(共11张PPT)
第8章 三角形
8.2 第1课时 多边形的内角和
1 多边形的有关概念
例1 下列是多边形的是( D )
A. B. C. D.
D
变式1 下列图形中，不是凸多边形的是( D )
A. B. C. D.
小结：一般地，由n条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平
面图形称为n边形，又称多边形.
D
2 正多边形
例2 下列图形为正多边形的是( D )
A. B. C. D.
变式2 下列图形一定是正多边形的是( B )
D
B
A. 三角形 B. 正方形
C. 长方形 D. 八边形
小结：一般地，如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，则称为正
多边形.
3 多边形的内角和
例3 过六边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成a个三角形，则
a的值为( B )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
变式3 过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成7个三角
形，这个多边形是 边形.
小结：n边形从一个顶点出发可引出(n－3)条对角线，可组成(n－2)个三
角形，n边形共有 条对角线.
B
九
例4 (1)六边形的内角和是 °；
(2)十边形的内角和是 °. 变式4 已知一个多边形的内角和是
540°，则这个多边形是( C )
A. 三角形 B. 四边形
C. 五边形 D. 六边形
小结：n边形的内角和为(n－2)·180°，由此可知多边形的内角和是
180°的倍数.
720
1 440
C
例5 正n边形的每个内角都是120°，求n的值.
解：由题意，得180(n－2)＝120n.
解得n＝6.
∴n的值为6.
解：由题意，得180(n－2)＝120n.
解得n＝6.
∴n的值为6.
变式5 (教材P99T5)若一个正多边形的一个内角等于150°，求这个正多边
形的边数.
解：设这个正多边形的边数为n，根据题意，得
180(n－2)＝150n.
解得n＝12.
∴这个正多边形的边数是12.
解：设这个正多边形的边数为n，根据题意，得
180(n－2)＝150n.
解得n＝12.
∴这个正多边形的边数是12.
多边形截去一角后图形的边数
例6 (1)一个多边形截去一个角后，形成一个六边形，那么原多边形边数
为( D )
A. 5 B. 5或6
C. 5或7 D. 5或6或7
D
(2)将一个四边形用刀截去一个角后，它不可能是( A )
A. 六边形 B. 五边形
C. 四边形 D. 三角形
A(共3张PPT)
第8章 三角形
8.3.1 用相同的正多边形
用相同的正多边形铺设地面
例 用下列一种正多边形铺地板，能恰好铺满地面的是( B )
A. 正五边形 B. 正六边形
C. 正七边形 D. 正九边形
B
变式 下列正多边形不能用于平面镶嵌的是( B )
A. 正方形 B. 正五边形
C. 正六边形 D. 等边三角形
小结：判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个
角能否构成周角.若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌；反之则不
能.能够铺满的只有正三角形、正方形和正六边形，其他的正多边形都
不可以.
B(共13张PPT)
第8章 三角形
8.2 第2课时 多边形的外角和
1 多边形的外角和
例1 正六边形每一个外角的度数为( B )
A. 50° B. 60°
C. 70° D. 90°
B
变式1 若一个正多边形的一个外角是45°，则这个正多边形的边数为
( B )
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
小结：多边形的外角和为360°，与多边形的边数无关.
B
例2 如图，在五边形ABCDE中，AB∥ED，∠1，∠2，∠3是五边形
ABCDE的外角，求∠1＋∠2＋∠3的度数.
解：延长BA，DE，如图所示.
∵AB∥ED，
∴∠4＋∠5＝180°.
根据多边形的外角和定理可得∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝360°，
∴∠1＋∠2＋∠3＝360°－180°＝180°.
解：延长BA，DE，如图所示.
∵AB∥ED，
∴∠4＋∠5＝180°.
根据多边形的外角和定理可得∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝360°，
∴∠1＋∠2＋∠3＝360°－180°＝180°.
