(共7张PPT)
第6章 一次方程组
6.2 第5课时 二元一次方程组的应用
1 由实际问题抽象出二元一次方程(组)
例1 读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧的启发.某校为提高学生
的阅读品味，决定购买获得茅盾文学奖的甲、乙两种书籍.已知每本甲种
书比每本乙种书便宜5元，购买3本甲种书和4本乙种书共花费230元.设每
本甲种书x元，每本乙种书y元，则可列方程组为( C )
C
A. B.
C. D.
变式1 (1)某班同学去看电影，甲种票每张24元，乙种票每张18元.35名同
学购票恰好花费750元.设买了x张甲种票，y张乙种票，可列方程组
为 .
(2)现有一段长为180 m的河道需要整治，由A，B两个工程小组先后接力
完成.A工程小组每天整治12 m，B工程小组每天整治8 m，共用时20
天，设A工程小组整治河道x天，B工程小组整治河道y天，可列方程组
为 .
2 二元一次方程组的应用
例2 有甲、乙两种客车，2辆甲种客车与3辆乙种客车的总载客量为180
人，1辆甲种客车与2辆乙种客车的总载客量为105人，请问甲种客车与乙
种客车的载客量分别为多少人？
解：设1辆甲种客车的载客量为x人，1辆乙种客车的载客量为y人.
根据题意，得
解这个方程组，得
答：1辆甲种客车的载客量为45人，1辆乙种客车的载客量为30人.
解：设1辆甲种客车的载客量为x人，1辆乙种客车的载客量为y人.
根据题意，得
解这个方程组，得
答：1辆甲种客车的载客量为45人，1辆乙种客车的载客量为30人.
变式2 今年春季，某蔬菜种植农场在15亩的大棚地里分别种植了茄子和
西红柿，总投入是26万元.其中，种植茄子和西红柿每亩地的投入分别为
2万元和1万元.请解答下列问题：
(1)茄子和西红柿的种植面积分别为多少亩？
解：(1)设茄子和西红柿的种植面积分别为x亩、y亩.
根据题意，得
解这个方程组，得
答：茄子和西红柿的种植面积分别为11亩、4亩.
解：(1)设茄子和西红柿的种植面积分别为x亩、y亩.
根据题意，得
解这个方程组，得
答：茄子和西红柿的种植面积分别为11亩、4亩.
(2)如果茄子和西红柿每亩地的利润分别为1.4万元和1.6万元，那么该蔬
菜种植农场在这一季共获利多少万元？
解：(2)11×1.4＋4×1.6＝21.8 (万元).
答：该蔬菜种植农场在这一季共获利21.8万元.
小结：设出未知数，寻找题中的等量关系列方程组，求解，检验，解决
实际问题.
解：(2)11×1.4＋4×1.6＝21.8 (万元).
答：该蔬菜种植农场在这一季共获利21.8万元.(共10张PPT)
第6章 一次方程组
6.3 三元一次方程组及其解法
1 三元一次方程(组)的有关概念
例1 下列是三元一次方程组的是( D )
D
A. B.
C. D.
变式1 下列方程组不是三元一次方程组的是( D )
A. B.
C. D.
D
2 三元一次方程组的解法
例2 解方程组：
解：
解：
①＋②＋③，得
2(x＋y＋z)＝14，
即x＋y＋z＝7.④
④－①，得z＝4.
④－②，得x＝2.
④－③，得y＝1.
∴原方程组的解为
①＋②＋③，得
2(x＋y＋z)＝14，
即x＋y＋z＝7.④
④－①，得z＝4.
④－②，得x＝2.
④－③，得y＝1.
∴原方程组的解为
变式2 解方程组：
解：
①＋②，得2x＋2y＝6，即x＋y＝3.④
解：
①＋②，得2x＋2y＝6，即x＋y＝3.④
③＋④，得2x＝2，
即x＝1.
把x＝1代入③，得1－y＝－1.
∴y＝2.
③＋④，得2x＝2，
即x＝1.
把x＝1代入③，得1－y＝－1.
∴y＝2.
