2024-2025学年吉林省友好学校高二（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年吉林省友好学校高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.经过，两点的直线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
3.已知数列满足，且，则数列的前项和为( )
A. B. C. D.
4.已知方程表示双曲线，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
5.已知椭圆的上顶点、左焦点、右顶点分别为，，，且点为的垂心，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
6.在直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值是( )
A. B. C. D.
7.已知为抛物线的焦点，点，，在抛物线上，为的重心，则( )
A. B. C. D.
8.已知双曲线，以双曲线的右顶点为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若圆：与圆：相交，则的取值可能为( )
A. B. C. D.
10.已知等差数列的前项和为，公差为，，若，则下列命题正确的是( )
A. 数列是递增数列 B. 和是中的最小项
C. 是数列中的最小项 D. 满足的的最大值为
11.在棱长为的正方体中，点是棱的中点，点是底面内的一点包括边界，则下列说法正确的是( )
A. 存在点，使得的周长为
B. 存在点，使得
C.
D. 若点满足，则点的轨迹长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若点在抛物线上，则该抛物线的焦点到准线的距离为______．
13.已知向量，若共面，则 ______．
14.已知数列满足，，则 ______；对任意实数，总存在正整数，使得，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知点，在圆上，直线平分圆．
求圆的标准方程；
求过点且与圆相切的直线方程．
16.本小题分
已知椭圆的焦距为，离心率为，求椭圆的标准方程；
已知双曲线的渐近线方程为，虚轴长为，求双曲线的标准方程．
17.本小题分
如图，是圆柱下底面的圆心，该圆柱的轴截面是边长为的正方形，为线段上的动点，，为下底面上的两点，且，，交于点．
当时，证明：平面；
当为等边三角形时，求二面角的余弦值．
18.本小题分
已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于，两点，且．
求抛物线的方程；
抛物线的准线与轴交于点，过点的直线交抛物线于，两点，当时，求直线的方程．
19.本小题分
已知数列的前项和为，且，．
求的通项公式；
若，求数列的前项和；
若数列满足，记的前项和，判断是否存在正整数，使得成立？若存在，则求出所有值；若不存在，请说明理由．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：点，在圆上，且直线平分圆，
点，所成线段的中垂线过圆心，
此中垂线与直线的交点即为圆心，
点，所成线段的中垂线为：，即，
联立，可得圆心，
圆的半径，
圆：；
当切线的斜率不存在时，直线方程为，此时圆心到直线的距离，此时直线与圆相切；
当切线的斜率存在时，设切线的方程为，整理得，
有，解得，
可得切线方程为，整理为，
由知，过点且与圆相切的直线方程为或．
16.【答案】解：已知，则，又，
，则，
椭圆的标准方程为或；
若双曲线的焦点在轴上，
设方程为，
由已知可得，，解得，，
得双曲线的标准方程是；
若双曲线的焦点在轴上，
设方程为，
由已知可得，，解得，，
得双曲线的标准方程是．
综上所述，双曲线的标准方程为或．
17.【答案】证明：由题，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
此时，
由于，可求出，
因此，
设平面的法向量，
则令，则，即，
所以，即，
所以平面；
解：由则有，
设，若为等边三角形，则，
又，于是或舍去，
由知平面的法向量为，
，
设平面的法向量为，
则取，则，
设二面角为，由图知为锐角，．
18.【答案】解：由题意得，，设直线的方程为，，，
由，得，
，．
，
，
，抛物线的方程为．
，显然直线斜率不为零，设直线的方程为，，，
联立，得，，解得：或，
，，，，
，，
即，，解得，
直线的方程为，即．
19.【答案】解：由，得，
又，得，
当时，又，
两式作差得：，即，
又，则，
可得是以为首项，为公比的等比数列，
；
由，且，
得，
；
，，
则，
，
两式相减得，
，
由，得，则，
令，则，
可得数列是递增数列，
又，，
不存在正整数，使得，
即不存在正整数，使得成立．
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