变式2 如图，嘉琪从点O出发，前进10 m后向右转36°，再前进10 m后
向右转36°，……，如此一直走下去，当他第一次回到出发点O时，求
嘉琪一共走了多少米.
解：按照题意，可知嘉琪走一圈回到点O，他走过的轨迹为一正多边
形，
设此多边形为正n边形.
∵此正n边形的一个外角为36°，
∴36°·n＝360°.
∴n＝10.
∴他走过的正多边形为正十边形.
∵正多边形的边长为10 m，
∴正多边形的周长为10×10＝100(m).
∴他第一次回到出发点时一共走了100 m.
解：按照题意，可知嘉琪走一圈回到点O，他走过的轨迹为一正多边
形，
设此多边形为正n边形.
∵此正n边形的一个外角为36°，
∴36°·n＝360°.
∴n＝10.
∴他走过的正多边形为正十边形.
∵正多边形的边长为10 m，
∴正多边形的周长为10×10＝100(m).
∴他第一次回到出发点时一共走了100 m.
2 多边形的内角和与外角和的综合应用
例3 若一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，求这个多边形的边数
和内角和.
解：设多边形的边数是n.
根据题意，得(n－2)·180°＝2×360°，
即180n－360＝720.
解得n＝6.
∴这个多边形的边数为6，内角和为(6－2)·180°＝720°.
解：设多边形的边数是n.
根据题意，得(n－2)·180°＝2×360°，
即180n－360＝720.
解得n＝6.
∴这个多边形的边数为6，内角和为(6－2)·180°＝720°.
变式3 小亮在计算多边形的内角和时，求得该多边形的内角和为2 024°.
当他检查时，发现漏加了一个内角，求这个多边形的边数和漏掉的内角
的度数.
解：设这个多边形的边数为n，漏掉的内角的度数为α，根据题意，得
(n－2)·180°＝2 024°＋α，0°＜α＜180°.
∵2 024°÷180°＝11……44°，
∴n－2＝11＋1.
∴n＝14.
将n＝14代入方程
(n－2)·180°＝2 024°＋α，
解得α＝136°.
∴这个多边形的边数为14，漏掉的内角的度数为136°.
解：设这个多边形的边数为n，漏掉的内角的度数为α，根据题意，得
(n－2)·180°＝2 024°＋α，0°＜α＜180°.
∵2 024°÷180°＝11……44°，
∴n－2＝11＋1.
∴n＝14.
将n＝14代入方程
(n－2)·180°＝2 024°＋α，
解得α＝136°.
∴这个多边形的边数为14，漏掉的内角的度数为136°.
与平行线有关的多边形的角度问题
例4 如图，六边形ABCDEF中，CD∥AF，∠D＝∠A，AB⊥BC，
∠C＝120°，∠E＝80°，求∠F的度数.
解：如图，延长CB交FA的延长线于点G，
∵CD∥AF，
∴∠C＋∠G＝180°.
∵∠C＝120°，
∴∠G＝60°.
∵AB⊥BC，
解：如图，延长CB交FA的延长线于点G，
∵CD∥AF，
∴∠C＋∠G＝180°.
∵∠C＝120°，
∴∠G＝60°.
∵AB⊥BC，
∴∠ABG＝90°.
∴∠BAF＝∠G＋∠ABG＝150°.
又∵∠D＝∠BAF，
∴∠D＝150°.
∵∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠BAF＋∠ABC＝(6－2)×180°＝
720°，
∴∠F＝720°－∠C－∠D－∠E－∠BAF－∠ABC＝130°.
∴∠ABG＝90°.
∴∠BAF＝∠G＋∠ABG＝150°.
又∵∠D＝∠BAF，
∴∠D＝150°.
∵∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠BAF＋∠ABC＝(6－2)×180°＝
720°，
∴∠F＝720°－∠C－∠D－∠E－∠BAF－∠ABC＝130°.(共14张PPT)
第8章 三角形
8.1.2 三角形的内角和与外角和
1 三角形的内角和
例1 如图，已知△ABC，求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.
