龙岗区 2024-2025 学年第一学期高三期末质量监测
数学试卷
注意事项：
1．本试卷共 6页，19小题，满分 150分，考试用时 120分钟。
2．答题前，请将学校、班级、姓名和考号用规定的笔写在答题卡指定的位置上，并
将条形码粘贴在答题卡的贴条形码区。请保持条形码整洁、不污损。
3．本卷试题，考生必须在答题卡上按规定作答；凡在试卷、草稿纸上作答的，其答
案一律无效．答题卡必须保持清洁，不能折叠。
4．选择题每小题选出答案后，用 2B铅笔将答题卡选择题答题区内对应题目的答案
标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；非选择题答案必须用
规定的笔，按作答题目的序号，写在答题卡非选择题答题区内。
5．考试结束，请将答题卡交回．
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．已知集合 A {x | x2 4}， B { 2, 1,0,1,2}，则 AI B
A．{ 2, 1,0,2} B．{ 1,0,1}
C．{ 1,0,1,2} D． { 2, 1,0,1}
2．若复数 z满足 z2 1 0，则 | 2z 1|
A．1 B． 2 C． 3 D． 5
r r r r
3．向量 a (sin x,cos x)， b ( 3,1)，若 a //b，则 tan x
3 3
A． 3 B． 3 C． D．
3 3
高三数学试题 第 1页 共 5 页
4．在四棱锥 S-ABCD中，SA 平面 ABCD，底面 ABCD为正方形，SA=AB=2，则四棱
锥 S-ABCD的外接球表面积为
A．12 B．8 C． 48 D． 20
5 2．已知函数 f (x) x sinx，则不等式 f (x 4x) f (3) 0 的解集为
A． ( , 3)U ( 1, ) B． ( 3, 1)
C． ( 2 7, 2 7) D． ( , 2 7)U ( 2 7, )
6 (0, ．已知 )，且 sin( 3 ) ，则 sin(2 )
2 6 5 6
A 7． B 7． C 24． D 24．
25 25 25 25
1 7．点 A为曲线 y x 上一动点， BC为单位圆的一条直径的两个端点，则 AB AC的
x
最小值为
A．4 B． 2 2 1 C． 2 2 1 D． 5 1
8．数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，曲线C : x2 y2 1 | x | y就是其中之一（如
图）．曲线与 y轴交于 A、 B两点，点 P为曲线上一动点，给出下列四个结论，其中
错误的结论是
A．图形关于 y轴对称
B 2 3．点 P的纵坐标的最大值为
3
C． |OP | 2
D． | PA |2 | PB |2 4
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
9．某射击运动员在一次训练中 10次射击成绩（单位：环）如下：6，5，7，9，6，8，8，
7，9，5，则关于这组数据的结论正确的是
高三数学试题 第 2页 共 5 页
A．极差为 4 B．平均数为 7
C．方差为 2 D．数据的第 60百分位数为 7
10 f (x) sin( x ) ( | | ．函数 )的部分图像如图所示，则
2
A． 2
y
B． f ( ) 0
C f (x) [0, ． 在区间 ]上值域为 3 3 O x
2 ,
5
12 2 2 6
D ．函数 y xf (x )为偶函数
6
11. 已知函数 f (x) xa logb x（ a 0，b 0且 b 1），下列说法正确的是
A. 当 0 b 1时， f (x)可能存在两个零点
B. 若 f (x) 1恒成立，则 a lnb 2
C. 若 f (x) 1恒成立，则 ab的最小值为 e
D. 若 f (x) 1恒成立，且 f (x1) f (x2 ) ( x1 x2 )，则 0 x1x2 1
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分
12. 抛物线 y2 2px上一点M (1,2)到其焦点的距离为______________.
13. 已知数列{an}满足 an 2
n ，数列{bn}满足 bn 3n 1 .若 an bm ，将满足题意的所有
正整数m的值由小到大组成一个数列，则该数列前 5项之和为______________.
