说明:答案中字母有的倾斜，有的不倾斜，请按照本人所输入的倾斜或不倾斜；字体要求是：文字字体为宋体,字母、数字字体为Times New Roman；句号为. 最后的分值括号对齐
（24-25）九年级数学参考答案及评分标准
一、选择题1-5BDCDA 6-10BCDCA
二、填空题11.4 12x＜-1或x＞3 13.x1=0，x2=1，x3= -1 14.54° 15.4
16.解:(1) x2-5x+1=0
∵a=1，b=-5，c=1，............................................................................................................................(1分)
△=b2-4ac=（-5）2-4×1×1=21＞0，....................................................................................................(2分)
，...........................................................................................................(3分)
，...............................................................................................................(5分)
(2)原方程可化为(2x-5)2=5(2x-5)，.......................................................................................................(6分)
∴(2x-5)2-5(2x-5)=0
因式分解得(2x-5)(2x-5-3)=0
∴2x-5=0或2x-5-3=0...........................................................................................................................(9分)
∴,..................................................................................................................................(10分)
17.解：（1）∵一次函数的图象过点，且点的纵坐标为5，
∴，∴点的坐标为．
∵点在反比例函数的图象上，∴，
∴反比例函数的表达式为；....................................................................................................（3分)
（2）∵一次函数的图象与轴交于点，
∴当时，，
∴点的坐标为，
∵AC∥x轴，
∴点的纵坐标与点的纵坐标相同，是3，
∵点在反比例函数的图象上，
∴当时，，解得，．
过作于，则，
．....................................................................................................(6分)
18.解：（1）①30,10.............................................................................................................................(2分)
②；...................................................................................................................................................(4分)
（2）（3-2）+（23-20）=4人，
设20～55岁这个范围内居民为A，55岁以上的三位居民分别为B1，B2，B3，
根据题意，列表格如下:
二一 A B1 B2 B3
A （B1，A） （B2，A） （B3，A）
B1 （A，B1） （B2，B1） （B3，B1）
B2 （A，B2） （B1，B2） （B3，B2）
B3 （A，B3） （B1，B3） （B2，B3）
或画树状图如下：
由表格(或树状图)可知：随机选居民去参加座谈，共有12种等可能的情况，其中恰好选20～55岁这个范围内居民的有6种情况，即（A，B1）,（A，B2），（A，B3），（B1，A），（B2，A），
（B3，A），
∴.......................................................................................................(8分)
19.(1)证明:如图，连接OD
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，又∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=45°，
∴∠AOD=90°，
∵DH与⊙O相切，∴OD⊥FH，
∴∠ODH=90°，∴∠AOD=∠ODH=90°，
∴AB∥FH...............................................................................................................................................(4分)
（2）在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=，
∴AB=，∴OD=，
∵∠A=30°，∴∠COB=60°，
又∵AB∥FH，∴∠OFD=∠COB=60°，
在Rt△OFD中，∠ODF=90°，∠OFD=60°，∴∠FOD=30°，
设DF=x，则OF=2x，
由勾股定理得x2+（）2=（2x）2，
解得x=±1，又∵x＞0，∴x=1，即FD的长为1............................................................................(8分)
20.（1）如图扇形A′O′B′即为所求，.....................................................................................（3分）
（2）①真..........................................................................................................................................（4分）
