(共48张PPT)
第四章 三角函数、解三角形
第4节 简单的三角恒等变换
1.会根据相关公式进行化简和求值.
2.会利用三角函数式的化简与求值解决一些简单的问题.
目 录
CONTENTS
考点聚焦突破
01
课时分层精练
02
考点聚焦突破
1
KAODIANJUJIAOTUPO
考点一 三角函数式的化简
感悟提升
1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征.
2.三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点.
B
∴sin 2＋cos 2＞0，
∴原式＝2(sin 2＋cos 2)－2cos 2＝2sin 2.
－cos θ
考点二 三角函数式的求值
D
(2)计算：(1＋tan 13°)(1＋tan 17°)(1＋tan 28°)·(1＋tan 32°)＝________.
4
∴tan 13°＋tan 32°＝1－tan 13°tan 32°，
即tan 13°＋tan 32°＋tan 13°tan 32°＝1，
∴(1＋tan 13°)(1＋tan 32°)＝1＋tan 13°＋tan 32°＋tan 13°tan 32°＝2，
同理可得(1＋tan 17°)(1＋tan 28°)＝2.
∴(1＋tan 13°)(1＋tan 17°)(1＋tan 28°)(1＋tan 32°)＝4.
B
A
感悟提升
1.给值(角)求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法.
2.给值(角)求值问题的一般步骤
(1)化简条件式子或待求式子；
(2)观察条件与所求之间的联系，从函数名称及角入手；
(3)将已知条件代入所求式子，化简求值.
C
考点三 三角恒等变换的综合应用
感悟提升
课时分层精练
2
KESHIFENCENGJINGLIAN
D
C
解析 因为sin 105°＝sin(90°＋15°)＝cos 15°，
sin 135°＝sin(180°－45°)＝sin 45°，
所以sin 15°cos 45°＋sin 105°sin 135°=sin 15°cos 45°＋cos 15°sin 45°
D
B
所以第一次的“晷影长”是“表高”的2倍.
C
C
BC
8
故(sin α＋sin β)2＝sin2α＋sin2β＋2sin αsin β＝1，
(cos α＋cos β)2＝cos2α＋cos2β＋2cos αcos β＝2，
以上两式相加可得2＋2sin αsin β＋2cos αcos β＝3，
即2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1，
解 由已知得2sin α＝－cos α，(共54张PPT)
第四章 三角函数、解三角形
第3节 和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式
1.会推导两角差的余弦公式.
2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系，并会简单应用.
目 录
CONTENTS
知识诊断自测
01
考点聚焦突破
02
课时分层精练
03
知识诊断自测
1
ZHISHIZHENDUANZICE
1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式C(α－β)：cos(α－β)＝______________________；
(2)公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝______________________；
(3)公式S(α－β)：sin(α－β)＝______________________；
(4)公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝______________________；
(5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝_____________；
(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝_____________.
cos αcos β＋sin αsin β
cos αcos β－sin αsin β
sin αcos β－cos αsin β
sin αcos β＋cos αsin β
3.二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S2α：sin 2α＝____________.
(2)公式C2α：cos 2α＝___________＝_________＝_________.
(3)公式T2α：tan 2α＝_________.
2sin αcos α
cos2α－sin2α
2cos2α－1
1－2sin2α
常用结论与微点提醒
√
√
×
√
√
3.计算：sin 108°cos 42°－cos 72°sin 42°＝______.
解析 原式＝sin(180°－72°)cos 42°－cos 72°sin 42°
＝sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°＝sin(72°－42°)
考点聚焦突破
2
KAODIANJUJIAOTUPO
考点一 公式的基本应用
B
解析 ∵α是第三象限角，
∴sin α＜0，
A
感悟提升
三角函数公式的应用策略
(1)使用两角和、差及倍角公式时，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律.例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”.
(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用.
B
BD
考点二 公式的逆用及变形
C
B
4
感悟提升
C
解析 由题意得
整理，得sin αcos β－sin βcos α＋cos αcos β＋sin αsin β＝0，
即sin(α－β)＋cos(α－β)＝0，
所以tan(α－β)＝－1，故选C.
C
(3)计算：cos 20°cos 40°cos 80°＝________.
考点三 角的变换问题
B
感悟提升
B
解析 2sin β＝sin(2α＋β)＝sin 2αcos β＋cos 2αsin β，
所以sin β(2－cos 2α)＝sin 2αcos β，
拓展视野 万能公式
课时分层精练
3
KESHIFENCENGJINGLIAN
D
解析 原式＝cos 50°cos 160°－sin 50°sin 160°
C
解析 因为角α的终边上一点P的坐标为(－1，2)，角β的终边与角α的终边关于x轴对称，
所以点(－1，－2)是角β的终边上的点，
所以tan β＝2，
B
C
所以1－tan αtan β＝tan α＋tan β，
则1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝2，
即(1＋tan α)·(1＋tan β)＝2.
AC
A
A
－2
解析 因为cos 345°＝cos(360°－15°)＝cos 15°，
＝log2sin 15°＋log2cos 15°
＝log2(sin 15°cos 15°)
－3
C(共45张PPT)
第四章 三角函数、解三角形
第7节 三角函数中的参数范围问题
会利用三角函数的单调性、奇偶性、对称性等性质求参数的值或取值范围.