2 2
14. F x y1，F2是双曲线 2 2 1（ a 0，b 0）的左，右焦点，点 P为双曲线右支上一a b
| PQ | 2
点， F 1PF2 60 ， F1PF2 的角平分线 PQ交 x轴于点Q，若 ，则双曲线| F1F2 | 3
的离心率为__________．
高三数学试题 第 3页 共 5 页
四、解答题：本题共 5小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知 ABC 的内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，且 csin(B π 3 ) a .
3 2
（1）求角 C的大小；
（2）若 ABC 的面积为 6 3 ，中线CD 19，求 c .
16（．15分）在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD是边长为 2的正方形，AD PC，PC PD，
PA 6 ．
（1）求证： PD 平面 PBC ；
（2）求平面 PBC与平面 PAB所成角的余弦值．
17．(15 分) 为了提高学生的身体素质和健康水平，确保学生每天有足够的体育锻炼时间，
教育部提出阳光体育一小时活动。小路同学每天会通过打乒乓球或羽毛球来达到体育锻炼
2 1
的目的。小路同学第一天选择打乒乓球的概率为 ，选择打羽毛球的概率为 .而如果前
3 3
1 2
一天选择了打乒乓球，那第二天选择打乒乓球的概率为 ，选择打羽毛球的概率为 ；如
3 3
高三数学试题 第 4页 共 5 页
1 2
果前一天选择了打羽毛球，那第二天选择打羽毛球的概率为 ，选择打乒乓球的概率为 ，
3 3
如此往复.记小路同学第 n天选择打羽毛球的概率为 Pn .
（1）小路同学在网上看到了 3 款乒乓球拍和 5 款羽毛球拍，他想从中选择 3 款球拍
进行进一步了解，记选中的羽毛球拍款数为 X ，求 X 的分布列和数学期望.
（2）求 Pn ；
C : x
2 y2 3
18．（17分）已知椭圆 2 2 1（ a b 0）的左焦点为（ 1，0），点（1，）为椭圆a b 2
C上一点，点 A为椭圆C的左顶点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）直线 x my 1（m 0）与椭圆C交于M ，N两点，直线 AM ， AN分别与直
线 x 1交于 P，Q两点．
①求证： kAM kAN 为定值；
②以 PQ为直径的圆是否过定点，如果过定点，求出定点坐标，若不过定点，试说明
理由．
19．（17分）已知函数 f (x) ex mx，m R．
（1）讨论函数 f (x)的单调性；
（2 1 1 1）求证：当 n 2时， lnn；
2 3 n
（3）当m e， x 0时， f (x) ax3 x 2a恒成立，求实数 a的取值范围．
高三数学试题 第 5页 共 5 页高三数学参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
B D A A B B C D ABC ABD BCD
8.【答案】D【解析】对于 A，将 x换成 x方程不变，所以图形关于 y 轴对称，故 A 正确；
4
对于 B， 当 x 0 2时，方程变换为 x2 yx + y2 1= 0，由 = y2 4(y2 1) 0，解得 y ，所以
3
y 2 3的最大值为 ，故 B 正确；
3
x2 + y2
对于 C，当 x 0时，由 x2 + y2 =1+ xy 可得 x2 + y2 1= xy ，（当 x = y 时取等号），
2
x2 + y2 2， x2 + y2 2 .故 C 正确；
x2 + y2
对于 D，当 x 0 时，由 x2 + y2 =1 xy 可得 x2 + y2 1= ( x)y ，（当 x = y 时取等号），
2
2 2 2 6 10 x + y ， x2 + y2 .又 | PA |
2 + | PB |2= 2(x2 + y2 +1) .故 D 错误；
3 3 3
另解：有对称性可知，只需要讨论 x 0 即可，此时 x2 + y2 =1+ xy
3
x = cos
3 2 1
变为 x + ( x y)
2 =1 2，令 ，其中 [ , ] .
4 2 1 2 2x y = sin
2
2
x = cos
3 1 2 2 2 3
则 .故 y = cos sin = cos( + ) = (当 = 取等号).
