(共74张PPT)
第八章 平面解析几何
第8节 直线与圆锥曲线
1.理解直线与圆锥曲线位置关系的判断方法.
2.掌握直线被圆锥曲线所截的弦长公式.
3.掌握直线与圆锥曲线相交的综合问题.
目 录
CONTENTS
知识诊断自测
01
考点聚焦突破
02
课时分层精练
03
知识诊断自测
1
ZHISHIZHENDUANZICE
1.直线与圆锥曲线的位置关系
(1)直线与圆锥曲线的位置关系有______、______、______；相交有两个交点(特殊情况除外)，相切有一个交点，相离无交点.
(2)判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0代入圆锥曲线C的方程.消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0).
①当a≠0时，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有Δ＞0时，直线l与曲线C
______；Δ＝0时，直线l与曲线C______；Δ＜0时，直线l与曲线C______.
②当a＝0时，即得到一个一次方程，则l与C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的________平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的________平行或重合.
相交
相切
相离
相交
相切
相离
渐近线
对称轴
2.圆锥曲线的弦长公式
设直线与圆锥曲线的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
|AB|＝______________＝____________________________或
|AB|＝______________＝________________________，k为直线斜率且k≠0.
常用结论与微点提醒
√
√
×
×
解析 (3)当“直线l与双曲线C只有一个公共点”成立时，则与渐近线平行的直线与双曲线只有一个交点或者直线l与双曲线相切有一个交点.
(4)直线与抛物线的对称轴平行时也只有一个交点.
D
解析 结合图形(图略)分析可知，满足题意的直线共有4条，过点(0，1)且平行于渐近线的两条直线以及过点(0，1)且与双曲线相切的两条直线.
C
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
考点聚焦突破
2
KAODIANJUJIAOTUPO
考点一 直线与圆锥曲线的位置关系
解 将直线l的方程与椭圆C的方程联立，
将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③
Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
感悟提升
在判断直线和圆锥曲线的位置关系时，先联立方程组，再消去x(或y)，得到关于y(或x)的方程，如果是直线与圆或椭圆，则所得方程一定为一元二次方程；如果是直线与双曲线或抛物线，则需讨论二次项系数等于零和不等于零两种情况，只有二次方程才有判别式，另外还应注意斜率不存在的情形.
D
解析 法一 由于直线y＝kx＋1恒过点(0，1)，
所以点(0，1)必在椭圆内或椭圆上，故m≥1且m≠5.
由题意知Δ＝100k2－20(1－m)(5k2＋m)≥0对一切k∈R恒成立，
即5mk2＋m2－m≥0对一切k∈R恒成立，
由于m>0且m≠5，所以m≥1－5k2恒成立，
所以m≥1且m≠5.
(3)若直线y＝k(x＋2)＋1与抛物线y2＝4x只有一个公共点，则k的值为
____________.
解析 当斜率k＝0时，直线y＝1平行于x轴，与抛物线y2＝4x仅有一个公共点.
当斜率不等于0时，直线y＝k(x＋2)＋1与抛物线y2＝4x联立，
考点二 中点弦
D
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)，由点A，B在双曲线上，
由双曲线方程可得渐近方程为y＝±3x，如图.
x＋2y－3＝0
解析 易知此弦所在直线的斜率存在，
∴设斜率为k，弦所在的直线与椭圆相交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
感悟提升
训练2 已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点到准线的距离为1，若抛物线C上存在关于直线l：x－y－2＝0对称的不同的两点P和Q，则线段PQ的中点坐标为__________.
(1，－1)
解析 因为焦点到准线的距离为p，则p＝1，
所以y2＝2x.设点P(x1，y1)，Q(x2，y2).
考点三 弦长公式
C
解析 设抛物线的方程为x2＝2ay，
则抛物线与直线x－2y＝1联立消去y，得x2－ax＋a＝0，
所以x1＋x2＝a，x1x2＝a，
所以a2－4a－12＝0，解得a＝－2或a＝6，
所以x2＝－4y或x2＝12y.
感悟提升
解析 由题意知，椭圆的右焦点F的坐标为(1，0)，直线AB的方程为y＝2(x－1).
微点突破 轨迹方程问题
1.曲线C与方程F(x，y)＝0满足两个条件：
(1)曲线C上点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解；(2)以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上.则称曲线C为方程F(x，y)＝0的曲线，方程F(x，y)＝0为曲线C的方程.
2.求曲线方程的基本方法主要有：
(1)直接法：直接将几何条件或等量关系表示为代数方程；
(2)定义法：利用曲线的定义，判断曲线类型，再由曲线的定义直接写出曲线方程；
(5)交轨法：引入参数表示两动曲线的方程，将参数消去，得到两动曲线交点的轨迹方程.
B
解析 设P(x，y)，
A
解析 设M(x，y)，
由M为线段OP的中点，得P(2x，2y)，
(3)(多选)(2024·泰安模拟)已知圆O的半径为定长r，A是圆O所在平面内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q.当点P在圆上运动时，下列说法正确的是( )
A.当点A在圆O内(不与圆心重合)时，点Q的轨迹是椭圆
B.点Q的轨迹可能是一个定点
C.当点A在圆O外时，点Q的轨迹是双曲线的一支
D.点Q的轨迹可能是抛物线
AB
解析 对于A，连接QA，OA，
由已知得|QA|＝|QP|，
所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r.
又因为点A在圆内，所以|OA|<|OP|，
根据椭圆的定义，得点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆，A正确.
对于B，当点A在圆上时，点Q与圆心O重合，点Q的轨迹为定点，故B正确.
对于C，连接QA，OA，由已知得|QA|＝|QP|，
所以||QO|－|QA||＝||QO|－|QP||＝|OP|＝r.
又因为点A在圆外，所以|OA|>|OP|，
根据双曲线的定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为实轴长的双曲线，C错误.
对于D，由于当点A与圆心O重合时，点Q的轨迹为圆，所以点Q的轨迹不可能为抛物线，D错误.
解 法一 设直线MB1：y＝kx－3(k≠0)，
法二 设N(x，y)，M(x0，y0)(x0≠0).
由题意知B1(0，－3)，B2(0，3)，
训练 （1）动点A在圆x2＋y2＝1上移动时，它与定点B(3，0)连线的中点的轨迹方程是( )
A.x2＋y2＋3x＋2＝0 B.x2＋y2－3x＋2＝0
C.x2＋y2＋3y＋2＝0 D.x2＋y2－3y＋2＝0
B
解析 设动点A(xA，yA)与定点B(3，0)连线的中点为P(x，y)，
因为点A在圆x2＋y2＝1上，所以(2x－3)2＋(2y)2＝1，
即4x2－12x＋9＋4y2＝1，整理得x2＋y2－3x＋2＝0.
y2＝4x(x≠0且x≠1)
化简可得y2＝4x(x≠0，x≠1)，
故曲线E的方程为y2＝4x(x≠0，x≠1).
(3)若动圆与两定圆(x＋5)2＋y2＝1和(x－5)2＋y2＝49都外切，则动圆圆心的轨迹方程是___________________.
解析 设圆C1为(x＋5)2＋y2＝1，可得圆心C1(－5，0)，半径r1＝1，
设圆C2为(x－5)2＋y2＝49，可得圆心C2(5，0)，半径r2＝7，且|C1C2|＝10.
设动圆圆心为C，半径为r，
因为动圆C同时与圆C1和圆C2外切，
所以|CC1|＝r＋1，|CC2|＝7＋r，所以|CC2|－|CC1|＝6<|C1C2|＝10，
所以点C的轨迹是以C1(－5，0)，C2(5，0)为焦点的双曲线的左支，
解 设A(x1，y1)，B(x1，－y1).
因为A1(－a，0)，A2(a，0)，
(5)已知点A和点B是抛物线y2＝4px(p>0)上除原点以外的两个动点，若OA⊥OB，OM⊥AB于点M，求点M的轨迹方程.
解 当AB所在直线的斜率不存在时，M为一定点，坐标为(4p，0).
当AB所在直线的斜率存在时，
设其方程为y＝kx＋b(k≠0).
由题可知，k2≠0，Δ>0.
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由OA⊥OB，得x1x2＋y1y2＝0，则b＝－4pk.①
设点M(x，y)(x≠0，y≠0)，
由①②及y＝kx＋b消去k，b，得x2＋y2－4px＝0(y≠0).
又点(4p，0)满足x2＋y2－4px＝0，
所以点M的轨迹方程为x2＋y2－4px＝0.
课时分层精练
3
KESHIFENCENGJINGLIAN
A
解析 直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1，1)，又点(1，1)在椭圆内部，
故直线与椭圆相交.
B
解析 由题意可知F(1，0)，抛物线的准线方程为x＝－1.
C
D
D
得(b2－a2)x2－2a2x－a2－a2b2＝0，
则Δ＝4a4＋4(b2－a2)(a2＋a2b2)＝0，
即a2＋(b2－a2)(1＋b2)＝0，
又b2＝9－a2，
所以a2＋(9－2a2)(10－a2)＝0，
即a4－14a2＋45＝0，
ABD
BD
对于B，根据kAB·kOM＝－2，所以kAB＝－2，
所以直线方程为y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0，B正确；
8.过点P(2，2)作抛物线y2＝2x的切线l，切线l在y轴上的截距为________.
1
令x＝0，得y＝1，
∴切线l在y轴上的截距为1.
9.以A(2，1)为中点的双曲线C：2x2－y2＝2的弦所在直线的方程为______________.
4x－y－7＝0
解析 设A(2，1)是弦P1P2的中点，且P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，
则x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，
∴2(x1＋x2)(x1－x2)－(y1＋y2)(y1－y2)＝0，
∴2×4(x1－x2)＝2(y1－y2)，
∴以A(2，1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程为y－1＝4(x－2)，
整理得4x－y－7＝0.
∵Δ＝(－56)2－4×14×51＞0.
∴以A(2，1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程为4x－y－7＝0.
3
因为a2＝b2＋c2，所以b＝c.
因为四边形MF1NF2的面积为32，
(2)直线l交椭圆C于A，B两点，若AB的中点坐标为(－2，1)，求直线l的方程.
解 由题意得，直线l的斜率存在.
解 由(1)知，F1(－2，0)，F2(2，0)，
由题意得直线AB的方程为y＝－(x－2)，
即x＋y－2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
C
解析 如图，连接AF1，DF2，EF2，
所以a＝2c，所以b2＝a2－c2＝3c2.
