a＋b)·(a－b)＝0，故(a＋b)⊥(a－b)，故B正确；
对于C，a·c＝b·c，故a·c－b·c＝(a－b)·c＝0，则a－b与c垂直，故C错误；
对于D，[(b·c)a－(a·c)b]·c＝(b·c)(a·c)－(a·c)(b·c)＝0，
故(b·c)a－(a·c)b与c垂直，故D错误.
7
拓展视野 极化恒等式
解析 设A，B，C三点所在圆的圆心为O，取AB中点D，
因为A，B，C三点在圆上，
所以CD长度最大为r＋d，
其中d为圆心O到弦AB的距离，
D
课时分层精练
3
KESHIFENCENGJINGLIAN
A
解析 (a－b)·(b－2a)＝a·b－2a2－b2＋2a·b＝3a·b－b2－2a2
B
解析 因为平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2，0)，|b|＝1，
A
C
解析 因为a，b为单位向量，|3a－5b|＝7，所以(3a－5b)2＝49，
即9a2－30a·b＋25b2＝49，
5.平面向量a与b相互垂直，已知a＝(6，－8)，|b|＝5，且b与向量(1，0)的夹角是钝角，则b＝( )
A.(－3，－4) B.(4，3) C.(－4，3) D.(－4，－3)
D
A
7.(多选)下列关于向量a，b，c的运算，一定成立的是( )
A.(a＋b)·c＝a·c＋b·c B.(a·b)·c＝a·(b·c)
C.a·b≤|a|·|b| D.|a－b|≤|a|＋|b|
ACD
解析 根据数量积的分配律可知A正确；
B中，左边为c的共线向量，右边为a的共线向量，故B不一定成立；
根据数量积的定义可知a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉≤|a|·|b|，故C正确；
|a－b|2－(|a|＋|b|)2＝－2a·b－2|a||b|≤0，
故|a－b|2≤(|a|＋|b|)2，
即|a－b|≤|a|＋|b|，故D正确.
8.已知向量a＝(－2，1)，b＝(3，0)，e是与b方向相同的单位向量，则a在b上的投影向量为________.
－2e
解析 设a与b所成的角为θ，
9.(2023·赣州摸底)已知向量a＝(1，2)，b＝(4，k).若(2a－b)⊥(2a＋b)，则实数k的值为________.
±2
解析 因为a＝(1，2)，b＝(4，k)，
所以2a－b＝(－2，4－k)，2a＋b＝(6，4＋k).
又(2a－b)⊥(2a＋b)，
所以(2a－b)·(2a＋b)＝－2×6＋(4－k)(4＋k)＝4－k2＝0，
所以k＝±2.
5
解析 取BC的中点O，
∵△ABC为等边三角形，
∴AO⊥BC，则以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，
解 设向量a与b的夹角为θ，
12.在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，－1).
(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；
B
解析 依题意，不妨设a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(x，y).(共51张PPT)
第五章 平面向量、复数
第2节 平面向量基本定理及坐标表示
1.理解平面向量基本定理及其意义.
2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.
3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.
4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
目 录
CONTENTS
知识诊断自测
01
考点聚焦突破
02
课时分层精练
03
知识诊断自测
1
ZHISHIZHENDUANZICE
1.平面向量的基本定理
条件 e1，e2是同一平面内的两个____________
结论 对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝__________
基底 若e1，e2________，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底
不共线向量
λ1e1＋λ2e2
不共线
2.平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个__________的向量，叫做把向量作正交分解.
互相垂直
(x1＋x2，y1＋y2)
(x1－x2，y1－y2)
(λx1，λy1)
(x2－x1，y2－y1)
4.平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a，b(b≠0)共线的充要条件是_______________.
x1y2－x2y1＝0
1.平面内不共线向量都可以作为基底，反之亦然.
2.若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.
常用结论与微点提醒
√
×
√
2.(必修二P31例7改编)已知a＝(4，2)，b＝(6，y)，且a∥b，则y＝________.
3
解析 因为a∥b，所以4y－2×6＝0，解得y＝3.
3.(必修二P30例5改编)已知平行四边形ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为__________.
(1，5)
考点聚焦突破
2
KAODIANJUJIAOTUPO
考点一 平面向量基本定理的应用
D
3
感悟提升
1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.
2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的.