证明：方法一：如答图1，过点A作DE∥BC.
∵DE∥BC，
∴∠BAD＝∠B，∠CAE＝∠C.
∵∠BAD＋∠BAC＋∠CAE＝180°，
∴∠BAC＋∠B＋∠C＝180°.
证明：方法一：如答图1，过点A作DE∥BC.
∵DE∥BC，
∴∠BAD＝∠B，∠CAE＝∠C.
∵∠BAD＋∠BAC＋∠CAE＝180°，
∴∠BAC＋∠B＋∠C＝180°.
方法二：如答图2，过点C作CD∥AB，延长BC到点E.
∵CD∥AB，
∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠DCE.
∵∠ACB＋∠ACD＋∠DCE＝180°，
方法二：如答图2，过点C作CD∥AB，延长BC到点E.
∵CD∥AB，
∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠DCE.
∵∠ACB＋∠ACD＋∠DCE＝180°，
∴∠A＋∠B＋∠ACB＝180°.
∴∠A＋∠B＋∠ACB＝180°.
变式1 在△ABC中，已知∠B＝60°，∠A∶∠C＝1∶2，求∠A，∠C
的度数.
解：∵∠A∶∠C＝1∶2，
∴∠C＝2∠A.
∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴∠A＋60°＋2∠A＝180°.
∴∠A＝40°.
∴∠C＝2∠A＝80°.
小结：三角形的内角和为180°.
解：∵∠A∶∠C＝1∶2，
∴∠C＝2∠A.
∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴∠A＋60°＋2∠A＝180°.
∴∠A＝40°.
∴∠C＝2∠A＝80°.
2 直角三角形的两锐角互余
例2 在△ABC中，若∠C＝90°，∠A＝35°，则∠B＝ .
55°
变式2 在△ABC中，已知∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，那么∠A的度数
为 .
30°
3 三角形外角的性质
例3 如图，在△ABC中，∠ACD是它的一个外角.
求证：∠ACD＝∠A＋∠B.
证明：∵∠ACD＋∠ACB＝∠BCD＝180°，( )
∴∠ACD＝180°－∠ACB. (等式的性质)
∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，( )
∴∠A＋∠B＝180°－∠ACB. (等式的性质)
∴∠ACD＝∠A＋∠B. (等量代换)
请把上述方法补充完整，并用不同的方法完成证明.
平角的定义
三角形的内角和定理
证明：过点C作CE∥AB，如图.
∴∠ACE＝∠A，∠DCE＝∠B.
∴∠ACE＋∠DCE＝∠A＋∠B.
∴∠ACD＝∠A＋∠B.
证明：过点C作CE∥AB，如图.
∴∠ACE＝∠A，∠DCE＝∠B.
∴∠ACE＋∠DCE＝∠A＋∠B.
∴∠ACD＝∠A＋∠B.
变式3 如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角.求证：
∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝360°.
证明：方法一：∵平角等于180°，
∴∠BAE＋∠1＋∠CBF＋∠2＋∠ACD＋∠3＝180°×3＝540°.
∴∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝540°－(∠1＋∠2＋∠3).
∵∠1＋∠2＋∠3＝180°，
∴∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝540°－180°＝360°.
证明：方法一：∵平角等于180°，
∴∠BAE＋∠1＋∠CBF＋∠2＋∠ACD＋∠3＝180°×3＝540°.
∴∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝540°－(∠1＋∠2＋∠3).
∵∠1＋∠2＋∠3＝180°，
∴∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝540°－180°＝360°.
方法二：∵∠BAE＝∠2＋∠3，∠CBF＝∠1＋∠3，∠ACD＝∠1＋
∠2，
∴∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝2(∠1＋∠2＋∠3).
∵∠1＋∠2＋∠3＝180°，
∴∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝360°.
小结：三角形的一个外角等于两个与它不相邻的内角的和.三角形的外角
和为360°.