考点一 三角函数的单调性与ω的关系
B
感悟提升
确定函数的单调区间，根据区间之间的包含关系，建立不等式，即可求ω的取值范围.
C
所以ω＝5符合题意，
所以ω的最大值为5.
考点二 三角函数的对称性与ω的关系
CD
又因为ω>0，所以ω的最小值为1，
故ω可取的值为1，4.
感悟提升
C
考点三 三角函数的最值与ω的关系
C
感悟提升
利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，可以列出关于ω的不等式(组)，进而求出ω的值或取值范围.
考点四 三角函数的零点与ω的关系
例4 (2023·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝cos ωx－1(ω>0)在区间[0，2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是________.
[2，3)
解析 法一 函数f(x)＝cos ωx－1在区间[0，2π]有且仅有3个零点，
即cos ωx＝1在区间[0，2π]有且仅有3个根，
因为ω>0，x∈[0，2π]，所以ωx∈[0，2ωπ]，
则由余弦函数的图象可知，4π≤2ωπ<6π，
解得2≤ω<3，即ω的取值范围是[2，3).
法二 函数f(x)＝cos ωx－1在区间[0，2π]有且仅有3个零点，
即cos ωx＝1在区间[0，2π]有且仅有3个根，
根据函数y＝cos x在[0，2π]上的图象可知cos x＝1在区间[0，2π]有2个根，
所以若cos ωx＝1在区间[0，2π]有且仅有3个根，
则函数y＝cos ωx在[0，2π]内至少包含2个周期，但小于3个周期，
感悟提升
C
课时分层精练
KESHIFENCENGJINGLIAN
A
C
B
B
D
C
D
B
2
2
3
B
解析 易知ω≠0，因为恒有f(x)≤f(2π)，
所以当x＝2π时，f(x)取得最大值，
B
0(共56张PPT)
第四章 三角函数、解三角形
第9节 三角函数模型及解三角形的实际应用
1.会用三角函数解决简单的实际问题，体会利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型.
2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识以及方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.
目 录
CONTENTS
知识诊断自测
01
考点聚焦突破
02
课时分层精练
03
知识诊断自测
1
ZHISHIZHENDUANZICE
1.仰角和俯角
在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线______叫俯角(如图1).
下方
2.方位角
从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为α(如图2).
3.方向角
正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等.
4.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.
1.不要搞错各种角的含义，不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混.
2.解决与平面几何有关的计算问题关键是找清各量之间的关系，从而应用正、余弦定理求解.
常用结论与微点提醒
√
×
×
√
解析 (2)α＝β；
(3)俯角是视线与水平线所构成的角.
2.如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离AC＝BC＝1 km，且C＝120°，则A，B两点间的距离为________km.
解析 在△ABC中，易得A＝30°，
3.如图，在塔底D的正西方A处测得塔顶的仰角为45°，在塔底D的南偏东60°的B处测得塔顶的仰角为30°，A，B间的距离是84 m，则塔高CD＝________m.
4.(必修一P241T6改编)某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针绕点O匀速旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A，B两点间的
距离d(单位：cm)表示成t(单位：s)的函数，则d＝_____________，t∈[0，60].
解析 如图，设∠AOB＝α，
考点聚焦突破
2
KAODIANJUJIAOTUPO
考点一 三角函数模型
ABC
感悟提升
三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题.
BC
解析 因为f(x)＝Asin(ωx＋φ)，
所以f′(x)＝Aωcos(ωx＋φ).
因为当x＝2π时，两潮有一个交叉点，
所以Asin(2ωπ＋φ)＝Aωcos(2ωπ＋φ)，
因为A∈N*，所以tan(2ωπ＋φ)＝ω，
因为ω∈N*，所以tan(2ωπ＋φ)＝tan φ＝ω，
考点二 解三角形应用举例
D
B
角度3 测量角度问题
例4 已知岛A南偏西38°方向，距岛A3海里的B处有一艘缉私艇.岛A处的一艘走私船正以10海里/时的速度向岛屿北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？
解 如图，设缉私艇在C处截住走私船，D为岛A正南方向上一点，缉私艇的速度为每小时x海里，
则BC＝0.5x，AC＝5，
依题意，AB＝3，∠BAC＝180°－38°－22°＝120°，
由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 120°，
所以BC2＝49，
所以BC＝0.5x＝7，解得x＝14.
所以∠ABC＝38°，
又∠BAD＝38°，所以BC∥AD，
故缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船.
感悟提升
解三角形应用问题的要点
(1)从实际问题中抽象出已知的角度、距离、高度等条件，作为某个三角形的元素.
(2)利用正弦定理、余弦定理解三角形，得到实际问题的解.
14
解析 在△ABD中，A=45°，∠ABD=180°－75°=105°，∠ADB=30°，
265
解析 由题意可知∠PAB＝30°，∠PBH＝75°，AB＝388，
所以∠BPA＝45°.