把x＝1，y＝2代入②，得1＋2－z＝0.
∴z＝3.
∴原方程组的解为
小结：解三元一次方程组的思路仍是消元.
把x＝1，y＝2代入②，得1＋2－z＝0.
∴z＝3.
∴原方程组的解为
3 三元一次方程组的简单应用
例3 某套竞赛试卷共有10道选择题，评分标准如下：每道题选对得4分，
选错扣2分，不选扣1分.已知小王得了28分，且选对的题数是选错题数的
4倍，问小王选对、选错、不选的题分别有几道.
解：设小王选对、选错、不选的题分别有x道、y道、z道.
根据题意，得
解这个方程组，得
答：小王选对、选错、不选的题分别有8道、2道、0道.
解：设小王选对、选错、不选的题分别有x道、y道、z道.
根据题意，得
解这个方程组，得
答：小王选对、选错、不选的题分别有8道、2道、0道.
变式3 某班为奖励在校运动会上表现突出的学生，班主任派小朋到商店
买一些文具.小朋发现：若买3本笔记本，7支圆珠笔，2把直尺，则需付
16元；若买4本笔记本，10支圆珠笔，则需付18元；若买3本笔记本，6支
圆珠笔，4把直尺，则需付18元.求笔记本、圆珠笔、直尺的单价分别为
多少元.
解：设笔记本、圆珠笔、直尺的单价分别为x元、y元、z元.
根据题意，得
解：设笔记本、圆珠笔、直尺的单价分别为x元、y元、z元.
根据题意，得
解这个方程组，得
答：笔记本的单价为2元，圆珠笔的单价为1元，直尺的单价为1.5元.
解这个方程组，得
答：笔记本的单价为2元，圆珠笔的单价为1元，直尺的单价为1.5元.(共6张PPT)
第6章 一次方程组
6.2 第2课时 用代入法解二元一次方程组(2)
1 用一个未知数表示另一个未知数(系数的绝对值不为1)
例1 把下列方程写成用含x的代数式来表示y的形式：
(1)3x＋2y＝4： ；
(2)5x－5y＝10： .
y＝－ x＋2
y＝x－2
变式1 把下列方程写成用含y的代数式来表示x的形式：
(1)5x＋2y＋1＝0： ；
(2)2x－3y－3＝0： .
x＝－ y－
x＝ y＋
2 用代入法解较复杂的二元一次方程组
例2 解方程组：
解：
由①，得a＝ .③
把③代入②，得 ＋2b＋4＝0.
解：
由①，得a＝ .③
把③代入②，得 ＋2b＋4＝0.
解得b＝1.
将b＝1代入③，得a＝－2.
∴
解得b＝1.
将b＝1代入③，得a＝－2.
∴
变式2 解方程组：
解：将原方程组整理，得
由①，得x＝ .③
把③代入②，得 －4y＝2.
解：将原方程组整理，得
由①，得x＝ .③
把③代入②，得 －4y＝2.
把y＝4代入③，得x＝6.∴
解得y＝4.
把y＝4代入③，得x＝6.∴
4x-3y=12,(
①
解：将原方程组整理，得{
3x-4y=2.②(共5张PPT)
第6章 一次方程组
6.2 第1课时 用代入法解二元一次方程组(1)
1 用一个未知数表示另一个未知数(系数的绝对值为1)
例1 把方程4x＋y＝－3改写成用含x的代数式表示y的形式，正确的是
( B )
A. y＝4x－3 B. y＝－4x－3
C. y＝4x＋3 D. y＝－4x＋3
变式1 将方程x－3y－1＝0改写成用含y的代数式表示x的形式为x
＝ .
小结：将被表示的未知数放在等式的左边，将常数与另一未知数放在等
式的右边.
B
3y＋1
2 用代入法解简单的二元一次方程组
例2 解方程组：
解：
把①代入②，得3(y－2)＋y＝14.
解：
把①代入②，得3(y－2)＋y＝14.
解得y＝5.
把y＝5代入①，得x＝3.
∴
解得y＝5.
