(共23张PPT)
多选题加练(六) 数 列
1.(2024·温州模拟)Sn是等比数列{an}的前n项和，若存在a，b，c∈R，使得Sn＝a·bn＋c，则( )
A.a＋c＝0 B.b是数列{an}的公比
C.ac<0 D.{an}可能为常数列
ABC
解析 设等比数列{an}的公比为q.
当q＝1时，Sn＝na1，显然是一次函数，不是常数函数形式，故不满足，所以D错误；
2.(2024·岳阳模拟)已知各项均为正数的等差数列{an}，且an＋1>an，则( )
A.a3＋a7＝a4＋a6 B.a3·a7>a4·a6
C.数列{a2n＋1}是等差数列 D.数列{a2n}是等比数列
AC
解析 设等差数列{an}的公差为d(d>0)，
对于A，由等差数列性质可得a3＋a7＝a4＋a6，故A正确；
对于B，a4·a6－a3·a7＝(a1＋3d)·(a1＋5d)－(a1＋2d)·(a1＋6d)＝3d2>0，
则a3·a7
对于C，因为a2n＋1－a2n－1＝2d，
则数列{a2n＋1}是等差数列，故C正确；
对于D，如数列{an}为1，2，3，4，5，6，…，显然数列{a2n}不是等比数列，故D错误.
BC
解析 若a2＝2，a4＝2，
根据推递关系可知，当n为奇数，即n＝2n＋1时，a2n＋1＝2n＋1(n∈N)，故B正确；
若an＝n，则n2(n－2)(n＋2)＝(n2－4)n2成立，
故数列{an}可以是等差数列，即C正确；
若数列{an}是等比数列，假设公比为q，
BD
解析 若数列{an}为等差数列，不妨设其公差为d，
则a1＋a3＋a8＝3a1＋9d，2a6＝2a1＋10d，
显然当a1＝d才相等，故A错误；
(S6－S3)－S3＝9d＝(S9－S6)－(S6－S3)，故B正确；
5.(2024·广州调研)设数列{an}的前n项和为Sn，且nSn＝(n＋1)Sn－1＋(n－1)n(n＋1)
(n≥2，n∈N*)，若S1＝－50，则下列结论正确的有( )
A.a5>0 B.数列{an}单调递减
C.当n＝4时，Sn取得最小值 D.Sn>0时，n的最小值为7
AC
解析 由nSn＝(n＋1)Sn－1＋(n－1)n(n＋1)(n≥2，n∈N*)，
解得2Sn＝n3－51n－50(n≥2，n∈N*)，
当n＝1时，S1＝－50满足上式，
又a1＝－50，a2＝－22，所以数列{an}单调递增，且a1所以当n≤4时，{Sn}单调递减，
当n≥5时，{Sn}单调递增，且S4所以当n＝4时，Sn取得最小值，故B错误，C正确；
6.(2024·锦州模拟)如果有限数列{an}满足ai＝an－i＋1(i＝1，2，…，n)，则称其为“对称数列”，设{bn}是项数为2k－1(k∈N*)的“对称数列”，其中bk，bk＋1，
…，b2k－1是首项为50，公差为－4的等差数列，则( )
A.若k＝10，则b1＝10 B.若k＝10，则{bn}所有项的和为590
C.若k＝13，则{bn}所有项的和最大 D.{bn}所有项的和可能为0
BC
解析 ∵{bn}是项数为2k－1(k∈N＋)的对称数列，
∴b1＝b2k－1，b2＝b2k－2，…，bk－1＝bk＋1，
对于C，{bn}的和S2k－1＝－4(k－13)2＋626，
当k＝13时，和最大，正确；
对于D，S2k－1＝－4k2＋104k－50＝0，方程无正整数解，错误.
7.已知{an}为等差数列，前n项和为Sn，a1＝10，公差d＝－2，则( )
A.S4＝S7
B.当n＝5或6时，Sn取得最小值为30
C.数列{|an|}的前10项和为50
D.当n≤2 023时，{an}与数列{3m＋10}(m∈N*)共有671项互为相反数
AC
解析 因为a1＝10，d＝－2，
所以an＝10－2(n－1)＝－2n＋12，
记{|an|}的前10项和为T10，
因为an＝－2n＋12，
当an＝－2n＋12≥0时，解得n≤6，
当an＝－2n＋12<0时，解得n>6，
所以T10＝|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＋|a10|
＝a1＋a2＋…＋a6－a7－a8－a9－a10
＝S6－(S10－S6)＝2S6－S10，
因为Sn＝－n2＋11n，所以S10＝10，
所以T10＝2×30－10＝50，故C正确；
记bm＝3m＋10，因为an＝－2n＋12，n≤2 023，
所以a2 023＝－4 034，
所以当n≤2 023时，an≥－4 034，
由an＝－2n＋12，n≤2 023，可知an为偶数，
若bm与an互为相反数，则bm≤4 034，且bm为偶数，
由bm＝3m＋10，所以bm－10为偶数，即3m为偶数，即m为偶数，即3m≤4 024，
故这样的m有670个，故D错误.
AC
所以数列{Sn}是首项为1，公比为9的等比数列，即Sn＝9n－1，故A正确；
由Sn＋1＝9Sn可得Sn＝9Sn－1(n≥2)，
两式相减得，an＋1＝9an，并且n＝1时，S2＝9S1，
当n≥2时，设数列{Sn－an}的前n项和为Tn，
则Tn＝(S1－a1)＋(S2－a2)＋…＋(Sn－an)
＝(S1＋S2＋…＋Sn)－(a1＋a2＋…＋an)
9.(2024·唐山模拟)如图，△ABC是边长为2的等边三角形，连接各边中点得到△A1B1C1，再连接△A1B1C1的各边中点得到△A2B2C2，…，如此继续下去，设△AnBnCn的边长为an，△AnBnCn的面积为Mn，则( )
ABD
BC(共20张PPT)
多选题加练(一) 函数性质的综合应用
1.(2024·无锡模拟)已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋2)为奇函数，f(2x＋1)为偶函数，则( )
A.f(x)的图象关于直线x＝1对称 B.f(x)的图象关于点(1，0)对称
C.f(x)的图象关于直线x＝2对称 D.f(x)的图象关于点(2，0)对称
AD
解析 因为f(x＋2)为奇函数，
所以f(x＋2)＝－f(－x＋2)，
所以函数f(x)关于点(2，0)对称，
又f(2x＋1)为偶函数，
所以f(2x＋1)＝f(－2x＋1)，
所以函数f(x)关于直线x＝1对称.故选AD.