方法二：∵∠BAE＝∠2＋∠3，∠CBF＝∠1＋∠3，∠ACD＝∠1＋
∠2，
∴∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝2(∠1＋∠2＋∠3).
∵∠1＋∠2＋∠3＝180°，
∴∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝360°.
求多个角的和的问题
例4 如图，线段DG，EM，FN两两相交于B，C，A三点，求∠D＋
∠E＋∠F＋∠G＋∠M＋∠N的度数.
解：在△ABC和△CGF中，
∵∠ACB＝∠GCF，∴∠G＋∠F＝∠ABC＋∠BAC.
在△ABC和△ANM中，
∵∠BAC＝∠MAN，∴∠M＋∠N＝∠ABC＋∠ACB.
在△ABC和△BDE中，
∵∠ABC＝∠DBE，∴∠D＋∠E＝∠ACB＋∠BAC.
∴∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠M＋∠N
＝(∠ACB＋∠BAC)＋(∠ABC＋∠BAC)＋(∠ABC＋∠ACB)
＝2(∠ABC＋∠BAC＋∠ACB)
＝2×180°＝360°.
解：在△ABC和△CGF中，
∵∠ACB＝∠GCF，∴∠G＋∠F＝∠ABC＋∠BAC.
在△ABC和△ANM中，
∵∠BAC＝∠MAN，∴∠M＋∠N＝∠ABC＋∠ACB.
在△ABC和△BDE中，
∵∠ABC＝∠DBE，∴∠D＋∠E＝∠ACB＋∠BAC.
∴∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠M＋∠N
＝(∠ACB＋∠BAC)＋(∠ABC＋∠BAC)＋(∠ABC＋∠ACB)
＝2(∠ABC＋∠BAC＋∠ACB)
＝2×180°＝360°.(共5张PPT)
第8章 三角形
8.3.2 用多种正多边形
1 用两种正多边形铺设地面
例1 不能用镶嵌的道理密铺地面的两种正多边形组合是( D )
A. 正三角形和正六边形
B. 正三角形和正方形
C. 正方形和正八边形
D. 正六边形和正八边形
D
变式1 用边长相等的两种正多边形进行密铺，若其中一种是正十二边
形，则另一种正多边形可以是( A )
A. 正三角形 B. 正方形
C. 正五边形 D. 正六边形
小结：用两种正多边形铺满地面的常见种类有：(1)正三角形和正方
形；(2)正三角形和正六边形；(3)正三角形和正十二边形；(4)正方形
和正八边形.
A
2 用两种以上正多边形铺设地面
例2 若用三种正多边形瓷砖铺满地面，则这样的正多边形可以是( A )
A. 正三、四、六边形
B. 正三、四、五边形
C. 正四、五、六边形
D. 正四、六、八边形
A
变式2 一幅美丽的图案，在某个顶点处由四个边长相等的正多边形镶嵌
而成，其中的三个分别为正三角形、正方形、正六边形，那么另外一个
是( B )
A. 正三角形 B. 正方形
C. 正五边形 D. 正六边形
小结：用给定的多种正多边形铺满地面和用一种正多边形铺满地面的原
理是相同的，都是要求围绕一点拼在一起的正多边形的几个内角和为
360°.
B(共10张PPT)
第8章 三角形
8.1.1 第2课时 三角形的中线、角平分线和高
1 三角形的中线
例1 如图，已知AD为△ABC的中线，AB＝10 cm，AC＝7 cm，AD＝7
cm，△ACD的周长为20 cm.
(1)求BC的长；
解：(1)∵AC＝7 cm，AD＝7 cm，△ACD的周长为20 cm，
∴CD＝6 cm.
∵AD是边BC上的中线，
∴BC＝2CD＝12 cm.
解：(1)∵AC＝7 cm，AD＝7 cm，△ACD的周长为20 cm，
∴CD＝6 cm.
