辽宁省沈阳市2025届高三上学期教学质量监测（一）数学试题（含答案）

辽宁省沈阳市2025届高三上学期教学质量监测（一）数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合，则集合( )
A. B. C. D.
2.函数的图象大致是( )
A.
B.
C.
D.
3.已知数列为等差数列，，，，，设，，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.若能被整除，则，的一组值可能为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
5.已知锐角满足，则( )
A. B. C. D.
6.已知中，，，，点，是线段上的动点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知平面直角坐标系中不同的三点，，，圆心在轴上的圆经过，，三点，设点的坐标为，则点的轨迹方程为( )
A. B. C. D.
8.三棱锥的体积为，和都是等边三角形，，则三棱锥的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中正确的是( )
A. 已知某个家庭先后生了两个小孩，当已知两个小孩中有女孩的条件下，两个小孩中有男孩的概率为
B. 马路上有依次编号为，，，，的盏路灯，为节约用电，某个时间段可以把其中的盏灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏，而且两端的灯也不能关掉，则满足条件的不同关灯方法有种
C. 已知，，，则，中至少有一个为
D. 袋中装有8个白球,2个黑球,从中随机连续取3次,每次取一个球,取后不放回,设取出黑球个数为X,则X~H(10,3,2)
10.已知，分别是椭圆的左、右焦点，点为短轴的一个端点，点是上的任意一点，则下列结论成立的是( )
A. B.
C. D.
11.对于函数下列结论中正确的是( )
A. 任取，，都有
B. ，其中
C. 对一切恒成立
D. 方程有两个相异实根和，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线被圆截得的最短弦长为，则 ．
13.已知等比数列的前项的积为，即，又已知，，则的最大值为 ．
14.若实数，满足，设，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
的内角，，所对的边分别为，，，的平分线交于点，为的中线若，，．
求的长
求的长．
16.本小题分
已知平行六面体的底面为正方形，所有棱长为，点和分别为上、下底面的中心，且．
求证：平面平面
求平面与平面所成角的余弦值．
17.本小题分
函数．
当时，求函数的极值和极值点
若在上恒成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
在平面直角坐标系中，若在曲线的方程中，以为正实数代替得到曲线的方程，则称曲线、关于原点“伸缩”，变换称为“伸缩变换”，称为伸缩比．
已知双曲线的方程为，伸缩比，求关于原点伸缩变换后所得双曲线的方程
已知椭圆经“伸缩变换”后得到椭圆，若射线与椭圆、分别交于两点、，且，求椭圆的方程
已知抛物线作“伸缩变换”，得到，其中，，，，若，，求数列的通项公式．
19.(本小题17分)
泊松分布是一种统计与概率学里常见的离散型分布,特别适合用于描述单位时间(或单位空间)内随机事件发生的次数,例如:某一服务设施在一定时间内到达的人数,电话交换机接到呼叫的次数,汽车站台的候客人数,机器出现的故障数,自然灾害发生的次数,一个产品上的缺陷数,显微镜下单位分区内的细菌分布数等,因此,在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位.若随机变量X服从参数为(>0)的泊松分布(记作X~()),则其概率分布为P(X=k)=,kN,其中e为自然对数的底数.
(1)当20时,泊松分布可以用正态分布来近似;当50时,泊松分布基本上就等于正态分布,此时可认为X~N(,).若X~(100),求P(110< X<120)的值(保留三位小数);
(2)某公司制造微型芯片,次品率为0.1%,各芯片是否为次品相互独立.以X记产品中的次品数.
若X~B(n,p),求在1000个产品中至少有2个次品的概率;
若X~(),=np,求在1000个产品中至少有2个次品的概率.
通过比较计算结果, 你发现了什么规律
(3)若X~(),且P(X>1)<0.01,求的最大值(保留一位小数).
参考数据: 若X~N(,),则有P(-< X<+)0.6827 , P(-2< X<+2)0.9545,P(-3< X<+3)0.9973;0.3676,0.3680,0.3678.
参考答案
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15.解：依题意得
，
解得，
又，故B．
因为为中线，所以，
，．
由，
可得，
因为，，
所以，
解得．
16.解：因为，且，
所以，
所以，又为中点，所以，
因为，且，所以且，
在中，因为，所以，所以，
又，、平面，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面．
由可知，，，两两垂直，以，，分别为，，轴正方向建立如图空间直角坐标系，
则，，，，
因为为中心，
所以，
所以，，
设为平面的法向量，
则，令，可得，，
所以，
设为平面的法向量，
因为，，
所以
令，可得，，所以，
设平面与平面所成角为，且为锐角，
则．
所以平面与平面所成角的余弦值为．

17.解：因为，
所以，
当时，，
由得，或，
由得，，列表
增函数 极大值 减函数 极小值 增函数
由上表可知，函数有极大值点，
此时极大值为，
函数有极小值点，此时极小值为；
当时，，
由，得，函数在上为增函数，
即当时，成立，所以在恒成立．
当时，由，解得或．
，当，即时，
由，得或，
由，得，函数在上为增函数，所以合题意．
，当，即时，恒成立，函数在上为增函数，所以合题意．
，当，即时，由，得或，
由，得，
函数在区间上递减，在上递增，
则，与不等式恒成立矛盾，
所以综上所述：当时，在上恒成立．
18.解：由条件得，所以的方程为．
因为、关于原点“伸缩变换”
对作变换，得，
联立解得点的坐标为，
联立，解得点的坐标为
所以，所以或，所以或，
因此，椭圆的方程为或．
对作变换，
得抛物线，得，
又因为，所以，即，
当时，，
得，适用上式，
所以数列的通项公式
19.解：(1)因为当X~(),且=100时,可近似地认为X∽N(,),
即X∽N(100,100),这里=100,==10,
所以P(110< X<120)=P(100+10< X<100+210)=(0.9545-0.6827)=0.13590.136；
(2)①若X~B(n,p),则P(X2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1--()(0.001)0.2644；
②若X∽(),=np=1,
P(X2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1--0.2644,
比较计算结果,可以发现利用二项分布计算的结果与利用泊松分布计算的结果是相等的,
说明某些特定情形下,可以用泊松分布来计算二项分布；
(3)由于X~(),
所以P(X>1)=1-P(X=0)-P(X=1),
由泊松分布概率公式可得P(X=0)=,P(X=1)=,
故P(X>1)=1--=1-(1+),
因为P(X>1)<0.01,
即(1+)>0.99,
构造函数g(x)=(x>0),
则g'(x)=-<0,
故g(x)在(0,+)上单调递减,
由于g(1)=<=0.8<0.99,g(0)=1,
所以0< x<1,
当x=0.1时,g(0.1)=,
需要比较与0.99的大小,而0.99=1-,
所以相当于比较与1-0.1的大小,
构造函数h(x)=-x-1(-0.2< x<0),
所以h'(x)=-1,
当x(-0.2,0)时,h'(x)<0，y=h(x)在(-0.2,0)上单调递减,且h(0)=0,
所以>1-0.1,即>0.99,
当x=0.2时,g(0.2)=,
需要比较与0.99的大小,而0.99=1-,
所以相当于比较(1-(-0.2))与1-的大小,
构造函数m(x)=(1-x)-(1-)(-0.5< x<0),m(0)=0,
m'(x)=-+x=x(-),
当x(-0.5,0)时,m'(x)>0,
所以y=m(x)在(-0.5,0)上单调递增,
即m(-0.2)< m(0),即(1-(-0.2))<1-,
即<0.99,
因此的最大值为0.1.
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