②解：如图，连接BC，∵扇形BAC、BCP是相似扇形，
∴∠BAC=∠BCP，AB=AC，CB=CP，
∴∠ABC=∠ACB=∠BPC，
设∠BAC=x°，则∠BCP=x°，∠ABC=∠ACB==90°-0.5x°，
∠ACP=∠ACB-∠BCP=90°-0.5x°-x°=90°-1.5x°，
又∵点P在AC的垂直平分线上，∴PA=PC，
∴∠ACP=∠BAC，∴90-1.5x=x，解之得x=36，
∴.............................................................（8分）
21.解：（1）设此村从2022年到2024年集体经济收入的年平均增长率为x，.................(1分)
1000(1+x)2=1210，.....................................................................................................................(3分)
解之得x1=0.1=10%，x2=-2.1(不合题意,舍去)，....................................................................(4分)
答:集体经济收入的年平均增长率为10%................................................................................(5分)
(2)设每千克甜瓜应涨价y元，.................................................................................................(6分)
(10+y)(500-20y)=6000，............................................................................................................(8分)
解之得y1=5，y2=10，
∵要使顾客得到实惠，∴y=5，...............................................................................................(9分)
答:每千克甜瓜应涨价5元......................................................................................................(10分)
22.(1)，45..........................................................................................................................(4分)
解:如图所示，∵AM，BN为大门两旁立柱，且高均为2米，
∴yA=yB=2，∴A、B两点关于抛物线的对称轴对称，
又∵ MN=3，∴顶点C的横坐标为，
又∵C距地面的距离为3.5米，∴C（，），
设抛物线表达式为y=a(x-)2+，由题意知A(0，2)，B(3，2)，
将A(0，2)，代入y=a(x-)2+中，
解得a=，∴抛物线表达式为y=(x-)2+（或y=x2+2x+2）..........................(8分)
(3)如图，连接AB，过点F作y轴平行线，交AC于点H，交AB于点I，由题意知:∠AIH=90°，
又∵∠CAB=45°，∴∠AHI=45°，
∴∠FHP=45°，∴∠HFP=45°，∴PF=PH，
在Rt△PHF中，设PF=PH=x，则FH=x，∴PF=PH=FH，
∴要求FP最大值，可先求FH最大值，设直线AC解析式为y=kx+b，
将A(0，2))，C（，）代入y=kx+b得，解得
∴y=x+2，设F(m，m2+2m+2)，则H(m，m+2)，
∴FH=(m2+2m+2)-(m+2)=m2+m=(m-)2+，
∵＜0，∴FH最大值为，∴PF=，∴2PF=，
四个接口处所需铁丝长度为5×4=20㎝=0.2m.
∴绑定一对红灯笼所需铁丝的最大长度为（+0.2）m............................................(12分)
23.解：（1）BG=AE，BG⊥AE..............................................................................................(4分)
（2）成立，连接AD，延长EA交BG于点K，交DG于点O.
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D是BC的中点，
∴AD=BD=CD，AD⊥BC，∴∠ADG+∠GDB=90°，
又∵四边形EFGD是正方形，
∴DE=DG，且∠GDE=90°，
∴∠ADG+∠ADE=90°，∴∠BDG=∠ADE，
在△BDG和△ADE中，
∴△BDG≌和△ADE(SAS)，∴BG=AE，∠BGD=∠AED，
又∵∠KOG=∠DOE，∴△GKO∽△EDO，
∴∠GKO=∠GDE=90°，∴BG⊥AE....................................................................................(8分)
①方法一：如图，连接EG，∵BC=8，∴AD=BD=BC=4，
在Rt△ABD中，AB=，
在Rt△DEG中，EG2=DG2+DE2=2DG2=200，
由（2）BG⊥AE，BG=AE，
∴∠EAG=90°，
∴EG2=AE2+AG2=AE2+(BG+AB)2=AE2+(AE+)2，
∴AE2+(AE+)2=200，
解之得AE=...................................................................................................(11分)
方法二：如图，过点D作DH⊥AB于点H.则HD=HB=，
利用（BG+HB）2+HD2=DG2，求得BG，由AE=BG从而得到AE=.
②10.........................................................................................................................................(13分)2024-2025学年第一学期期末教学质量监测（九年级数学）
注意事项:
1.本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟.
2.答案全部在答题卡上完成，考试结束后交回答题卡.
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分. 在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑）