因为|AF1|＝|AF2|＝a＝2c＝|F1F2|，
所以△AF1F2为等边三角形，
又DE⊥AF2，所以直线DE为线段AF2的垂直平分线，
所以|AD|＝|DF2|，|AE|＝|EF2|，且∠EF1F2＝30°，(共56张PPT)
第八章 平面解析几何
第3节 圆的方程
1.理解确定圆的几何要素，探索并掌握圆的标准方程与一般方程.
2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
目 录
CONTENTS
知识诊断自测
01
考点聚焦突破
02
课时分层精练
03
知识诊断自测
1
ZHISHIZHENDUANZICE
1.圆的定义和圆的方程
定长
D2＋E2－4F＞0
2.点与圆的位置关系
平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：
(1)|MC|＞r M在______，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2 M在圆外；
(2)|MC|＝r M在______，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 M在圆上；
(3)|MC|＜r M在______，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2 M在圆内.
圆外
圆上
圆内
常用结论与微点提醒
×
√
×
√
解析 (1)当a＝0时，x2＋y2＝0表示点(0，0)；当a≠0时，表示半径为|a|的圆.
A
解析 法一 ∵圆C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0，
∴圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝1－2k，
3.(2023·上海卷)已知圆C：x2＋y2－4y－m＝0的面积为π，则m＝________.
－3
解析 由x2＋y2－4y－m＝0得x2＋(y－2)2＝m＋4，
∴π(m＋4)＝π，解得m＝－3.
4.(选修一P85T4改编)已知△AOB的三个顶点分别是点A(4，0)，O(0，0)，B(0，3)，则△AOB的外接圆的标准方程是______________________.
考点聚焦突破
2
KAODIANJUJIAOTUPO
考点一 圆的方程
例1 (1)已知圆的圆心为点(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是( )
A.(x－2)2＋(y＋3)2＝13 B.(x＋2)2＋(y－3)2＝13
C.(x－2)2＋(y＋3)2＝52 D.(x＋2)2＋(y－3)2＝52
A
解析 设两端点分别为(a，0)和(0，b)，
则a＋0＝2×2，0＋b＝2×(－3)，
即a＝4，b＝－6，
(2)(2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3，0)和(0，1)均在⊙M上，则⊙M的方程为_______________________.
(x－1)2＋(y＋1)2＝5
解析 法一 设⊙M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
∴⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
法二 设⊙M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，
∴⊙M的方程为x2＋y2－2x＋2y－3＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
法三 设A(3，0)，B(0，1)，⊙M的半径为r，
∴r2＝|MA|2＝(3－1)2＋[0－(－1)]2＝5，
∴⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
感悟提升
求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程.
(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线；
(2)代数法，即设出圆的方程，标准方程或一般方程，用待定系数法求系数.
训练1 (1)(2024·邯郸模拟)已知圆M与直线3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圆心在直线y＝－x－4上，则圆M的方程为____________________.
(x＋3)2＋(y＋1)2＝1
解析 到两直线3x－4y＝0，3x－4y＋10＝0的距离都相等的直线方程为
3x－4y＋5＝0，
又两平行线间的距离为2，
所以圆M的半径为1，
从而圆M的方程为(x＋3)2＋(y＋1)2＝1.
(2)(2022·全国乙卷)过四点(0，0)，(4，0)，(－1，1)，(4，2)中的三点的一个圆的方程为_______________________________________________________________
_______________________ (写出一个即可).
解析 依题意设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0.
①若圆过(0，0)，(4，0)，(－1，1)三点，
所以圆的方程为x2＋y2－4x－6y＝0，
即(x－2)2＋(y－3)2＝13；
所以圆的方程为x2＋y2－4x－2y＝0，
即(x－2)2＋(y－1)2＝5；
③若圆过(0，0)，(4，2)，(－1，1)三点，
考点二 与圆有关的轨迹问题
例2 已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)，求：
(1)直角顶点C的轨迹方程；
解 法一 设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.
因为AC⊥BC，且BC，AC斜率均存在，
所以kAC·kBC＝－1.
化简得x2＋y2－2x－3＝0.
因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0).
法二 设AB的中点为D，
由中点坐标公式得D(1，0)，
由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)，
所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0).
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.
解 设M(x，y)，C(x0，y0)，
因为B(3，0)，M是线段BC的中点，
所以x0＝2x－3，y0＝2y.
由(1)知点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，
将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，
即(x－2)2＋y2＝1.
因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0).
感悟提升
求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：
(1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；
(2)定义法，根据圆、直线等定义列方程；
(3)几何法，利用圆的几何性质列方程；
(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式.
D
所以x2＋(y＋2)2＝2(x2＋y2)，
所以x2＋(y－2)2＝8为点M的轨迹方程.
(2)若长为10的线段的两个端点A，B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点M的轨迹方程为______________.
x2＋y2＝25
解析 设M(x，y)，A(a，0)，B(0，b)，
得4x2＋4y2＝100，
即点M的轨迹方程为x2＋y2＝25.
考点三 与圆有关的最值问题
(2)x＋y的最大值和最小值；
解 设t＝x＋y，则y＝－x＋t，
t可视为直线y＝－x＋t在y轴上的截距，
∴x＋y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y轴上的截距.
解析 P是x轴上任意一点，则|PM|的最小值为|PC1|－1，同理|PN|的最小值为|PC2|－3，则|PM|＋|PN|的最小值为|PC1|＋|PC2|－4.
作C1关于x轴的对称点C1′(2，－3)，
12
由于点P(x，y)是圆上的点，
故其坐标满足方程x2＋(y－3)2＝1，
故x2＝－(y－3)2＋1，
感悟提升
C
解析 将方程x2＋y2－4x－2y－4＝0化为(x－2)2＋(y－1)2＝9，其表示圆心为(2，1)，半径为3的圆.
设z＝x－y，数形结合知，只有当直线x－y－z＝0与圆相切时，z才能取到最大值，
(2)(2024·福州质检)已知⊙O1：(x－2)2＋(y－3)2＝4，⊙O1关于直线ax＋2y＋1＝0对称的圆记为⊙O2，点E，F分别为⊙O1，⊙O2上的动点，EF长度的最小值为4，
则a＝________.
因为⊙O1和⊙O2关于直线ax＋2y＋1＝0对称，
所以|O1O2|＝2d，则EF长度的最小值为||O1O2|－2r|＝|2d－4|，
又EF长度的最小值为4，所以|2d－4|＝4，
易知d>0，所以d＝4，
课时分层精练
3
KESHIFENCENGJINGLIAN
1.下列各点中，在圆(x－1)2＋(y＋2)2＝25的内部的是( )
A.(0，2) B.(3，3)
C.(－2，2) D.(4，2)
A
解析 由(0－1)2＋(2＋2)2<25知(0，2)在圆内；
由(3－1)2＋(3＋2)2>25知(3，3)在圆外；
由(－2－1)2＋(2＋2)2＝25知(－2，2)在圆上，
由(4－1)2＋(2＋2)2＝25知(4，2)在圆上.
2.圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是( )
A.(x－1)2＋(y－1)2＝1
B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
D.(x－1)2＋(y－1)2＝2
D
解析 因为圆心为(1，1)且过原点，
3.圆C：x2＋y2－2x－3＝0关于直线l：y＝x对称的圆的方程为( )
A.x2＋y2－2y－3＝0
B.x2＋y2－2y－15＝0
C.x2＋y2＋2y－3＝0
D.x2＋y2＋2y－15＝0
A
解析 由题意，得圆C：(x－1)2＋y2＝4的圆心为(1，0)，半径为2.
故其关于直线l：y＝x对称的圆的圆心为(0，1)，半径为2，
故对称圆的方程为x2＋(y－1)2＝4，
即x2＋y2－2y－3＝0.
C
解析 设△ABC的外接圆M的方程为
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，
所以△ABC的外接圆M的方程为x2＋y2－2x－6y＋5＝0，
即(x－1)2＋(y－3)2＝5.
因为直线x＋y＝0不经过圆M的圆心(1，3)，
所以圆M不关于直线x＋y＝0对称.
因为(2－1)2＋(3－3)2＝1＜5，
故点(2，3)在圆M内.
5.设P(x，y)是圆(x－2)2＋y2＝1上的任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值是( )
A.6 B.25 C.26 D.36
D
解析 (x－5)2＋(y＋4)2表示点P(x，y)到(5，－4)的距离的平方，
∵P(x，y)是圆(x－2)2＋y2＝1上的任意一点，
∴(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为圆心(2，0)到(5，－4)的距离与半径之和的平方，
B
解析 圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝4的圆心为(－1，－2)，
依题意，点(－1，－2)在直线ax＋by＋1＝0上，
因此－a－2b＋1＝0，即a＋2b＝1(a>0，b>0)，
AB
8.已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是____________，半径是________.
(－2，－4)
5
解析 依据圆的方程特征，得a2＝a＋2，
解得a＝－1或2.
当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，
整理得(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，
则圆心为(－2，－4)，半径是5；
当a＝2时，4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，
9.已知等腰△ABC，其中顶点A的坐标为(0，0)，底边的一个端点B的坐标为(1，1)，则另一个端点C的轨迹方程为_______________________________________.
x2＋y2＝2(除去点(1，1)和点(－1，－1))
解析 设C(x，y)，
根据在等腰△ABC中|AB|＝|AC|，
可得(x－0)2＋(y－0)2＝(1－0)2＋(1－0)2，
即x2＋y2＝2.
考虑到A，B，C三点要构成三角形，
因此点C不能为(1，1)和(－1，－1).
所以点C的轨迹方程为x2＋y2＝2(除去点(1，1)和点(－1，－1)).
10.(2024·德州联考)已知A(0，2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，则|PA|＋|PQ|的最小值是________.
解析 因为圆C：x2＋y2－4x－2y＝0，
解得b＝1，
所以外接圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.
(2)若线段MN的端点N的坐标为(5，2)，端点M在圆E上运动，求线段MN的中点P的轨迹方程.
解 设P(x，y)，由于P是MN中点，
由中点坐标公式，得M(2x－5，2y－2)，
代入x2＋(y－1)2＝10，
12.已知M(m，n)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点.
求：(1)m＋2n的最大值；
设m＋2n＝t，将m＋2n＝t看成直线方程，
因为该直线与圆有公共点，
设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＋3＝0.