BD
解析 令x＝y＝0，则f(0)＋f(0)＝2f(0)·f(0)，∴f(0)＝0或1.
令y＝x，则f(x)＋f(x)＝2f(x)·f(0)，
若f(0)＝0，则f(x)＝0，与f(x)不恒为0矛盾，
∴f(0)＝1，∴B正确，A错误；
令y＝－x，则f(x)＋f(－x)＝2f(0)·f(x)＝2f(x)，
∴f(x)＝f(－x)，∴f(x)为偶函数，∴D正确，C错误.
3.若定义域为R的函数f(x)在(4，＋∞)上单调递减，且函数y＝f(x＋4)为偶函数，则( )
A.f(2)>f(3) B.f(2)＝f(6) C.f(3)＝f(5) D.f(3)>f(6)
BCD
解析 ∵y＝f(x＋4)为偶函数，
∴f(－x＋4)＝f(x＋4)，
∴y＝f(x)的图象关于直线x＝4对称，
∴f(2)＝f(6)，f(3)＝f(5).
又y＝f(x)在(4，＋∞)上单调递减，
∴f(5)>f(6)，∴f(3)>f(6).
4.(2024·杭州质检)已知函数f(x)(x∈R)是奇函数，f(x＋2)＝f(－x)且f(1)＝2，f′(x)是f(x)的导函数，则( )
A.f(2 025)＝2 B.f′(x)的周期是4
C.f′(x)是偶函数 D.f′(1)＝1
ABC
解析 因为函数f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
对f(－x)＝－f(x)左、右两侧分别求导，
可得f′(－x)＝f′(x)，则函数f′(x)是偶函数，C正确；
又f(x＋2)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝f(x)，所以f′(x＋4)＝f′(x)，
所以函数f′(x)是以4为周期的周期函数，B正确；
f(2 025)＝f(1)，A正确；
由f(x＋2)＝f(－x)可知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f′(1)＝0,D错误.
5.(2024·辽宁大联考)若f(x)，g(x)，h(x)分别是定义在R上的偶函数、奇函数、偶函数，则下列函数是偶函数的是( )
A.y＝f(h(x))g(x) B.y＝f(g(x))＋h(x)
C.y＝f(g(x))h(x) D.y＝f(x)|g(x)|h(x)
BCD
解析 若f(x)，g(x)，h(x)分别是定义在R上的偶函数、奇函数、偶函数，
则f(x)＝f(－x)，g(x)＝－g(－x)，h(x)＝h(－x)，
对于函数y＝F(x)＝f(h(x))g(x)，则
F(－x)＝f(h(－x))g(－x)＝f(h(x))·(－g(x))＝－f(h(x))·g(x)＝－F(x)，
则y＝f(h(x))g(x)为奇函数；
对于函数y＝G(x)＝f(g(x))＋h(x)，则
G(－x)＝f(g(－x))＋h(－x)＝f(－g(x))＋h(x)＝f(g(x))＋h(x)＝G(x)，
则y＝f(g(x))＋h(x)为偶函数；
对于函数y＝H(x)＝f(g(x))h(x)，则
H(－x)＝f(g(－x))h(－x)＝f(－g(x))h(x)＝f(g(x))h(x)＝H(x)，
则y＝f(g(x))h(x)为偶函数；
对于函数y＝M(x)＝f(x)|g(x)|h(x)，则
M(－x)＝f(－x)|g(－x)|h(－x)＝f(x)|－g(x)|h(x)＝M(x)，
则y＝f(x)|g(x)|h(x)为偶函数.
BCD
解析 对于A，因为f(x＋1)是奇函数，
所以f(－x＋1)＝－f(x＋1)，故A错误；
对于B，因为f(x＋1)是奇函数，
所以y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称，即有f(x)＝－f(2－x)，
所以g(2－x)＝[1－(2－x)]f(2－x)＝(x－1)f(2－x)＝(1－x)f(x)＝g(x)，
所以y＝g(x)的图象关于直线x＝1对称，
函数g(x)在[1，＋∞)上单调递增，
所以g(x)在(－∞，1]上单调递减，故B正确；
对于C，因为a<2－b<1，
所以g(1)即g(1)对于D，因为g(a)>g(a＋1)，且a由函数y＝g(x)的图象关于直线x＝1对称，
7.(2024·威海模拟)已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，记g(x)＝f′(x)，若f(x＋2)为偶函数，g(x)为奇函数，则( )
A.f(x)＝f(4－x) B.g(x)＝－g(4－x)
C.f(x)＝－f(x＋4) D.g(x)＝g(x＋4)
ABD
解析 由f(x＋2)为偶函数，
得f(2－x)＝f(2＋x)，
所以由2－x代替x得f(x)＝f(4－x)，故A正确；
对f(x)＝f(4－x)左、右两侧分别求导，
可得f′(x)＝－f′(4－x)，
所以g(x)＝－g(4－x)，故B正确；
因为g(x)为奇函数，所以g(x)＝－g(－x)，
又因为g(x)＝－g(4－x)，
所以－g(－x)＝－g(4－x)，
即g(－x)＝g(4－x)，则g(x)＝g(x＋4)，故D正确；
令f(x)＝cos πx，则f(x＋2)＝cos[π(x＋2)]＝cos(πx＋2π)＝cos πx为偶函数，
g(x)＝f′(x)＝－πsin πx为奇函数，满足题干，
当x＝1时，f(1)＝cos π＝－1，
f(x＋4)＝f(5)＝cos 5π＝cos π＝－1，
所以f(1)≠－f(1＋4) ，即存在x＝1，
使得f(x)＝－f(x＋4)不成立，故C错误.