课时分层精练
3
KESHIFENCENGJINGLIAN
1.如图所示是某弹簧振子做简谐运动的部分图象，则下列判断错误的是( )
A.该弹簧振子的振幅为2 cm
B.该弹簧振子的振动周期为1.6 s
C.该弹簧振子在0.2 s和1.0 s时振动速度最大
D.该弹簧振子在0.6 s和1.4 s时的位移为零
C
解析 由图象及简谐运动的有关知识得，该弹簧振子的振幅为2 cm，振动周期为2×(1.0－0.2)＝1.6 s.
当t＝0.2 s或1.0 s时，振动速度为零，该弹簧振子在0.6 s和1.4 s时的位移为零.A，B，D正确，C错误.
A
解析 如图，在△ABC中，
A
解析 设山顶为A，塔底为C，塔顶为D，
BD
A
解得2k≤t≤2k＋1，k∈N，
故s(t)的单调递增区间是[2k，2k＋1]，k∈N，
则其单调递减区间是[2k＋1，2k＋2]，k∈N，
所以s(t)的单调区间是[k，k＋1]，k∈N.
6.(2024·贵阳诊断)镜面反射法是测量建筑物高度的重要方法，在如图所示的模型中，已知人眼距离地面高度h＝1.5 m，某建筑物高h1＝4.5 m，将镜子(平面镜)置于平地上，人后退至从镜中能够看到建筑物顶部的位置，测量人与镜子间的距离a1＝1.2 m，将镜子后移a m，重复前面的操作，测量人与镜子间的距离a2＝3.2 m，则a＝( )
A
A.6 B.5 C.4 D.3
解析 如图，设建筑物最高点为A，建筑物底部为O，第一次观察时镜面位置为B，第一次观察时人眼睛位置为C，第二次观察时镜面位置为D，
设O到B之间的距离为a0 m，
由光线反射性质得∠ABO＝∠CBD，
所以tan ∠ABO＝tan ∠CBD，
A
因为该建筑关于房梁所在铅垂面(垂直于水平面的面)对称，P1，P2，P3是AT的四等分点，Q1，Q2，Q3是BT的四等分点，所以AP2＝BQ2＝2L，P2P3＝L.
8.江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，在炮台顶部测得两条船的俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部所连的线成30°角，则两条船相距______m.
解析 由题意画示意图，如图，
50π
解析 连接OC，因为CD∥OA，
所以∠DCO＝∠COA，∠CDO＝180°－∠DOA＝60°.
在△OCD中，由正弦定理可得
BCD
14.如图所示，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N(异于村庄A)，要求PM＝PN＝MN＝2(单位：千米).如何设计，使得工厂产生的噪音对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远) (共57张PPT)
第四章 三角函数、解三角形
第1节 任意角、弧度制和三角函数的概念
1.了解任意角的概念和弧度制的概念.
2.能进行弧度与角度的互化.
3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
目 录
CONTENTS
知识诊断自测
01
考点聚焦突破
02
课时分层精练
03
知识诊断自测
1
ZHISHIZHENDUANZICE
端点
正角
负角
零角
象限角
2.弧度制的定义和公式
(1)定义：长度等于________的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad.
半径长
(2)公式
|α|r
3.任意角的三角函数
(1)定义
单位圆
y
y
x
x
(2)定义的推广
设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么
sin α＝____；cos α＝____，tan α＝____ (x≠0).
常用结论与微点提醒
4.轴线角
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)小于90°的角是锐角.( )
(2)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角.( )
(3)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关.( )
(4)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.( )
×
×
√
√
D
3.(必修一P180T3改编)已知角θ的终边经过点P(－12，5)，则sin θ＋cos θ＝________.
4.已知扇形的圆心角为30°，其弧长为2π，则此扇形的面积为________.
12π
考点聚焦突破
2
KAODIANJUJIAOTUPO
考点一 象限角及终边相同的角
AD
解析 A项显然正确；
D中，所有与45°角终边相同的角可表示为
β＝45°＋k·360°，k∈Z，
令－720°≤45°＋k·360°＜0°(k∈Z)，
从而当k＝－2时，β＝－675°；
当k＝－1时，β＝－315°，故正确.
C
解析 ∵角θ是第二象限角，
感悟提升
C
故角的终边在第三象限或y轴的负半轴.
综上，角的终边在第一象限或第三象限或y轴上.
考点二 弧度制及其应用
例2 已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l(α>0).
(1)已知扇形的周长为10 cm，面积是4 cm2，求扇形的圆心角；
(2)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
解 由已知，得l＋2R＝20.
所以当R＝5 cm时，S取得最大值25 cm2，
此时l＝10 cm，α＝2.
感悟提升
应用弧度制解决问题时应注意：
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题.
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.
D
A.3 B.4 C.6 D.8
(2)数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法：先画等边△ABC，再分别以A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形(如图所示).若莱洛三角形的周长为2π，则其面积是________.
考点三 三角函数的定义及应用
D
(2)(2024·豫北名校联考)已知角α的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(－4m，3m)(m≠0)，则2sin α＋cos α的值为_________.
角度2 三角函数值符号的判定
例4 (1)(2024·成都石室中学模拟)若α是第三象限角，则下列各式中成立的是( )
A.tan α－sin α>0 B.sin α＋cos α>0
C.cos α－tan α>0 D.tan αsin α>0
A
解析 因为α是第三象限角，
所以sin α<0，cos α<0，tan α>0，
对于A，tan α－sin α>0，故A正确；
对于B，sin α＋cos α<0，故B错误；
对于C，cos α－tan α<0，故C错误；
对于D，tan αsin α<0，故D错误.
