(共5张PPT)
第5章 一元一次方程
5.3 第2课时 储蓄问题与销售问题
1 储蓄问题
例1 若某银行三年定期储蓄的年利率是2.05％，小杰取出三年到期的本
利和共10 615元，问小杰存入银行的本金是多少元.
解：设小杰存入银行的本金是x元，根据题意，得
x＋3×2.05％x＝10 615.
解这个方程，得x＝10 000.
经检验，符合题意.
答：小杰存入银行的本金是10 000元.
解：设小杰存入银行的本金是x元，根据题意，得
x＋3×2.05％x＝10 615.
解这个方程，得x＝10 000.
经检验，符合题意.
答：小杰存入银行的本金是10 000元.
变式1 某人把10 000元按一年期定期储蓄存入银行，到期支取时得本利和
10 160元.问当时一年期定期储蓄的年利率为多少.
解：设当时一年期定期储蓄的年利率为x，根据题意，得
10 000(1＋x)＝10 160.
解这个方程，得x＝0.016.
经检验，符合题意.
答：当时一年期定期储蓄的年利率为1.6％.
小结：利息＝本金×利率×时间 本息＝本金＋利息＝本金＋本金×利
率×时间＝本金×(1＋利率×时间)
解：设当时一年期定期储蓄的年利率为x，根据题意，得
10 000(1＋x)＝10 160.
解这个方程，得x＝0.016.
经检验，符合题意.
答：当时一年期定期储蓄的年利率为1.6％.
2 销售问题
例2 节日期间，某百货商场为了促销，对某种商品按标价的八折出售，
仍获利160元.若商品的标价为2 200元，则它的成本为多少元？
解：设它的成本为x元，根据题意，得
2 200×0.8－x＝160.
解这个方程，得x＝1 600.
经检验，符合题意.
答：它的成本为1 600元.
解：设它的成本为x元，根据题意，得
2 200×0.8－x＝160.
解这个方程，得x＝1 600.
经检验，符合题意.
答：它的成本为1 600元.
变式2 (教材P22T5)学校准备添置一批课桌椅，原订购60套，每套200元.店
方表示：如果多购买，可以优惠.结果校方购买了72套，每套减价6元，
而商店获得同样多的利润.求每套课桌椅的成本.
解：设每套课桌椅的成本是x元，根据题意，得
60(200－x)＝72[(200－6)－x].
解：设每套课桌椅的成本是x元，根据题意，得
60(200－x)＝72[(200－6)－x].
解这个方程，得x＝164.
经检验，符合题意.
答：每套课桌椅的成本是164元.(共8张PPT)
第5章 一元一次方程
5.1 从实际问题到方程
1 方程与方程的解
例1 下列四个式子中，是方程的是( B )
A. 3＋2＝5 B. x－1＝2
C. 2x－1＜0 D. a＋b
变式1 有下列式子：①3×3＋1＝5×2；②2x＝3x；③3x＋1＝5y；④
7x－1＝ x＋4；⑤x＋y＋z；⑥(y－2)2≥0.
其中等式有 ，方程有 .(填序号)
B
①②③④
②③④
例2 下列方程中，解为x＝2的是( B )
A. 4x＋8＝0 B. － x＋ ＝0
C. x＝ x－1 D. 1－3x＝5(x－1)
变式2 下列各方程后面大括号内的数是方程的解的是( A )
A. 2x＋4＝ x＋1{－2}
B. 3x＋3＝3(x－3){1}
C. 5x＋7＝－3(x－1){2}
D. 2x－2＝7＋x{5}
B
A
小结：要确定某一个值是否是方程的解，应代入方程的左边和右边分别
求值，检验两边的值是否相等.如果相等，相应的未知数的值就是方程
的解；否则就不是方程的解.
2 根据实际问题列方程
例3 根据题意，列出方程(不必求解)：
(1)甲种铅笔1.4元/支，乙种铅笔1.8元/支.现用23元钱买这两种铅笔，一
共买了15支.两种铅笔各买了多少支？
解：设买了x支甲种铅笔，则买了 支乙种铅笔.
根据题意，列方程，得 .
(15－x)
1.4x＋1.8(15－x)＝23
(2)某校七年级(1)班共有学生48人，其中女生人数比男生人数的 多3，这
个班男生有多少人？
解：设这个班男生有x人，则女生有 人.
根据题意，列方程，得 .
(48－x)或
x＋ x＋3＝48
变式3 根据题意，列出方程(不必求解)：
(1)某数的40％比这个数的相反数的 少 ，求这个数；
解：(1)设这个数为x，根据题意，得
40％x＝－ x－ .
解：(1)设这个数为x，根据题意，得
40％x＝－ x－ .
(2)某长方形的周长是10，长与宽之比为3∶2，求长方形的长为多少.
解：(2)设长方形的长为x，则宽为 x，根据题意，得
2 ＝10.
解：(2)设长方形的长为x，则宽为 x，根据题意，得
2 ＝10.