8.(2024·重庆模拟)已知R上的偶函数y＝f(x)在区间[－1，0]上单调递增，且恒有f(1－x)＋f(1＋x)＝0成立，则下列说法正确的是( )
A.f(x)在[1，2]上是增函数 B.f(x)的图象关于点(1，0)对称
C.函数f(x)在x＝2处取得最小值 D.函数y＝f(x)没有最大值
BC
解析 因为f(x)是偶函数，
且f(1－x)＋f(1＋x)＝0，
则f(1＋x)＝－f(1－x)＝－f[－(x－1)]＝－f(x－1)，
即f(x＋2)＝－f(x)，
又f(x)在[－1，0]上单调递增，
从而f(x)在[1，2]上单调递减，A错误；
∵f(1－x)＋f(1＋x)＝0，
∴函数f(x)的图象关于点(1，0)中心对称，B正确；
因为偶函数y＝f(x)(x∈R)在[－1，0]上单调递增，f(x＋2)＝－f(x)，
所以函数在区间[1，2]上单调递减，在[2，3]上单调递增，
所以在x＝2处取得最小值，C正确；
显然函数的最大值为f(0)，D错误.
AC
解析 A中，由f(x)g(－x)＝4，
得f(－x－2)g(x＋2)＝4，
又f(x)g(x＋2)＝4，
所以f(－x－2)＝f(x)，f(x)的图象关于x＝－1对称，A正确；
B中，由f(x)的图象关于点(0，2)对称，得f(－x)＋f(x)＝4，
由A选项结论知f(x－2)＝f(－x)，
所以f(x－2)＋f(x)＝4，
从而f(x－4)＋f(x－2)＝4，故f(x)＝f(x－4)，
即f(x)的一个周期为4，
令x＝5，则f(5－4)＋f(5－2)＝f(1)＋f(3)＝4，
令x＝6，则f(6－4)＋f(6－2)＝f(2)＋f(4)＝4，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝8，
C中，由f(x)＝f(x＋4)，及f(x)g(－x)＝4，
则f(x＋4)g(－x－4)＝4，得g(－x)＝g(－x－4)，
函数g(x)的一个周期为4，C正确；
BCD
解析 对于A，∵f(4－x)－f(x)＝0，
即f(4－x)＝f(x)，
∴f(2－x)＝f(2＋x)，
∴f(2－x)是偶函数，故A错误；
对于B，∵f(4－x)－f(x)＝0，
即f(4－x)＝f(x)，
∴f(2－3x)＝f(3x＋2)，
∴f(3x＋2)是偶函数，故B正确；
对于C，∵f(sin(x＋2))＝f(sin(x＋2＋2kπ))，k∈Z，
∴f(sin(x＋2))是周期函数，故C正确；
对于D，f′(x)＝(a－2x)(x2＋bx＋4)＋(ax－x2)(2x＋b)，
∵f(4－x)－f(x)＝0，
∴f(x)的图象关于直线x＝2对称，
∴f(4)＝f(0)且f′(2)＝0，
易得函数f(x)只有3个零点，不符合题意.(共30张PPT)
多选题加练(七) 立体几何与空间向量
1.(2024·常德模拟)已知平面α，β，直线l，m，则下列命题正确的是( )
A.若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，l α，则l⊥β
B.若α∥β，l α，m β，则l∥m
C.若m α，则“l⊥α”是“l⊥m”的充分不必要条件
D.若m α，l?α，则“l∥α”是“l∥m”的必要不充分条件
ACD
解析 由面面垂直的性质定理可知A正确；
对于B，若α∥β，l α，m β，则l∥m，或者l，m异面，故B错误；
对于C，若m α，l⊥α，则l⊥m，故充分性成立，
但是l⊥m，m α，不能得到l⊥α，故C正确；
对于D，若m α，l?α，l∥α，不能得到l∥m，
因为l，m有可能异面，但是l∥m，m α，l?α，则l∥α，故D正确.
BD
BC
解析 连接AC，BD，交BD于点O，连接OC1，
因为O1为四边形A1B1C1D1的中心，
所以AO1∥OC1，
又OC1 平面BDC1，AO1?平面BDC1，
所以AO1∥平面BDC1，
因为三棱锥Q－PBD的体积等于三棱锥P－QBD的体积，且为定值，
所以AO1∥平面QBD，
所以平面QBD与平面BDC1为同一平面，
所以Q为CD1与DC1的交点，
所以DQ＝QC1，故A错误，B正确；
因为正方体的棱长为2，
BD
BD
解析 对于A，当N为C1M的中点时，取BC的中点P，连接PN，AP，
易知PN∥CC1，CC1⊥平面ABC，
则PN⊥平面ABC，故∠PAN为直线AN与平面ABC所成的角，
所以C1Q＝1，CQ＝2，所以CQ＝B1M.
又CQ∥B1M，所以四边形CQB1M是平行四边形，
所以CM∥B1Q，即CM∥B1N.
