上海市浦东新区2025届高三上学期期末教学质量检测数学试卷（含答案）

上海市浦东新区2025届高三上学期期末教学质量检测数学试卷
一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若实数、满足，下列不等式中恒成立的是( )
A. B. C. D.
2.设、为两条直线，、为两个平面，且下述四个命题中为假命题的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若且，则 D. 若，则或
3.对一组数据，，，，，，，，，若任意去掉其中一个数据，剩余数据的统计量一定会发生变化的为( )
A. 中位数 B. 众数 C. 平均数 D. 方差
4.设函数，的定义域均为，值域分别为、，且若集合满足以下两个条件：；是有限集，则称和是互补函数．给出以下两个命题：存在函数，使得和是互补函数；存在函数，使得和是互补函数．则( )
A. 都是真命题 B. 是真命题，是假命题
C. 是假命题，是真命题 D. 都是假命题
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.若对数函数且的图象经过点，则实数 ．
6.直线的倾斜角 ．
7.已知复数，，，若为纯虚数，则 ．
8.的展开式中的系数为 用数字作答
9.在中，，，，则 ．
10.已知实数、满足，则的最小值为 ．
11.若等差数列满足，，则 ．
12.已知函数的表达式为，则不等式的解集为 ．
13.已知双曲线的左、右焦点分别为、，双曲线上的点在第一象限，且与双曲线的一条渐近线平行，则的面积为 ．
14.某地要建造一个市民休闲公园长方形，如图，边，边，其中区域开挖成一个人工湖，其他区域为绿化风景区．经测算，人工湖在公园内的边界是一段圆弧，且、位于圆心的正北方向，位于圆心的北偏东方向．拟定在圆弧处修建一座渔人码头，供游客湖中泛舟，并在公园的边、开设两个门、，修建步行道、通往渔人码头，且、，则步行道、长度之和的最小值是 精确到
15.已知空间中三个单位向量、、，，为空间中一点，且满足，，，则点个数的最大值为 ．
16.已知在复数集中，等式对任意复数恒成立，复数，，，在复平面上对应的个点为某个单位圆内接正方形的个顶点，，则满足条件的不同集合个数为 ．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知函数的表达式为，．
若函数的最小正周期为，求的值及的单调增区间；
若，设函数的表达式为，求当时，的值域．
18.本小题分
如图，已知为圆柱底面圆的直径，，母线长为，点为底面圆的圆周上一点．
若，求三棱锥的体积；
若，求异面直线与所成的角的余弦值．
19.本小题分
申辉中学为期两周的高一、高二年级校园篮球赛告一段落．高一小、高二小分别荣获了高一年级和高二年级比赛的年级最有价值球员以下是他们在各自场比赛的二分球和三分球出手次数及其命中率．
二分球出手 二分球命中率 三分球出手 三分球命中率
小 次 次
小 次 次
现以两人的总投篮命中率二分球三分球较高者评为校总投篮命中率总命中次数总出手次数
小认为，目测小的二分球命中率和三分球命中率均高于小，此次必定能评为校，试通过计算判断小的想法是否准确？
小是游戏爱好者，设置了一款由游戏人物小、小轮流投篮对战游戏，游戏规则如下：游戏中小的命中率始终为，小的命中率始终为，游戏中投篮总次数最多为次，且同一个游戏人物不允许连续技篮．游戏中若投篮命中，则游戏结束，投中者获得胜利；若直至第次投篮都没有命中，则规定第二次投篮者获胜．若每次游戏对战前必须设置“第一次投篮人物”和“”的值，请解答以下两个问题．
(ⅰ)若小第一次投篮，请证明小获胜概率大；
(ⅱ)若小第一次投篮，试问谁的获胜概率大？并说明理由．
20.本小题分
已知椭圆的左、右焦点分别为、，过坐标原点的直线交椭圆于、两点，点在第一象限．
若，求点的坐标；
求的取值范围；
若轴，垂足为，连结并延长交椭圆于点，求面积的最大值．
21.本小题分
过曲线上一点作其切线，若恰有两条，则称为的“类点”；过曲线外一点作其切线，若恰有三条，则称为的“类点”；若点为的“类点”或“类点”，且过存在两条相互垂直的切线，则称为的“类点”．
设，判断点是否为的“类点”，并说明理由；
设，若点为的“类点”，且过点的三条切线的切点横坐标可构成等差数列，求实数的值；
设，证明：轴上不存在的“类点”．
参考答案
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17.解：
因为，所以，解得，
，
令，解得，
故单调递增区间为；
，，
时，，故，
所以．

18.解：
依题意，平面，由，得，
所以三棱锥的体积．
过点作圆柱的母线，连接，
则，于是四边形为平行四边形，，
因此是异面直线与所成的角或其补角，
由，得，，，
则，，
由平面，得，
在中，，
所以异面直线与所成的角的余弦值为．

19.解：由题意小总出手次，命中次，命中率为：，
小总出手次，命中次，命中率为，
故小获校，所以小的想法不正确；
证明：若第一次投篮人物为小，，
小获胜的概率为，小获胜的概率为，
则，
所以若小第一次投篮，小获胜概率大，
(ⅱ)若第一次投篮人物为小，，
小获胜的概率为，小获胜的概率为，
则
，
其中
由指数函数的单调性可知：随着的增大而增大，
计算可得：，
所以当也就是时，，
当也就是时，，
综上：若小第一次投篮，时，小获胜概率大，
时，小获胜概率大．

20.解：
由椭圆方程可知：，则，
设直线，，
可得，解得，
则，解得，
则，即，所以．
因为，
可得，
则，
因为，则，
可得
所以的取值范围为．
设，
由题意可知：，
则，且，
因为点均在椭圆上，则，两式相减得，
整理可得，即，
则，即，可知，
又因为，则，
可得面积
，
设，则，
当时，；当时，；
可知在内单调递增，在内单调递减，则，
所以面积的最大值为．

21.解：
函数，，点在上，求导得，
设切点为，切线方程为，即，
由切线过，得，，解得或，
因此切线方程为，所以点为的“类点”．
函数，求导得，设切点为，
切线方程为，即，
切线过，则，
依题意，方程有三个不同解，且成等差数列，设为，公差为，
，
因此，则，，则，
当时，，不过，
所以的值为．
假设轴上存在函数的 “类点”，记为，设坐标为，
求导得，设切点为，切线方程为，
即，由切线过，得，此方程至少有两个不同解，
设，则，由，得或，
当时，，函数是上的严格减函数，
当时，为上的严格增函数，
函数的极小值，极大值，又，
当或时，方程有两个不同解，当时，方程有三个不同解，
当时，在上，其余情况下在外，则
设两垂直切线的斜率为，对应方程的两根为，
则，由，
得，则有，
由，得异号，不妨设，
由均值不等式知，，
则，与矛盾，即不存在，
所以轴上不存在的“类点”．

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