把y＝5代入①，得x＝3.
∴
变式2 解方程组：
解：
把①代入②，得2(y＋3)＋y＝9.
解：
把①代入②，得2(y＋3)＋y＝9.
解得y＝1.
把y＝1代入①，得x＝4.
∴
解得y＝1.
把y＝1代入①，得x＝4.
∴
小结：(1)选一个方程(最好选未知数系数的绝对值为1的方程)，用含一个
未知数的代数式表示另一个未知数；(2)把代数式代入另一个方程，化方
程组为一元一次方程；(3)解一元一次方程即可求解.(共13张PPT)
第6章 一次方程组
6.1 二元一次方程组和它的解
1 二元一次方程(组)的定义
例1 (1)下列方程中是二元一次方程的为( A )
A. x＋ ＝1 B. xy＝1
C. 2x2－1＝0 D. 2x＋ ＝1
A
(2)下列方程组中，是二元一次方程组的是( C )
A. B.
C. D.
C
变式1 (1)下列方程中，是二元一次方程的是( A )
A. x＋y＝1 B. 2x－1＝5
C. x＋y2＝3 D. x＋ ＝3
A
(2)下列方程组中，是二元一次方程组的是( A )
A. B.
C. D.
小结：(1)判断一个方程是二元一次方程的条件：①含有两个未知数；②
含有未知数的项的次数是1；③等号左、右两边均为整式.
(2)判断一个方程组是二元一次方程组的条件：①方程组中有两个整式方
程；②共含有两个未知数；③两个方程均为一次方程.
A
2 二元一次方程(组)的解
例2 (1)二元一次方程x＋2y＝6的一个解是( B )
A. B.
C. D.
B
(2)下列各组数值中是二元一次方程组 的解的是( C )
A. B.
C. D.
C
变式2 (教材P31T2)已知三对数值：
(1)哪几对数值能使方程 x－y＝6的左、右两边的值相等？
解：(1) 能使方程 x－y＝6的左、右两边的值
相等.
解：(1) 能使方程 x－y＝6的左、右两边的值
相等.
(2)哪几对数值是方程组 的解？
解：(2) 是方程组 的解.
小结：二元一次方程组的解一般写成 的形式.
解：(2) 是方程组 的解.
3 根据题意列二元一次方程(组)
例3 (1)设甲数为x，乙数为y，则甲数的一半与乙数的2倍的和为100.请
列出二元一次方程 .
x＋2y＝100
(2)中国古代数学著作《九章算术》第七章主要内容是“盈不足术”.其中
有这样一道盈亏类问题：“今有共买羊，人出五，不足九十；人出五
十，适足.问人数、羊价各几何.”题目大意是：“有几个人共同购买一
只羊，若每人出五元，还差九十元；若每人出五十元，刚好够.问有几个
人，羊的价格是多少.”设有x人，羊的价格为y元，可列方程组为
( D )
D
A. B.
C. D.
变式3 (1)小慧在文具店买了5本练习本和4支圆珠笔，共花去23元；小强
买了同样的练习本10本和同样的圆珠笔2支，共花去34元.
设练习本的单价是x元，圆珠笔的单价是y元，列出相应的方程组
为 .
(2)在一次知识竞赛中，学校为获得一等奖和二等奖的30名学生购买奖
品，共花费528元，其中一等奖奖品每件20元，二等奖奖品每件16元，求
获得一等奖和二等奖的学生分别有多少名.根据题意列方程组(不必求解).
解：设获得一等奖的学生有x名，获得二等奖的学生有y名.
根据题意，得
解：设获得一等奖的学生有x名，获得二等奖的学生有y名.
根据题意，得(共10张PPT)
第6章 一次方程组
6.2 第4课时 用加减法解二元一次方程组(2)
1 加减消元法——相同未知数的系数成倍数关系
例1 解方程组：
解：
②－①×2，得5y＝－10，
即y＝－2.
把y＝－2代入①，得x＋8＝9.
解：
②－①×2，得5y＝－10，
即y＝－2.
把y＝－2代入①，得x＋8＝9.