AC
解析 因为sin xcos x>0，sin x＋cos x>0，
所以sin x>0，cos x>0，
故x是第一象限角，
感悟提升
1.三角函数定义的应用
(1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角的三角函数值.
(2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值.
2.要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号.如果不能确定角所在象限，那就要进行分类讨论求解.
训练3 (1)已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若点P(sin α，tan α)在第四象限，则角α的终边在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
B
解析 ∵点P(sin α，tan α)在第四象限，
∴sin α>0，tan α<0，
∴角α的终边在第二象限.
BD
解析 由题意，若角α的终边位于第一象限，
令x＝1，则y＝4，
若角α的终边位于第三象限，
令x＝－1，则y＝－4，
课时分层精练
3
KESHIFENCENGJINGLIAN
C
D
又sin θ·cos θ<0，所以sin θ<0，
所以θ为第四象限角.
A
A
解析 由题意知α＝π＋2kπ，k∈Z，
B
解析 记O为坐标原点，由题意可知O(0，0)，A(1，m)，B(m，4)三点共线，
则m≠0，
又A，B两点位于同一象限，
所以m＝2，则A(1，2)，
AD
终边在直线y＝－x上的角α的取值集合可表示为{α|α＝k·180°－45°，k∈Z}，故B错误；
7.(2023·西安二模)扇面是中国书画作品的一种重要表现形式(如图1)，图2为其结构简化图.设扇面A，B间的圆弧长为l，A，B间的弦长为d，圆弧所对的圆心角为θ，则l，d和θ所满足的关系为( )
A
AD
解析 由点P(sin x－cos x，－3)在第三象限，
可得sin x－cos x<0，即sin x
9.若α＝1 560°，角θ与α终边相同，且－360°＜θ＜360°，则θ＝______________.
120°或－240°
解析 因为α＝1 560°＝4×360°＋120°，
所以与α终边相同的角为360°×k＋120°，k∈Z，
令k＝－1或k＝0，可得θ＝－240°或θ＝120°.
10.已知扇形的圆心角为120°，弧长为2π，则扇形面积为________.
3π
BD
A
15.已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.若扇形的周长是40 cm，当扇形的圆心角α＝________弧度时，这个扇形的面积最大.
2
解析 由已知，得l＋2R＝40，
所以当R＝10(cm)时，S取得最大值，
此时l＝20(cm)，α＝2.
所以角α只能是第三象限角.
记P为角α的终边与单位圆的交点，
设P(x，y)(x<0，y<0)，(共51张PPT)
第四章 三角函数、解三角形
第2节 同角三角函数的基本关系及诱导公式
目 录
CONTENTS
知识诊断自测
01
考点聚焦突破
02
课时分层精练
03
知识诊断自测
1
ZHISHIZHENDUANZICE
sin2α＋cos2α＝1
2.三角函数的诱导公式
－sin α
－sin α
sin α
cos α
cos α
－cos α
cos α
－cos α
sin α
－sin α
tan α
－tan α
－tan α
常用结论与微点提醒
×
×
×
×
解析 (1)对任意的角α，sin2α＋cos2α＝1.
(2)中对于任意α∈R，恒有sin(π＋α)＝－sin α.
(3)中当α的终边落在y轴上时，商数关系不成立.
B
B
－sin2α
考点聚焦突破
2
KAODIANJUJIAOTUPO
考点一 同角三角函数基本关系式
A
感悟提升
ABD
感悟提升
B
解析 法一 ∵α为锐角，∴cos α≠0，
考点二 诱导公式
C
－1
感悟提升
D
解析 sin(3π－x)＝sin(π－x)＝sin x，
考点三 基本关系式和诱导公式的综合应用
D
感悟提升
1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.
2.注意角的范围对三角函数符号的影响.
A
课时分层精练
3
KESHIFENCENGJINGLIAN
C
2.(多选)已知sin(θ＋π)＜0，cos(θ－π)＞0，则下列不等关系中成立的是( )
A.sin θ＜0 B.sin θ＞0 C.cos θ＞0 D.cos θ＜0
BD
解析 因为sin(θ＋π)＝－sin θ＜0，
所以sin θ＞0，故B正确；
因为cos(θ－π)＝－cos θ＞0，
所以cos θ＜0，故D正确.
D
解析 因为tan α＝2，
D
解析 ∵α是第一象限角，且角α，β的终边关于y轴对称，
∴β＝π－α＋2kπ，k∈Z，
B
C
A
ABD
解析 ∵－270°<α<－90°，
∴143°<53°－α<323°，
ACD
D
解析 法一 由三角函数的定义可知
18(共61张PPT)
第四章 三角函数、解三角形
第6节 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用
1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义，能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象.
2.了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响.
3.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.
目 录
CONTENTS
知识诊断自测
01
考点聚焦突破
02
课时分层精练
03
知识诊断自测
1
ZHISHIZHENDUANZICE
2.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径
3.函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
ωx＋φ
常用结论与微点提醒
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
×
×
√
√
B
4.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则f(x)的解
析式为 _______________________.