13.(多选)设有一组圆Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列说法正确的是( )
A.不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上
B.所有圆Ck均不经过点(3，0)
C.经过点(2，2)的圆Ck有且只有一个
D.所有圆的面积均为4π
ABD
解析 圆心坐标为(k，k)，在直线y＝x上，A正确；
令(3－k)2＋(0－k)2＝4，化简得2k2－6k＋5＝0，
∵Δ＝36－40＝－4＜0，
∴2k2－6k＋5＝0无实数根， B正确；
由(2－k)2＋(2－k)2＝4，
化简得k2－4k＋2＝0，
∵Δ＝16－8＝8＞0，有两个不相等实根，
∴经过点(2，2)的圆Ck有两个，C错误；
由圆的半径为2，得圆的面积为4π，D正确.
14.已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点.
(1)求M的轨迹方程；
解 圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，
所以圆心为C(0，4)，半径为4.
故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝2.
由于点P在圆C的内部，
所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.
(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积.
故O在线段PM的垂直平分线上，点P(2，2)适合圆N的方程，
易知P在圆N上，从而ON⊥PM.(共71张PPT)
第八章 平面解析几何
第6节 双曲线
1.了解双曲线的定义，几何图形和标准方程.
2.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).
3.了解双曲线的简单应用.
目 录
CONTENTS
知识诊断自测
01
考点聚焦突破
02
课时分层精练
03
知识诊断自测
1
ZHISHIZHENDUANZICE
1.双曲线的定义
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个______叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
(2)其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.
①若____，则集合P为双曲线；
②若a＝c，则集合P为__________；
③若_____，则集合P为空集.
定点
a
两条射线
a>c
2.双曲线的标准方程和几何性质
x∈R，y≤－a或y≥a
坐标轴
原点
A1(－a，0)，A2(a，0)
a2＋b2
常用结论与微点提醒
×
×
×
√
解析 (1)||MF1|－|MF2||＝8＝|F1F2|，表示的轨迹为两条射线.
(2)由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部.
(3)当m＞0，n＞0时表示焦点在x轴上的双曲线，而m＜0，n＜0时则表示焦点在y轴上的双曲线.
2.(选修一P127T1)双曲线4x2－y2＋64＝0上一点P与它的一个焦点的距离等于1，那么点P与另一个焦点的距离等于________.
17
3.(选修一P121T1改编)经过点A(3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为____________.
解析 设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，
把点A(3，－1)代入，得9－1＝λ，λ＝8，
(3，0)
解得c＝3，又焦点在x轴上，
所以双曲线C的右焦点坐标为(3，0).
考点聚焦突破
2
KAODIANJUJIAOTUPO
考点一 双曲线的定义及应用
例1 (1)已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，N是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是( )
A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆
B
解析 如图，连接ON，
由题意可得|ON|＝1，且N为MF1的中点，
又O为F1F2的中点，所以|MF2|＝2.
因为点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，
由垂直平分线的性质可得|PM|＝|PF1|，
所以||PF2|－|PF1||＝||PF2|－|PM||＝|MF2|＝2＜|F1F2|，
所以由双曲线的定义可得，点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线.
C
由双曲线的定义得|AF2|－|AF1|＝2a，|BF2|－|BF1|＝2a，
所以|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋4a＝|AB|＋4a，
所以△ABF2的周长为2|AB|＋4a，
因为a＝2，|AB|的最小值为4，所以△ABF2周长的最小值为2×4＋4×2＝16.
感悟提升
1.在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系.
2.与双曲线两焦点有关的问题常利用定义求解.
3.如果题设条件涉及动点到两定点的距离，求轨迹方程时可考虑能否应用定义求解.
C
解析 设动圆M的半径为r，由动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，
得|MC1|＝1＋r，|MC2|＝3＋r，|MC2|－|MC1|＝2<6，
所以动圆圆心M的轨迹是以点C1(－3，0)和C2(3，0)为焦点的双曲线的左支，
且2a＝2，解得a＝1，
又c＝3，则b2＝c2－a2＝8，
(2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为________.
解析 不妨设点P在双曲线的右支上，
考点二 双曲线的标准方程
解析 设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn>0).
4x2－y2＝1
解析 法一 由题意可知，①若双曲线的焦点在x轴上，
感悟提升
D
考点三 双曲线的几何性质
C
角度1 渐近线
整理得a＝b.
即y＝±x，
∴渐近线的斜率为±1.
解析 如图所示，
∵OQ∥PF，∴∠AOQ＝∠OFP.
又∵双曲线的渐近线关于y轴对称，
∴∠FOP＝∠AOQ，则∠OFP＝∠FOP，
∴△OPF为等腰三角形，
作PM⊥OF，垂足为M，
角度2 离心率
BC
A
－3
拓展视野 椭圆、双曲线中的二级结论
D
解析 [通法]由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A点的距离相等，
解析 如图，令|F2B|＝t，则|AF2|＝2t，
∴|AB|＝3t，|F1B|＝3t.
(－∞，－2]
则(*)中Δ≥0，即36t2－4×4(3t2－3)≥0，
解得－2≤t≤2，即－2≤x＋y≤2.
又x＋y＋m≤0恒成立，则m≤[－(x＋y)]min，即m≤－2.
解析 设点P的横坐标为x0，
由双曲线焦半径公式有|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝ex0－a，
结合条件|PF1|＝3|PF2|，
则ex0＋a＝3(ex0－a)，
解析 由题意知a＝4，b＝2，|AF2|＝2，
课时分层精练
3
KESHIFENCENGJINGLIAN
C
解析 若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，
C
D
A
解析 由题知F(c，0).
B
BCD
所以曲线表示焦点在y轴上的双曲线，
且a2＝－λ，b2＝－2λ(λ＜0)，实轴长不是定值，所以A错误，B正确；
BCD
解析 由双曲线C的焦点(0，10)到渐近线的距离为6，可得双曲线C的焦点在y轴上，
8.已知双曲线的两个焦点分别为F1(－5，0)，F2(5，0)，双曲线上一点P与F1，F2的距离差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为______________.
由2c＝10，2a＝6，得c＝5，a＝3.
因此b2＝c2－a2＝16，
4
设该双曲线的左焦点为F1，连接PF1，QF1，
因为PF⊥QF，P，Q关于原点对称，
所以不妨设点P在第一象限，则由双曲线的对称性可得四边形PF1QF为矩形，
由双曲线的定义可得|PF1|－|PF|＝2，所以|QF|－|PF|＝2.①
又|PF|2＋|QF|2＝|PQ|2＝20，②
10
设双曲线的另一个焦点为F′，
则|PF|＝|PF′|＋4，△PAF的周长为|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PF′|＋4＋|PA|＋3，
当F′，P，A三点共线时，|PF′|＋|PA|有最小值，最小值为|AF′|＝3，
故△PAF的周长的最小值为10.
解 不妨设M在双曲线的右支上，M点到x轴的距离为h，
设|MF1|＝m，|MF2|＝n，由双曲线的定义知m－n＝2a＝8.①
在Rt△F1MF2中，由勾股定理得m2＋n2＝(2c)2＝80，②
由①②得m·n＝8.
解 设点A的坐标为(x0，y0)，
解析 法一 由题意可知F1(－c，0)，F2(c，0)，设A(x1，y1)，B(0，y0)，
解 设双曲线的离心率为e，焦距为2c，
所以a2＋ac＝b2＝c2－a2，
所以e2－e－2＝0，所以离心率e＝2.(共61张PPT)
第八章 平面解析几何
第5节 椭 圆
1.理解椭圆的定义、几何图形、标准方程.
2.掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).
3.掌握椭圆的简单应用.
目 录
CONTENTS
知识诊断自测
01
考点聚焦突破
02
课时分层精练
03
知识诊断自测
1
ZHISHIZHENDUANZICE
1.椭圆的定义
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做______.这两个定点叫做椭圆的______，两焦点间的距离叫做椭圆的______，焦距的一半称为半焦距.
(2)其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：
①若_____，则集合P为椭圆；
②若_____，则集合P为线段；
③若_____，则集合P为空集.
椭圆
焦点
焦距
a＞c
a＝c
a＜c
2.椭圆的标准方程和几何性质
2a
2b
2c
(0，1)
a2－b2
常用结论与微点提醒
×
×
√
解析 (1)由椭圆的定义知，当该常数大于|F1F2|时，其轨迹才是椭圆，而常数等于|F1F2|时，其轨迹为线段F1F2，常数小于|F1F2|时，不存在这样的图形.
√
2.(选修一P115习题3.1T6改编)如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是( )
A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆
A
解析 连接QA(图略).由已知得|QA|＝|QP|，
所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r.
又因为点A在圆内，所以|OA|＜|OP|，
根据椭圆的定义知，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆.
又a＝2b，
则有a2－b2＝3b2＝c2＝3，解得a2＝4，b2＝1，
12
又a2＝b2＋c2，解得a＝3，
所以△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝4a＝12.
考点聚焦突破
2
KAODIANJUJIAOTUPO
考点一 椭圆的定义及应用
例1 (1)一动圆P与圆A：(x＋1)2＋y2＝1外切，而与圆B：(x－1)2＋y2＝64内切，那么动圆的圆心P的轨迹是( )
A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.双曲线的一支
A
解析 设动圆P的半径为r，
又圆A：(x＋1)2＋y2＝1的半径为1，
圆B：(x－1)2＋y2＝64的半径为8，
则|PA|＝r＋1，|PB|＝8－r，
可得|PA|＋|PB|＝9，又9>2＝|AB|，
则动圆的圆心P的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为9的椭圆.
8
解析 根据椭圆的对称性及|PQ|＝|F1F2|可以得到四边形PF1QF2为对角线相等的平行四边形，所以四边形PF1QF2为矩形.
设|PF1|＝m，则|PF2|＝2a－|PF1|＝8－m，
则|PF1|2＋|PF2|2＝m2＋(8－m)2＝2m2＋64－16m＝|F1F2|2＝4c2＝4(a2－b2)＝48，
得m(8－m)＝8，
所以四边形PF1QF2的面积为|PF1|·|PF2|＝m(8－m)＝8.
感悟提升
椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等.
(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题.
A
解析 ∵△ABC的周长为12，顶点B(0，－2)，C(0，2)，
∴|BC|＝4，|AB|＋|AC|＝12－4＝8，
∴点A到两个定点的距离之和等于定值，
又8>4，∴点A的轨迹是椭圆，且a＝4，c＝2，
B
所以(|PF1|＋|PF2|)2＝20，
即|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝20，
所以|PF1|·|PF2|＝2.