解得x＝1.
∴
解得x＝1.
∴
变式1 解方程组：
解：
①×2－②，得7x＝35，
即x＝5.
把x＝5代入①，得25＋2y＝25.
解：
①×2－②，得7x＝35，
即x＝5.
把x＝5代入①，得25＋2y＝25.
解得y＝0.
∴
小结：运用加减消元法解方程组时，需观察方程组中相同未知数的系
数，当相同未知数的系数为倍数关系时，把其中一个方程未知数的系数
化为与另一个方程相同的形式，再利用加减消元法求解即可.
2 加减消元法——相同未知数的系数不成倍数关系
例2 解下列方程组：
(1)
解：①×3－②×2，得11y＝14，即y＝ .
把y＝ 代入①，得2x＋ ＝8，
解得x＝ .
∴
解：①×3－②×2，得11y＝14，即y＝ .
把y＝ 代入①，得2x＋ ＝8，
解得x＝ .
∴
(2)
解：①×2＋②×3，得13x＝6，
即x＝ .
把x＝ 代入①，得 ＋3y＝6，
解得y＝ .
∴
解：①×2＋②×3，得13x＝6，
即x＝ .
把x＝ 代入①，得 ＋3y＝6，
解得y＝ .
∴
变式2 解下列方程组：
(1)
解：①×6，得3x－2y－2＝6.③
②×2，得2x＋2y＝2.④
③＋④，得5x－2＝8.解得x＝2.
把x＝2代入②，得2＋y＝1.
解得y＝－1.
∴
解：①×6，得3x－2y－2＝6.③
②×2，得2x＋2y＝2.④
③＋④，得5x－2＝8.解得x＝2.
把x＝2代入②，得2＋y＝1.
解得y＝－1.
∴
(2)
解：由①，得－x＋5y＝3.③
②×6，得3x＋3y＋2x－2y＝11.
整理，得5x＋y＝11.④
③×5＋④，得26y＝26，即y＝1.
把y＝1代入③，得－x＋5＝3.
解得x＝2.
∴
解：由①，得－x＋5y＝3.③
②×6，得3x＋3y＋2x－2y＝11.
整理，得5x＋y＝11.④
③×5＋④，得26y＝26，即y＝1.
把y＝1代入③，得－x＋5＝3.
解得x＝2.
∴
小结：若两个方程中的相同未知数的系数均不成倍数关系，则一般选
绝对值的积较小的一组系数，求出其绝对值的最小公倍数，然后将原
方程组变形，使新方程组的这组系数相等或互为相反数，再用加减消
元法求解.
由整体思想求字母参数的值
例3 已知方程组 中的x与y的差等于2，求k的值.
解：
解：
①－②，得x－y＝k－2.
∵x－y＝2，
∴k－2＝2.
∴k＝4.
①－②，得x－y＝k－2.
∵x－y＝2，
∴k－2＝2.
∴k＝4.(共6张PPT)
第6章 一次方程组
6.4 实践与探索
1 用二元一次方程组解决实际问题
例1 某校开展阅读经典活动，小明3天阅读的总页数比小颖5天阅读的总
页数少6；小颖每天阅读的页数比小明每天阅读的页数的2倍少10，两人
每天阅读页数固定，求小明和小颖每天阅读的页数.
解：设小明平均每天阅读x页，小颖平均每天阅读y页.
根据题意，得
解这个方程组，得
答：小明平均每天阅读8页，小颖平均每天阅读6页.
解：设小明平均每天阅读x页，小颖平均每天阅读y页.
根据题意，得
解这个方程组，得
答：小明平均每天阅读8页，小颖平均每天阅读6页.
变式1 用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制作盒身25个，或制作盒底40
个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒.现有36张白铁皮，用多少张制
作盒身，多少张制作盒底可以使盒身与盒底正好配套？
解：设用x张制作盒身，y张制作盒底.
根据题意，得
解这个方程组，得
答：用16张制作盒身，20张制作盒底可以使盒身与盒底正好配套.
解：设用x张制作盒身，y张制作盒底.