小结：根据实际问题列方程的步骤是“审－设－找－列”.“审”就是
分析题意，弄清题目中的数量关系；“设”就是依据题意，设适当的未
知数；“找”就是找出一个能够表示题中全部意义的等量关系；“列”
就是用含有未知数的式子表示等量关系，列出方程.(共3张PPT)
第5章 一元一次方程
5.2.1 第1课时 等式的基本性质
1 等式的基本性质1
例1 如果a＝b，那么根据等式的基本性质，下列变形不正确的是( C )
A. a＋1＝b＋1 B. a－5＝b－5
C. 2－a＝b－2 D. a＋3＝3＋b
变式1 如果m－a＝n－a，那么m＝ ，其依据是
.
C
n
等式的基本性
质1
2 等式的基本性质2
例2 已知等式m＝n，那么根据等式的基本性质，下列变形正确的是
( B )
B
A. 5m＝－5n B. －m＝－n
C. mk＝－nk D. ＝
变式2 如果－ ＝2，那么a＝ ，其依据是 .
小结：应用等式的基本性质2时，要注意等式两边都除以的同一个数不
为0，涉及字母时要尤其注意.
－8
等式的基本性质2 (共9张PPT)
第5章 一元一次方程
5.2.1 第2课时 用方程的变形解简单的方程
1 方程的变形规则
例1 填空：
(1)如果方程3＋x＝－4，那么x＝ ；
(2)如果方程3x＝4，那么x＝ ；
(3)如果方程 x＝2，那么x＝ ；
(4)如果方程x－4＝2，那么x＝ .
－7
10
6
变式1 下列方程运用变形规则进行变形，正确的是( B )
A. 若3a＋5＝1，则3a＝5＋1
B. 若 ＝3，则a＝6
C. 若2x－4＝－2，则2x＝－2－4
D. 若3x＝－6，则x＝2
小结：方程的变形规则就是利用了等式的基本性质.
B
2 移项
例2 解方程：
(1)x－5＝6；
解：方程两边都加上5，
得x＝6＋5，
即x＝11.
解：方程两边都加上5，
得x＝6＋5，
即x＝11.
解：方程两边都减去x，
得2x－x＝6.
合并同类项，得x＝6.
(2)2x＝6＋x.
变式2 解方程：
(1)4＋x＝－2；
减去4，
得x＝－2－4，
即x＝－6.
解：方程两边都减去4，
得x＝－2－4，
即x＝－6.
(2)4x＝3x＋1.
解：方程两边都减去3x，
得4x－3x＝1.
合并同类项，得x＝1.
解：方程两边都减去3x，
得4x－3x＝1.
合并同类项，得x＝1.
小结：(1)移项要改变符号后，从方程的一边移到另一边；(2)移项的依据
是方程的变形规则1：方程两边都加上(或都减去)同一个数或同一个整
式，方程的解不变.
3 将未知数的系数化为1
例3 解下列方程：
(1)2x＝4；
解：方程两边都除以2，
得x＝2.
解：方程两边都除以2，
得x＝2.
(2) ＝－3.
解：方程两边都除以 ，
得x＝－3÷ ，
即x＝－6.
解：方程两边都除以 ，
得x＝－3÷ ，
即x＝－6.
变式3 解下列方程：
(1) y＝6；
解：方程两边都乘3，
得y＝18.
(2)4x＝－2.
解：方程两边都除以4，
得x＝－ .
小结：将未知数的系数化为1的依据是方程的变形规则2：将方程的两边
都除以未知数的系数，方程的解不变.
解：方程两边都乘3，
得y＝18.
解：方程两边都除以4，
得x＝－ .
利用方程的解求代数式的值
例4 已知x＝2是关于x的方程3x－m＝－4的解，求代数式m2－3m＋2
的值.
解：把x＝2代入方程3x－m＝－4，得6－m＝－4.
解得m＝10.
则m2－3m＋2＝100－30＋2＝72.
解：把x＝2代入方程3x－m＝－4，得6－m＝－4.
解得m＝10.
则m2－3m＋2＝100－30＋2＝72.(共14张PPT)
第5章 一元一次方程
5.3 第3课时 工程、行程、调配问题
1 工程问题
例1 一项工程，甲单独完成需要10天，乙单独完成需要15天，现两人合
作，需要多少天完成？
解：设两人合作需要x天完成，根据题意，得
x＝1.
解这个方程，得x＝6.
经检验，符合题意.
答：现两人合作需要6天完成.
解：设两人合作需要x天完成，根据题意，得
x＝1.
解这个方程，得x＝6.
经检验，符合题意.
答：现两人合作需要6天完成.
变式1 某项工作由甲、乙两人单独做分别需要7.5 h和5 h.如果让甲、乙
两人一起做1 h，再由乙单独完成剩余部分，那么一共需要多长时间？
解：设一共需要x h，根据题意，得
＋ ＋ (x－1)＝1.
解：设一共需要x h，根据题意，得
＋ ＋ (x－1)＝1.
解这个方程，得x＝ .
经检验，符合题意.
答：一共需要 h.
小结：工程问题的数量关系：工作量＝工作效率×工作时间；完成某项
任务的各工作量的和＝总工作量＝1.
2 行程问题
例2 一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同方向匀速行驶，客
车的行驶速度是70 km/h，卡车的行驶速度是60 km/h，客车比卡车早1 h
经过B地.求A，B两地相距的路程.