∵AD是边BC上的中线，
∴BC＝2CD＝12 cm.
(2)求△ABD的周长.
解：(2)∵AD是边BC上的中线，
∴BD＝CD＝6 cm.
∵AB＝10 cm，AD＝7 cm，
∴△ABD的周长＝AB＋AD＋BD＝23 cm.
解：(2)∵AD是边BC上的中线，
∴BD＝CD＝6 cm.
∵AB＝10 cm，AD＝7 cm，
∴△ABD的周长＝AB＋AD＋BD＝23 cm.
变式1 如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，已知△ADC的周长比
△ABD的周长多5 cm，AB＝3 cm，BC＝6 cm.
(1)求CD的长；
解：(1)∵AD 是边BC上的中线，BC＝6 cm.
∴CD＝3 cm.
解：(1)∵AD 是边BC上的中线，BC＝6 cm.
∴CD＝3 cm.
(2)求AC的长.
解：(2)∵△ADC的周长比△ABD的周长多5 cm，AB＝3 cm，
∴(AC＋CD＋AD)－(AB＋BD＋AD)＝5 cm.
∴AC－AB＝5 cm.
∴AC＝5＋3＝8(cm).
解：(2)∵△ADC的周长比△ABD的周长多5 cm，AB＝3 cm，
∴(AC＋CD＋AD)－(AB＋BD＋AD)＝5 cm.
∴AC－AB＝5 cm.
∴AC＝5＋3＝8(cm).
2 三角形的角平分线
例2 如图，在△ABC中，已知AD是角平分线，∠BAC＝∠C，∠C＝
60°，求∠BAD的度数.
解：∵在△ABC中，∠BAC＝∠C，∠C＝60°，
∴∠BAC＝60°.
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝ ∠BAC＝ ×60°＝30°.
解：∵在△ABC中，∠BAC＝∠C，∠C＝60°，
∴∠BAC＝60°.
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝ ∠BAC＝ ×60°＝30°.
变式2 如图，CD是△ABC的角平分线，DE∥BC交AC于点E，∠AED
＝70°，求∠EDC的度数.
解：∵DE∥BC，
∴∠ACB＝∠AED＝70°.
∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠BCD＝ ∠ACB＝35°.
∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠BCD＝35°.
解：∵DE∥BC，
∴∠ACB＝∠AED＝70°.
∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠BCD＝ ∠ACB＝35°.
∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠BCD＝35°.
3 三角形的高
例3 如图，AD，CE是△ABC的两条高，AB＝4 cm，BC＝8 cm，CE
＝6 cm，求AD的长.
解：∵S△ABC＝ BC·AD＝ AB·CE，
∴8AD＝4×6.
∴AD＝3 cm.
解：∵S△ABC＝ BC·AD＝ AB·CE，
∴8AD＝4×6.
∴AD＝3 cm.
变式3 如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，CD⊥AB. 若AC＝8，BC
＝6，AB＝10，求CD的长.
解：∵CD⊥AB，
∴∠ACB＝∠CDB＝90°.
∴S△ABC＝ AC·BC＝ AB·CD.
∵AC＝8，BC＝6，AB＝10，
∴CD＝ ＝ ＝ .
解：∵CD⊥AB，
∴∠ACB＝∠CDB＝90°.
∴S△ABC＝ AC·BC＝ AB·CD.
∵AC＝8，BC＝6，AB＝10，
∴CD＝ ＝ ＝ .
与中线有关的三角形的面积问题
例4 如图，AD是△ABC的中线，若 ＝2，则S△ACD＝ .
1 (共8张PPT)
第8章 三角形
8.1.1 第1课时 三角形的有关概念及其分类
1 三角形的有关概念
例1 如图，看图填空.
(1)图中共有 个三角形，它们是
；
4
△ABC，△EBG，△AEF，
△CGF
(2)△BGE的三个顶点是 ，三条边是
，三个角是 ；
(3)在△AEF中，顶点A所对的边是 ，边AF所对的顶点
是 ；
(4)∠ACB是△ 的内角，∠ACB的对边是 ；
(5)△ABC的外角是 .