根据题意，得
解这个方程组，得
答：用16张制作盒身，20张制作盒底可以使盒身与盒底正好配套.
2 用二元一次方程组解决几何问题
例2 在长为18 m，宽为15 m的长方形空地上，沿平行于长方形各边的方
向分别割出三个大小完全一样的小长方形花圃，其示意图如图所示.小长
方形花圃的长和宽分别是多少米？
解：设小长方形花圃的长为x m，宽为y m.
根据题意，得
解这个方程组，得
答：小长方形花圃的长为7 m，宽为4 m.
解：设小长方形花圃的长为x m，宽为y m.
根据题意，得
解这个方程组，得
答：小长方形花圃的长为7 m，宽为4 m.
变式2 如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是40
cm的大长方形，求每个小长方形的面积.
解：设每个小长方形的长为x cm，宽为y cm.
根据题意，得
解：设每个小长方形的长为x cm，宽为y cm.
根据题意，得
解这个方程组，得
∴每个小长方形的面积为
xy＝30×10＝300(cm2).
答：每个小长方形的面积为300 cm2.
解这个方程组，得
∴每个小长方形的面积为
xy＝30×10＝300(cm2).
答：每个小长方形的面积为300 cm2.(共10张PPT)
第6章 一次方程组
6.2 第3课时 用加减法解二元一次方程组(1)
1 加减消元法——相同未知数的系数相同
例1 解方程组：
解：
②－①，得5y＝5，
即y＝1.
把y＝1代入①，得x－3＝1.
解：
②－①，得5y＝5，
即y＝1.
把y＝1代入①，得x－3＝1.
解得x＝4.
∴原方程组的解为
解得x＝4.
∴原方程组的解为
变式1 解方程组：
解：整理，得
①－②，得2y＝－8，
即y＝－4.
把y＝－4代入①，得2x＋7×(－4)＝32.
解：整理，得
①－②，得2y＝－8，
即y＝－4.
把y＝－4代入①，得2x＋7×(－4)＝32.
解得x＝30.
∴
小结：运用加减消元法解方程组时，需观察方程组中相同未知数的系数
是否相同.如果相同，可以直接相减消元化为一元一次方程，再解一元
一次方程即可.
2 加减消元法——相同未知数的系数互为相反数
例2 解方程组：
解：
①＋②，得4x＝24，
即x＝6.
把x＝6代入①，得6＋y＝7.
解得y＝1.∴
解：
①＋②，得4x＝24，
即x＝6.
把x＝6代入①，得6＋y＝7.
解得y＝1.∴
变式2 解方程组：
解：将原方程组整理，得
①＋②，得25y＝10，即y＝ .
把y＝ 代入①，得5x＋6＝6.
解：将原方程组整理，得
①＋②，得25y＝10，即y＝ .
把y＝ 代入①，得5x＋6＝6.
解得x＝0.∴
小结：运用加减消元法解方程组时，需观察方程组中相同未知数的系数
是否互为相反数.如果互为相反数，可以直接相加消元化为一元一次方
程，再解一元一次方程即可.
已知方程组的解，求方程组中字母的系数
例3 已知关于x，y的二元一次方程组 的解为
求a，b的值.
解：把 代入
得 ①＋②，得4b＝－12，
即b＝－3.
把b＝－3代入①，得2a＋2×(－3)＝－4.
解：把 代入
得 ①＋②，得4b＝－12，
即b＝－3.
把b＝－3代入①，得2a＋2×(－3)＝－4.
解得a＝1.
∴a＝1，b＝－3.(共16张PPT)
第6章 一次方程组
章 末 复 习
两个
1
相等
两个二元一次方程
三个
1
整式
代入
加减
相等
代入
加减
1 二元一次方程(组)及其解
例1 方程x－2y＝1，x＋ y＝0，y－z＝4，xy＝1，5x－3y， － ＝
0，x(x－1)＝x2＋y中，是二元一次方程的有( B )
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
B
二元一次方程必须满足的“三个条件”
(1)方程中含有两个未知数；
(2)含未知数的项的次数都是1；
(3)方程中含有未知数的式子是整式.