因为B1N?平面ACM，CM 平面ACM，所以B1N∥平面ACM，故B正确；
ACD
解析 连接VP，BP，
因为△ABC和△VAC为等边三角形，P为AC中点，
所以AC⊥VP，AC⊥BP，
因为VP∩BP＝P，VP，BP 平面VPB，所以AC⊥平面VPB，
因为VB 平面VPB，所以VB⊥AC，故A正确；
因为平面ABC⊥平面VAC，平面ABC∩平面VAC＝AC，VP⊥AC，VP 平面VAC，
所以VP⊥平面ABC，
以P为原点，分别以PA，PB，PV为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
因为VP⊥平面ABC，BP 平面ABC，所以VP⊥BP，
ACD
解析 以D为坐标原点，以DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立坐标系，如图所示，
D(0，0，0)，E(1，2，1)，B(2，2，0)，G(2，1，2)，
A(2，0，0)，F(0，1，1)，C1(0，2，2)，
由几何关系可知，WX∥VU，WV∥TU，则WXTUV组成一个平面，
由BG∥TU，BC1∥TX，TU，TX均在平面WXTUV内，
则DE⊥平面WXTUV，即过点F且与直线DE垂直的平面α，截该正方体所得截面为如图所示的平面WXTUV，则截面WXTUV的周长为
ACD
由于N，O分别为SA，AB的中点，所以ON∥SB，
又ON?平面SBC，OM?平面SBC，SB 平面SBC，BC 平面SBC，所以ON∥平面SBC，OM∥平面SBC，
又OM∩ON＝O，所以平面OMN∥平面SBC.
又MN 平面OMN，所以MN∥平面SBC，故A正确；
对于B，假设圆O上存在点M使AM⊥平面SBC，SB 平面SBC，
所以AM⊥SB.
又因为SO⊥平面ABC，AM 平面ABC，
所以AM⊥SO，
又SO∩SB＝S，所以AM⊥平面SOB，
又AM⊥平面SBC，
所以平面SOB∥平面SBC，而平面SOB∩平面SBC＝SB，故B错误；
对于C，如图，已知SA＝5，圆锥SO的侧面积为S＝π×AO×SA＝15π，解得AO＝3，则SO＝4，
由题意可知球心在SO上，记为O′，设其半径为R，
由勾股定理得OA2＋OO′2＝O′A2，
对于D，设圆锥SO的内切球半径为r，
则圆锥的轴截面SAB内切圆的半径为r，
SA＝5，AO＝3，则SO＝4，
ACD
解析 如图所示，以A为原点建立空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(1，1，0)，D(1，0，0)，
A1(0，0，1)，B1(0，1，1)，C1(1，1，1)，D1(1，0，1)，
∴P(y，1，x).
对于A，当x＝1时，P(y，1，1)为线段B1C1上的点，
将平面A1B1C1D1和平面BCC1B1展开为同一个平面，如图，
ACD
对于B，当λ＝1时，点P在DD1上，此时把正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的后面和右面展开，如图，
所以点P在平面CDD1C1内，
因为B1C1⊥平面CDD1C1，连接C1P，
则∠B1PC1即为B1P与平面CDD1C1所成角，(共22张PPT)
多选题加练(四) 三角函数、解三角形
1.(2024·武汉模拟)在△ABC中，若A>B，则( )
A.sin A>sin B B.cos AC.sin 2A>sin 2B D.cos 2AABD
解析 在△ABC中，若A>B，由三角形中大边对大角，可得a>b，
又由正弦定理，可知sin A>sin B，故A正确；
又由余弦函数在(0，π)上单调递减，可知cos A由sin 2A＝2sin Acos A，和sin 2B＝2sin Bcos B，
由cos 2A＝1－2sin2A，cos 2B＝1－2sin2B，
由A可知cos 2A2.(2024·重庆诊断)如图，为了测量障碍物两侧A，B之间的距离，一定能根据以下数据确定AB长度的是( )
A.a，b，γ B.α，β，γ
C.a，β，γ D.α，β，b
ACD
解析 对于A，由余弦定理可知c2＝a2＋b2－2abcos γ，可求得c，A正确；
对于B，知三个内角，此时三角形大小不唯一，B错误；
BC
对于C，由余弦定理有b2＋c2－bc＝3，有(b＋c)2－3bc＝3，
代入b＋c＝3，可得bc＝2，故C正确；
对于D，由余弦定理有b2＋c2－bc＝4≥2bc－bc＝bc(当且仅当b＝c＝2时取等号)，
CD
BD
AB
AD
BD
ACD
BCD
对于D，若△ABC为直角三角形，则tan A，tan B，tan C中有一个无意义，不合乎题意.
因为A＋B＋C＝π，则A＋B＝π－C，
所以tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tan C，
则tan A＋tan B＝tan(A＋B)(1－tan Atan B)，
所以tan A＋tan B＋tan C＝tan(A＋B)(1－tan Atan B)＋tan C
＝tan C－tan C(1－tan Atan B)＝tan Atan Btan C>0，
由于△ABC中至少有两个锐角，则tan A，tan B，tan C中至少有两个正数，
进而可知tan A，tan B，tan C均为正数，从而C为锐角，D满足条件.(共17张PPT)
多选题加练(五) 平面向量
1.(2024·广州模拟)已知向量a＝(1，2)，b＝(－2，1)，则( )
A.(a－b)⊥(a＋b) B.(a－b)∥(a＋b)
C.|a－b|＝|a＋b| D.b－a在a上的投影向量是a
AC
解析 因为a－b＝(3，1)，a＋b＝(－1，3)，
所以(a－b)·(a＋b)＝3×(－1)＋1×3＝0，
(a－b)⊥(a＋b)，故A正确；
因为3×3－1×(－1)＝10≠0，故B错误；
BD
解析 对于A，因为a＝(1，m)，b＝(2，－4)，
解得m＝5或m＝3，故A错误；
对于B，因为a∥b，所以2m＝－4，解得m＝－2，故B正确；
对于D，当m＝1时，a＝(1，1)，a·b＝2－4＝－2<0，
又因为此时a，b不共线，所以向量a，b的夹角为钝角，故D正确.