20
解析 如图，设F1为椭圆C的左焦点，
则由椭圆的定义可得△ABF的周长为|AF|＋|BF|＋|AB|＝2a－|AF1|＋2a－|BF1|＋|AB|＝4a＋|AB|－|AF1|－|BF1|＝20＋|AB|－|AF1|－|BF1|，
当A，B，F1共线时，|AB|－|AF1|－|BF1|＝0，
当A，B，F1不共线时，|AB|－|AF1|－|BF1|<0，
所以△ABF周长的最大值为20.
考点二 椭圆的标准方程
例2 求满足下列各条件的椭圆的标准方程：
(1)长轴是短轴的3倍且经过点A(3，0)；
解 设方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，
感悟提升
求椭圆方程的方法：
(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹是否满足椭圆的定义.
(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可.
B
解析 依题意得A1(－a，0)，A2(a，0)，B(0，b)，
考点三 椭圆的几何性质
C
解析 法一 无论椭圆焦点位于x轴或y轴，根据点A，B，C为椭圆D的三个顶点，△ABC是正三角形，
法二 无论椭圆焦点位于x轴或y轴，
根据点A，B，C为椭圆D的三个顶点，△ABC是正三角形，
(2)(2024·温州质检)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，点M在椭圆C上，且|MF1|·|MF2|的最大值是它的最小值的2倍，则椭圆C的离心率为________.
解析 因为点M在椭圆C上，所以|MF1|＋|MF2|＝2a，
则|MF1|＝2a－|MF2|(a－c≤|MF2|≤a＋c)，
所以|MF1|·|MF2|＝(2a－|MF2|)|MF2|＝－(|MF2|－a)2＋a2，
所以当|MF2|＝a时，|MF1|·|MF2|有最大值a2，
当|MF2|＝a－c或|MF2|＝a＋c时，|MF1|·|MF2|有最小值a2－c2.
因为|MF1|·|MF2|的最大值是它的最小值的2倍，所以a2＝2(a2－c2)，即a2＝2c2，
C
解析 若椭圆上存在点P，使得PF1⊥PF2，
则以原点为圆心，F1F2为直径的圆与椭圆必有交点，
如图，可得c≥b，即c2≥b2，
感悟提升
A
解析 由题意，知A(－a，0)，B(0，b)，F1(－c，0)，F2(c，0)，
解析 由题知圆E的圆心为E(1，0)，半径为1.
∵直线MN与圆E相切于点N，∴NE⊥MN，且|NE|＝1.
课时分层精练
3
KESHIFENCENGJINGLIAN
A
设下焦点为F1，上焦点为F2，
则|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，
因为|PF2|＝4，所以|PF1|＝6，
即点P到下焦点的距离为6.
D
A
A
B
解析 设椭圆C的右焦点为F′，
由椭圆的定义，得|MF|＋|MF′|＝2a＝4，所以|MF|＝4－|MF′|，
所以|MN|＋|MF|＝|MN|－|MF′|＋4≤|NF′|＋4，
当且仅当M，N，F′三点共线时等号成立，
则由题意，知此时|NF′|＋4＝6，
CD
解析 设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，椭圆长轴在圆柱底面上的投影为圆柱底面圆直径，
BC
对于A，|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，
故△PF1F2的周长为4＋2＝6，故A错误；
解析 设mx2＋ny2＝1(m，n>0，m≠n)，
解 ∵|AF1|＝|AF2|＝a，
且∠F1AF2＝90°，|F1F2|＝2c，
解 由题知A(0，b)，F2(1，0)，设B(x，y)，
即a2＝3b2，∴a2＝3b2＝3(a2－c2)，
(2)如图，若直线l与椭圆相交于A，B，且AB是圆M：(x－1)2＋(y＋1)2＝5的一条直径，求椭圆E的标准方程.
B
解 由y2＝16x，得p＝8，
故抛物线的焦点到准线的距离为8，
则椭圆的长轴长2a＝8，∴a＝4，(共69张PPT)
第八章 平面解析几何
第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系
1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系.
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
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知识诊断自测
01
考点聚焦突破
02
课时分层精练
03
知识诊断自测
1
ZHISHIZHENDUANZICE
位置关系 相离 相切 相交
图形
量化 方程观点 Δ___0 Δ___0 Δ___0
几何观点 d___r d___r d___r
<
＝
>
>
＝
<
位置关系 外离 内含 相交 内切 外切
圆心距与半径的关系 ________ __________ ______________ _________ ________
d>r1＋r2
d<|r1－r2|
|r1－r2|d＝|r1－r2|
d＝r1＋r2
图示
公切线条数 4 0 2 1 3
1.圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在的直线方程为x0x＋y0y＝r2.
2.设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，
圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，
(1)若两圆相交，两式相减，得(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0，该方程表示圆C1与C2的公共弦所在的直线方程.
(2)若两圆相切，两式相减，得(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0，该方程表示圆C1与C2的公共切线所在的直线方程.
常用结论与微点提醒
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件.( )
(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.( )
(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.( )
(4)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆，且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.( )
×
×
×
√
解析 (1)“k=1”是“直线x－y＋k=0与圆x2＋y2=1相交”的充分不必要条件；
(2)除外切外，还有可能内切；
(3)两圆还可能内切或内含.
2.(多选)过点P(2，1)作圆O：x2＋y2＝1的切线l，则切线l的方程为( )
A.x＝2 B.y＝1
C.4x－3y－5＝0 D.4x－3y＋5＝0
BC
解析 设切线l的方程为y－1＝k(x－2)，
3.(选修一P96例5改编)圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为________.
得两圆公共弦所在直线方程x－y＋2＝0.
4.(2024·武汉质检)若圆x2＋y2＋6x＝0与圆x2＋y2－2my＋m2－16＝0外离，则实数m的取值范围是______________________________.
解析 设圆C1：x2＋y2＋6x＝0，即(x＋3)2＋y2＝9，
所以圆心C1(－3，0)，半径r1＝3；
圆C2：x2＋y2－2my＋m2－16＝0，
即x2＋(y－m)2＝16，
所以圆心C2(0，m)，半径r2＝4.
因为圆C1和圆C2外离，所以|C1C2|>r1＋r2，
考点聚焦突破
2
KAODIANJUJIAOTUPO
考点一 直线与圆的位置关系
例1 (1)直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是( )
A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定
A
消去y，整理得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0，
因为Δ＝16m2＋20>0，
所以直线l与圆相交.
法三(定点法) 直线l：mx－y＋1－m＝0，
整理得m(x－1)－y＋1＝0过(1，1)，
而12＋(1－1)2<5，
即(1，1)在圆内，所以直线l与圆相交.
(2)(2024·深圳质检)已知直线l：xcos α＋ysin α＝1(α∈R)与圆C：x2＋y2＝r2(r＞0)相离，则r的取值范围是( )
A.0＜r≤1 B.0＜r＜1 C.r≥1 D.r＞1
B
感悟提升
判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法：利用d与r的关系.
(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断.
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.
训练1 (1)(多选)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0，则以下几个说法正确的有( )
A.直线l恒过定点(3，1) B.直线l与圆C相切
C.直线l与圆C恒相交 D.直线l与圆C相离
AC
解析 将直线l的方程整理为x＋y－4＋m(2x＋y－7)＝0，
则无论m为何值，直线l过定点(3，1)，
因为点(3，1)在圆C内，
故直线l与圆C恒相交，故AC正确.
(2)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1上，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是( )
A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定
A
解析 因为M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1上，
所以a2＋b2＝1，而圆心O到直线ax＋by＝1的距离
考点二 圆的弦长、切线问题
5
解析 设直线x－my＋1＝0为直线l，
由条件知⊙C的圆心为C(1，0)，半径r＝2，
B
解析 如图，由x2＋y2－4x－1＝0得(x－2)2＋y2＝5，
(2)已知直线l：x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－6x－2y＋1＝0的对称轴，过点A(－1，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|等于________.
4
解析 已知直线l：x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－6x－2y＋1＝0的对称轴，
又圆心C(3，1)，半径r＝3，
所以直线l过圆心C(3，1)，
故3＋a－1＝0，即a＝－2，所以点A(－1，－2)，
角度3 最值(范围)问题
例4 (1)(2024·杭州质检)若直线y＝kx＋1与圆C：(x－2)2＋y2＝9相交于A，B两点，则|AB|的取值范围为( )
A.[2，6] B.[4，6] C.[3，7] D.[4，8]
B
解析 易知直线y＝kx＋1恒过定点(0，1)，
又点(0，1)在圆C：(x－2)2＋y2＝9内，
A
解析 由圆M：(x－2)2＋(y－3)2＝1可知，圆心M(2，3)，半径为1，所以|MA|＝|MB|＝1，
感悟提升
1.求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程.若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时注意斜率不存在的切线.
2.涉及与圆的切线有关的线段长度范围(或最值)问题，解题关键是能够把所求线段长表示为关于圆心与直线上的点的距离的函数的形式，利用求函数值域的方法求得结果.
C
(2)(2024·河南名校联考)已知⊙C：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直线l：x＋2y＋2＝0，M为直线l上的动点，过点M作⊙C的切线MA，MB，切点为A，B，当四边形MACB的面积取最小值时，直线AB的方程为__________________.
x＋2y＋1＝0
解析 ⊙C：x2＋y2－2x－2y－2＝0的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4，
则圆心C(1，1)，半径r＝2.
如图，连接MC，
要使四边形MACB的面积最小，则需|CM|最小，
此时CM与直线l垂直，直线CM的方程为y－1＝2(x－1)，
考点三 圆与圆的位置关系
例5 已知两圆C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0.
(1)求证：圆C1和圆C2相交；
证明 ∵C1：(x－1)2＋(y－3)2＝11，
(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长.
解 将两圆方程相减，
得公共弦所在直线方程是4x＋3y－23＝0.
感悟提升
1.判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法.
2.若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到.
训练3 (1)(2024·长沙联考)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与
圆C有公共点，则k的最大值是________.
解析 圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，
则圆C的标准方程为(x－4)2＋y2＝1，
则圆C是以C(4，0)为圆心，1为半径的圆.