考点聚焦突破
2
KAODIANJUJIAOTUPO
考点一 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
解 因为函数f(x)的最小正周期是π，所以ω＝2.
(2)作出f(x)在[0，π]上的图象(要列表)；
列表如下：
描点、连线得图象：
(3)函数y＝f(x)的图象可由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换得到？
迁移 本例已知条件不变，第(3)问改为：函数y＝f(x)的图象可由函数y＝cos x的图象经过怎样的变换得到？
感悟提升
D
C
考点二 由图象确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
C
感悟提升
BCD
考点三 三角函数图象、性质的综合应用
[－1，1)∪{2}
感悟提升
1.研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想研究其单调性、对称性和最值等.
2.方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数.
ACD
课时分层精练
3
KESHIFENCENGJINGLIAN
C
C
D
D
C
D
B
g(x)＝2cos 2x
(－2，－1)
如图：
∵函数f(x)的最小值为－2，
∴－2＋1＋m＝－2，解得m＝－1，
∴函数f(x)的最大值为2.
BD(共46张PPT)
第二课时 三角形高线、中线、角平分线的计算
第四章 三角函数、解三角形 第8节 正弦定理和余弦定理及其应用
目 录
CONTENTS
考点聚焦突破
01
课时分层精练
02
考点聚焦突破
1
KAODIANJUJIAOTUPO
考点一 三角形的高线
例1 (2023·新高考Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin(A－C)＝sin B.
(1)求sin A；
(2)设AB＝5，求AB边上的高.
因为2sin(A－C)＝sin B，
所以2sin(A－C)＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)，
所以2sin Acos C－2cos Asin C＝sin Acos C＋cos Asin C，
所以sin Acos C＝3cos Asin C，
易得cos Acos C≠0，
感悟提升
高线问题的处理策略
(1)等面积法：AD·BC＝AB·AC·sin ∠BAC.
(2)AD＝AB·sin ∠ABD＝AC·sin ∠ACD.
(3)a＝c·cos B＋b·cos C.
考点二 三角形的中线
例2 (2024·湘潭模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足b2(sin2B－3cos2B)＝－a(a＋b)，且sin C＝sin 2B.
(1)求角B的大小；
解 因为sin C＝sin 2B，
所以sin C＝2sin B·cos B，
由正弦定理得c＝2bcos B，
由b2(sin2B－3cos2B)＝－a(a＋b)，
得b2(1－4cos2B)＝－a2－ab，
又由c＝2bcos B，得c2＝4b2cos2B，
感悟提升
中线问题的处理策略：如图①，△ABC中，AD为BC的中线，已知AB，AC及A，求中线AD长.
训练2 (2024·长沙模拟)在△ABC中，bsin B＝asin A－(b＋c)sin C.
(1)求角A的大小；
解 由已知bsin B＝asin A－(b＋c)sin C和正弦定理，得b2＝a2－bc－c2，
考点三 三角形的角平分线
(2)设AD是△ABC的角平分线，求AD的长.
解 由(1)可得b＝c－1＝2，
因为AD是∠BAC的平分线，
所以∠BAD＝∠CAD＝30°，
设AD＝x，由S△ABC＝S△ACD＋S△ABD，可得
感悟提升
训练3 (2024·晋城模拟)已知三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acos B＋bcos A＝2ccos B.
(1)求角B；
解 因为acos B＋bcos A＝2ccos B，
由正弦定理可得sin Acos B＋sin Bcos A＝2sin Ccos B，
所以sin(A＋B)＝2sin Ccos B，即sin C＝2sin Ccos B，
在△BCD中，由余弦定理可得
CD2＝BD2＋BC2－2BD·BCcos ∠CBD，
课时分层精练
KESHIFENCENGJINGLIAN
C
A
解析 如图，BC边上的高AD为BC边长的一半，
B
解析 设∠BAD＝∠CAD＝θ，∵S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，
C
D
ACD
解析 由(2b－c)cos A＝acos C，
得2sin Bcos A－sin Ccos A＝sin Acos C，
得2sin Bcos A＝sin Acos C＋sin Ccos A＝sin(A＋C)＝sin(π－B)＝sin B，
因为B∈(0，π)，所以sin B≠0，
C
解析 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc，即4＝b2＋c2－bc，
所以4＝b2＋c2－bc≥bc，当且仅当b＝c时，等号成立.
1
解析 如图，在△ABC中，设D为AB边的中点，
10.在锐角△ABC中，BC＝4，sin B＋sin C＝2sin A，则中线AD的取值范围是____________.
解析 设AB＝c，AC＝b，BC＝a＝4，
对sin B＋sin C＝2sin A运用正弦定理，得b＋c＝2a＝8，
所以c＝8－b，
因为该三角形为锐角三角形，所以根据余弦定理，
11.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2＋b2(1－4cos2B)＝－ab，且c＝2bcos B.
(1)求B；
解 由a2＋b2(1－4cos2B)＝－ab，有a2＋b2－4b2cos2B＝－ab，
又c＝2bcos B，所以c2＝4b2cos2B，即a2＋b2－c2＝－ab，
B
设BC＝x，则AC＝2x，
在△ABC中，由余弦定理知，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos ∠ACB，
14.(2024·杭州模拟)已知锐角△ABC，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2acos C＝b－a.