解：设A，B两地相距x km，根据题意，得
－ ＝1.
解：设A，B两地相距x km，根据题意，得
－ ＝1.
解这个方程，得x＝420.
经检验，符合题意.
答：A，B两地相距420 km.
解这个方程，得x＝420.
经检验，符合题意.
答：A，B两地相距420 km.
变式2 (2024厦门大同中学期末)已知一艘轮船沿江从A港顺流行驶到B
港，比从B港返回A港少用3 h.若该轮船在静水中的速度为26 km/h，水速
为2 km/h，求A港和B港相距多少千米.
解：设A港和B港相距x km.根据题意，得
－3＝ .
解：设A港和B港相距x km.根据题意，得
－3＝ .
解这个方程，得x＝504.
经检验，符合题意.
答：A港和B港相距504 km.
小结：(1)相遇问题：相遇路程＝相遇时间×速度和；(2)追及问题：追及
路程＝追及时间×速度差；(3)航行问题：顺水(风)速度＝静水(风)速度
＋水流(风)速度；逆水(风)速度＝静水(风)速度－水流(风)速度.
3 调配问题
例3 制作一张桌子要用1个桌面和4条桌腿， 1 m3木材可制作20个桌面或
400条桌腿，现用12 m3木材制作这种桌子，应用多少木材制作桌面，多
少木材制作桌腿，恰好配成多少张这种桌子？
解：设恰好配成x张这种桌子，则应用 x m3木材制作桌面， m3木材
制作桌腿.
根据题意，得 x＋ ＝12.
解：设恰好配成x张这种桌子，则应用 x m3木材制作桌面， m3木材
制作桌腿.
根据题意，得 x＋ ＝12.
解这个方程，得x＝200.
经检验，符合题意.
则 x＝ ×200＝10(m3)，12－10＝2(m3).
答：应用10 m3木材制作桌面，2 m3木材制作桌腿，恰好配成这种桌子
200张.
解这个方程，得x＝200.
经检验，符合题意.
则 x＝ ×200＝10(m3)，12－10＝2(m3).
答：应用10 m3木材制作桌面，2 m3木材制作桌腿，恰好配成这种桌子
200张.
变式3 在一次劳动课上，有27名同学在甲处劳动，有19名同学在乙处劳
动.现在从其他班级另调20人来支援，使得甲处的劳动人数为乙处的劳动
人数的2倍，则应调往甲、乙两处各多少人？
解：设应调往甲处x人，则调往乙处(20－x)人.
根据题意，得27＋x＝2(19＋20－x).
解这个方程，得x＝17.
经检验，符合题意.
∴20－x＝3.
答：应调往甲处17人，调往乙处3人.
解：设应调往甲处x人，则调往乙处(20－x)人.
根据题意，得27＋x＝2(19＋20－x).
解这个方程，得x＝17.
经检验，符合题意.
∴20－x＝3.
答：应调往甲处17人，调往乙处3人.
用一元一次方程解决环形跑道问题
例4 周末，小明和爸爸在3 000 m的环形跑道上骑车锻炼，他们在同一地
点沿着同一方向同时出发，骑行结束后两人有如图所示的对话.
(1)请根据他们的对话内容，求出小明的骑行速度；
解：(1)设小明的骑行速度为x m/min，则爸爸的骑行速度为2x m/min.
根据题意，得10(2x－x)＝3 000.
解得x＝300.
经检验，符合题意.
答：小明的骑行速度为300 m/min.
解：(1)设小明的骑行速度为x m/min，则爸爸的骑行速度为2x m/min.
根据题意，得10(2x－x)＝3 000.
解得x＝300.
经检验，符合题意.
答：小明的骑行速度为300 m/min.
(2)爸爸第一次追上小明后，在第二次相遇前，再经过多少分钟，小明和
爸爸在跑道上相距1 000 m？
解：(2)设再经过y min，小明和爸爸在跑道上相距1 000 m.
分两种情况讨论：
①当爸爸又比小明多骑了1 000 m时，
根据题意，得2×300y－300y＝1 000.
解得y＝ .
经检验，符合题意.
解：(2)设再经过y min，小明和爸爸在跑道上相距1 000 m.
分两种情况讨论：
①当爸爸又比小明多骑了1 000 m时，
根据题意，得2×300y－300y＝1 000.
解得y＝ .
经检验，符合题意.
②当爸爸又比小明多骑了(3 000－1 000)m时，
根据题意，得2×300y－300y＝3 000－1 000.
解得y＝ .
经检验，符合题意.
答：再经过 min或 min，小明和爸爸在跑道上相距1 000 m.
②当爸爸又比小明多骑了(3 000－1 000)m时，
根据题意，得2×300y－300y＝3 000－1 000.
解得y＝ .
经检验，符合题意.
答：再经过 min或 min，小明和爸爸在跑道上相距1 000 m.(共16张PPT)
第5章 一元一次方程
章 末 复 习
相等
加上(或都减去)
a+c=b+c
a－c=b－c
都乘(或都除以)
0
ac＝bc
＝ (c 0)
一个
1
变号
不变
不变
1 认识一元一次方程
例1 下列方程是一元一次方程的是( D )
D
A. x＋2y＝9 B. x2－3x＝1
C. ＝1 D. x－1＝3x
例2 已知(a－2) ＋4＝0是关于x的一元一次方程，则a＝ .
