2024-2025学年河北省保定市唐县一中高三（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年河北省保定市唐县一中高三（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若，则在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.在正四棱锥中，，二面角的大小为，则该四棱锥的体积为( )
A. B. C. D.
4.已知展开式各项系数之和为，则展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
5.在某班进行的歌唱比赛中，共有位选手参加，其中位女生，位男生．如果位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的不同排法种数为( )
A. B. C. D.
6.函数的部分图象如图所示，图象上的所有点向左平移个单位长度得到函数的图象若对任意的都有，则图中的值为( )
A.
B.
C.
D.
7.已知数列的通项公式，在其相邻两项，之间插入个，得到新的数列，记的前项和为，则使成立的的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知点，是椭圆的左、右焦点，点为椭圆上一点，点关于的角平分线的对称点也在椭圆上，若，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 一组样本数据的方差，则这组样本数据总和为
B. 数据，，，，，，，，，的第百分位数是
C. 若一个样本容量为的样本的平均数是，方差为现样本中又加入一个新数据，此时样本的平均数不变，方差变大
D. 若样本数据，，，的标准差为，则数据，，，的标准差为
10.已知直线：和圆：相交于，两点，则下列说法正确的是( )
A. 直线过定点
B. 的最小值为
C. 的最小值为
D. 圆上到直线的距离为的点恰好有三个，则
11.已知函数及其导函数的定义域均为，若函数，都为偶函数，令，则下列结论正确的有( )
A. 的图象关于对称 B. 的图象关于点对称
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是 ．
13.在中，是边的中点，是线段的中点设，记，则 ；若，的面积为，则当 时，取得最小值．
14.已知函数，若关于的不等式有解，则的最小值是______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某社区对安全卫生进行问卷调査，请居民对社区安全卫生服务给出评价问卷中设置仅有满意、不满意现随机抽取了名居民，调查情况如表：
男居民 女居民 合计
满意
不满意
合计
利用分层抽样的方法从对安全卫生服务评价为不满意的居民中随机抽取人，再从这人中随机抽取人，求这人中男、女居民各有人的概率；
试通过计算判断能否在犯错误的概率不超过的情况下认为男居民与女居民对社区安全卫生服务的评价有差异？
附：，．
16.本小题分
如图，在三棱柱中，平面平面，，，为的中点．
证明：平面；
求平面与平面夹角的余弦值．
17.本小题分
的内角，，的对边分别为，，，已知．
若，，求的面积；
若角为钝角，求的取值范围．
18.本小题分
已知抛物线：经过点，直线：与的交点为，，且直线与倾斜角互补．
求抛物线在点处的切线方程；
求的值；
若，求面积的最大值．
19.本小题分
已知正项数列的前项和为，首项．
若，求数列的通项公式；
若函数，正项数列满足：．
讨论单调性；
证明：；
证明：．
参考答案
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8.
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14.
15.解：由表中数据知，，解得；
所以补充列联表如下：
男居民 女居民 合计
满意
不满意
合计
用分层抽样法抽取人，则男居民抽取人，女居民抽取人，
再从这人中随机抽取人，这人中男、女居民各有人的概率为
；
由表中数据，计算，
所以能在犯错误的概率不超过的情况下，认为男居民与女居民对社区安全卫生服务的评价有差异．
16.证明：因为为的中点，且，
所以在中，有，且，
又平面平面，且平面平面，
所以平面，
又平面，则，
由，，得，
因为，，，
所以，所以，
又，，，平面，
所以平面．
解：如图所示，以为原点，建立空间直角坐标系，
可得，，，
所以，，
设平面的法向量为，
由
令，得，，所以，
由知，平面，
所以平面的一个法向量为，
记平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
17.解：因为，
所以由余弦定理可得：，
由正弦定理得：，
又因为，
则有，
因为，所以，则，
因为，所以．
由余弦定理得：，
因为，所以，解得，
所以的面积．
因为为钝角，所以，解得，
由正弦定理，得，且，
代入化简得：．
因为，所以，，即，
所以的取值范围是．
18.解：根据题意可知，，解得，因此的方程为，
所以，那么导函数，
所以抛物线在点的切线斜率为，
那么切线方程为，
所以切线方程为．
如图所示：
设，，将直线的方程代入，
得，根据韦达定理可得，，
由于直线与倾斜角互补，
因此，
所以，
因此，
所以，解得．
根据前两问可知，，因此根据韦达定理可得，，
所以，
由于根的判别式，因此，所以，
又因为点到直线的距离为，
因此，
由于
，
因此，当且仅当，即时，等号成立，
因此三角形面积最大值为．
19.解：若，
当时，，
两式相减得，
即，
因为，
所以，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
则数列的通项公式为；
设，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以函数在上单调递减，在上单调递增；
证明：由知，，
即，
所以，
可得，
当时，，
当时，，
所以，
所以
；
证明：易知，
此时，
解得，
当时，，
所以，
当时，，
因为，
所以，恒成立，
当时，，
因为，
所以当时，，
当时，，
此时
，
所以．
则．
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