(1)证明：C＝2A；
证明 因为2acos C＝b－a，
由正弦定理得2sin Acos C＝sin B－sin A，
又sin B＝sin(π－A－C)＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C，
所以2sin Acos C＝sin Acos C＋cos Asin C－sin A，
整理得sin(C－A)＝sin A，
解 因为CD为∠ACB的平分线，且C＝2A，
在△ACD中，由余弦定理可得b2＝AC2＝CD2＋AD2－2CD·AD·cos ∠ADC
＝3＋3－6cos(π－2A)＝6＋6cos 2A＝8，(共36张PPT)
第四章 三角函数、解三角形 第8节 正弦定理和余弦定理及其应用
第三课时 解三角形的综合应用
目 录
CONTENTS
考点聚焦突破
01
课时分层精练
02
考点聚焦突破
1
KAODIANJUJIAOTUPO
考点一 多边形中的解三角形问题
(2)线段AC的长度.
由余弦定理，得BC2＝BD2＝AD2＋AB2－2AD×AB×cos θ
感悟提升
平面几何中解三角形问题的求解思路
(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；
(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果.
(2)△BCD的面积.
考点二 三角形中的最值(范围)
[满分规则]
得步骤分
①处的实质都是解三角方程，都要注意写清楚角的范围，否则易失步骤分.
得关键分
②处消去角A是本题得解的关键所在.
得计算分
③处利用基本不等式求最小的关键是把目标函数化为其适用形式.
解 选①：由正弦定理及2a－b＝2ccos B，
得2sin A－sin B＝2sin Ccos B，
又∵sin A＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C，
∴2sin Bcos C＝sin B.
考点三 三角形中的证明问题
例3 (2022·全国乙卷)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A).
(1)若A＝2B，求C；
将A＝2B代入sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)，
可得sin Csin B＝sin Bsin(C－A).
因为B∈(0，π)，所以sin B≠0，
所以sin C＝sin(C－A).
(2)证明：2a2＝b2＋c2.
证明 法一 由sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)，
可得sin Csin Acos B－sin Ccos Asin B＝sin Bsin Ccos A－sin Bcos Csin A，
结合正弦定理可得，accos B－bccos A＝bccos A－abcos C，
即accos B＋abcos C＝2bccos A(*).
2bccos A＝b2＋c2－a2，
将上述三式代入(*)式并整理，得2a2＝b2＋c2.
法二 因为A＋B＋C＝π，
所以sin Csin(A－B)＝sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2Acos2B－cos2Asin2B
＝sin2A(1－sin2B)－(1－sin2A)sin2B＝sin2A－sin2B，
同理有sin Bsin(C－A)＝sin(C＋A)sin(C－A)＝sin2C－sin2A.
又sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)，
所以sin2A－sin2B＝sin2C－sin2A，
即2sin2A＝sin2B＋sin2C，
故由正弦定理可得2a2＝b2＋c2.
感悟提升
对于解三角形中的证明问题，要仔细观察条件与结论之间的联系，发现二者的差异，利用正弦定理、余弦定理及三角恒等变换把条件转换为结论，即为证明过程.
训练3 (2024·开封调研)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
sin(B－C)·tan A＝sin Bsin C.
(1)若A＝B，求sin2A的值；
∵0即sin Bcos C－sin Ccos B＝cos Asin C，
∵A＝B，
∴sin Acos C－sin Ccos A＝cos Asin C，
∴sin Acos C＝2cos Asin C.
又∵C＝π－2A，
∴sin Acos(π－2A)＝2cos Asin(π－2A)，
即－sin Acos 2A＝2cos Asin 2A，
即－sin A(1－2sin2A)＝4sin Acos2A，
整理得2sin2A－1＝4－4sin2A，
则sin Asin Bcos C－sin Asin Ccos B＝cos Asin Bsin C，
故sin Asin Bcos C＝sin C(cos Asin B＋sin Acos B)，
∴sin Asin Bcos C＝sin Csin(A＋B)，
∵A＋B＝π－C，∴sin Asin Bcos C＝sin2C.
课时分层精练
2
KESHIFENCENGJINGLIAN
证明 设BD＝x，则a＝BC＝2x.
在△ABC中，由余弦定理，得b2＋c2－2bccos A＝4x2，
即2b2＋2c2－bc＝8x2.①
即b2＋4c2－bc＝4x2.②
2×②－①，得6c2－bc＝0.
又c≠0，所以b＝6c.
3.(2024·西安调研)如图，在平面四边形ABCD中，AC⊥AD，AC＝AD＝7，AB=3.
(1)若BD＝8，求△ABC的面积；
解 在△ABD中，由余弦定理，得
(2)若∠BAC＝∠ADB，求BD的长.
由余弦定理可得AD2＝AC2＋CD2－2AC·CD·cos ∠ACD，
即1＝3＋CD2－3CD，
解得CD＝1或CD＝2.(共51张PPT)
第四章 三角函数、解三角形
第5节 三角函数的图象与性质
1.能画出三角函数的图象.