1 3 3 3 3 3 3y = cos sin
3
| OP |2= x2 2
4
+ y = cos2
1 2 2 + cos sin cos + sin2
3 3 3
1 1 4 1 1 4 2
=1+ (1+ cos2 ) sin 2 = + cos2 sin 2 = + cos(2 + )
3 3 3 3 3 3 3 3
2 4 2
因为 [ , ]，故 2 + [ , ]， cos(2 + ) [ 1,1]， | OP |
2 [ ,2] .
2 2 3 3 3 3 3
| PA |2 + | PB |2 2
10
= x + (y 1)2 + x2 + (y +1)2 = 2(x2 + y2 +1) = 2(| OP |2 +1) [ ,6] .
3
10.【答案】ABD
11.【答案】BCD【解析】函数 f (x) = xa log x 的定义域为 (0,+ ) b
选项 A.当 0 b 1时， a 1 1 a 1f '(x) = ax = (xa ) 0，故 f (x) 在 (0,+ )上为单调递增函数，
x lnb x a lnb
由 f (b) = ba 1 b0 1= 0 ， f (1) =1 0，根据零点存在性定理， f (x) 在 (0,+ )上存在唯一的一个零
点.故选项 A 错误.
选项 B.由选项 A 知，当 0 b 1时， f (x) 在 (0,+ )上单调递增，无最小值，且 f (b) 0，不合题意.
故 b 1
a
.当b 1时， f (x) = x log x ， 1 a 1b f '(x) = axa 1 = (xa ) ，
x lnb x a lnb
1
1 a
令 f '(x) = 0，则 x0 = ，
a lnb
当 x (0, x ) 时， f '(x) 0 ， f (x) 为减函数， 0
当 x (x ,+ ) 时， f '(x) 0 ， f (x) 为增函数， 0
故 x = x 时， f (x) 有极小值，也是最小值. 0
1 ln x 1 1
f (x)min = f (x ) = x
a log x = 00 0 b 0 = ( ln x )， 0
a lnb lnb lnb a
1
1 a
由题意， f (x) 1，又 f (1) =1，则 x = =1，可得 a ln b =1 0
a lnb
所以 1ln b = （b 1），则
1
a + lnb = a + 2 .选项 B 正确.
a a
ln b 1
选项 C. 由选项 bB 知， ab = g(b) = （b 1）， g '(b) = ，令 g '(b) = 0 ，则b = e ，
lnb (lnb)
g(b) 在 (1,e) 单调递减，在 (e,+ ) 单调递增.
故 g(b)min = g(e) = e，即 ab的最小值为 e .选项 C 正确.
选项 D.由选项 B 知， a ln b =1，且b 1 .
ln x a a a a
f (x) = xa log x = xa = xa ln xa ，由 f (x ) = f (x )得 x1 ln x1 = x2 ln x ， b 1 2 2
lnb
t a a令 1 = x1 ， t2 = x2 ，则 t1 ln t1 = t2 ln t2 ，易知 t2 t1 0 ，故 ln t2 ln t1 = t2 t1
t t t
由对数平均不等式得 t 2 1 2
+ t1 t t 1 (x x )
a 1
1t2 ，得 1 2 ，即 1 2
ln t2 ln t1 2
由 a 0，故 0 x1x2 1，故选项 D 正确.