－2
2 等式的基本性质
例3 下列等式运用等式的基本性质进行变形，正确的是( D )
A. 如果a＝b，那么a＋3＝b－3
B. 如果a＝3，那么a2＝3a2
C. 如果ab＝b2，那么a＝b
D. 如果 ＝ ，那么a＝b
D
3 一元一次方程的解法
例4 解下列方程：
(1)8x－1＝4x＋7；
解：移项，得8x－4x＝7＋1.
合并同类项，得4x＝8.
将未知数的系数化为1，得x＝2.
解：移项，得8x－4x＝7＋1.
合并同类项，得4x＝8.
将未知数的系数化为1，得x＝2.
(2)x＋5＝－2(x－1)；
解：去括号，得x＋5＝－2x＋2.
移项、合并同类项，得3x＝－3.
将未知数的系数化为1，得x＝－1.
(3)4(x＋1)－7(x－3)＝11；
解：去括号，得4x＋4－7x＋21＝11.
移项、合并同类项，得－3x＝－14.
将未知数的系数化为1，得x＝ .
解：去括号，得x＋5＝－2x＋2.
移项、合并同类项，得3x＝－3.
将未知数的系数化为1，得x＝－1.
解：去括号，得4x＋4－7x＋21＝11.
移项、合并同类项，得－3x＝－14.
将未知数的系数化为1，得x＝ .
(4) ＋1＝ .
解：去分母，得3(x－1)＋6＝2(2x＋1).
去括号，得3x－3＋6＝4x＋2.
移项、合并同类项，得－x＝－1.
将未知数的系数化为1，得x＝1.
解：去分母，得3(x－1)＋6＝2(2x＋1).
去括号，得3x－3＋6＝4x＋2.
移项、合并同类项，得－x＝－1.
将未知数的系数化为1，得x＝1.
例5 (1)当x取何值时，代数式7x＋5与3x－1的值相等？
解：(1)根据题意，得7x＋5＝3x－1.
移项，得7x－3x＝－1－5.
合并同类项，得4x＝－6.
将未知数的系数化为1，得x＝－1.5.
解：(1)根据题意，得7x＋5＝3x－1.
移项，得7x－3x＝－1－5.
合并同类项，得4x＝－6.
将未知数的系数化为1，得x＝－1.5.
(2)已知2－ 与 互为相反数，求x的值.
解：(2)根据题意，得2－ ＋ ＝0.
去分母，得12－2(2x＋1)＋3(1＋x)＝0.
去括号，得12－4x－2＋3＋3x＝0.
移项、合并同类项，得－x＝－13.
将未知数的系数化为1，得x＝13.
解：(2)根据题意，得2－ ＋ ＝0.
去分母，得12－2(2x＋1)＋3(1＋x)＝0.
去括号，得12－4x－2＋3＋3x＝0.
移项、合并同类项，得－x＝－13.
将未知数的系数化为1，得x＝13.
解：(1)解方程2(2x－3)＝6－2x，得x＝2.
把x＝2代入8－k＝2(x＋1)，得
8－k＝2×(2＋1).
解得k＝2.
故当k＝2时，关于x的方程2(2x－3)＝6－2x和8－k＝2(x＋1)的解相同.
解：(1)解方程2(2x－3)＝6－2x，得x＝2.
把x＝2代入8－k＝2(x＋1)，得
8－k＝2×(2＋1).
解得k＝2.
故当k＝2时，关于x的方程2(2x－3)＝6－2x和8－k＝2(x＋1)的解相同.
例6 (1)当k取何值时，关于x的方程2(2x－3)＝6－2x和8－k＝2(x＋1)
的解相同？
(2)若关于x的方程－5(x＋1)＝－11＋x与方程 ＝ 有相同的解，求
a的值.
解：(2)解方程－5(x＋1)＝－11＋x，得x＝1.
把x＝1代入方程 ＝ ，得
＝ .
解得a＝ .
解：(2)解方程－5(x＋1)＝－11＋x，得x＝1.
把x＝1代入方程 ＝ ，得
＝ .
解得a＝ .
4 一元一次方程的应用
例7 如图，宽为50 cm的长方形图案由10个相同的小长方形拼成，其中一
个小长方形的面积是( A )
A. 400 cm2 B. 500 cm2
C. 300 cm2 D. 750 cm2
A
例8 某学校七年级共有8个班进行篮球比赛，规定进行单循环赛(每两班赛
一场)，每一场篮球比赛的积分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，输
一场得0分.某班级得了15分，且没有负场，此班级共进行了多少场比
赛？胜了多少场？
解：由题意，知此班级共进行了7场比赛，
设此班级胜了x场，则平了(7－x)场.
根据题意，得3x＋7－x＝15.
解：由题意，知此班级共进行了7场比赛，
设此班级胜了x场，则平了(7－x)场.
根据题意，得3x＋7－x＝15.
解得x＝4.
经检验，符合题意.
答：此班级共进行了7场比赛，胜了4场.
解得x＝4.
经检验，符合题意.