3.(2024·蚌埠模拟)关于平面向量a，b，c，下列说法不正确的是( )
A.若a·c＝b·c，则a＝b B.(a＋b)·c＝a·c＋b·c
C.若a2＝b2，则a·c＝b·c D.(a·b)·c＝(b·c)·a
ACD
解析 对于A，若c＝0，则不一定有a＝b，A错误；
对于B，根据分配律即可得到，B正确；
对于C，若a2＝b2，则可能a＝－b，
那么a·c≠b·c，C错误；
对于D，等号左边为c的共线向量，等号右边为a的共线向量，故D不一定成立，D错误.
BC
BC
ACD
AC
解析 因为A(1，2)，B(3，1)，C(4，m＋1)(m∈R)，
AB
所以4a·b＝4，即a·b＝1，则|a|2＋|b|2＝4，
又因为4＝|a|2＋|b|2≥2|a||b|，即|a||b|≤2，
设a与b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cos θ＝1，
AC
解析 ∵四边形ABCD为矩形，
ABD(共23张PPT)
多选题加练(二) 基本初等函数及函数的应用
1.(2024·临沂模拟)已知f(x)＝x3g(x)为定义在R上的偶函数，则函数g(x)的解析式可以为( )
BD
解析 因为f(x)＝x3g(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)，
即g(－x)＝－g(x)，所以g(x)是奇函数.
对于A，定义域为(－1，1)，所以不满足题意；
对于B，定义域为R，
g(－x)＝3－x－3x＝－g(x)，符合题意；
2.(2024·邯郸模拟)已知函数f(x)＝log2(x＋6)＋log2(4－x)，则( )
A.f(x)的定义域是(－6，4)
B.f(x)有最大值
C.不等式f(x)<4的解集是(－∞，－4)∪(2，＋∞)
D.f(x)在[0，4]上单调递增
AB
f(x)＝log2(－x2－2x＋24)，
因为y＝－x2－2x＋24＝－(x＋1)2＋25在(－6，－1)上单调递增，在(－1，4)上单调递减，y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，
所以f(x)在(－6，－1)上单调递增，在(－1，4)上单调递减，
所以f(x)max＝f(－1)＝2log25，则B正确；
因为f(x)在(－6，－1)上单调递增，在(－1，4)上单调递减,且f(－4)＝f(2)＝4，
所以不等式f(x)<4的解集是(－6，－4)∪(2，4)，则C错误；
因为f(x)在(－1，4)上单调递减，所以D错误.
BD
解析 因为f(x)的定义域为R，
所以f(－x)＝log4(2x＋2－x)＝f(x)，
所以f(x)为偶函数，所以A错误，B正确；
当x∈[0，＋∞)时，t∈[1，＋∞)，
又t＝2x为增函数，所以f(x)在[0，＋∞)上是增函数.
所以C错误，D正确.
ABD
设f(x)＝ln x＋x，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增.
因为ln x＋x>ln y＋y，所以x>y，则A正确；
因为x>y，取x＝2，y＝1，则ln(x－y)＝0，所以C不正确；
因为x>y，所以－x<－y，所以2－x<2－y，
AC
解析 P0>0，当k∈(－1，0)时，0<1＋k<1，
由指数函数的性质可知：Pn＝P0(1＋k)n(k>－1)是关于n的单调递减函数，即人口数呈下降趋势，故A正确，B不正确；
AD
ABC
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，故A正确；
8.(2024·河北名校联考)设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x＝2对称，当x∈[0，2]时，f(x)＝x2，若方程f(x)＝4loga(x＋5)(a>0，且a≠1)在[－4，6]上恰有5个实数解，则( )
A.f(x)的周期为4 B.f(x)在[8，10]上单调递减
C.f(x)的值域为[0，2] D.7AD
解析 由f(x)的图象关于x＝2对称可得f(x＋4)＝f(－x)，
再由f(x)为偶函数可得f(－x)＝f(x),故f(x)＝f(x＋4),即f(x)的周期为4，即A正确.
当x∈[0，2]时，由f(x)＝x2，可得f(x)在[0，2]上单调递增，故f(x)在[8，10]上单调递增，即B错误.
又f(0)＝0，f(2)＝4，故f(x)的值域为[0，4]，即C错误.
在同一坐标系下画出函数y＝f(x)与y＝4loga(x＋5)(a>1)的图象如图所示，
由图可知，要使y＝f(x)与g(x)＝4loga(x＋5)在[－4，6]上恰有5个不同交点，
即a的取值范围为(7，11)，故D正确.
BD
解析 对于A，f(x)＝log2x的定义域为(0，＋∞)，
设任意的x1，x2∈(0，＋∞)，
对于B，f(x)＝x2的定义域为R，
设任意的x1，x2∈R，
故f(x)＝x2在其定义域上具有性质P，故B正确；
对于C，若f(x)为常数函数，
如f(x)＝2，显然对任意的x1，x2∈(a，b)，
但是f(x)不具有单调性，故C错误；
BC
解析 f(x)的大致图象如图所示，
令g(x)＝0，即[f(x)－t][f(x)－t－1)]＝0，
即f(x)＝t或f(x)＝t＋1.
若g(x)有4个零点，则实数t的取值范围为3≤t<4或t＝2或－1由图可知，当t＝1时，g(x)有5个零点，故B正确；
当g(x)有6个零点时，x1即有2x1＋2x2＋2x3＋2x4＝8，故C正确；
当－1多选题加练(三) 导数及其应用
1.已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列结论中正确的是( )
A.f(x)在区间(－2，3)上有2个极值点
B.f′(x)在x＝－1处取得极小值
C.f(x)在区间(－2，3)上单调递减
D.f(x)在x＝0处的切线斜率小于0
BCD
解析 根据f′(x)的图象可得，在(－2，3)上，f′(x)≤0，
∴f(x)在(－2，3)上单调递减，
∴f(x)在区间(－2，3)上没有极值点，故A错误，C正确；
由f′(x)的图象易知B正确；
根据f′(x)的图象可得f′(0)<0，即f(x)在x＝0处的切线斜率小于0，故D正确.