若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则圆心C到直线y＝kx－2的距离d≤2，
A
解析 设圆C1、圆C2的半径分别为r1，r2，
由题意可知C1(0，0)，r1＝2，C2(a，－a)，r2＝1，
连接C1C2，当且仅当圆C1和圆C2内含时，两圆没有公切线，
即圆C1和圆C2有公切线的充要条件为|C1C2|≥r1－r2＝2－1＝1，
微点突破 直线系与圆系方程
1.直线系方程
(1)过点(x0，y0)的直线系方程为A(x－x0)＋B(y－y0)＝0(其中A，B不全为零)；
(2)平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程Ax＋By＋C0＝0(C≠C0)；
(3)垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程Bx－Ay＋C0＝0；
(4)过两条已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋By2＋C2)＝0.
(这个直线系不包括直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，解题时注意检验l2是否满足题意)
2.圆系方程
(1)以(a，b)为圆心的同心圆圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝λ(λ>0)；
(2)与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0同心圆的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋λ＝0；
(3)过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；
(4)过两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0.
(λ≠－1，此圆系不含C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0)
特别地，当λ＝－1时，上述方程为一次方程，两圆相交时，表示公共弦所在直线方程；两圆相切时，表示公切线所在直线方程.
一、直线系方程
例1 (1)过点A(1，－4)且与直线2x＋3y＋5＝0平行的直线方程为________________.
2x＋3y＋10＝0
解析 设所求直线方程为2x＋3y＋c＝0(c≠5)，
由题意知2×1＋3×(－4)＋c＝0，解得c＝10，
故所求直线方程为2x＋3y＋10＝0.
(2)经过点A(2，1)且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程为________________.
x－2y＝0
解析 因为所求直线与直线2x＋y－10＝0垂直，
所以设该直线方程为x－2y＋c＝0.
又直线过点A(2，1)，
所以有2－2×1＋c＝0，解得c＝0，
故所求直线方程为x－2y＝0.
(3)已知两条直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点为P，过点P且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程为________________.
4x＋3y－6＝0
解析 设所求直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，
即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0.
因为直线l与l3垂直，
所以3(1＋λ)－4(λ－2)＝0，所以λ＝11，
所以直线l的方程为4x＋3y－6＝0.
二、圆系方程
例2 已知点M(2，－2)，圆O：x2＋y2＝3(O为坐标原点).
(1)求经过M，以及圆O与圆x2＋y2＋3x＝0交点的圆的方程；
解 设圆的方程为x2＋y2＋3x＋λ(x2＋y2－3)＝0，
所求圆的方程是3x2＋3y2－5x－14＝0.
(2)过点M向圆O引两条切线，切点分别为A，B，求直线AB的方程.
解 以MO为直径的圆C的方程为x2＋y2－2x＋2y＝0，
则由圆系方程可知圆C与圆O方程相减即得直线AB的方程为2x－2y＝3，或由切点弦的公式可直接得到2x－2y＝3.
训练 (1)过点P(－1，4)，与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1相切的切线方程为_______________________.
y＝4或3x＋4y－13＝0
解析 因为切线过点P(－1，4)，
故可设所求直线的方程为A(x＋1)＋B(y－4)＝0(其中A，B不全为零)，
∵直线l与圆相切，∴圆心(2，3)到直线l的距离等于半径1，
(2)经过直线2x－y＋3＝0与圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的两个交点，且面积最小的圆的方程是___________________.
(3)直线l1：x＋y－4＝0与l2：x－y＋2＝0的交点为P，直线l：2x－y－1＝0.
求：①过点P且与直线l平行的直线方程；
②过点P且与直线l垂直的直线方程.
所以l1与l2的交点为P(1，3).
①设所求直线方程为2x－y＋c＝0(c≠－1)，
则2－3＋c＝0，所以c＝1，
所以所求直线方程为2x－y＋1＝0.
②设与直线2x－y－1＝0垂直的直线方程为x＋2y＋c′＝0，
则1＋2×3＋c′＝0，所以c′＝－7，
所以所求直线方程为x＋2y－7＝0.
课时分层精练
3
KESHIFENCENGJINGLIAN
1.已知直线l：x＋y－2＝0与圆C：x2＋y2＝2，点A(1，1)，则下列说法正确的是( )
A.点A在圆C上，直线l与圆C相切 B.点A在圆C内，直线l与圆C相离
C.点A在圆C外，直线l与圆C相切 D.点A在圆C上，直线l与圆C相交
A
所以直线l与圆C相切.
因为点A(1，1)满足圆C的方程，
所以点A在圆C上.
2.已知圆O1：(x－1)2＋(y＋2)2＝9，圆O2：(x＋2)2＋(y＋1)2＝16，则这两个圆的位置关系为( )
A.外离 B.外切 C.相交 D.内含
C
D
解析 圆x2＋y2＝4的圆心为(0，0)，半径r＝2，
4.圆x2＋2x＋y2＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为的点共有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
C
A
解析 由题可得，圆心C(－1，－2)，|AC|＝2，且PA⊥AC，
所以|PA|2＝|PC|2－4.
要使|PA|最小，需|PC|最小.
|PC|的最小值为点C到直线l的距离，
BCD
解析 因为圆M：(x－k2)2＋(y－2k)2＝3与圆N：(x－1)2＋y2＝1交于A，B两点，
所以两圆方程相减，可得直线AB的方程为2(1－k2)x－4ky＋k4＋4k2－3＝0.
令k4＋2k2＝t，则t2＝3t，解得t＝0或t＝3，
故k＝0或k＝±1.
经检验k＝0，1，－1满足上式.
7.(多选)(2024·南京调研)已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1，则下列说法正确的是( )
A.若圆C与两坐标轴均相切，则a＝b
B.若a＝b，则圆C不可能过点(0，2)
C.若点(3，4)在圆C上，则圆心C到原点O的距离的最小值为4
D.若圆C上有两点到原点的距离为1，则0BCD
解析 对于A，若圆C与两坐标轴均相切，
则|a|＝|b|＝1，A错误；
对于B，若a＝b，将(0，2)代入圆方程得a2＋(2－a)2＝1，得2a2－4a＋3＝0，
Δ＝(－4)2－24＝－8<0，方程无解，B正确；
8.已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆相切于点A(－2，－1)，则m＝________，r＝________.
－2
解析 如图所示，
10.若一条光线从点A(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为___________.
解析 点A(－2，－3)关于y轴的对称点为A′(2，－3)，
故可设反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，
化为kx－y－2k－3＝0，
∵反射光线与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，
11.已知圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0，直线l过点A(1，0).
(1)若直线l与圆C相切，求直线l的方程；
解 圆C的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝22，
圆C的圆心坐标是(3，4)，半径长是2.
(1)①当直线l的斜率不存在，即其方程是x＝1，满足题意.
②当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程是y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0.
由圆心(3，4)到直线l的距离等于圆C的半径，
此时直线l的方程是3x－4y－3＝0.
综上，直线l的方程是x＝1或3x－4y－3＝0.
解 由(1)得直线l的方程是3x－4y－3＝0.
圆C的圆心是点C(3，4)，
(2)当直线l的斜率存在且与圆C相切于点B时，求|AB|.
12.在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0，1).当m变化时，解答下列问题：
(1)能否出现AC⊥BC的情况？请说明理由；
解 不能出现AC⊥BC的情况，理由如下：
设A(x1，0)，B(x2，0)，
且x1，x2满足x2＋mx－2＝0，所以x1x2＝－2.
(2)证明：过A，B，C三点的圆截y轴所得弦长为定值.
A
解析 法一 连接OA，由题可知|OA|＝1，OA⊥PA，
14.(2024·西安调研)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4.
(1)若直线l：(m－2)x＋(1－m)y＋m＋1＝0(m∈R)，证明：无论m为何值，直线l都与圆C相交；
证明 转化l的方程(m－2)x＋(1－m)y＋m＋1＝0，
可得m(x－y＋1)－2x＋y＋1＝0，
所以直线l恒过点(2，3)，由(2－3)2＋(3－4)2＝2<4，
得点(2，3)在圆内，即直线l恒过圆内一点，
所以无论m为何值，直线l都与圆C相交.
(2)若过点P(1，0)的直线m与圆C相交于A，B两点，求△ABC面积的最大值，并求此时直线m的方程.
解 由C的圆心为(3，4)，半径r＝2，
易知此时直线m的斜率存在且不为0，
故设直线m的方程为x＝ny＋1(n≠0)，
直线m的一般方程为ny－x＋1＝0，(共66张PPT)
第八章 平面解析几何
第7节 抛物线
1.理解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).
2.理解抛物线的简单应用.
目 录
CONTENTS
知识诊断自测
01
考点聚焦突破
02
课时分层精练
03
知识诊断自测
1
ZHISHIZHENDUANZICE
1.抛物线的定义
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离______的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的______.
(2)其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离).
相等
准线
2.抛物线的标准方程与几何性质
常用结论与微点提醒
×
×
×
√
2.(选修一P138T2(2))抛物线y2＝8x上与焦点的距离等于6的点的坐标是____________.
解析 设所求点为P(x0，y0)，
3.(选修一P133T1(3)改编)焦点到准线的距离是2的抛物线的标准方程是____________________.
y2＝±4x或x2＝±4y
解析 由题知p＝2，2p＝4，但焦点轴不确定，故答案为y2＝±4x或x2＝±4y.
2
考点聚焦突破
2
KAODIANJUJIAOTUPO
考点一 抛物线的定义及应用
D
解析 依题意，动点P到直线x－2＝0的距离比它到点M(－4，0)的距离小2，
所以P到直线x－4＝0的距离和它到点(－4，0)的距离相等，
所以P点的轨迹是抛物线.
例1 (1)动点P到直线x－2＝0的距离比它到点M(－4，0)的距离小2，则点P的轨迹是( )
A.直线 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
B
解析 由题意知抛物线的准线方程为x＝－1，
分别过点M，N作准线的垂线，垂足为M′，N′(图略)，
根据抛物线的定义得|MF|＝|MM′|，|NF|＝|NN′|，
所以|MF|＋|NF|＝|MM′|＋|NN′|，
(3)若在抛物线y2＝－4x上存在一点P，使其到焦点F的距离与到A(－2，1)的距
离之和最小，则该点的坐标为_____________.
解析 如图，∵y2＝－4x，∴p＝2，焦点坐标为(－1，0).
依题意可知当A，P及P到准线的垂足Q三点共线时，点P与点F、点P与点A的距离之和最小，故点P的纵坐标为1.
感悟提升
利用抛物线的定义可解决的常见问题
1.轨迹问题：用抛物线的定义可以确定与定点、定直线距离有关的动点轨迹是否为抛物线.
2.距离问题：灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与其到准线距离间的等价转化.“看到准线应该想到焦点，看到焦点应该想到准线”，这是解决抛物线中与距离有关的问题的有效途径.