AC
解析 对于B，若a，b共线，p与a，b不共线，则不存在实数x，y使得p＝xa＋yb，故B错误；
解析 因为在平行四边形ABCD中，M为BC的中点，AC与MD相交于点P，
考点二 平面向量的坐标运算
C
解析 建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0，0).
不妨设AB＝1，则CD＝AD＝2，
∴C(2，0)，A(0，2)，B(1，2)，E(0，1)，
感悟提升
平面向量坐标运算的技巧
(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标.
(2)解题过程中，常利用向量相等其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解.
A
解析 设P(x，y)，
(2)已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，用基底{a，b}表示c，则( )
A.c＝2a－3b B.c＝－2a－3b
C.c＝－3a＋2b D.c＝3a－2b
D
解析 如图建立平面直角坐标系，设正方形网格的边长为1，
则A(1，0)，B(2，1)，C(0，4)，D(7，1)，
所以a＝(1，1)，b＝(－2，3)，c＝(7，－3)，
设向量c＝ma＋nb，
则c＝ma＋nb＝(m－2n，m＋3n)＝(7，－3)，
所以c＝3a－2b.故选D.
考点三 平面向量共线的坐标表示
ABD
解析 由题意得ma＋c＝(3m－1，m＋2)，a＋nb＝(3＋2n，1＋3n).
由(ma＋c)∥(a＋nb)可得(3＋2n)(m＋2)－(1＋3n)(3m－1)＝0，
整理得mn＝n＋1.
A中，2×1＝1＋1，满足；
B中，0×(－1)＝－1＋1，满足；
C中，3×2≠2＋1，不满足；
解析 因为点O(0，0)，A(0，5)，B(4，3)，
感悟提升
1.两平面向量共线的充要条件有两种形式：
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；
(2)若a∥b(b≠0)，则a＝λb.
2.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.
C
ABD
假设A，B，C三点共线，
则1·(m＋1)－2m＝0，即m＝1.
所以若连接AB，BC，AC能构成三角形，
则m≠1.故选ABD.
课时分层精练
3
KESHIFENCENGJINGLIAN
1.已知向量a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若3a－2b＋c＝0，则c＝( )
A.(－23，－12) B.(23，12)
C.(7，0) D.(－7，0)
A
解析 由题意可得3a－2b＋c＝3(5，2)－2(－4，－3)＋(x，y)＝(23＋x，12＋y)＝(0，0)，
B
解析 已知向量a＝(－1，2)，b＝(m，1)，
得a＋2b＝(－1，2)＋2(m，1)＝(2m－1，4)，
2a－b＝2(－1，2)－(m，1)＝(－m－2，3).
由a＋2b与2a－b平行，
3.(2024·西安质检)设k∈R，下列向量中可与向量q＝(1，－1)构成一个基底的是( )
A.b＝(k，k) B.c＝(－k，－k)
C.d＝(k2＋1，k2＋1) D.e＝(k2－1，k2－1)
C
解析 对于选项A，B，若k＝0，则b＝(0，0)，c＝(0，0)，均不满足构成基底的条件，所以A，B不符合题意；
对于选项C，因为 k∈R，k2＋1≠0，
且(k2＋1)×(－1)－(k2＋1)×1＝－2(k2＋1)≠0恒成立，
所以d与q不共线，满足构成基底的条件，所以C符合题意；
对于选项D，若k＝±1，则e＝(0，0)，不满足构成基底的条件，所以D不符合题意.故选C.
D
A
解析 设网格中小正方形的边长为1，在网格线上取互相垂直的单位向量i，j，如图所示，
则有a＝－i＋j，b＝6i＋2j，c＝－i－3j.
由c＝xa＋yb，得－i－3j＝x(－i＋j)＋y(6i＋2j)，
A
解析 如图，因为点M是BC的中点，
AC
解析 如图所示，则
8. 若P1(1，3)，P2(4，0)，且P是线段P1P2的一个三等分点(靠近点P1)，则点P的坐标为________.
(2，2)
－1
0
解析 由题意可知，
解 由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8).
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)
＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42).
(2)法一 ∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，
法二 ∵a＋b＋c＝0，∴a＝－b－c，
又a＝mb＋nc，b和c不共线，∴mb＋nc＝－b－c，
3
解析 如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，B(1，0)，D(0，2)，C(1，2)，
直线BD的方程为BD：y＝－2x＋2，
⊙C方程为：(x－1)2＋(y－2)2＝r2，
