河北省省级联考2025届高三上学期1月期末数学试题（含答案）

河北省省级联考2025届高三上学期1月期末数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.在的二项展开式中，的系数为( )
A. B. C. D.
3.已知等比数列的前项积为，若，则( )
A. B. C. D.
4.已知圆被直线所截，则截得的弦长为( )
A. B. C. D.
5.设函数，已知，，且的最小值为，则( )
A. B. C. D.
6.已知某一指数其中数据为常数，且可以用来检测某一特殊海域的水质情况，其中指数的值越大，水质越好若数据由变化为，对应的指数由提高到，则( )
A. B. C. D.
7.已知四棱锥中，底面为边长为的正方形，，，则直线到平面的距离为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，则下列说法正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则的虚部为
C. 若，则 D. 若，则
10.已知正数，满足，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
11.已知抛物线，直线，为坐标原点，若，两点在抛物线上，则下列说法正确的是( )
A.
B. 抛物线的准线方程为
C. 若直线与抛物线交于，两点，则
D. 若直线与抛物线交于，两点，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知公差大于的等差数列满足，，则数列的前项和为 ．
13.在边长为的等边三角形中，点为边的中点，点在三角形所在的平面内，且满足，则的最大值为 ．
14.最近全国各地的旅游十分火爆，某旅游公司根据市场调研的情况推出了，两个旅游路线方案，通过实践发现，选择方案旅游路线与选择方案旅游路线的游客比为，该公司为了激励大家消费，设立优惠项目，即选择方案旅游路线优惠元，选择方案旅游路线优惠元每位游客的选择相互独立，已知旅游公司的总优惠金额恰为的概率为，，则的关系式为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，已知角为钝角，，C.
求角
若过作垂直于点，求的最大值．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，点在线段上，满足，点为的中点．
证明：平面
若平面，求直线与平面所成角的正弦值
在的条件下，求平面与平面所成角的余弦值．
17.本小题分
已知点，分别为椭圆的左、右焦点，点，分别为椭圆的左、右顶点，点在椭圆上，且满足直线与直线的斜率之积为．
求椭圆的离心率
若，直线与椭圆的另一个交点为，且直线与直线相交于点，为坐标原点，求的取值范围．
18.本小题分
已知函数，，
若，函数在上单调递减，求实数的取值范围
若，，求函数在上的零点个数．
19.本小题分
已知有限数列满足，若给定一个正整数，在数列中存在一项或一些连续项的和为，其中的值可以取遍中的所有元素，则称数列为级可分解数列．
数列，，是否为级可分解数列是否为级可分解数列请说明理由
若有限数列为级可分解数列，则数列的项数最少为多少
若有限数列为级可分解数列，且，判断数列的项数是否最少为项，请说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.．
14.，
15.解：由可得，，
因为角为钝角，所以，所以，即，
根据正弦定理可得，因为，所以，
又角为钝角，所以．
根据题意可知，，可得，
根据余弦定理可得，，即，
可得，可得，当且仅当时等号成立，
所以的最大值为．
16.解：取点为的中点，连接，，
因为点为的中点，所以，，
又，且，
所以，，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又平面，平面，所以平面．
因为平面，平面，
所以平面平面，又，平面平面，
平面，
所以平面，
所以直线与平面所成角为，
设，则，
因为，
又，所以，，易得，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
在的条件下，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过点作平行于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，，，
，，，，
设平面的法向量为，
则即
令，所以，
设平面的法向量为，
则即，
令，所以，
设平面与平面所成的角为，
则，
所以平面与平面所成角的余弦值为．

17.解：由题知，，，设点，由，可得，又，即，所以，所以，所以，即，，故椭圆的离心率．
由可得，又因为，可得，所以，，，可得椭圆的方程为，
设，直线，直线，
联立两式相除可得，即，
当直线的斜率不为时，设直线，所以，，代入可得，联立，整理得，，所以，所以，所以，解得，
当直线的斜率为时，与重合，不满足题意，
所以点不取，可得点的轨选为，所以的取值范围为
18.解：当时，，，
因为函数在上单调递减，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
可得，
令，在上，，，
所以在上的最小值为，
所以实数的取值范围为；
当，时，，可得，，
令，
则，易知在上单调递增，
又，，
所以，使得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又，，，
所以，，使得，
故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
又，
由得，，
又因为，
所以，使得，
综上，函数在上有，两个零点．
19.解：数列，，，所以，，，，
所以该数列为级可分解数列，
由于没有连续的项的和为，所以不是级可分解数列．
因为有限数列为级可分解数列，
所以至少有组数列组合，分别等于，，，，，
设该有限数列共项，分析可得数列组合中一个元素的共种
数列组合中两个连续元素的共种
数列组合中三个连续元素的共种
数列组合中个连续元素的共种，
所以，则，
计算分析可得
当取最小值时，构造数列为，，，，
此数列，，，，，，，
，，，，，
所以存在成立，所以数列的项数最少为．
由可得，，所以，
当时，，，，，，的数列组合至多可表示组，
又因为，
分析可得其中有负数的项，从而，，，，，中的一项或一些连续项的和
可表示及那个负数恰组，
这表明，，，，，中仅一个负的，没有，且这个负的在，，，，，中绝对值最小，
同时中没有两数相同，设那个负数为，
则所有数之和，，
所以，所以，
再考虑排序，排序中不能有和相同，否则不足个，
因为仅一种方式，所以与相邻，若不在两端，在第，，，之一的位置，
不妨设为“，，， ， ， ”的形式其他形式同理
若，则有种结果相同，方式矛盾，
所以，同理，，，
故在一端，不妨为“，，，，，”的形式，
若，则有种结果相同，矛盾
若，同理不行若，则有种结果相同，矛盾，
从而，由于，由表法唯一知，不相邻，
故只能，，，，，或，，，，，，这种情形，
对，矛盾
对，也矛盾，
综上，
第1页，共1页