答：此班级共进行了7场比赛，胜了4场.
例9 为了鼓励市民节约用水，对自来水的收费标准作如下规定：每户每
月用水不超过10 t的部分按2元/t收费；超过10 t的部分按3元/t收费.
注：水费按月结算，若某居民1月份用水17 t，则应收水费为2×10＋
3×(17－10)＝41(元).
(1)若小明家3月份交水费35元，则小明家3月份用水多少吨？
解：(1)∵2×10＝20(元)，20＜35，
∴设小明家3月份用水x t(x＞10).
根据题意，得2×10＋3(x－10)＝35.
解：(1)∵2×10＝20(元)，20＜35，
∴设小明家3月份用水x t(x＞10).
根据题意，得2×10＋3(x－10)＝35.
解得x＝15.
经检验，符合题意.
答：小明家3月份用水15 t.
解得x＝15.
经检验，符合题意.
答：小明家3月份用水15 t.
(2)若小明家4月份和5月份共用水25 t(4月份用水量不超过10 t，5月份用水
量超过10 t)，两个月共交水费56元，求4月份与5月份分别用水多少吨.
解：(2)设4月份用水y t，则5月份用水(25－y)t.
根据题意，得
2y＋2×10＋3(25－y－10)＝56.
解：(2)设4月份用水y t，则5月份用水(25－y)t.
根据题意，得
2y＋2×10＋3(25－y－10)＝56.
解得y＝9.
经检验，符合题意.
25－y＝16(t).
答：4月份用水9 t，5月份用水16 t.
解得y＝9.
经检验，符合题意.
25－y＝16(t).
答：4月份用水9 t，5月份用水16 t.(共8张PPT)
第5章 一元一次方程
5.2.2 第2课时 解一元一次方程——去分母
1 去分母变形
例1 解方程1－ ＝ 时，去分母后可以得到( B )
A. 1－(x＋3)＝3x B. 6－2(x＋3)＝3x
C. 6－(x＋3)＝3x D. 6－(x＋3)＝x
变式1 把方程 ＝1－ 去分母后为 .
小结：去分母时，易漏乘没有分母的项或忽视分数线的括号作用.
B
2(2x－1)＝8－(3－x)
2 解含分母的一元一次方程
例2 解下列方程：
(1) ＝ ；
解：去分母，得－3(x－3)＝3x＋4.
去括号，得－3x＋9＝3x＋4.
移项，得－3x－3x＝4－9.
合并同类项，得－6x＝－5.
将未知数的系数化为1，得x＝ .
解：去分母，得－3(x－3)＝3x＋4.
去括号，得－3x＋9＝3x＋4.
移项，得－3x－3x＝4－9.
合并同类项，得－6x＝－5.
将未知数的系数化为1，得x＝ .
(2) －1＝ .
解：去分母，得3(3y－1)－12＝2(5y－7).
去括号，得9y－3－12＝10y－14.
移项，得9y－10y＝－14＋3＋12.
合并同类项，得－y＝1.
将未知数的系数化为1，得y＝－1.
解：去分母，得3(3y－1)－12＝2(5y－7).
去括号，得9y－3－12＝10y－14.
移项，得9y－10y＝－14＋3＋12.
合并同类项，得－y＝1.
将未知数的系数化为1，得y＝－1.
变式2 解下列方程：
(1) － ＝1；
解：去分母，得3(x＋2)－(x－3)＝6.
去括号，得3x＋6－x＋3＝6.
移项，得3x－x＝6－6－3.
合并同类项，得2x＝－3.
将未知数的系数化为1，得x＝－ .
解：去分母，得3(x＋2)－(x－3)＝6.
去括号，得3x＋6－x＋3＝6.
移项，得3x－x＝6－6－3.
合并同类项，得2x＝－3.
将未知数的系数化为1，得x＝－ .
(2) ＝1－ .
解：去分母，得2(2x＋1)＝6－(x－1).
去括号，得4x＋2＝6－x＋1.
移项，得4x＋x＝6＋1－2.
合并同类项，得5x＝5.
将未知数的系数化为1，得x＝1.
小结：去分母解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同
类项，将未知数的系数化为1.
解：去分母，得2(2x＋1)＝6－(x－1).
去括号，得4x＋2＝6－x＋1.
移项，得4x＋x＝6＋1－2.
合并同类项，得5x＝5.
将未知数的系数化为1，得x＝1.
求字母参数的值
例3 如果关于x的方程3x－2＝4和方程3－ ＝1的解相同，求a的值.
解：解方程3x－2＝4，得x＝2.
把x＝2代入方程3－ ＝1，得
3－ ＝1.
解：解方程3x－2＝4，得x＝2.
把x＝2代入方程3－ ＝1，得
3－ ＝1.
去分母，得12－(2a＋2)＝4.
去括号，得12－2a－2＝4.
移项，得－2a＝4－12＋2.
合并同类项，得－2a＝－6.
将未知数的系数化为1，得a＝3.
去分母，得12－(2a＋2)＝4.
去括号，得12－2a－2＝4.
移项，得－2a＝4－12＋2.
合并同类项，得－2a＝－6.