提醒 一定要验证定点是否在定直线上.
训练1 (1)设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l，P是抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥l于Q.则线段FQ的垂直平分线( )
A.经过点O B.经过点P
C.平行于直线OP D.垂直于直线OP
B
解析 连接PF(图略)，由题意及抛物线的定义可知|PQ|＝|FP|，则△QPF为等腰三角形，
故线段FQ的垂直平分线经过点P.故选B.
B
解析 由题意得F(1，0)，则|AF|＝|BF|＝2，
即点A到准线x＝－1的距离为2，
所以点A的横坐标为－1＋2＝1.
不妨设点A在x轴上方，将其横坐标1代入抛物线方程得A(1，2)，
(3)已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为________.
2
解析 由题意知抛物线的准线l：y＝－1，
过点A作AA1⊥l交l于点A1，过点B作BB1⊥l交l于点B1，
∵|AB|≤|AF|＋|BF|(F为抛物线的焦点)，
即|AF|＋|BF|≥6，
∴|AA1|＋|BB1|≥6，2|MM1|≥6，|MM1|≥3，
故点M到x轴的距离d≥2，故最短距离为2.
考点二 抛物线的标准方程
D
解析 如图，分别过点A，B作准线的垂线，交准线于点E，D，
设|BF|＝a，则|BC|＝2a，
由抛物线的定义得|BD|＝a，故∠BCD＝30°，
∴在Rt△ACE中，2|AE|＝|AC|，
∵|AE|＝|AF|＝3，|AC|＝3＋3a，
∴3＋3a＝6，解得a＝1，
(2)若顶点在原点的抛物线经过点(－2，1)，(1，2)，(4，4)中的2个，则该抛物线的标准方程为__________________.
x2＝4y或y2＝4x
解析 当抛物线的焦点在y轴上时，设抛物线的标准方程为x2＝my，若点(－2，1)在抛物线上，则m＝4，此时x2＝4y，点(4，4)在抛物线上，点(1，2)不在抛物线上，满足题意；
当抛物线的焦点在x轴上时,设抛物线的标准方程为y2＝nx,同理可求得当点(1,2)，(4，4)在抛物线上时满足题意，此时y2＝4x.
故满足题意的抛物线的方程为x2＝4y或y2＝4x.
感悟提升
求抛物线标准方程的方法
(1)定义法：根据抛物线的定义，确定p的值(系数p是指焦点到准线的距离)，再结合焦点位置，求出抛物线方程.标准方程有四种形式，要注意选择.
(2)待定系数法：若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一设为y2＝ax(a≠0)，a的正负由题设来定；焦点在y轴上的抛物线的标准方程可设为x2＝ay(a≠0)，这样就减少了不必要的讨论.
训练2 (1)(2024·兰州质检)在平面直角坐标系Oxy中，动点P(x，y)到直线x＝1的距离比它到定点(－2，0)的距离小1，则P的轨迹方程为( )
A.y2＝2x B.y2＝4x C.y2＝－4x D.y2＝－8x
D
解析 由题意知动点P(x，y)到直线x＝2的距离与到定点(－2，0)的距离相等，
由抛物线的定义知，P的轨迹是以(－2，0)为焦点，x＝2为准线的抛物线，
所以p＝4，轨迹方程为y2＝－8x.
(2)以坐标原点为顶点，以y轴为对称轴，并经过点P(－6，－3)的抛物线的标准方程为____________.
x2＝－12y
解析 由题意设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)，
则(－6)2＝－2p×(－3)，p＝6，
所以抛物线方程为x2＝－12y.
考点三 抛物线的几何性质
例3 (1)(2024·武汉调研)设抛物线y2＝6x的焦点为F，准线为l，P是抛物线上位于第一象限内的一点，过P作l的垂线，垂足为Q，若直线QF的倾斜角为120°，则|PF|＝( )
A.3 B.6 C.9 D.12
B
(2)过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则p＝________.
2
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
根据抛物线的定义，得|AB|＝x1＋x2＋p＝4p＝8，∴p＝2.
感悟提升
由抛物线的方程可以确定抛物线的开口方向、焦点位置、焦点到准线的距离，从而进一步确定抛物线的焦点坐标及准线方程.
3
解析 由题意得焦点F(1，0)，设直线l为x＝λy＋1(λ≠0)，
代入抛物线方程得y2－4λy－4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由韦达定理得y1y2＝－4，①
拓展视野 抛物线中的二级结论
B
解析 [通法]易知直线l的斜率存在，设为k，则其方程为y＝k(x－1).
因为|AF|＝2|BF|，
由抛物线的定义得xA＋1＝2(xB＋1)，即xA＝2xB＋1，②
C
解析 [通法]设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
(3)(2024·武汉调研)过抛物线y2＝8x焦点的直线与抛物线交于M，N两点，设抛物线的准线与x轴的交点为A，当MA⊥NA时，|MN|＝________.
8
解析 [通法]由题意可知A(－2，0)，焦点坐标为(2，0).
设过抛物线焦点的直线方程为x＝ky＋2，
代入y2＝8x，消去x，得y2－8ky－16＝0.
设M(xM，yM)，N(xN，yN)，则yMyN＝－16，
所以8＋2(xM＋xN)＝16，即xM＋xN＝4，
所以由抛物线的定义知|MN|＝xM＋xN＋4＝8.
即(xM＋2)(xN＋2)＋yMyN＝0，
得4＋2(xM＋xN)＋4－16＝0，
∴xM＋xN＝4，|MN|＝xM＋xN＋4＝8.
训练 (1)(2024·广州联考)直线y＝x－1过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F，且与C交于A，B两点，则|AB|＝( )
A.2 B.4 C.6 D.8
D
解析 焦点F(1，0)，∴p＝2，
2
课时分层精练
3
KESHIFENCENGJINGLIAN
A
2.过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于( )
A.9 B.8 C.7 D.6
B
解析 抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.
根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.
A
解析 抛物线C：y2＝8x的准线方程为x＝－2.
设M(x0，y0)，由抛物线的定义可知，点M到焦点F(2，0)的距离等于其到准线x＝－2的距离，
所以|MF|＝x0＋2＝8，所以x0＝6.
因为点M(x0，y0)在抛物线C：y2＝8x上，
4.已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，直线l与抛物线C相交于A，B两点，且与y轴相交于点P，若|PA|＝3|PB|，|AF|＝8，|BF|＝4，则p＝( )
A.1 B.2 C.3 D.4
D
解析 过点A，B分别作抛物线准线的垂线AD，BM，垂足分别为D，M，且AD，BM与y轴分别相交于E，N，
D
解析 由题意可设切线AB的方程为x＝ty＋m(t＞0，m＜0)，
由Δ＝(－4t)2＋4×4m＝0，得m＝－t2，
∴A(－t2，0)，B(t2，2t)，∴M(0，t).
6.(多选)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F到准线的距离为4，直线l过点F且与抛物线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若M(m，2)是线段AB的中点，则下列结论正确的是( )
A.p＝4
B.抛物线方程为y2＝16x
C.直线l的方程为y＝2x－4
D.|AB|＝10
ACD
解析 由焦点F到准线的距离为4，
根据抛物线的定义可知p＝4，故A正确；
则抛物线的方程为y2＝8x，故B错误；
∴直线l的方程为y＝2x－4，故C正确；
又由y1＋y2＝2(x1＋x2)－8＝4，得x1＋x2＝6，
∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋4＝10，故D正确.
AC
解析 将点A的坐标代入抛物线方程，得5＝2p，
9.(2023·天津卷)过原点O的一条直线与圆C：(x＋2)2＋y2＝3相切，交曲线y2＝2px(p>0)于点P，若|OP|＝8，则p的值为________.
6
解析 由题意得直线OP的斜率存在.
设直线OP的方程为y＝kx，
10.(2024·南京、盐城模拟)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，点P是其准线上一点，过点P作PF的垂线，交y轴于点A，线段AF交抛物线于点B.若PB平行于x轴，则AF的长度为________.
3
解析 易得F(1，0)，设P(－1，t)，
11.分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.
(1)准线方程为2y＋4＝0；
解 准线方程为2y＋4＝0，即y＝－2，
故抛物线焦点在y轴的正半轴上，
设其方程为x2＝2py(p>0).
(2)过点(3，－4)；
解 ∵点(3，－4)在第四象限，
∴抛物线开口向右或向下，
设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)或x2＝－2p1y(p1>0).
把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y中，
得(－4)2＝2p·3，32＝－2p1·(－4)，
(3)焦点在直线x＋3y＋15＝0上.
解 令x＝0得y＝－5；
令y＝0得x＝－15.
∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15，0)，
∴所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x.
12.已知抛物线C：x2＝my(m>0)的焦点F到其准线的距离为1.
(1)求抛物线C的方程；
因为m>0，所以m＝2.
所以抛物线C的方程为x2＝2y.
(2)过F的直线与抛物线C相交于A，B两点，在A，B处分别作抛物线C的切线，两条切线的交点为P，证明：AB⊥FP.
证明 由题意，直线AB的斜率一定存在，
代入抛物线方程x2＝2y，
整理得x2－2kx－1＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，
则x1＋x2＝2k，x1x2＝－1.
13.(2024·福州调研)已知点P在抛物线y2＝8x上，点F为该抛物线的焦点，点A的坐标为(6，3)，则△PAF周长的最小值为________.
13
解析 由题意可知，点A在抛物线的内部，抛物线的焦点F(2，0)，
抛物线的准线方程为x＝－2，
如图，过点P作准线的垂线，交准线于点D，
由抛物线的定义可知，|PF|＝|PD|，
∴要使得|PA|＋|PF|最小，即使得|PA|＋|PD|最小，
则当D，P，A三点共线时，|PA|＋|PD|取得最小值，
即(|PA|＋|PF|)min＝6＋2＝8，
∴△PAF周长的最小值为8＋5＝13.
14.已知F为抛物线T：x2＝4y的焦点，直线l：y＝kx＋2与T相交于A，B两点.
(1)若k＝1，求|FA|＋|FB|的值；
解 由已知可得F(0，1)，
(2)点C(－3，－2)，若∠CFA＝∠CFB，求直线l的方程.(共52张PPT)
第八章 平面解析几何
第1节 直线的方程
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.
2.掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式).
3.常与圆锥曲线结合考查斜率的表示及直线方程的设法和求解.