AD
解析 f′(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，
所以f(x)在R上单调递增，
所以f(x)不存在极值点，故B错误，D正确；
f′(1)＝0，故A正确；
所以x2－3x＋3>0恒成立，即方程只有一个实数根，即x＝0，故C错误.
AC
故y＝f′(x)也在(－1，＋∞)上单调递增，
又f′(0)＝0，故当x∈(－1，0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，故A正确；
对于B，由A知，f(x)在(－1，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增，
又f(0)＝0，故f(x)只有一个零点，B错误；
对于D，f(x)的定义域为(－1，＋∞)，不关于原点对称，故f(x)是非奇非偶函数，D错误.
ABD
解析 A中，根据f′(x)>0，可得f(x)在R上单调递增，
因为π>e>2，所以f(2)所以函数图象上凸，画出函数图象，如图所示，
由几何意义可知，f′(x)表示函数图象上的各点处的切线斜率，显然随着x的增大，切线斜率变小，且恒为正，
因为π>e>2，所以f′(π)结合函数图象可知f′(3)BC
因为函数y＝2x为R上的增函数，
所以2a>2b，A错误；
因为函数y＝log3x在(0，＋∞)上为增函数，
所以log3a>log3b>log31＝0，
所以loga3取a＝4，b＝2，可得a>b>1，
但ab＝42＝24＝ba，D错误.
AC
解析 当x∈(3，＋∞)时，x－3>0，ln x>0，所以f(x)>0恒成立，故A正确；
则g(x)在区间(1，3)上单调递增，
所以g(x)即f′(x)<0在(1，3)上恒成立，
则f(x)在区间(1，3)上单调递减，故B错误；
因为log34∈(1，2)，log45∈(1，2)，
所以log43＋log45＝log415所以log43×log45<1，
因为f(x)在(1，3)上单调递减，
所以f(1)＝0>a＝f(log45)>f(log34)＝b，
而c＝f(3ln π)>0，
所以c>a>b，
故C正确，D错误.
AB
解析 由题意知g(x)的定义域为R，
因为g(x)＝f(x)＋f(－x)，
所以g(－x)＝f(－x)＋f(x)＝g(x)，g(x)为偶函数，
当x≥0时，g′(x)＝f′(x)－f′(－x)>0，
则g(x)在[0，＋∞)上单调递增，
则|ax＋1|≤|x－2|＝2－x，
即x－2≤ax＋1≤2－x，
所以－2≤a≤0，AB均符合.
BCD
解析 依题意，x∈R，f(－x)＝sin 2(－x)＋2|cos(－x)|＝－sin 2x＋2|cos x|≠f(x)，
故函数不是偶函数，图象不关于y轴对称，故A错误；
f(x＋π)＝sin 2(x＋π)＋2|cos(x＋π)|＝sin 2x＋2|cos x|＝f(x)，
故x＝π为函数的一个周期，故－3π也为函数f(x)的一个周期,故B正确；
9.已知方程ax－2xln x＝x2＋3(a∈R)有两个不同的根x1，x2，则下列结论一定正确的是( )
A.a∈(4，＋∞) B.a∈(2e，＋∞)
C.x1x2>1 D.ln x1＋ln x2－1>ln 2
AC
当x∈(0，1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
则f(x)min＝f(1)＝4－a，
因此只需满足f(1)<0，即a>4.
则方程ax－2xln x＝x2＋3(a∈R)有两个不同的根x1，x2，因此A正确，B错误；
因此g(x)在(0，＋∞)上单调递减，
易知g(1)＝0，
假设0D中，由ln x1＋ln x2－1>ln 2，
即ln(x1x2)>ln 2＋1＝ln(2e)，得x1x2>2e，不一定成立，故D错误.
10.若正实数x，y满足xex－1＝y(1＋ln y)，则下列不等式中可能成立的是( )
A.1AC
解析 因为xex－1＝y(1＋ln y)，
所以xex－1＝(1＋ln y)e(1＋ln y)－1，
因为x>0，所以xex－1>0，则1＋ln y>0.
令f(x)＝xex－1，x∈(0，＋∞)，
则f′(x)＝(x＋1)ex－1>0，
所以f(x)＝xex－1在(0，＋∞)上单调递增.
由f(x)＝f(1＋ln y)，可得x＝1＋ln y.
令g(x)＝ln x＋1－x(x>0)，
所以当00，当x>1时，g′(x)<0，
所以g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
所以g(x)max＝g(1)＝0，
则g(x)＝ln x＋1－x≤0，即ln x＋1≤x，
当且仅当x＝1时取等号，
则1＋ln y≤y，当且仅当y＝1时取等号，
又x＝1＋ln y，
所以x≤y，当且仅当x＝y＝1时取等号，
当y≠1时，1多选题加练(九) 统计与成对数据的统计分析
1.下列各图中，两个变量x，y具有相关关系的是( )
CD
解析 相关关系有两种情况：所有点看上去都在一条直线附近波动，是线性相关；若所有点看上去都在某条曲线(不是一条直线)附近波动，是非线性相关，故选CD.
BD
新增的数据xn＋1可能等于原样本数据的众数，故B正确；
当xn＋1比最小的数据还小时，会改变极差，且极差变大；当xn＋1不比最小的数据小时，就不会改变极差，故C错误；
20%n≠20%(n＋1)，因此，第20百分位数可能会变大，故D正确.