将未知数的系数化为1，得a＝3.(共8张PPT)
第5章 一元一次方程
5.2.2 第1课时 解一元一次方程——去括号
1 一元一次方程的定义
例1 下列方程属于一元一次方程的是( D )
A. ＋2＝0 B. 3x－2y＝5
C. 2x2－7x＝5 D. 3a＋6＝4a－8
变式1 已知下列方程：①x－2＝ ；②0.3x＝1；③ ＝5x＋1；④x2－
4x＝3；⑤x＝6；⑥x＋2y＝0.其中一元一次方程的个数是( B )
D
B
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
小结：只含有一个未知数、左右两边都是整式，并且含有未知数的项的
次数都是1的方程是一元一次方程.
2 一元一次方程中的去括号变形
例2 对于方程2(2x－1)－(x－3)＝1，去括号正确的是( D )
A. 4x－1－x－3＝1 B. 4x－1－x＋3＝1
C. 4x－2－x－3＝1 D. 4x－2－x＋3＝1
变式2 方程2(x＋3)－5(1－x)＝3(x－1)，去括号，得
.
小结：去括号时，括号前是“－”的，去括号后要将括号内的各项改变
符号.
D
2x＋6－5＋5x＝
3x－3
3 解含括号的一元一次方程
例3 解下列方程：
(1)2(1－2x)＝5x＋8；
解：去括号，得2－4x＝5x＋8.
移项，得－4x－5x＝8－2.
合并同类项，得－9x＝6.
将未知数的系数化为1，得x＝－ .
解：去括号，得2－4x＝5x＋8.
移项，得－4x－5x＝8－2.
合并同类项，得－9x＝6.
将未知数的系数化为1，得x＝－ .
(2)5(5x＋1)＝1－3(x－3).
解：去括号，得25x＋5＝1－3x＋9.
移项，得25x＋3x＝1＋9－5.
合并同类项，得 28x＝5.
将未知数的系数化为1，得 x＝ .
解：去括号，得25x＋5＝1－3x＋9.
移项，得25x＋3x＝1＋9－5.
合并同类项，得 28x＝5.
将未知数的系数化为1，得 x＝ .
变式3 解下列方程：
(1)4(x－2)－1＝3(x－1)；
解：去括号，得4x－8－1＝3x－3.
移项，得4x－3x＝－3＋8＋1.
合并同类项，得x＝6.
解：去括号，得4x－8－1＝3x－3.
移项，得4x－3x＝－3＋8＋1.
合并同类项，得x＝6.
(2)7－3(x＋1)＝2(4－x).
解：去括号，得7－3x－3＝8－2x.
移项，得－3x＋2x＝8－7＋3.
合并同类项，得－x＝4.
将未知数的系数化为1，得x＝－4.
小结：用去括号法解一元一次方程的步骤是：去括号，移项，合并同类
项，将未知数的系数化为1.
解：去括号，得7－3x－3＝8－2x.
移项，得－3x＋2x＝8－7＋3.
合并同类项，得－x＝4.
将未知数的系数化为1，得x＝－4.(共11张PPT)
第5章 一元一次方程
5.3 第1课时 物体形状变化问题与数字问题
1 与平面图形有关的实际问题
例1 一个长方形的长减少2 cm，宽增加2 cm后，面积保持不变.已知这个
长方形的长是6 cm，求它的宽.
解：设这个长方形的宽为x cm，根据题意，得
(6－2)(x＋2)＝6x.
解这个方程，得x＝4.
经检验，符合题意.
答：这个长方形的宽为4 cm.
解：设这个长方形的宽为x cm，根据题意，得
(6－2)(x＋2)＝6x.
解这个方程，得x＝4.
经检验，符合题意.
答：这个长方形的宽为4 cm.
变式1 (教材P20T1改编)学校建花坛余下24 m漂亮的小围栏，经总务处同
意，七年级(1)班同学准备在自己教室后的空地上建一个长方形的小花圃
(一边靠墙、三边利用这些小围栏)如图所示.
已知墙面长10 m，若要使花圃的长比宽多3 m，求花圃的面积.(提示：注
意题目中的条件“已知墙面长10 m”的用意，应考虑有两种情形)
解：设花圃的宽为x m，则长为(x＋3) m.
①当长方形的较长边平行于墙面时，根据题意，得2x＋x＋3＝24.
解这个方程，得x＝7.
经检验，符合题意.∴x＋3＝7＋3＝10.
∴花圃的面积＝7×10＝70(m2).
解：设花圃的宽为x m，则长为(x＋3) m.
①当长方形的较长边平行于墙面时，根据题意，得2x＋x＋3＝24.
解这个方程，得x＝7.
经检验，符合题意.∴x＋3＝7＋3＝10.
∴花圃的面积＝7×10＝70(m2).
②当长方形的较长边垂直于墙面时，根据题意，得2(x＋3)＋x＝24.
解这个方程，得x＝6.
经检验，符合题意.∴x＋3＝6＋3＝9.
∴花圃的面积＝6×9＝54(m2).
答：花圃的面积为70 m2或54 m2.
小结：求面积问题时，要熟练掌握常见几何图形的面积计算公式.列
方程时结合题意找出变化过程中保持不变的量.要注意所有量的单位
必须统一.