目 录
CONTENTS
知识诊断自测
01
考点聚焦突破
02
课时分层精练
03
知识诊断自测
1
ZHISHIZHENDUANZICE
1.直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l______的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角；
(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为______；
(3)范围：直线的倾斜角α的取值范围是_________________.
向上
0°
{α|0°≤α<180°}
正切值
tan α
方向向量
3.直线方程的五种形式
名称 几何条件 方程 适用条件
斜截式 纵截距、斜率 _________ 与x轴不垂直的直线
点斜式 过一点、斜率 _______________ 两点式 过两点 _____________ 与两坐标轴均不垂直的直线
截距式 纵、横截距 __________ 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线
一般式 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 所有直线
y＝kx＋b
y－y0＝k(x－x0)
常用结论与微点提醒
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面直角坐标系中的直线都有倾斜角与斜率.( )
(2)直线的倾斜角越大，其斜率就越大.( )
(3)直线y＝kx－2一定过定点(0，－2).( )
(4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)·
(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示.( )
×
×
√
√
解析 (1)当直线的倾斜角为90°，直线不存在斜率.
(2)当直线的倾斜角α1＝135°，α2＝45°时，α1＞α2，但其对应斜率k1＝－1，k2＝1，k1＜k2.
BD
解析 对于A，当直线斜率为tan(－45°)时，其倾斜角为135°，A错误；
对于B，直线方程为y＝3x－2，令x＝0，得y＝－2，所以直线y＝3x－2在y轴上的截距为－2，B正确；
所以α＝30°，C错误；
对于D，直线过点(5，4)并且倾斜角为90°，则其斜率不存在，
所以直线方程为x＝5，即x－5＝0，D正确.
3.(选修一P58T7改编)设m为实数，过两点A(m2＋2，m2－3)，B(3－m－m2，2m)的直线l的倾斜角为45°，则m的值为________.
－2
解析 ∵过两点A(m2＋2，m2－3)，B(3－m－m2，2m)的直线l的倾斜角为45°，
4.经过点P(4，1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为______________________.
x－4y＝0或x＋y－5＝0
当直线不过原点时，
考点聚焦突破
2
KAODIANJUJIAOTUPO
考点一 直线的倾斜角与斜率
B
解析 结合图形，由题意得，所求直线的斜率k满足k≥kPB或k≤kPA，
(2)直线x＋(m2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是__________.
感悟提升
解析 如图，当直线l过点B时，设直线l的斜率为k1，
考点二 直线的方程
(2)直线过点(2，1)，且横截距为纵截距的两倍；
解 当横截距与纵截距都为0时，可设直线方程为y＝kx，
(3)直线过点(5，10)，且原点到该直线的距离为5.
解 当直线的斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0，满足题意；
当直线的斜率存在时，设斜率为k，
则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，
即kx－y＋10－5k＝0.
∴所求直线方程为3x－4y＋25＝0，
综上，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.
感悟提升
1.在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件.
2.对于点斜式、截距式方程，要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零).
训练2 (1)经过点(1，1)，且方向向量为(1，2)的直线方程是( )
A.2x－y－1＝0 B.2x＋y－3＝0
C.x－2y＋1＝0 D.x＋2y－3＝0
A
解析 ∵直线的方向向量为(1，2)，
∴直线的斜率k＝2，
又直线过点(1，1)，
∴直线的方程为y－1＝2(x－1)，
即2x－y－1＝0.
(2)已知直线l过点(1，0)，且倾斜角为直线l0：x－2y－2＝0的倾斜角的2倍，则直线l的方程为______________.
4x－3y－4＝0
解析 由题意可设直线l0，l的倾斜角分别为α，2α，
(3)已知△ABC的三个顶点坐标为A(1，2)，B(3，6)，C(5，2)，M为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在直线的方程为______________.
2x＋y－8＝0
解析 由题知M(2，4)，N(3，2)，
考点三 直线方程的综合应用
例3 已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R).
(1)证明：直线l过定点；
证明 直线l的方程可化为k(x＋2)＋(1－y)＝0，
(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；
当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，
故k的取值范围是[0，＋∞).
(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程.
感悟提升
1.直线过定点问题，将参数的“系数”化为0，解关于x，y的方程组可求定点.
2.求参数值或范围：注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解.
3.求解与直线方程有关的最值问题：先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值.
训练3 (1)已知直线l过点M(2，1)，且分别与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，当|MA|·|MB|最小时，则直线l的方程为______________.
x＋y－3＝0
解析 设A(a，0)，B(0，b)，则a＞0，b＞0，
当且仅当a＝b＝3时取等号，
此时直线l的方程为x＋y－3＝0.
(2)已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4.当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，则实数a＝________.
解析 由题意知直线l1，l2恒过定点P(2，2)，
直线l1在y轴上的截距为2－a，
直线l2在x轴上的截距为a2＋2，
课时分层精练
3
KESHIFENCENGJINGLIAN
A
解析 ∵直线l的方程为x＝－3，
C
3.(2024·潍坊模拟)若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则( )
A.k1B.k3C.k3D.k1D
解析 直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1<0.
直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2>α3，
所以04.若AB＞0且BC＜0，则直线Ax＋By＋C＝0不经过第几象限( )
A.一 B.二 C.三 D.四
C
解析 ∵AB＞0且BC＜0，
在y轴上的截距大于零，
故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限.
C
解析 法一 因为直线l的一个方向向量为n＝(2，3)，
6.已知点M是直线l：2x－y－4＝0与x轴的交点，将直线l绕点M按逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是( )
A.x＋y－3＝0 B.x－3y－2＝0
C.3x－y＋6＝0 D.3x＋y－6＝0
D
解析 设直线l的倾斜角为α，则tan α＝k1＝2，
直线l绕点M按逆时针方向旋转45°，
又点M(2，0)，
所以直线方程为y＝－3(x－2)，即3x＋y－6＝0.
B
8.(多选)若直线l过点A(1，2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l的方程可能为( )
A.x－y＋1＝0 B.x＋y－3＝0
C.2x－y＝0 D.x－y－1＝0
ABC
所求的直线方程为y＝2x，即2x－y＝0；
当直线不过原点时，
设所求的直线方程为x±y＝t，
把点A(1，2)代入可得1－2＝t或1＋2＝t，
求得t＝－1或3，故所求的直线方程为x－y＋1＝0或x＋y－3＝0.
9.已知三角形的三个顶点A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，则BC边上中线所在的直线方程为________________.
x＋13y＋5＝0
10.已知点A(1，3)，B(－2，－1).若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB恒相交，则k的取值范围是________.
解析 直线l：y＝k(x－2)＋1经过定点P(2，1)，
11.设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程是____________.
x＋y－5＝0
解析 易知A(－1，0)，∵|PA|＝|PB|，
∴点P在AB的垂直平分线，即x＝2上，
∴B(5，0).
∵PA，PB关于直线x＝2对称，
∴kPB＝－1.
∴lPB：y－0＝－(x－5)，即x＋y－5＝0.
(2，1)
解析 将直线方程变形得x－2＋k(y－1)＝0，
由于点A在直线mx－y＋n＝0上，
则有2m－1＋n＝0，所以2m＋n＝1.
13.(多选)已知直线xsin α＋ycos α＋1＝0(α∈R)，则下列命题正确的是( )
A.直线的倾斜角是π－α
B.无论α如何变化，直线不过原点
C.直线的斜率一定存在
D.当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1
BD
解析 根据直线倾斜角的范围为[0，π)，而π－α∈R，A不正确；
当x＝y＝0时，xsin α＋ycos α＋1＝1≠0，所以直线必不过原点，B正确；
D
A.0.75 B.0.8 C.0.85 D.0.9
解析 设OD1＝DC1＝CB1＝BA1＝1，
则DD1＝0.5，CC1＝k1，BB1＝k2，AA1＝k3，
依题意，有k3－0.2＝k1，k3－0.1＝k2，
15.设m∈R，若过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________.
5
解析 易知定点A(0，0)，B(1，3)，且无论m取何值，两动直线都垂直，
所以无论P与A，B重合与否，均有|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10(P在以AB为直径的圆上)，
解析 由题意可得kOA＝tan 45°＝1，(共57张PPT)
第八章 平面解析几何
第2节 两直线的位置关系
1.能根据斜率判定两条直线的平行或垂直.
2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.
3.掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.
目 录
CONTENTS
知识诊断自测
01
考点聚焦突破
02
课时分层精练
03
知识诊断自测
1
ZHISHIZHENDUANZICE
1.两条直线的位置关系
直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l1与l3是同一直线，l2与l4是同一直线，l3的法向量v1＝(A1，B1)，l4的法向量v2＝(A2，B2)的位置关系如下表：
位置关系 法向量满足的条件 l1，l2满足的条件 l3，l4满足的条件
平行 v1∥v2 ______________ ________________
________________
垂直 v1⊥v2 __________ _______________
相交 v1与v2不共线 ____________ ______________
k1＝k2且b1≠b2
A1B2－A2B1＝0且
A1C2－A2C1≠0
k1·k2＝－1
A1A2＋B1B2＝0
k1≠k2
A1B2－A2B1≠0
交点
无解
无数个
相交
平行
(2a－x0，2b－y0)
1.五种常用对称关系
(1)点(x，y)关于原点(0，0)的对称点为(－x，－y).
(2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y).
(3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x).
(4)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x，2b－y).
(5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x，2b－y).
2.应用点到直线的距离公式与两平行直线间的距离公式中的直线的方程必须是一般式.特别地，在两平行线的距离公式中，两直线方程的一般式中x，y的系数必须对应相等.
常用结论与微点提醒
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2 l1∥l2.( )
(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( )
(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交.( )
(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.( )
×
×
√
解析 (1)两直线l1，l2有可能重合.
(2)当l1⊥l2时，若l1的斜率k1＝0，则l2的斜率不存在，不满足题意.
√
2.(选修一P102T1(3))与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线的方程为( )
A.3x＋4y－5＝0 B.3x＋4y＋5＝0
C.3x－4y＋5＝0 D.3x－4y－5＝0
B
解析 设所求对称直线的点的坐标(x，y)，关于x轴的对称点的坐标(x，－y)在已知的直线上，
所以所求对称直线方程为3x＋4y＋5＝0.
3.(选修一P77T3改编)已知点P(－1，2)到直线l：4x－3y＋C＝0的距离为1，则C＝__________.
5或15
解析 利用点P(－1，2)到直线l：4x－3y＋C＝0的距离为1，
4.已知直线(3a＋2)x＋(1－4a)y＋8＝0与(5a－2)x＋(a＋4)y－7＝0垂直，则a的值为________.
