2024-2025学年辽宁省鞍山市育英学校高三（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年辽宁省鞍山市育英学校高三（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，则在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.青少年的身高一直是家长和社会关注的重点，它不仅关乎个体成长，也是社会健康素养发展水平的体现某市教育部门为了解本市高三学生的身高状况，从本市全体高三学生中随机抽查了人，经统计后发现样本的身高单位：近似服从正态分布，且身高在到之间的人数占样本量的，则样本中身高不低于的约有( )
A. 人 B. 人 C. 人 D. 人
4.已知，则( )
A. B. C. D.
5.在四面体中，和均是边长为的等边三角形，已知四面体的四个顶点都在同一球面上，且是该球的直径，则四面体的体积为( )
A. B. C. D.
6.“赛龙舟”是端午节重要的民俗活动之一，登舟比赛的划手分为划左桨和划右桨某训练小组有名划手，其中有名只会划左桨，名只会划右桨，名既会划左桨又会划右桨现从这名划手中选派名参加比赛，其中名划左桨，名划右桨，则不同的选派方法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
7.已知平行四边形中，，，对角线与相交于点，点是线段上一点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.若为双曲线的左焦点，过原点的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某同学最近次考试的数学成绩为，，，，，则( )
A. 成绩的第百分位数为 B. 成绩的极差为
C. 成绩的平均数为 D. 若增加一个成绩，则成绩的方差变小
10.已知椭圆：的左、右焦点分别为、，上、下两个顶点分别为、，的延长线交于，且，则( )
A. 椭圆的离心率为 B. 直线的斜率为
C. 为等腰三角形 D.
11.已知函数的定义域为，其导函数为，若函数的图像关于点对称，，且，则( )
A. 的图像关于点对称 B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合，，若，则实数的值为______．
13.已知定义在区间上的函数的值域为，则的取值范围为______．
14.已知实数，，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知是等差数列，，且，，成等比数列．
求的通项公式；
若数列满足，且，求的前项和．
16.本小题分
如图，已知四棱锥，底面是平行四边形，且，，，是线段的中点，．
求证：平面；
下列条件任选其一，求二面角的余弦值．
与平面所成的角为；
到平面的距离为．
注：如果选择多个条件分别解答，按一个解答计分．
17.本小题分
某类型的多项选择题设置了个选项，一道题中的正确答案或是其中个选项、或是其中个选项该类型题目评分标准如下：每题满分分，若未作答或选出错误选项，则该题得分；若正确答案是个选项，则每选对个正确选项得分；若正确答案是个选项，则每选对个正确选项得分甲、乙、丙三位同学各自作答一道此类题目，设该题正确答案是个选项的概率为．
已知甲同学随机等可能选择了个选项作答，若，求他既选出正确选项也选出了错误选项的概率；
已知乙同学随机等可能选出个选项作答，丙同学随机等可能选出个选项作答，若，试比较乙、丙两同学得分的数学期望的大小．
18.本小题分
已知圆过点，和，且圆与轴交于点，点是抛物线：的焦点．
求圆和抛物线的方程；
过点作直线与抛物线交于不同的两点，，过点，分别作抛物线的切线，两条切线交于点，试判断直线与圆的另一个交点是否为定点，如果是，求出点的坐标；如果不是，说明理由．
19.本小题分
定义：函数满足对于任意不同的，，都有，则称为上的“类函数”．
若，判断是否为上的“类函数”；
若为上的“类函数”，求实数的取值范围；
若为上的“类函数”，且，证明：，，．
参考答案
1.
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4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.解：因为是等差数列，，设公差为，
由题可得，
解得，
则，
故；
由，得，
所以，
所以当时，
，
又，上式也成立，所以，
即，
所以
．
16.证明：因为，且，故B，
在中，，
由余弦定理可得：，
解得，在中，，
所以，即，
又因为，，平面，平面，
所以平面；
解：选，取中点为，连接，，如图所示：
因为，故E，由得平面，
因为平面，所以，
因为，平面，平面，
所以平面，所以为与平面所成的角，
即，因为，，
所以为等边三角形，且边长为，所以，，
由可得，
因为，，
所以，所以为等边三角形，
以为原点，为在，，轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系：
则，
，
设是平面的法向量，
则，即，
取，可得平面的法向量，
设为平面的法向量，
则，即，
取，可得平面的法向量，
设二面角所成的角为，则，
所以二面角的余弦值为．
选，取中点为，连接，，如图所示：
因为，故E，由得平面，
因为平面，所以，
因为，平面，平面，所以平面，
设到平面的距离为，
因为，，所以等边三角形，
所以，，设，则，
因为，所以，
因为，为中点，所以，
所以，由，，，平面，平面，所以平面，
因为平面，所以，即，
所以，因为，
即，
即，
解得，即，所以，所以为等边三角形，
以为原点，为在，，轴正方向建立如图所示空间直角坐标系：
所以，，
设是平面的法向量，
则，
取，可得平面的法向量，
设为平面的法向量，
则，
取，可得平面的法向量，
设所成的角为，则，
所以二面角的余弦值为．
17.解：事件为该题的正确答案是个选项，则为该题的正确答案是个选项，即，，
由得，，，
设事件为甲同学既选出正确选项也选出错误选项，
则，，则；
由得，，，
设表示乙同学答题得分，
则的取值范围为，
则，
，
，
所以，
设表示乙同学答题得分，
则的取值范围为，
则，
，
，
所以，即，
故乙同学得分数学期望小于丙同学得分数学期望．
18.解点，和，
可得的中点，，
所以线段的中垂线的方程为，即，
线段的中垂线的方程为，
联立，可得，，
所以圆心，圆的半径，
所以圆的方程为：，
令，可得，
由题意可知抛物线的焦点坐标为，所以抛物线的方程为；
所以圆的方程为：，抛物线的方程为；
显然直线的方程的向量存在，设直线的方程为，设，，
联立，整理可得，
，可得，
且，，
因为抛物线的方程，则，
则在点处的斜率，
所以在点处的切线方程为，即，
同理在点处的切线方程为，
联立，解得，，
即，
所以的方程为，
即，
联立，整理可得：，
解得或，
可得或，
所以直线与圆的交点
19.解：对于任意不同的，，不妨设，即，
则，
所以为上的“类函数”；
因为为上的“类函数”，
对于任意不同的，，不妨设，
则恒成立，
可得，
即，均恒成立，
构建，，则，
由可知在内单调递增，
可知在内恒成立，即在内恒成立；
同理可得：内恒成立；
即在内恒成立，
又因为，即，
整理得，可得，
即在内恒成立，
令，
因为，在内单调递增，则在内单调递增，
当，；当，；可知，
可得在内恒成立，
构建，则，
当时，；当时，；
可知在内单调递增，在内单调递减，则，
构建，则在内恒成立，
可知在内单调递减，则；
可得，所以实数的取值范围为；
证明：当，可得，符合题意，
(ⅱ)当，因为为上的“类函数”，不妨设，
若，则，
若，则
，
综上所述：，，．
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