2024-2025学年辽宁省协作体高一（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年辽宁省协作体高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.关于平面向量，下列说法正确的是( )
A. 零向量没有方向
B. 两个单位向量是相等向量
C. 共线的两个向量方向相同
D. 若两个非零向量的和为零向量，则它们互为相反向量
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.若幂函数是偶函数，则( )
A. B. C. D. 或
4.某学校高一、高二、高三个年级的学生人数分别为，，，现按年级采用分层随机抽样的方法从中选取人，若按照样本比例分配，则高二年级被选中的学生人数为( )
A. B. C. D.
5.已知正数，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.已知，且，则“”是“函数在上单调速增”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.已知、是函数图象上不同的两点，则( )
A. B.
C. D.
8.先后投掷两枚质地均匀的骰子，表示事件“第一次投掷的骰子朝上的数字为”，表示事件“第二次投掷的骰子朝上的数字为”，表示事件“两次投掷的骰子朝上的数字之差的绝对值小于”，表示事件“两次投掷的骰子朝上的数字均为偶数”，则( )
A. 与相互独立 B. 与相互独立 C. 与相互独立 D. 与相互独立
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知点，，，，则( )
A. B.
C. D.
10.数据，，，，的平均数、中位数都是，则( )
A. 数据，，，，与数据，，，的平均数相等
B. 数据，，，，与数据，，，的方差相等
C. 数据，，，，与数据，，，的极差相等
D. 数据，，，，与数据，，，的中位数相等
11.已知函数的定义域为，，且当时，，则( )
A. B. C. D. 是增函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知事件与互斥，且，，则 ______．
13. ______．
14.已知是定义在上的奇函数，且当时，若，，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某地发起“低碳生活知识竞赛”活动，从参赛选手的答卷中随机抽取了份，将得分满分分进行适当的分组每组为左闭右开的区间，画出如图所示的频率分布直方图，且竞赛成绩落在内的人数为．
求，的值；
若该地计划按得分从高到低选取的参赛选手为低碳生活知识宣传员，估计当选宣传员的选手的最低分．
16.本小题分
已知函数．
证明：是奇函数．
求的值．
17.本小题分
如图，在等腰梯形中，，，，，与交于点，记，．
试用基底表示，；
记的面积为，的面积为，求的值．
18.本小题分
学校组织知识竞赛，题库中的试题分为，两种类型，每个学生选择两题作答，第一题从，两种试题中随机选择一题作答，学生若答对第一题，则第二题选择同一种试题作答的概率为，若答错第一题，则第二题选择同一种试题作答的概率为已知学生甲答对种试题的概率均为，答对种试题的概率均为，且每道试题答对与否互相独立．
求学生甲两题选择，两种试题作答的概率；
求学生甲两题均答对的概率．
19.本小题分
已知函数，且．
求的值；
若函数存在零点，求的取值范围；
若，证明：，．
参考答案
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15.解根据题意可得，解得，
又竞赛成绩落在内的人数为，
；
设估计当选宣传员的选手的最低分为，
竞赛成绩落在内的频率为，
竞赛成绩落在内的频率为，
又，
在内，
，解得，
当选宣传员的选手的最低分为分．
16.解：证明：函数，，
其定义域为，有，
故是奇函数；
根据题意，由的结论，，则有，
变形可得，
由于，，
故．
17.解：由图可知，因为，，
所以，
因为，，
所以；
即；
与交于点，设，，
，
，
所以，解得，，
设边上的高为，边上的高为，则，
则．
18.解：若学生甲第一题选择种试题作答，则第二题选择种试题作答的概率，
若学生甲第一题选择种试题作答，则第二题选择种试题作答的概率，
故学生甲两题选择，两种试题作答的概率；
若学生甲两题都选择种试题作答，则两道试题均答对的概率，
若学生甲两题都选择种试题作答，则两道试题均答对的概率，
若学生甲第一题选择种试题作答，第二题选择种试题作答，则两道试题均答对的概率，
若学生甲第一题选择种试题作答，第二题选择种试题作答，则两道试题均答对的概率，
故学生甲两题均答对的概率．
19.解：函数，且，
可得，即，
化为；
由可得，
若函数存在零点，即有解，即有，
即有解，
由，可得，
由于，，可得，当且仅当时，取得等号，
则，即有的取值范围是；
证明：若，则，
由在上递增，可得在上递减，即有在上递增，
当时，，则，
当时，，则，
由在上递增，可得，则．
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