2024-2025学年广东省深圳市盐田高级中学高一（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省深圳市盐田高级中学高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.对于实数，，，下列命题正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
3.下列函数，在其定义域内既满足又满足的是( )
A. B. C. D.
4.已知，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
5.下列结论中错误的是( )
A. 终边经过点的角的集合是
B. 扇形的圆心角为弧度，周长为，则它的面积为
C. 将表的分针拨慢分钟，则分针转过的角的弧度数是
D. 若是第三象限角，则是第二象限角
6.已知正实数、满足，则最小值为( )
A. B. C. D.
7.若函数且在上为减函数，则函数的图象可以是( )
A. B. C. D.
8.已知函数，下列说法正确的有( )
A. 存在实数，使的定义域为
B. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是
C. 对任意正实数，的值域为
D. 函数一定有最小值
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 命题“”的否定是“，”
B. 是的必要不充分条件
C. 函数的单调递减区间为
D. 函数且的图象恒过定点
10.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成如图，设扇形的面积为，其圆心角为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面为“美观扇面”，下列结论正确的是( )
A.
B. 若，扇形的半径，则
C. 若扇面为“美观扇面”，则
D. 若扇面为“美观扇面”，半径，则扇形面积为
11.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如，若，，则下列说法正确的是( )
A. 函数的值域为
B.
C. 当时，
D. 函数在上单调递减
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.计算： ______．
13.已知，，则的值为______．
14.设函数，若关于的函数恰好有五个零点，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设全集，已知集合，集合，
求和；
若且，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知角以轴的非负半轴为始边，点在角的终边上，且，
求及的值；
求的值．
17.本小题分
已知幂函数是定义在上的偶函数．
求函数的解析式；
当时，求函数的最值，并求对应的自变量的值．
18.本小题分
已知函数．
若在区间上单调递减，求的取值范围．
求关于的不等式的解集．
19.本小题分
已知偶函数和奇函数的定义域均为，且．
求函数和的解析式；
若，不等式恒成立，求实数的取值范围；
若，且在上的最小值为，求的值．
参考答案
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15.由，得，则，
解，得，则，
所以，，
则或．
因为，所以，
而，，
当时，则，且，解得，则；
当时，则，解得，满足题意；
综上，实数的取值范围为，．
16.解：因为角以轴的非负半轴为始边，点在角的终边上，且，
又因为，
可得，
所以或舍，
可得；
由题意
．
17.解：根据题意可得，
即，
所以，解得或，
又函数是定义在上的偶函数，
所以，，
所以函数的解析式为；
由可知，
因为，所以，
所以当，即时，函数的最小值为；
当时，，函数的最大值为．
18.解：当时，的单调递减区间为，满足题意，
当时，因为在上单调递减，
所以，
解得，
综上所述，的取值范围为；
由可得，，
当时，由，
解得；
当时，方程的两根为，
当时，，解不等式得，
当时，，解不等式得或，
当时，，解不等式得或，
当时，由得，
综上，当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为．
19.解：因为，
此时，
因为偶函数和奇函数，
所以，
联立，
解得；
因为，
若不等式恒成立，
此时恒成立，
令，，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，
则恒成立，其中，
当时，，
此时，，恒成立，
当时，，，
令，
因为，
当且仅当，即时，等号成立，
则实数的取值范围为；
易知
，
令，
易知函数在上单调递增，
所以，
可得在上的最小值为，
当时，在上单调递增，
所以当，即时，取得最小值，最小值为，
令，
解得，不成立，
当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得最小值，最小值为，
令，
解得或舍去．
综上所述：．
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