12. 【答案】2；13.【答案】453；
14.【答案】 3 【解析】不妨设 | PF1 |= m ， | PF2 |= n ，m n 0， | F1F2 |= 6 ，
则 | F F |21 2 = m
2 + n2 mn = 36， | PQ |= 4．
1 1 1
有 m | PQ | sin30 + n | PQ | sin30 = mnsin 60 ，得 (m + n) | PQ |= 3mn，
2 2 2
3mn
故 | PQ |= = 4 .解得m + n = 6 3 ，mn = 24 ，m n = 2 3
m + n
2a = m n = 2 3 a = 3 c 3
故 ，得 ， 双曲线的离心率 e = = = 3 ．
2c =| F1F2 |= 6 c = 3 a 3
15.【解析】（1）由题意得： csin B + 3ccos B = 3a ， （1 分）
由正弦定理得： sinC sin B + 3 sinC cos B = 3 sin(B +C) ， （2 分）
所以 sin C sin B + 3 sin C cos B = 3 sin BcosC + 3 cos Bsin C ，
所以 sin C sin B = 3 sin BcosC ， （3 分）
又 0 B ，得 sin B 0，所以 sin C = 3 cosC ，即 tanC = 3 ， （4 分）
由 0 C ，解得C = ； （6 分）
3
1
（2）由题意得： absinC = 6 3 ，故 ab = 24 ， （8 分）
2
1 2 1
由CD = (CA+CB)得：CD = (CA+CB)
2 =19，故 a2 + b2 + ab = 76 （10 分）
2 4
故解得 a2 + b2 = 52 （11 分）
由余弦定理得 c2 = a2 + b2 ab = 28 （12 分）
故 c = 2 7 （13 分）
16．【详解】（1）证明：由于底面 ABCD是边长为 2 的正方形，则 AD ⊥ DC ，
又 AD ⊥ PC ， DC PC = C ， DC 平面 PCD， PC 平面 PCD，则 AD ⊥平面 PCD，（2 分）
则 AD ⊥PD，又 AD = 2， PA = 6 ，则 PD = 2
于是 PC2 + PD2 = CD2 ，即 PD ⊥ PC （4 分）
由于 AD ⊥ PD，又 AD BC ，故 PD ⊥ BC （5 分）
又 PC BC = C ， PC、BC 平面 PBC，则 PD ⊥平面 PBC （6 分）
（2）取 CD中点为 O，连结 PO，取 AB中点为 E，连结 OE．
因为 PC = PD，点 O是 CD中点，所以 PO ⊥ CD .
又因为 AD ⊥平面PCD，故平面ABCD⊥平面 PCD，又平面 PCD 平面 ABCD = CD，PO 平面PCD，
所以 PO ⊥平面 ABCD．
因为点 O、E分别是 CD、AB的中点，所以OE //AD ，则OE ⊥ CD .
则 1OP = CD =1，OE = AD = 2 （8 分）
2
以点 O为坐标原点，OD，OE，OP所在直线分别为 x，y，z轴，如图建立空间直角坐标系
D xyz ，
则O (0,0,0)，D (1,0,0)，C ( 1,0,0)，B ( 1,2,0)，P (0,0,1)，E (0,2,0)，A(1,2,0)，AP = ( 1, 2,1)，
AB = ( 2,0,0)， PD = (1,0, 1) （10 分）
设m = (x, y, z )是平面 PAB的一个法向量，
m AP = x 2y + z = 0
则 ，取 y =1，则 z = 2，
m AB = 2x = 0
所以m = (0,1,2)是平面 PAB的一个法向量 （12 分）
由（1）知， PD ⊥平面 PBC .故平面 PBC 的法向量为 n = PD = (1,0, 1) . （13 分）
m n 2 10
设平面 PBC与平面 PAB所成角为 ， cos = cos m,n = = = 5 m n 5 2
10
所以平面 PBC与平面 PAB所成角的余弦值为 . （15 分）
5
17.【解析】（1） X 的所有可能取值为 0，1，2，3 （1分）
C3 1
P(X = 0) = 3 = ，
C3 568
C2C1 15
P(X =1) = 3 5 = ，
C3 568
C1 2
P(X = 2) = 3
C5 15= ，
C3 288
C0C3 5
P(X = 3) = 3 5 = （5分）
C3 288
X 的分布列为
X 0 1 2 3
P 1 15 15 5
56 56 28 28
（6分）
1 15 15 5 15
E(X ) = 0 +1 + 2 + 3 = （8分）
56 56 28 28 8
（2）设 A1 =“第一天打乒乓球”，B1 =“第一天打羽毛球”，A2 =“第二天打乒乓球”，B2 =“第二天
打羽毛球”，则 1 2 1 2P(A2 | A1) = ， P(B | A ) = ， P(B ， . （10分） 2 1 2 | B1) = P(A2 | B1) =
3 3 3 3