2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值.
3.借助图象理解正弦函数、余弦函数、正切函数的性质.
目 录
CONTENTS
知识诊断自测
01
考点聚焦突破
02
课时分层精练
03
知识诊断自测
1
ZHISHIZHENDUANZICE
2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
[－1，1]
[－1，1]
2π
2π
π
奇函数
偶函数
[2kπ－π，2kπ]
[2kπ，2kπ＋π]
(kπ，0)
x＝kπ
常用结论与微点提醒
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)余弦函数y＝cos x的对称轴是y轴.( )
(2)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数.( )
(3)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.( )
(4)y＝sin|x|是偶函数.( )
×
×
×
√
解析 (1)余弦函数y＝cos x的对称轴有无穷多条，y轴只是其中的一条.
考点聚焦突破
2
KAODIANJUJIAOTUPO
考点一 三角函数的定义域和值域
(2)函数y＝sin x－cos x＋sin xcos x的值域为_____________.
解析 设t＝sin x－cos x，
则t2＝sin2x＋cos2x－2sin xcos x，
感悟提升
考点二 三角函数的周期性、奇偶性、对称性
AD
D
感悟提升
ABD
考点三 三角函数的单调性
BD
因为cos 400°＝cos 40°，cos(－50°)＝cos 50°，
且当0°≤x≤90°时，函数y＝cos x单调递减，
所以cos 40°>cos 50°，即cos 400°>cos(－50°)，故B正确；
迁移 本例(2)中，若函数不变，求函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间.
感悟提升
1.已知三角函数解析式求单调区间
求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω＞0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解.但如果ω＜0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错.
2.比较三角函数值的大小，首先看是否可以直接利用三角函数在某个单调区间上的单调性比较大小，若不能，则利用周期性进行转化求解.
C
解析 依题意可知f(x)＝cos2x－sin2x＝cos 2x.
(2)若tan 2＝a，tan 3＝b，tan 5＝c，则( )
A.a＜b＜c B.b＜c＜a C.c＜b＜a D.c＜a＜b
D
所以tan(5－π)＜tan 2＜tan 3，
所以tan 5＜tan 2＜tan 3，即c＜a＜b.
B
B
B
解析 因为函数f(x)的最小正周期为π，
4.已知α，β为锐角三角形的两个内角，则下列结论正确的是( )
A.sin αcos β
B
解析 因为α，β是锐角三角形的两个内角，
C
B
AD
解析 f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sin x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数，故A正确；
f(x)在[－π，π]上的图象如图所示，由图可知函数f(x)在[－π，π]上只有3个零点，故C不正确；
∵y＝sin|x|与y＝|sin x|的最大值都为1且可以同时取到，
∴f(x)可以取到最大值2，故D正确.
8.写出一个具有下列性质①②③的函数f(x)＝________(答案不唯一).
①定义域为R；②函数f(x)是奇函数；③f(x＋π)＝f(x).
sin 2x
解析 由③f(x＋π)＝f(x)知要求函数的周期为π，
故要求的函数可以是f(x)＝sin 2x，此时亦满足①②，答案不唯一.
9.(2024·衡水调研)函数f(x)＝2cos x－cos 2x的最大值为________.
解析 f(x)＝2cos x－cos 2x＝－2cos2x＋2cos x＋1，
设t＝cos x，t∈[－1，1]，
cABC(共55张PPT)
第四章 三角函数、解三角形 第8节 正弦定理和余弦定理及其应用
第一课时 正弦定理和余弦定理
掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.
目 录
CONTENTS
知识诊断自测
01
考点聚焦突破
02
课时分层精练
03
知识诊断自测
1
ZHISHIZHENDUANZICE
1.正、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
b2＋c2－2bccos A
c2＋a2－2cacos B
a2＋b2－2abcos C
2Rsin B
2Rsin C
sin A∶sin B∶sin C
2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：
一解
两解
一解
一解
无解
常用结论与微点提醒
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.( )
(2)在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B.( )
(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.( )
(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a2<0时，△ABC为钝角三角形.( )
解析 (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比.
(3)已知三角时，不可求三边.
(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC不一定为锐角三角形，仅确定A为锐角.
×
×
×
√
2.(必修二P48T2(2)改编)在△ABC中，已知b＝2，A＝45°，C＝75°，则边c＝____________.
解析 B＝180°－45°－75°＝60°，
3.在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC＝________.
45°或135°
解析 根据题意，得ab＝2，
则C＝45°或135°.
考点聚焦突破
2
KAODIANJUJIAOTUPO
考点一 利用正弦定理解三角形
C
解析 因为acos B－bcos A＝c，所以由正弦定理得
sin Acos B－sin Bcos A＝sin C＝sin(B＋A)，则2sin Bcos A＝0.
BC
解析 对于A，因为b＝10，A＝45°，C＝60°，所以B＝75°，
所以△ABC只有一解，故A错误；
所以△ABC有两解(45°对于D，因为a＝8，b＝4，A＝80°，
所以b所以△ABC只有一解，故D错误.
感悟提升
B
A
考点二 利用余弦定理解三角形
D
解析 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝9＋c2－3c＝13，
即c2－3c－4＝0，
解得c＝－1(舍去)或c＝4，
所以c＝4.