三个条件缺一不可.注意xy是二次项.
例2 下列各组数中，是二元一次方程组 的解的是( A )
A. B.
C. D.
A
2 二元一次方程组的解法
例3 解方程组：
(1)
解：由②，得y＝2x－8.③
把③代入①，得x＋2x－8＝5.解得x＝ .
把x＝ 代入③，得y＝2× －8＝ .
∴
解：由②，得y＝2x－8.③
把③代入①，得x＋2x－8＝5.解得x＝ .
把x＝ 代入③，得y＝2× －8＝ .
∴
(2)
解：①＋②，得7x＝63，
即x＝9.
把x＝9代入②，得36－2y＝16.
解得y＝10.
∴
解：①＋②，得7x＝63，
即x＝9.
把x＝9代入②，得36－2y＝16.
解得y＝10.
∴
例4 已知关于x，y的二元一次方程组
(1)当a＝2时，解这个方程组；
解：(1)当a＝2时，方程组可化为
解：(1)当a＝2时，方程组可化为
②×2－①，得3y＝0，
即y＝0.
把y＝0代入②，得x＝1.
∴
②×2－①，得3y＝0，
即y＝0.
把y＝0代入②，得x＝1.
∴
(2)若3x＋3y＝1，求a的值.
解：(2)
①＋②，得3x＋3y＝3a－3.
∵3x＋3y＝1，
∴3a－3＝1.
解得a＝ .
解：(2)
①＋②，得3x＋3y＝3a－3.
∵3x＋3y＝1，
∴3a－3＝1.
解得a＝ .
3 三元一次方程组
例5 解方程组：
解：①＋②，得5x＋y＝26.④
①＋③，得3x＋5y＝42.⑤
解：①＋②，得5x＋y＝26.④
①＋③，得3x＋5y＝42.⑤
④×5－⑤，得22x＝88，
即x＝4.
把x＝4代入④，得y＝6.
把x＝4，y＝6代入③，得z＝8.
∴原方程组的解为
④×5－⑤，得22x＝88，
即x＝4.
把x＝4代入④，得y＝6.
把x＝4，y＝6代入③，得z＝8.
∴原方程组的解为
4 二元一次方程(组)的实际应用
例6 某城市出租车起步价行驶的最远路程为3 km，超过3 km的部分按每
千米另收费.甲说：“我乘这种出租车走了5 km，付了9元.”乙说：“我
乘这种出租车走了7 km，付了12元.”请你算一算，这种出租车的起步价
是多少元？超过3 km后，每千米的车费是多少元？
解：设这种出租车的起步价是x元，超过3 km后，每千米的车费是y元.
根据题意，得
解这个方程组，得
答：这种出租车的起步价是6元，超过3 km后，每千米的车费是1.5元.
解：设这种出租车的起步价是x元，超过3 km后，每千米的车费是y元.
根据题意，得
解这个方程组，得
答：这种出租车的起步价是6元，超过3 km后，每千米的车费是1.5元.
例7 某超市有线下和线上两种销售方式，去年计划实现总销售利润200万
元，经过努力，实际总销售利润为225万元，其中线下销售利润比原计划
增长5％，线上销售利润比原计划增长15％，则该超市去年实际完成线下
销售利润、线上销售利润分别为多少万元？
解：设该超市去年计划完成线下销售利润为x万元，线上销售利润为y
万元.
根据题意，得
解：设该超市去年计划完成线下销售利润为x万元，线上销售利润为y
万元.
根据题意，得
解这个方程组，得
∴(1＋5％)x＝(1＋5％)×50＝52.5，
(1＋15％)y＝(1＋15％)×150＝172.5.
答：该超市去年实际完成线下销售利润为52.5万元，线上销售利润为
172.5万元.
解这个方程组，得
∴(1＋5％)x＝(1＋5％)×50＝52.5，
(1＋15％)y＝(1＋15％)×150＝172.5.
答：该超市去年实际完成线下销售利润为52.5万元，线上销售利润为
172.5万元.