②当长方形的较长边垂直于墙面时，根据题意，得2(x＋3)＋x＝24.
解这个方程，得x＝6.
经检验，符合题意.∴x＋3＝6＋3＝9.
∴花圃的面积＝6×9＝54(m2).
答：花圃的面积为70 m2或54 m2.
2 立体图形的等积变形问题
例2 某钢铁厂要锻造长、宽、高分别为260 mm，150 mm，130 mm
的长方体钢坯，需要从横截面面积为130×130 mm2的方钢上截取多
长的一段？
解：设需要截取x mm的方钢，根据题意，得
260×150×130＝130×130x.
解这个方程，得x＝300.
经检验，符合题意.
答：需要截取300 mm的方钢.
解：设需要截取x mm的方钢，根据题意，得
260×150×130＝130×130x.
解这个方程，得x＝300.
经检验，符合题意.
答：需要截取300 mm的方钢.
变式2 (教材P20习题T2)课外活动时，小兵用超轻黏土切割刀竖直切割一块
用超轻黏土塑成的棱长为6 cm的正方体，正好将其分成两个长方体，如
图所示.若这两个长方体的体积之比是1∶2，试求被切割的棱的两部分的
长度.
解：设被切割的棱的两部分的长度分别为x cm和(6－x)cm.根据题意，
得(6×6x)∶[6×6×(6－x)]＝1∶2.
解这个方程，得x＝2.
经检验，符合题意.∴6－x＝4.
答：被切割的棱的两部分的长度分别为2 cm和4 cm.
解：设被切割的棱的两部分的长度分别为x cm和(6－x)cm.根据题意，
得(6×6x)∶[6×6×(6－x)]＝1∶2.
解这个方程，得x＝2.
经检验，符合题意.∴6－x＝4.
答：被切割的棱的两部分的长度分别为2 cm和4 cm.
3 数字问题
例3 某数与8的和的2倍比它本身大11，求这个数.
解：设这个数为x，根据题意，得
2(x＋8)－x＝11.
解这个方程，得x＝－5.
经检验，符合题意.
答：这个数为－5.
解：设这个数为x，根据题意，得
2(x＋8)－x＝11.
解这个方程，得x＝－5.
经检验，符合题意.
答：这个数为－5.
变式3 有一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字大7，并且这个
两位数等于个位上的数字与十位上的数字之和的9倍，求这个两位数.
解：设这个两位数十位上的数字是x，则个位上的数字为x－7.根据题
意，得
10x＋x－7＝9(x＋x－7).
解：设这个两位数十位上的数字是x，则个位上的数字为x－7.根据题
意，得10x＋x－7＝9(x＋x－7).
解这个方程，得x＝8.
经检验，符合题意.
∴x－7＝1，
即这个两位数是81.
答：这个两位数是81.
解这个方程，得x＝8.
经检验，符合题意.
∴x－7＝1，
即这个两位数是81.
答：这个两位数是81.
图形的面积最大问题
例4 将一个长、宽、高分别为15 cm，12 cm和8 cm的长方形钢块锻造成
一个底面边长为12 cm的正方形的长方体零件钢坯，试问锻造前长方体钢
块的表面积大还是锻造后长方体零件钢坯的表面积大？请你计算比较.
解：设锻造后长方体零件钢坯的高为x cm，根据题意，得
15×12×8＝12×12x.
解：设锻造后长方体零件钢坯的高为x cm，根据题意，得
15×12×8＝12×12x.
解这个方程，得x＝10.
经检验，符合题意.
∴锻造前长方体钢块的表面积为2×(15×12＋15×8＋12×8)＝792(cm2)，
锻造后长方体零件钢坯的表面积为2×(12×12＋12×10＋12×10)＝
768(cm2).
∴锻造前长方体钢块的表面积大.(共8张PPT)
第5章 一元一次方程
5.2.2 第3课时 用一元一次方程解决实际问题
1 实际问题中的等量关系
例1 某新能源车企今年5月交付新车35 060辆，且今年5月交付新车的数量
比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1 100辆.设该车企去年5月交付新
车x辆.根据题意，可列方程为( A )
A. 1.2x＋1 100＝35 060
B. 1.2x－1 100＝35 060
C. 1.2(x＋1 100)＝35 060
D. x－1 100＝35 060×1.2
A
变式1 小明以4 km/h的速度从家步行到学校上学，放学后以3 km/h的速
度按原路返回，结果发现比上学路上所花的时间多10 min.如果设上学路
上所花的时间为x h，那么根据题意所列方程为 .
小结：列一元一次方程解决问题的关键在于正确找出等量关系.
4x＝3
2 用一元一次方程解决实际问题
例2 (教材P14例6变式)如图，天平的A，B盘内分别盛有96 g和1.02 g的
糖，问应从盘A中拿出多少糖放到盘B中，才能使天平平衡？
解：设应从盘A中拿出x g糖放到盘B中，才能使天平平衡.根据题意，得
1.02＋x＝96－x.
解：设应从盘A中拿出x g糖放到盘B中，才能使天平平衡.根据题意，得
1.02＋x＝96－x.
解这个方程，得x＝47.49.
经检验，符合题意.
答：应从盘A中拿出47.49 g糖放到盘B中，才能使天平平衡.
