2024-2025学年重庆市南开中学高三（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年重庆市南开中学高三（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集，集合，，( )
A. B.
C. D.
2.在复平面内，复数对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.如图，在正四棱锥中，为棱的中点，设，则用表示为( )
A.
B.
C.
D.
4.已知某班级将学生分为个不同的大组，每个大组均有名学生，现从这个班级里抽取名学生参加年级活动，要求每个大组至少有名同学参加，则不同的抽取结果共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
5.已知，，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.已知函数的定义域为，，，则下列选项一定正确的是( )
A.
B.
C.
D. 的图象关于直线对称
7.在锐角中，，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.在正四棱台中，，，且正四棱台存在内切球，则此正四棱台外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数的图象关于直线对称，则( )
A. 的最小正周期为 B. 的图象关于点对称
C. 在上有最小值 D. 在上有两个极值点
10.设等差数列的前项和为，公差为，已知，，则下列说法正确的是( )
A. 的最小值为 B. 满足的最小值是
C. 满足的最大值是 D. 数列的最小项为第项
11.在棱长为的正方体中，为棱中点，为侧面的中心，为线段含端点上一动点，平面交于，则( )
A. 三棱锥的体积为定值
B. 的最小值为
C.
D. 平面将正方体分成两部分，这两部分的体积之比为：
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知非零向量满足：，且，则 ______．
13.若，则 ______．
14.已知点，点，为圆：上的动点，且记线段中点为，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数在处的切线与直线平行，其中．
求的值；
求函数在区间上的最值．
16.本小题分
某科技公司研发了一种新型的模型，用于图像识别任务为了测试该模型的性能，对其进行了次试验，并记录了每次试验中模型正确识别图像的数量，得到如下的样本数据频率分布直方图．
估计这次试验中该模型正确识别图像数量的均值同一组中的数据用该组区间的中点值作代表；
以频率估计概率，随机对该模型进行次试验，用表示这次试验中正确识别图像数量不少于个的次数，求的分布列和数学期望．
17.本小题分
在空间几何体中，底面是边长为的菱形，其中，，，．
求证：平面；
求二面角的正弦值．
18.本小题分
已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．
求双曲线的方程；
设直线与双曲线、圆：相切，切点分别为，，与渐近线相交于，两点．
证明：为定值；
若，求直线的方程．
19.本小题分
集合为集合的子集，若数列满足：，恒为的倍数，则称与“相关”．
若，请写出一个不同于数列且首项为的等差数列，使得与“相关”无需证明；
若数列满足：．
证明：数列为等比数列，并求出；
若，与“相关”，求所有满足条件的集合．
参考答案
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15.解：，
故，而切线的斜率是，
故，解得：．
由得，
，
令，解得：或，
令，解得：，
故函数在递减，在递增，
而，，，
故在的最小值是，最大值是．
16.解：估计这次试验中该模型正确识别图像数量的均值为；
由频率分布直方图可知，每次试验中正确识别图像数量不少于个的概率为，
则，的所有可能取值为，，，，
则，
，
，
，
所以的分布列为：


所以．
17.解：证明：在中，，
取中点，连接，，，
，，四边形为平行四边形，
，
又四边形为菱形，，
，
在中，，
，，
，
平面；
取中点，连接，四边形为菱形，，
，
由，平面，
、、两两垂直，
以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，如图所示建立空间直角坐标系，
则，，，，
设平面的法向量，
又，，
则，
取，
设平面的法向量，，，
则，
取，
，
记二面角的平面角为，
则，
二面角的正弦值为．
18.解：因为双曲线的右焦点为，渐近线方程为，
所以，
解得，
则双曲线的标准方程为；
证明：当与轴垂直时，直线的方程为，
可得，，
此时；
当直线与轴不垂直时，
设直线的方程为，，，，，
联立，消去并整理得，
此时且，
解得，
易知，，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，，
所以
，
因为，
所以，
综上所述，；
因为直线与圆相切，
所以，
设直线为：，
联立，
解得
易知，
所以，
又，
所以，
所以，．
则直线的方程为．
19.解：满足要求即可．
因为，，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
即，
两边同除以，有，
而，，
因此是以为首项，为公比的等比数列，
则，所以．
当时，不是的倍数，
当时，
，
故只需为整数．
时，，不是整数．
时，，不是整数．
时，，
而，
当为偶数，，即，，
此时，．
当为奇数，．
综上，满足条件集合是的子集．
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