B，G，E
BE，EG，
BG
∠B，∠BEG，∠BGE
EF
E
ACB
AB
∠BCF
变式1 如图，看图填空.
(1)图中共有 个三角形；
(2)△ABE的顶点是 ，三个内角是
，三条边是 ；
(3)以B为顶点的三角形有 ；
8
A，B，E
∠B，∠BAE，
∠AEB
AB，BE，AE
△ABE，△BDC，△ABC
(4)以AC为边的三角形有 ；
(5)△AOD的外角有 ；
(6)以∠AOC为外角的三角形有 .
小结：三角形中内角的一边与另一边的反向延长线组成的角叫做三角形
的外角.
△ADC，△AEC，△ABC，△AOC
∠BDO，∠DOE，∠AOC
△AOD，△COE
2 三角形的分类
例2 下列分类正确的是( D )
A. 三角形可分为等腰三角形、等边三角形
B. 三角形可分为不等边三角形、等腰三角形以及等边三角形
C. 三角形可分为不等边三角形和等边三角形
D. 三角形可分为不等边三角形和等腰三角形
D
变式2 三角形按角分类可以分为( A )
A. 锐角三角形、直角三角形、钝角三角形
B. 等腰三角形、等边三角形、不等边三角形
C. 直角三角形、等腰直角三角形
D. 以上答案都不正确
A
小结：有两条边相等的三角形是等腰三角形，三条边都相等的三角形是
等边三角形.三角形按边可分为等腰三角形和不等边三角形，等边三角
形属于等腰三角形.三角形按角可分为锐角三角形、直角三角形和钝角
三角形.(共16张PPT)
第8章 三角形
章 末 复 习
等腰
等边
180°
等于
大于
360°
大于
相等
相等
(n－2)·180°
360°
1 三角形的相关概念
例1 如图，以BC为边的三角形有几个？以A为顶点的三角形有几个？分
别写出这些三角形.
解：以BC为边的三角形有4个，分别是△ABC，△DBC，△EBC，
△OBC；
以A为顶点的三角形有3个，分别是△ABE，△ADC，△ABC.
解：以BC为边的三角形有4个，分别是△ABC，△DBC，△EBC，
△OBC；
以A为顶点的三角形有3个，分别是△ABE，△ADC，△ABC.
2 三角形的角平分线、中线和高
例2 如图，在△ABC中，∠C＝90°，D，E是AC上两点，且AE＝
DE，BD平分∠EBC，那么下列说法中不正确的是( C )
C
A. BE是△ABD的中线
B. BD是△BCE的角平分线
C. ∠1＝∠2＝∠3
D. BC是△BDE的高
例3 如图，AD是△ABC的高，CE是△ABC的角平分线，BF是△ABC
的中线.
(1)若∠ACB＝50°，∠BAD＝65°，求∠AEC的度数；
解：(1)∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB＝90°.
∵∠BAD＝65°，
∴∠ABD＝90°－65°＝25°.
∵CE是△ACB的角平分线，∠ACB＝50°，
∴∠ECB＝ ∠ACB＝25°.
∴∠AEC＝∠ABD＋∠ECB＝25°＋25°＝50°.
解：(1)∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB＝90°.
∵∠BAD＝65°，
∴∠ABD＝90°－65°＝25°.
∵CE是△ACB的角平分线，∠ACB＝50°，
∴∠ECB＝ ∠ACB＝25°.
∴∠AEC＝∠ABD＋∠ECB＝25°＋25°＝50°.
(2)若AB＝9，△BCF与△BAF的周长差为3，求BC的长.
(2)∵BF是△ABC的中线，
∴AF＝FC.
∵△BCF与△BAF的周长差为3，
∴(BC＋CF＋BF)－(AB＋AF＋BF)＝3.