解这个方程，得x＝47.49.
经检验，符合题意.
答：应从盘A中拿出47.49 g糖放到盘B中，才能使天平平衡.
变式2 (教材P18T4)如图，足球的表面是由一些呈多边形的黑、白皮块缝合
而成的，共计有32块.已知黑色皮块数比白色皮块数的一半多2，问：两
种颜色的皮块各有多少？
解：设白色皮块数为x，则黑色皮块数为 x＋2.根据题意，得
x＋ x＋2＝32.
解：设白色皮块数为x，则黑色皮块数为 x＋2.根据题意，得
x＋ x＋2＝32.
解这个方程，得x＝20.
∴ x＋2＝12.
经检验，符合题意.
答：白色皮块数为20，黑色皮块数为12.
例3 买两种颜色的布料共64 m，花了550元，其中蓝色布料8元/m，黑色
布料9元/m.两种颜色的布料各买了多少米？
解：设蓝色布料买了x m，则黑色布料买了(64－x)m.根据题意，得
8x＋9(64－x)＝550.
解：设蓝色布料买了x m，则黑色布料买了(64－x)m.根据题意，得
8x＋9(64－x)＝550.
解这个方程，得x＝26.
经检验，符合题意.
∴64－x＝38.
答：蓝色布料买了26 m，黑色布料买了38 m.
解这个方程，得x＝26.
经检验，符合题意.
∴64－x＝38.
答：蓝色布料买了26 m，黑色布料买了38 m.
变式3 现在要选购两种饮品共40瓶，其中矿泉水1.5元/瓶，茶饮料2
元/瓶.王平计划恰好花费65元购买这些饮料，那么两种饮料应该各买
多少瓶？
解：设矿泉水买x瓶，则茶饮料买(40－x)瓶.根据题意，得
1.5x＋2(40－x)＝65.
解：设矿泉水买x瓶，则茶饮料买(40－x)瓶.根据题意，得
1.5x＋2(40－x)＝65.
解这个方程，得x＝30.
经检验，符合题意.
∴40－x＝10.
答：矿泉水买30瓶，茶饮料买10瓶.
解这个方程，得x＝30.
经检验，符合题意.
∴40－x＝10.
答：矿泉水买30瓶，茶饮料买10瓶.
小结：运用一元一次方程解决实际问题的步骤：(1)审(审题)，(2)设(设未
知数)，(3)找(找等量关系)，(4)列(列出方程)，(5)解(解一元一次方程)，
(6)验(检验)，(7)答(作答).(共7张PPT)
第5章 一元一次方程
5.2.1 第3课时 解较复杂的方程
1 用移项和合并同类项解方程
例1 解方程：
(1)3x＝5x＋6；
解：移项，得3x－5x＝6.
合并同类项，得－2x＝6.
将未知数的系数化为1，得x＝－3.
解：移项，得3x－5x＝6.
合并同类项，得－2x＝6.
将未知数的系数化为1，得x＝－3.
(2)2x－1.5＝－0.5x－9.
解：移项，得2x＋0.5x＝－9＋1.5.
合并同类项，得2.5x＝－7.5.
将未知数的系数化为1，得x＝－3.
解：移项，得2x＋0.5x＝－9＋1.5.
合并同类项，得2.5x＝－7.5.
将未知数的系数化为1，得x＝－3.
变式1 解方程：
(1)10＝3x－2；
解：原方程即3x－2＝10.
移项，得3x＝12.
将未知数的系数化为1，得x＝4.
解：原方程即3x－2＝10.
移项，得3x＝12.
将未知数的系数化为1，得x＝4.
(2) x－1＝－ x＋2.
解：移项，得 x＋ x＝2＋1.
合并同类项，得2x＝3.
将未知数的系数化为1，得x＝ .
小结：移项注意改变符号；通常我们将未知数移到方程的左边，常数项
移到方程的右边.
解：移项，得 x＋ x＝2＋1.
合并同类项，得2x＝3.
将未知数的系数化为1，得x＝ .
2 解较复杂的方程
例2 已知y1＝2x＋1，y2＝3x－6，当x取何值时，y1＝y2？
解：根据题意，得2x＋1＝3x－6.
移项，得2x－3x＝－6－1.
合并同类项，得－x＝－7.
将未知数的系数化为1，得x＝7.
故当x＝7时，y1＝y2.
解：根据题意，得2x＋1＝3x－6.
移项，得2x－3x＝－6－1.
合并同类项，得－x＝－7.
将未知数的系数化为1，得x＝7.
故当x＝7时，y1＝y2.
变式2 已知y1＝x－1，y2＝2x＋10，当x取何值时，y1和y2的值互为相
反数？
解：根据题意，得x－1＋2x＋10＝0.
移项，得x＋2x＝1－10.
合并同类项，得 3x＝－9.
将未知数的系数化为1，得 x＝－3.
故当x＝－3时，y1与y2的值互为相反数.
解：根据题意，得x－1＋2x＋10＝0.
移项，得x＋2x＝1－10.
合并同类项，得 3x＝－9.
将未知数的系数化为1，得 x＝－3.
故当x＝－3时，y1与y2的值互为相反数.