3.(2024·广州调研)某校随机抽取了100名学生测量体重.经统计，这些学生的体重(单位：kg)数据全部介于45至70之间，将数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则( )
AC
A.频率分布直方图中a的值为0.07
B.这100名学生中体重低于60 kg的人数为60
C.据此可以估计该校学生体重的第78百分位数为62
D.据此可以估计该校学生体重的平均数为62.5
解析 A中，由频率分布直方图中各小矩形的面积之和为1，得0.05＋5a＋0.3＋0.2＋0.1＝1，解得a＝0.07，A正确；
B中，这100名学生中体重不低于60 kg的频率为0.2＋0.1＝0.3，所以这100名学生中体重低于60 kg的人数为(1－0.3)×100＝70，B错误；
C中，设第78百分位数约为x，易知题图中前3个小矩形的面积和为0.7，前4个小矩形的面积和为0.9，故x∈[60，65)，则0.7＋0.04(x－60)＝0.78，解得x＝62，C正确；
D中，47.5×0.05＋52.5×0.35＋57.5×0.3＋62.5×0.2＋67.5×0.1＝57.25，D错误.
BC
对于B，将数据按从小到大的顺序排列，得3，4，5，6，7，8，9，10，共8个数.
因为8×70%＝5.6，所以第70百分位数为第6个数，即为8，故B正确；
对于C，回归分析中残差平方和越小，相关指数越接近于1，拟合效果越好，故C正确；
对于D，由独立性检验χ2＝3.218<3.841可知，犯错误的概率会超过0.05，故D错误.
5.(2024·武汉调研)某企业对目前销售的A，B，C，D四种产品进行改造升级，经过改造升级后，企业营收实现翻番，现统计了该企业升级前后四种产品的营收占比，得到如图饼图，则下列说法正确的是( )
ABD
A.产品升级后，产品A的营收是升
级前的4倍
B.产品升级后，产品B的营收是升
级前的2倍
C.产品升级后，产品C的营收减少
D.产品升级后，产品B，D营收的总和占总营收的比例不变
解析 设产品升级前的营收为a，升级后的营收为2a，
对于产品A，产品升级前的营收为0.1a，升级后的营收为2a×0.2＝0.4a，故升级后的产品A的营收是升级前的4倍，A正确；
对于产品B，产品升级前的营收为0.2a，升级后的营收为2a×0.2＝0.4a，故升级后的产品B的营收是升级前的2倍，B正确；
对于产品C，产品升级前的营收为0.5a，升级后的营收为2a×0.4＝0.8a，故升级后的产品C的营收增加了，C不正确；
产品升级后，由两个图形可知产品B，D营收的总和占总营收的比例不变，故D正确.
6.某学校规定，若五个工作日内学校某天有超过3个人的体温测量值高于37.5 ℃，则需全员进行核酸检测.该校统计了五个工作日内每天体温超过37.5 ℃的人数，则根据这组数据的下列信息，能断定该校不需全员进行核酸检测的是( )
A.中位数是1，平均数是1 B.中位数是1，众数是0
C.中位数是2，众数是2 D.平均数是2，方差是0.8
AD
解析 对于A，因为中位数是1，设五个工作日内每天体温超过37.5 ℃的人数按从小到大的顺序排列为a，b，1，c，d，
因为平均数是1，所以a＋b＋1＋c＋d＝5，
若d＝4，则a＝b＝c＝0，与中位数是1矛盾，故A正确；
对于B，设五个工作日内每天体温超过37.5 ℃的人数按从小到大的顺序排列为0，0，1，2，4，
满足中位数是1，众数是0，但有一天超过3人，故B错误；
对于C，设五个工作日内每天体温超过37.5 ℃的人按从小到大的顺序排列为0，2，2，3，4，
满足中位数是2，众数是2，但有一天超过3人，故C错误；
对于D，设五个工作日内每天体温超过37.5 ℃的人按从小到大的顺序排列为a，b，c，d，e，
因为平均数是2，方差是0.8，则a＋b＋c＋d＋e＝10，
即(a－2)2＋(b－2)2＋(c－2)2＋(d－2)2＋(e－2)2＝4，
则e≤4，若e＝4，从方差角度来说a＝b＝c＝d＝2，不满足a＋b＋c＋d＋e＝10，
所以e<4，同理a，b，c，d均小于4，故D正确.
7.某市某年夏天迎来罕见的高温火热天气，当地气象部门统计了8月1日至8月10日连续10天中每天的最高温和最低温，得到如下的折线图：
根据该图，关于这10天的气温，下列说法中正确的有( )
A.最低温的众数为29 ℃
B.最高温的平均数为37.7 ℃
C.第4天的温差最大
D.最高温的方差大于最低温的方差
AC
解析 对于A，由题中折线图可知最低温的众数为29 ℃，故A正确；
对于B，由题中折线图得最高温的平均数为
对于C，由题中折线图得这10天的温差依次为9 ℃，7 ℃，9 ℃，12 ℃，9 ℃，10 ℃，10 ℃，7 ℃，8 ℃，8 ℃，第4天的温差最大，故C正确；
8.某学校发起了“畅读经典，欢度新年”活动，根据统计数据可知，该校共有1 200名学生，所有学生每天读书时间均在20分钟至100分钟之间，他们的日阅读时间的频率分布直方图如图所示.则下列结论正确的是( )
ACD
A.该校学生日阅读时间的众数约为70
B.该校学生日阅读时间不低于60分钟的人数约为360
C.该校学生日阅读时间的第50百分位数约为65
D.该校学生日阅读时间的平均数约为64
解析 由题图可知，[60，80)这一组的小矩形最高，所以众数约为70，所以A正确；
日阅读时间不低于60分钟的频率为(0.020＋0.010)×20＝0.6，所以该校学生日阅读时间不低于60分钟的人数约为1 200×0.6＝720，所以B错误；
第50百分位数即中位数，前两组的频率分别为0.005×20＝0.1，0.015×20＝0.3，所以中位数在[60，80)这一组，设中位数为x，则(x－60)×0.020＝0.5－0.1－0.3，解得x＝65，即第50百分位数约为65，所以C正确；
该校学生日阅读时间的平均数约为(30×0.005＋50×0.015＋70×0.020＋90×0.010)×20＝64，所以D正确.