∴BC－AB＝3.
∵AB＝9，
∴BC＝12.
解：(2)∵BF是△ABC的中线，
∴AF＝FC.
∵△BCF与△BAF的周长差为3，
∴(BC＋CF＋BF)－(AB＋AF＋BF)＝3.
∴BC－AB＝3.
∵AB＝9，
∴BC＝12.
3 三角形的内角、外角
例4 如图，在△ABC中，BD是边AC上的高，∠A＝70°，CE平分
∠ACB交BD于点E，∠BEC＝115°，求∠ABC的度数.
解：∵BD是边AC上的高，
∴∠BDC＝90°.
∵∠BEC＝∠BDC＋∠ACE，
∴∠ACE＝∠BEC－∠BDC＝115°－90°＝25°.
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠ACE＝50°.
∴∠ABC＝180°－(∠A＋∠ACB)＝180°－(70°＋50°)＝60°.
4 三角形的三边关系及三角形的稳定性
例5 如图，下列图形中具有稳定性的是( B )
A. ①②③④ B. ①③
C. ②④ D. ①②③
B
例6 已知△ABC的三边长为a，b，c.
(1)若a＝2，b＝7，c为最长边且为整数，求△ABC的周长；
解：(1)∵a＝2，b＝7，
∴7－2＜c＜7＋2，
即5＜c＜9.
∵c为最长边且为整数，
∴c＝8.
∴△ABC的周长为2＋7＋8＝17.
解：(1)∵a＝2，b＝7，
∴7－2＜c＜7＋2，
即5＜c＜9.
∵c为最长边且为整数，
∴c＝8.
∴△ABC的周长为2＋7＋8＝17.
(2)化简：｜a＋b－c｜－｜b－a－c｜＋｜a＋b＋c｜.
解：(2)∵△ABC的三边长为a，b，c，
∴a＋b＞c，b＜a＋c.
∴a＋b－c＞0，b－a－c＜0，a＋b＋c＞0.
∴｜a＋b－c｜－｜b－a－c｜＋｜a＋b＋c｜
＝a＋b－c＋b－a－c＋a＋b＋c
＝a＋3b－c.
解：(2)∵△ABC的三边长为a，b，c，
∴a＋b＞c，b＜a＋c.
∴a＋b－c＞0，b－a－c＜0，a＋b＋c＞0.
∴｜a＋b－c｜－｜b－a－c｜＋｜a＋b＋c｜
＝a＋b－c＋b－a－c＋a＋b＋c
＝a＋3b－c.
5 多边形的内角和与外角和
例7 (2024泉州期末)已知一个多边形的边数为n.
(1)若n＝8，求这个多边形的内角和；
解：(1)这个多边形的内角和为(n－2)·180°＝(8－2)×180°＝1 080°.
解：(1)这个多边形的内角和为(n－2)·180°＝(8－2)×180°＝1 080°.
(2)若这个多边形的每个内角都比与它相邻的外角的3倍还多20°，求
n的值.
解：(2)设这个多边形的每个外角为x°，则每个内角为(3x＋20)°.
根据题意，得3x＋20＋x＝180.
解得x＝40.
∴n＝360°÷40°＝9.
解：(2)设这个多边形的每个外角为x°，则每个内角为(3x＋20)°.
根据题意，得3x＋20＋x＝180.
解得x＝40.
∴n＝360°÷40°＝9.
例8 如图，在△ABC中，∠A＋∠B＝140°，将纸片的一角折叠，使点
C落在△ABC内，求∠1＋∠2的度数.
解：∵∠A＋∠B＝140°，
∴∠C＝180°－140°＝40°.
∴∠CDE＋∠CED＝180°－∠C＝140°.
∴∠1＋∠2＝360°－(∠A＋∠B＋∠CED＋∠CDE)＝360°－280°＝
80°.
解：∵∠A＋∠B＝140°，
∴∠C＝180°－140°＝40°.
