2024-2025学年江苏省无锡市江阴市某校高二（上）学情调研数学试卷（12月份）（含答案）

2024-2025学年江苏省无锡市江阴市某校高二（上）学情调研
数学试卷（12月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
2.抛物线的焦点到准线的距离为( )
A. B. C. D.
3.已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则( )
A. B. C. D.
4.已知为递增的等差数列，，，若，则( )
A. B. C. D.
5.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈这就是数学史上著名的“冰雹猜想”又称“角谷猜想”等如取正整数，根据上述运算法则得出现给出“冰雹猜想”的递推关系如下：已知数列满足：为正整数，当时，使得的最小正整数值是( )
A. B. C. D.
6.为直线上一点，过总能作圆的切线，则的最小值( )
A. B. C. D.
7.在三棱锥中，为的重心，，，，，若交平面于点，且，则的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
8.已知，分别为双曲线：左、右焦点，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，且，，则双曲线的离心率是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，下列命题正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则的虚部为
C. 若，则 D. 若，则
10.下列结论正确的是( )
A. ，若，则或
B. 直线和以，为端点的线段相交，则或
C. 直线与直线之间的距离是
D. 与点的距离为，且与点的距离为的直线共有条
11.抛物线的焦点为，为其上一动点，当运动到时，，直线与抛物线相交于，两点，点，下列结论正确的是( )
A. 抛物线的方程为
B. 存在直线，使得、两点关于对称
C. 的最小值为
D. 当直线过焦点时，以为直径的圆与轴相切
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知椭圆的方程为，则它的焦点坐标为______．
13.已知点，，，则的外接圆的标准方程为______．
14.如图，两条异面直线，所成角为，在直线上，分别取点，和点，，使且已知，，则线段的长为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知 ，，，是复平面上的四个点，且向量，对应的复数分别为，．
Ⅰ若，求，
Ⅱ若，为实数，求，的值．
16.本小题分
已知圆：，过点的直线与交于点，，且．
求圆的圆心坐标和半径：
求的方程；
设为坐标原点，求的值．
17.本小题分
已知等差数列的公差为正数，与的等差中项为，且．
求的通项公式；
从中依次取出第项，第项，第项，，第项，按照原来的顺序组成一个新数列，判断是不是数列中的项？并说明理由．
18.本小题分
在三棱锥中，平面平面，为等腰直角三角形，，，，为的中点．
Ⅰ求证：；
Ⅱ求与平面所成角的正弦值；
Ⅲ在线段上是否存在点使得平面平面？若存在，求出的值，若不存在，说明理由．
19.本小题分
已知椭圆的短轴长与焦距相等，且椭圆过点，斜率为的直线过椭圆的右焦点，且与椭圆交于，两点，是线段的中点，射线与椭圆于点．
求椭圆方程；
若直线，求点的坐标；
是否存在正数，使四边形是平行四边形？若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由．
参考答案
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12.，
13.
14.或
15.解：Ⅰ向量，对应的复数分别为，．
．
，．
解得．
，．
Ⅱ，为实数，
，，
，解得，
，解得．
，．
16.解：将圆：化为标准方程，
可得，
故圆心，半径；
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
在圆：中，
令，得，解得，
此时，与题意矛盾；
所以直线的斜率存在，设斜率为，
则直线的方程为，即，
因为，
所以圆心到直线的距离，
所以，解得，
所以直线的方程为，
综上所述，直线的方程为；
设，，
联立，消得，
则，
故，
所以．
17.解：设等差数列的公差为，
根据等差中项的性质可得与的等差中项为，所以，
又因为，即．
所以，，因为公差为正数，所以则，则，
的通项公式．
结合可知．
令，即，符合题意，即．
所以是数列中的项．
18.证明：取中点，连接，．
，，
平面平面，平面平面，
平面．
是的中点，，
，
又，平面
平面，平面，
．
以为原点，以，，为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，．
，，．
设平面的法向量为，则，
，令得，．
与平面所成角的正弦值为．
，，，．
设线段上存在点使得平面平面．
设，则．
设平面的法向量为，则，
，设得
平面平面，．
即，解得．
线段上存在点，即当时，使得平面平面．
19.解：由题可得，解得：，
所以椭圆方程为，
设，，由可得，
因为，所以，
联立，化简可得，则，
所以，，
由中点坐标公式可得，
所以：，
联立，解得：，
由题可知，点位于一象限，所以；
存在，理由如下：
由题意可得：，如图，设，，
设存在正数，使四边形是平行四边形，则，
联立，化简得，
则，
所以，
则，
因为，所以，
由点在椭圆上，所以，
化简可得，即，
由，所以，
所以存在正数，使四边形是平行四边形，直线的方程为．
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