A
所以由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，可得
12＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝(a＋b)2－24，
所以a＋b＝6.
感悟提升
利用余弦定理可解决以下两类三角形问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边与角；二是已知三边求各个角.由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的.
D
解析 cos 2A＝－cos A＝2cos2A－1，
即2cos2A＋cos A－1＝0，
(2)(2024·无锡质检)设a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边.若B＝C≠A，且a(b2＋c2－a2)＝b2c，则A＝________.
解析 因为b2＋c2－a2＝2bccos A，
所以2abccos A＝b2c，即2acos A＝b，
即2sin Acos A＝sin B，所以sin 2A＝sin B，
所以2A＝B或2A＋B＝π.
因为B＝C，所以A＋B＋C＝A＋2B＝π.
考点三 三角形的面积、周长
例3 (2023·全国乙卷)在△ABC中，已知∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1.
(1)求sin ∠ABC；
(2)若D为BC上一点，且∠BAD＝90°，求△ADC的面积.
感悟提升
拓展视野 射影定理
设△ABC的三边是a，b，c，它们所对的角分别是A，B，C，则有a＝bcos C＋ccos B；b＝ccos A＋acos C；c＝acos B＋bcos A.
例 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形，且满足sin B(1＋2cos C)＝2sin Acos C＋cos Asin C，则下列等式成立的是( )
A.a＝2b B.b＝2a C.A＝2B D.B＝2A
A
解析 法一 因为sin B(1＋2cos C)＝2sin Acos C＋cos Asin C，
所以sin B＋2sin Bcos C＝sin Acos C＋sin(A＋C)，
所以sin B＋2sin Bcos C＝sin Acos C＋sin B，
即cos C(2sin B－sin A)＝0，所以cos C＝0或2sin B＝sin A，
即C＝90°或2b＝a，
又△ABC为锐角三角形，
所以0°＜C＜90°，故2b＝a.
所以a2＋b2＝c2或2b＝a，
又△ABC为锐角三角形，
所以a2＋b2＞c2，故2b＝a.
法三 由正弦定理及射影定理，
得b＋2bcos C＝2acos C＋ccos A＝acos C＋(acos C＋ccos A)＝acos C＋b，
即2bcos C＝acos C，
又因为△ABC为锐角三角形，
所以cos C≠0，则2b＝a.
A
所以sin2C＝3sin2A，
所以cos2C＝1－sin2C＝1－3sin2A.
由2acos C＋b＝2ccos A，
得2sin Acos C＋sin B＝2sin Ccos A，
2sin Acos C＋sin(A＋C)＝2sin Ccos A，
3sin Acos C＝sin Ccos A，
则9sin2Acos2C＝sin2Ccos2A，
9sin2A(1－3sin2A)＝3sin2A(1－sin2A)，
法二 由射影定理，得b＝acos C＋ccos A
代入2acos C＋b＝2ccos A，得3acos C＝ccos A，
课时分层精练
3
KESHIFENCENGJINGLIAN
D
B
解析 因为sin A＝6sin B，
则由正弦定理得a＝6b，
又a＋2b＝8，所以a＝6，b＝1，
因为C＝60°，
所以由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，
A
解析 在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos A，
A
B
B
B
解析 因为2cos2A－cos A＝2cos2B＋2cos2C－2＋cos(B－C)，
所以2(1－sin2A)－cos[π－(B＋C)]＝2(1－sin2B)＋2(1－sin2C)－2＋cos(B－C)，
则2－2sin2A＋cos Bcos C－sin Bsin C＝2－2sin2B－2sin2C＋cos Bcos C＋sin Bsin C，
整理得sin2B＋sin2C－sin2A＝sin Bsin C，
由正弦定理可得b2＋c2－a2＝bc，
5
3
因为a＋b＋c＝10，所以a＋c＝10－b，
所以a2＋c2＋2ac＝100－20b＋b2，所以a2＋c2－b2＝68－20b.
由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accos B，
即b2＝a2＋c2－8，所以a2＋c2－b2＝8，
则68－20b＝8，解得b＝3.
(2)求c的值；
解 法一 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，
即39＝4＋c2－4ccos 120°，
整理得c2＋2c－35＝0，
解得c＝5或c＝－7(舍去)，
所以c＝5.
法二 因为A＝120°，所以B，C均为锐角，
(3)求sin(B－C)的值.
B
解析 因为2sin Bsin C＋sin B＋2cos 2B＝2，
进而有sin Bsin C＋sin Asin B－2sin2B＝0.
因为sin B≠0，所以sin C＋sin A－2sin B＝0，
由正弦定理得c＋a－2b＝0.又a2＝b2＋c2－2bccos 30°，
14.(2021·新高考Ⅱ卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，b＝a＋1，c＝a＋2.
(1)若2sin C＝3sin A，求△ABC的面积；
解 因为2sin C＝3sin A，所以2c＝3a，
又因为c＝a＋2，所以2(a＋2)＝3a，
则a＝4，b＝a＋1＝5，c＝a＋2＝6，
又a>0，故解得0又由三角形三边关系可得a＋a＋1>a＋2，
可得a>1，故1又a为正整数，故a＝2.