∴∠CDE＋∠CED＝180°－∠C＝140°.
∴∠1＋∠2＝360°－(∠A＋∠B＋∠CED＋∠CDE)＝360°－280°＝
80°.
6 用正多边形铺设地面
例9 两个多边形，一个多边形记为A，另一个多边形记为B，多边形A的
边数是多边形B的边数的2倍.
(1)若多边形A的内角和是多边形B的内角和的3倍，求多边形A和多边形
B的边数；
解：(1)设多边形B的边数为n，则多边形A的边数是2n，
∵多边形A的内角和是多边形B的内角和的3倍，
∴(2n－2)×180°＝3×(n－2)×180°.
解：(1)设多边形B的边数为n，则多边形A的边数是2n，
∵多边形A的内角和是多边形B的内角和的3倍，
∴(2n－2)×180°＝3×(n－2)×180°.
解得n＝4.
∴2n＝2×4＝8.
答：多边形A的边数是8，多边形B的边数是4.
解得n＝4.
∴2n＝2×4＝8.
答：多边形A的边数是8，多边形B的边数是4.
(2)在(1)的条件下，利用边长相等的A型正多边形瓷砖和B型正多边形瓷
砖镶嵌(不重叠、无缝隙地密铺)地面，在一个顶点的周围有a块A型正多
边形和b块B型正多边形瓷砖(ab≠0)，求a＋b的值.
解：(2)∵ab≠0，
∴a≠0，b≠0.
∵正四边形和正八边形内角分别为90°，135°，
由题意，得135a＋90b＝360.
∴3a＋2b＝8.
∴a＝2，b＝1.
∴a＋b＝2＋1＝3.
解：(2)∵ab≠0，
∴a≠0，b≠0.
∵正四边形和正八边形内角分别为90°，135°，
由题意，得135a＋90b＝360.
∴3a＋2b＝8.
∴a＝2，b＝1.
∴a＋b＝2＋1＝3.(共7张PPT)
第8章 三角形
8.1.3 三角形的三边关系
1 三角形的三边关系
例1 下列长度的三条线段能组成三角形的是( C )
A. 3，8，4 B. 4，4，10
C. 5，10，6 D. 11，5，6
变式1 下列所给的4组数据中，不能构成三角形的是( C )
A. 1，2，2 B. 2，3，4
C. 1，2，3 D. 2，4，5
C
C
例2 已知三角形三边长分别为2，5，x，则x的取值范围是( B )
A. 1＜x＜7 B. 3＜x＜7
C. 3＜x＜5 D. 2＜x＜5
B
变式2 已知一个三角形的两边长分别为6 cm和12 cm，则该三角形的第三
边的长可能是( C )
A. 4 cm B. 6 cm C. 10 cm D. 20 cm
小结：三角形三边满足任意两边之和大于第三边，明确边的大小关系时
可简化为两短边之和大于长边.
C
2 三角形的稳定性
例3 生活中，在电线杆上拉两条钢筋，来加固电线杆，其示意图如图所
示.这是利用了三角形的( A )
A
A. 稳定性
B. 全等性
C. 灵活性
D. 对称性
变式3 空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方
法应用的几何原理是( C )
C
A. 两点确定一条直线
B. 两点之间线段最短
C. 三角形的稳定性
D. 垂线段最短
三角形的三边关系与等腰三角形
例4 已知等腰三角形的两边长分别为3和4，求该三角形的周长.
解：当等腰三角形的底为3时，两腰长分别为4，4；
当等腰三角形的底为4时，两腰长分别为3，3.
∴三角形的周长为3＋4＋4＝11或3＋3＋4＝10.
综上所述，该三角形的周长为10或11.
解：当等腰三角形的底为3时，两腰长分别为4，4；
当等腰三角形的底为4时，两腰长分别为3，3.
∴三角形的周长为3＋4＋4＝11或3＋3＋4＝10.
综上所述，该三角形的周长为10或11.