ABD
解析 完善列联表如下：
是否注射疫苗 是否发病 总计
未发病 发病 未注射疫苗 30 20 50
注射疫苗 40 10 50
总计 70 30 100
BD(共18张PPT)
多选题加练(十) 计数原理、概率、随机变量及其分布
CD
BCD
解析 甲得到A卡片与乙得到A卡片不可能同时发生，但可能同时不发生，所以甲得到A卡片与乙得到A卡片为互斥但不对立事件，A不正确，B正确；
ABD
BC
5.(2024·南京质检)某个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，设M＝“该家庭中有男孩、又有女孩”，N＝“该家庭中最多有一个女孩”，则下列结论正确的是( )
A.若该家庭中有两个小孩，则M与N互斥
B.若该家庭中有两个小孩，则M与N不相互独立
C.若该家庭中有三个小孩，则M与N不互斥
D.若该家庭中有三个小孩，则M与N相互独立
BCD
解析 若该家庭中有两个小孩，样本空间为Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，M＝{(男，女)，(女，男)}，N＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，MN＝{(男，女)，(女，男)}，
于是P(MN)≠P(M)P(N)，所以M与N不相互独立，则A错误，B正确；
若该家庭中有三个小孩，样本空间为Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}，M＝{(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)}，
N＝{(男，男，男 )，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)}，MN＝{(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)}，则M与N不互斥，
于是P(MN)＝P(M)P(N)，所以M与N相互独立，则C和D均正确.
6.(2024·郑州调研)以下说法正确的是( )
A.将4封不同的信全部投入3个邮筒，共有64种不同的投法
B.将4本不同的数学书和2本不同的物理书排列一排，且物理书不相邻的排法有480种
C.若随机变量X～N(0，σ2)，且P(X≤2)＝0.8，则P(0D.若随机变量X～B(10，0.7)，则D(2X＋1)＝4.2
BC
解析 对于A，第1封信可以投入3个信箱中的任意一个，有3种投法；
同理，第2，3，4封信各有3种投法.
根据分步乘法计数原理，共有3×3×3×3＝81种投法，故A错误；
对于C，因为X～N(0，σ2)，且P(X≤2)＝0.8，
所以P(0对于D，因为X～B(10，0.7)，
所以D(X)＝10×0.7×(1－0.7)＝2.1，
所以D(2X＋1)＝22×D(X)＝4×2.1＝8.4，故D错误.
AD
解析 X～N(80，36)，故μ＝80，σ2＝36，σ＝6，
8.(2024·杭州质检)一个袋子有10个大小相同的球，其中有4个红球，6个黑球，试验一：从中随机地有放回摸出3个球，记取到红球的个数为X1，期望和方差分别为E(X1)，D(X1)；试验二：从中随机地无放回摸出3个球，记取到红球的个数为X2，期望和方差分别为E(X2)，D(X2)，则( )
A.E(X1)＝E(X2) B.E(X1)>E(X2)
C.D(X1)>D(X2) D.D(X1)AC
故E(X1)＝E(X2)，D(X1)>D(X2).
BC
解析 记事件A：车床加工的零件为次品，记事件Bi：第i台车床加工的零件，
则P(A|B1)＝8%，P(A|B2)＝3%，P(A|B3)＝2%，
P(B1)＝10%，P(B2)＝40%，P(B3)＝50%，
对于A，任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为P(AB1)＝P(A|B1)P(B1)＝8%×10%＝0.008，故A错误；
对于B，任取一个零件是次品的概率为P(A)＝P(AB1)＋P(AB2)＋P(AB3)＝8%×10%＋3%×40%＋2%×50%＝0.03，故B正确；
BCD
当n≥2时，Pn－1表示第n－1次在平面ABC的顶点上的概率，1－Pn－1表示第n－1次在平面A1B1C1的顶点上的概率.(共21张PPT)
多选题加练(八) 平面解析几何
AD
解析 A中，由直线方程知，直线恒过定点(1，0)，正确；
B中，当m＝0时，直线斜率不存在，错误；
BCD
所以曲线表示焦点在y轴上的双曲线，且a2＝－λ(λ<0)，不是定值，故A错误，B正确；
AC
设椭圆上顶点为B，椭圆C上存在点P，
使得∠F1PF2＝90°，则需∠F1BF2≥90°，
所以|BF1|2＋|BF2|2≤|F1F2|2，即a2＋a2≤4c2，
因为c2＝a2－b2，所以2a2≤4a2－4b2，
则a2≥2b2，所以选项AC满足.
ACD
解析 等轴双曲线C：y2－x2＝1的渐近线方程为y＝±x，故A正确；
所以以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝2，故B错误；
设点P(x0，y0)，因为点P是双曲线C的一条渐近线上一点，
BD
BCD
ABD
解析 将圆C的方程化为标准方程得x2＋(y－2)2＝1，则圆C的圆心为C(0，2)，半径为1.
对于A，因为C(0，2)关于x轴的对称点为C′(0，－2)，
所以圆C关于x轴对称的圆的方程为x2＋(y＋2)2＝1，
即x2＋y2＋4y＋3＝0，故A正确；
对于B，因为反射光线平分圆C的周长，
所以反射光线经过圆心C(0，2)，所以入射光线所在的直线过点(0，－2)，
对于C，由题意可知反射光线所在的直线过点P′(2，－1)，
所以|PB|＋|BA|＝|P′B|＋|BA|＝|P′A|.
ABD
解析 如图所示，延长BA，交准线m于点Q，
设|FA|＝|AA1|＝t，|FB|＝|BB1|＝3t，|AQ|＝x，
BC
BD