由题意得： Pn+1 = Pn P(B2 | B1) + (1 Pn ) P(B2 | A1) （11分）
故 1 2P = P + （12分） n+1 n
3 3
可得 1 1 1(P ) = (P ) （13分） n+1 n
2 3 2
易知 1 1 1 1 1 1 1P = = ，故{P }是以 为首项， 为公比的等比数列. 1 n
2 3 2 6 2 6 3
所以 1 1 1 n 1，故 1 1P = ( ) ( ) P = [1+ ( )n ] （15分） n n
2 6 3 2 3
1 9
+ =12 2
18．【解析】（1）由题意得 a 4b （2 分）
a2 = b
2 +1
a
2 = 4
解得 （4 分）
2
b = 3
x2 y2
故椭圆C 的标准方程为 + =1． （5 分）
4 3
（2）①设M (x1, y1)， N (x2 , y2 )
x = my 1
(3m2 + 4)y2由 x2 y2 得： 6my 9 = 0， （6 分）
+ =1
4 3
6m
y1 + y2 = 3m2 + 4
有 =144(m
2 +1) 0 ，且 （7 分）
9y1y 2
=
3m
2 + 4
y1 y2 y y y y所以 kAM kAN = =
1 2 = 1 2
x + 2 x + 2 (my +1)(my +1) m21 2 1 2 y1y2 +m(y1 + y2 ) +1
9
2
= 3m + 4
9 9
= =
9 6m 2 2 2 4
m2 + m +1 9m + 6m + 3m + 4
3m2 + 4 3m2 + 4
故 9kAM kAN 为定值，定值为 ． （10 分）
4
y1 y1 y②设直线 AM 为 y = (x + 2)，令 x = 1，则 y = ，所以点 P 坐标为 ( 1, 1 ) ．
x1 + 2 x1 + 2 x1 + 2
y
同理点Q坐标为 ( 1, 2 ) （12 分）
x2 + 2
根据对称性可知，如果以 PQ 为直径的圆过定点，那定点一定在 x 轴上． （13 分）
y y
设定点坐标为T (t,0) ，则TP TQ = 0，即 (t +1)2 + 1 2 = 0 （14 分）
x1 + 2 x2 + 2
y1 y2 9由①知 = ，故 (t +1)2
9
= （15 分）
x1 + 2 x2 + 2 4 4
解得 1 5t = 或 t = （16 分）
2 2
故以 PQ 为直径的圆过定点，定点坐标为 1 5( ,0)和 ( ,0) . （17 分）
2 2
19.【解析】（1） f '(x) = e
x m , （1 分）
当m 0时， f '(x) 0， f (x) 在 ( ,+ )上单调递增 （2 分）
当m 0时，令 f '(x) = 0，得 x = ln m .
当 x ( , ln m)时， f '(x) 0 ， f (x) 在 ( , ln m)上单调递减，
当 x (ln m,+ )时， f '(x) 0， f (x) 在 (ln m,+ )上单调递增. （4 分）
综上，当m 0时， f (x) 在 ( ,+ )上单调递增；
当m 0时， f (x) 在 ( , ln m)上单调递减，在 (ln m,+ )上单调递增. （5 分）
（2）当m =1时，由（1）可知， f (x) 在 ( ,0)上单调递减，在 (0,+ )上单调递增.
x
故 f (x)min = f (0) =1，则 f (x) = e x 1，即 e
x x +1，当 x = 0 时取等号. （6 分）
1 1 1
当 n 2 时，令 x =
1 n 1 n
，则 e n +1= ，故 en . （7 分）
n n n n 1
1 1 1
2 3 n
故易得 e2 ， e3 ， ， en （8 分）
1 2 n 1
1 1 1 1 1 1
+ + 2 3 n
故 e2 3 n = e2 e3 en = n ， （9 分）
1 2 n 1
1 1 1
所以当 n 2 时， + + + ln n . （10 分）
2 3 n
（3）解法 1：由题意知 x 0 时， ex ex ax3 x + 2a 恒成立，
x
令 h(x) = e + (1 e)x ax
3 2a ，则 h(x) 0在[0,+ ) 恒成立，
故由 h(1) 0可得 1 1a .即当 a 时，由于 h(1) =1 3a 0，显然不满足题意. （11 分）
3 3
当 1a 时，
1 2
h(x) = ex + (1 e)x ax3 2a ex + (1 e)x x3 ，
3 3 3
只要证明ex
1 2
+ (1 e)x x3 0即可. （12 分）
3 3
令 1 2g(x) = ex + (1 e)x x3 ， x 0
3 3
g '(x) = ex + (1 e) x2
g ''(x) = ex 2x
x x
由(1)知，当 xm = e时， f (x)min = 0，即 e ex 0，故 g ''(x) = e 2x e ex 0 （14 分）
g '(x) 在 (0,+ )上为增函数，又 g '(1) = 0
当 x (0,1) 时， g '(x) 0， g(x) 为减函数；当 x (1,+ ) 时， g '(x) 0， g(x) 为增函数.