0或1
解析 ∵两直线垂直，
∴(3a＋2)(5a－2)＋(1－4a)(a＋4)＝0，
可得11a2－11a＝0，解得a＝0或1.
考点聚焦突破
2
KAODIANJUJIAOTUPO
考点一 两直线的平行与垂直
例1 已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.
(1)试判断l1与l2是否平行；
解 法一 由A1B2－A2B1＝0，
得a(a－1)－1×2＝0，
由A1C2－A2C1≠0，得a(a2－1)－1×6≠0，
故当a＝－1时，l1∥l2；a≠－1时，l1与l2不平行.
法二 当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1不平行于l2；
当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，
l1不平行于l2；
当a≠1且a≠0时，两直线方程可化为l1：
解得a＝－1，
综上，当a＝－1时，l1∥l2；a≠－1时，l1与l2不平行.
(2)当l1⊥l2时，求a的值.
法二 当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，
l1与l2不垂直，故a＝1不成立；
当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，
l1不垂直于l2，故a＝0不成立；
感悟提升
1.当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件.
2.在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.
训练1 (1)(2024·武汉调研)设λ∈R，则“λ＝1”是“直线3x＋(λ－1)y＝1与直线λx＋(1－λ)y＝2平行”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
A
解析 若直线3x＋(λ－1)y＝1与直线λx＋(1－λ)y＝2平行，
则3(1－λ)－λ(λ－1)＝0，
解得λ＝1或λ＝－3，
经检验，λ＝1或λ＝－3时两直线平行，
故“λ＝1”是“直线3x＋(λ－1)y＝1与直线λx＋(1－λ)y＝2平行”的充分不必要条件.
(2)若a，b为正实数，直线2x＋(2a－4)y＋1＝0与直线2bx＋y－2＝0互相垂直，则ab的最大值为________.
解析 由两直线垂直得4b＋2a－4＝0，
考点二 两直线的交点与距离问题
A
2或－6
感悟提升
1.求过两直线交点的直线方程的方法：先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.
2.利用距离公式应注意：(1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；(2)两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等.
训练2 (1)经过两直线l1：2x－y＋3＝0与l2：x＋2y－1＝0的交点，且平行于直线3x＋2y＋7＝0的直线方程是( )
A.2x－3y＋5＝0 B.2x＋3y－1＝0
C.3x＋2y－2＝0 D.3x＋2y＋1＝0
D
所以直线l1与l2的交点为(－1，1)，
设与直线3x＋2y＋7＝0平行的直线为3x＋2y＋m＝0(m≠7)，
所以3×(－1)＋2×1＋m＝0，解得m＝1，
所以所求直线方程为3x＋2y＋1＝0.
B
解析 设点A(0，－1)，直线l：y＝k(x＋1)，
由l恒过定点B(－1，0)，
考点三 对称问题
角度1 关于点对称
例3 (1)(2024·福州调研)直线x－2y－3＝0关于定点M(－2，1)对称的直线方程是________________.
x－2y＋11＝0
解析 设所求直线上任意一点的坐标为(x，y)，则其关于M(－2，1)的对称点(－4－x，2－y)在已知直线上，
∴所求直线方程为(－4－x)－2(2－y)－3＝0，
即x－2y＋11＝0.
(2)过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为____________.
x＋4y－4＝0
解析 设l1与l的交点为A(a，8－2a).
由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在l2上，
代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，
解得a＝4，即点A(4，0)在直线l上，
所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.
A
(2)已知入射光线经过点M(－3，4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2，6)，则反射光线所在直线的方程为_____________.
6x－y－6＝0
解析 设点M(－3，4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′，
感悟提升
对称问题的求解策略
(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解.
(2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组解题.
训练3 已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2).求：
(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；
解 设A′(x，y)，
(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；
解 在直线m上取一点，如M(2，0)，则M(2，0)关于直线l的对称点必在m′上.
(3)直线l关于点A对称的直线l′的方程.
解 法一 在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，如P(1，1)，N(4，3)，
则P，N关于点A的对称点P′，N′均在直线l′上.
易知P′(－3，－5)，N′(－6，－7)，
由两点式可得l′的方程为2x－3y－9＝0.
法二 设Q(x，y)为l′上任意一点，
则Q(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为Q′(－2－x，－4－y).
∵Q′在直线l上，
∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，
即直线l′的方程为2x－3y－9＝0.
课时分层精练
3
KESHIFENCENGJINGLIAN
1.两条直线l1：x＝2和l2：3x＋2y－12＝0的交点坐标是( )
A.(2，3) B.(－2，3) C.(3，－2) D.(－3，2)
A
所以两条直线的交点坐标为(2，3).
B
3.直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是( )
A.x＋2y－1＝0 B.2x＋y－1＝0
C.2x＋y－3＝0 D.x＋2y－3＝0
D
解析 设所求直线上任一点(x，y)，
则它关于x＝1对称点为(2－x，y)在直线x－2y＋1＝0上，
所以2－x－2y＋1＝0，化简得x＋2y－3＝0.
4.若直线a，b的斜率分别为方程x2－4x－1＝0的两个根，则a与b的位置关系为( )
A.互相平行 B.互相重合
C.互相垂直 D.无法确定
C
解析 由根与系数的关系得ka·kb＝－1，
则a与b互相垂直.
A
把(1，2)代入mx＋ny＋5＝0可得m＋2n＋5＝0，
所以m＝－5－2n.
6.(2024·烟台质检)唐代诗人李欣的诗《古从军行》的开头两句是“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为A(1，1)，若将军从山脚下的点B(4，4)处出发，河岸线所在直线l的方程为x－y＋1＝0，则“将军饮马”的最短总路程是( )
D
解析 如图，设B(4，4)关于直线x－y＋1＝0对称的点为C(a，b).
BC
解析 由题意知，当点M到直线的距离不超过4时，符合要求.
8.(多选)(2024·青岛调研)已知直线l1：4x－3y＋4＝0，l2：(m＋2)x－(m＋1)y＋2m＋5＝0(m∈R)，则( )
A.直线l2过定点(－3，－1) B.当m＝1时，l1⊥l2
C.当m＝2时，l1∥l2 D.当l1∥l2时，两直线l1，l2之间的距离为1
ACD
解析 对于A，l2：(m＋2)x－(m＋1)y＋2m＋5＝0(m∈R)变形为m(x－y＋2)＋2x－y＋5＝0，
因此直线l2过定点(－3，－1)，故A正确；
对于B，当m＝1时，l1：4x－3y＋4＝0，l2：3x－2y＋7＝0，
因为4×3＋(－3)×(－2)≠0，
所以两直线不垂直，故B错误；
对于C，当m＝2时，l1：4x－3y＋4＝0，l2：4x－3y＋9＝0，
9.已知两直线l1：(m－1)x－6y－2＝0，l2：mx＋y＋1＝0，则l1⊥l2，则m＝__________.
－2或3
解析 l1：(m－1)x－6y－2＝0，
l2：mx＋y＋1＝0，
若l1⊥l2，则m(m－1)－6＝0，
解得m＝3或m＝－2.
10.已知点P1(2，3)，P2(－4，5)和A(－1，2)，则过点A且与点P1，P2距离相等的直线方程为_______________________.
x＋3y－5＝0或x＝－1
解析 当直线与点P1，P2的连线所在的直线平行时，
当直线过线段P1P2的中点时，
因为线段P1P2的中点坐标为(－1，4)，
所以直线方程为x＝－1.
综上，所求直线方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.
11.设△ABC的一个顶点是A(－3，1)，∠B，∠C的角平分线方程分别为x＝0，y＝x，则直线BC的方程为____________.
2x－y－5＝0
解析 ∵∠B，∠C的角平分线方程分别是x＝0，y＝x，
∴直线AB与直线BC关于x＝0对称，直线AC与直线BC关于y＝x对称.
A(－3，1)关于x＝0的对称点A′(3，1)在直线BC上，A(－3，1)关于y＝x的对称点A″(1，－3)也在直线BC上.
由两点式，所求直线BC的方程为2x－y－5＝0.
12.已知两直线l1：x－2y＋4＝0，l2：4x＋3y＋5＝0.若直线l3：ax＋2y－6＝0与l1，l2不能构成三角形，则实数a＝______________.
解析 由题意可得，①当l3∥l1时，不能构成三角形，此时a×(－2)＝1×2，解得a＝－1；
13.已知点(1，－1)关于直线l1：y＝x的对称点为A，若直线l2经过点A，则当点B(2，－1)到直线l2的距离最大时，直线l2的方程为( )
A.2x＋3y＋5＝0 B.3x－2y＋5＝0
C.3x＋2y＋5＝0 D.2x－3y＋5＝0
B
设点B(2，－1)到直线l2的距离为d，
当d＝|AB|时取得最大值，此时直线l2垂直于直线AB，
14.(2024·南昌调考)若△ABC的顶点A(5，1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0，则直线BC的方程为( )
A.3x＋4y－6＝0 B.x＋3y－4＝0
C.6x－5y－9＝0 D.2x－3y－6＝0
C
解析 BH所在直线方程为x－2y－5＝0，
设AC的方程为2x＋y＋t＝0，且过A(5，1)，
代入解得t＝－11，所以直线AC的方程为2x＋y－11＝0.
15.在等腰直角三角形ABC中，|AB|＝|AC|＝4，点P是边AB上异于A，B的一点.光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图所示).若光线QR经过△ABC的重心，则AP的长度为
________.
解析 以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
由题意可知B(4，0)，C(0，4)，A(0，0)，
则直线BC的方程为x＋y－4＝0.
设P(t，0)(0＜t＜4)，可得点P关于直线BC的对称点P1的坐标为(4，4－t)，
16.已知点A(4，－1)，B(8，2)和直线l：x－y－1＝0，动点P(x，y)在直线l上，则|PA|＋|PB|的最小值为________.
解析 设点A1与A关于直线l对称，P0为A1B与直线l的交点，
∴|P0A1|＝|P0A|，
|PA1|＝|PA|.
在△A1PB中，|PA1|＋|PB|>|A1B|＝|A1P0|＋|P0B|
＝|P0A|＋|P0B|，
∴|PA|＋|PB|≥|P0A|＋|P0B|＝|A1B|.
当P点运动到P0时，|PA|＋|PB|取得最小值|A1B|.
设点A关于直线l的对称点为A1(x1，y1)，