故 g(x)min = g(1) = 0， （16 分）
1
即 x 1 2e + (1 e)x x3 0恒成立.综上所述， a . （17 分）
3 3 3
解法 2：由题意知 x 0 时， ex ex ax3 x + 2a 恒成立，
x
令 h(x) = e + (1 e)x ax
3 2a ，则 h(x) 0在[0,+ ) 恒成立，
故由 h(1) 0可得 1 1a .即当 a 时，由于 h(1) =1 3a 0，显然不满足题意. （11 分）
3 3
当 1a 时， h(x) = ex + (1 e)x ax3 x
1 3 2 2a e + (1 e)x x ，
3 3 3
只要证明 1 2ex + (1 e)x x3 0即可. （12 分）
3 3
1 2
(1 e)x x3
令 g(x) = 3 3 +1， x 0
ex
1 2
[(1 e) x2 ]ex [(1 e)x x3 ]ex
g '(x) = 3 3
(ex )2
1
(x3 3x2 + 2) + (1 e)(1 x)
= 3
ex
1
(x 1)[x2 2x 2 3(1 e)]
= 3
ex
1
(x 1)[(x 1)2 + 3(e 2)]
= 3 （14 分）
ex
令 g '(x) = 0，则 x =1
当 x (0,1) 时， g '(x) 0， g(x) 为减函数；当 x (1,+ ) 时， g '(x) 0， g(x) 为增函数.
故 g(x)min = g(1) = 0， （16 分）
1 2 1即 ex + (1 e)x x3 0恒成立.综上所述， a . （17 分）
3 3 3
exx 0 x 3 (e 1)x解法 3：由题意知 时， e ex ax x + 2a 恒成立，则 a .
x3 + 2
ex (e 1)x
令 h(x) = ， x 0 .
x3 + 2
[ex (e 1)](x3 + 2) 3x2[ex (e 1)x]
h '(x) =
(x3 + 2)2
ex (x3 3x2 + 2) + (e 1)(2x3 2)
=
(x3 + 2)2
(x 1)[ex (x2 2x 2) + (e 1)(2x2 + 2x + 2)]
=
(x3 + 2)2
x 2
2 e (x 2x 2)(x 1)(x + x +1)[ + 2(e 1)]
= x
2 + x +1 ， (12 分)
(x3 + 2)2
ex (x2 2x 2)
令 g(x) = + 2(e 1)， x 0
x2 + x +1
ex (x2 4)(x2 + x +1) ex (x2 2x 2)(2x +1)
g '(x) =
2 2 (x + x +1)
ex (x4 x3 + 2x 2) ex (x 1)(x3 + 2)
= = （14 分）
(x2 + x +1)2 (x2 + x +1)2
当 x (0,1) 时， g '(x) 0， g(x) 为减函数；当 x (1,+ ) 时， g '(x) 0， g(x) 为增函数.
故 g(x)min = g(1) = e 2 0， （15 分）
令 h '(x) = 0，得 x =1，且当 x (0,1) 时， h '(x) 0， h(x) 为减函数；
当 x (1,+ ) 时， h '(x) 0， h(x) 为增函数. （16 分）
1 1 1
故 h(x)min = h(1) = ，从而有 a .综上所述， a . （17 分）
3 3 3