1.剪纸是我国优秀的民间传统文化艺术之一，传承了中华民族深邃的传统思想和古老文化，具有独特的美术价值和人文价值.下面的剪纸图案是中心对称图形的是（ ）
B. C. D.
2.关于二次函数y=-3(x-2) +5，下列说法正确的是（ ）
A.其图像的开口向上 B.其图像的对称轴为直线x=-2
C.其最小值为5 D.当x＜2时，y随x的增大而增大
3.用配方法解方程x -8x=-1，变形后的结果正确的是（ ）
A.（x+4） =15 B.（x+4） =17 C.（x-4） =15 D.（x-4） =17
4.下列说法中正确的是（ ）
A. 种植一种花卉成活率是95%，则种100株这种花一定会有95株成活
B. 天气预报“明天降水概率是20%”是指明天
有20％的时间会下雨
C. 某位体育老师参加贾家庄半程马拉松比赛
一定能获得大奖
连续掷一枚质地均匀的骰子，若3次都掷
出"1"，则第4次仍然可能掷出"1"
5.物理兴趣小组在实验室研究电学时设计了一个电路，其电路图如图1所示．经测试，发现电流I（A）随着电阻R（Ω）的变化而变化，并结合数据描点，连线，画成图2所示的函数图象，若该电路的最小电阻为0.5Ω，则该电路能通过的（ ）
A. 最大电流是72A B. 最大电流是36A
C. 最小电流是72A D. 最小电流是36A
6.我们学习了一次函数、二次函数和反比例函数，回顾学习过程，都是按照列表、描点、连
线得到函数的图象，然后根据函数的图象研究函数的性质，这种研究方法主要体现的数学思
想是
A．演绎 B．数形结合 C．抽象 D．公理化
7.如图，OABC的顶点C在x轴正半轴上，AB=3，以原点O为位似中心将OABC缩小，使得到的图形与原图形的相似比为1:2，则点C的对应点C ' 的坐标为（ ）
A. （1,1.5） B. （6,0）
C. （1.5,0）或（-1.5,0） D. （1,1.5）或（-1，-1.5）
8.如图，取一张长与宽之比为2:1的矩形纸板，在四个角各剪去四个边长为20cm的小正方形，并用它做一个无盖的长方体形状的包装盒，若要使包装盒的容积为12000cm （纸板的厚度忽略不计），若设矩形纸板的长为x㎝，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
9.将抛物线y=3(x-2) +4向下平移5个单位长度，再向左平移3个单位长度，平移后所得抛物线的解析式为（ ）
A. y=-3(x-5) +9 B. y=3(x+1) +9 C. y=3(x+1) -1 D. y=-3(x-1) +1
10.如图，一扇形纸片的圆心角为90°，半径为3．将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，图中阴影部分为重叠部分，则阴影部分的面积为（ ）
A. B．
C． D．
填空题（本大题共有5个小题，每小题3分，共15分．请把答案填在题中的横线上）
11.如果m是方程x +3x-4=0的一个根，则m +3m=____________．
12.已知二次函数y=ax +bx+c，函数值y与自变量x的部分对应值如下表：
x … -1 0 1 2 …
y … 0 3 4 3 …
当y＜0时，x的取值范围是____________．
13．“降次”是解一元二次方程的基本思想，用这种思想解高次方程x3－x＝0，它的解是____________．
14.如图，正五边形ABCDE内接⊙O，点F是的中点，连接BD，CF于交于点G，则∠BGF的度数是____________．
如图，在△ABC中，∠B+∠C＝90°，AB＝6，AC＝8，D、E分别为BC、AC上的
点，且∠ADE＝45°，BD∶DC＝1∶4，则AE的长为____________．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤）
16.（本题10分）解方程（1）x2-5x+1=0（2）（2x-3）2=10x-15
17.（本题6分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点
，与反比例函数在第一象限内的图象交于点，且点的纵坐标为5．过点
作AC∥x轴交反比例函数的图象于点C，连接BC．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）求的面积．
（本题8分）近年来，我市坚持以人民为
中心的发展思想，将普惠性，基础性，兜底性
民生建设作为重中之重，积极探索在发展中保
障和改善民生的新路径，为人民群众带来更多
获得感和幸福感.按照市委市政府工作安排，为
认真贯彻落实市两会提出的免费乘坐公交民生
实事，公交公司从2023年5月起，实行本市
内免费乘坐公交车政策.某小区物业为了解本
小区居民免费乘车情况和满意度，设计了一份
问卷调查，并在该小区随机调查了50人，并
将部分调查数据制成如下两个统计图.
请根据统计图回答问题：
（1）①调查的50人中，55岁以上的有 人，m的值为 ；
②物业人员准备从已经筛选出的经常乘坐免费公交车的调查问卷中，随机抽取一份问卷，则恰好抽到乘车体验为“满意”的概率为 ；；
（2）本次活动结束后，物业人员从经常乘车但不太满意的几位居民中，随机抽取两位到物业公司座谈并提出合理有效的解决乘坐免费公交车的方案.求恰好抽到20岁～55岁这个范围内的居民的概率.
19.（本题8分）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，CD平分∠ACB交⊙O于点D，交AB于点E，连接CO并延长交⊙O的切线DH于点F.
(1)求证：AB∥FH.
(2)若∠A=30°，BC=，求FD的长.
20.（本题8分）阅读与思考
规定：圆心角相等的两个扇形叫做相似扇形，例如两个半圆就是相似扇形，类似地，还有两个圆…．
如图1，已知扇形AOB(O为圆心)，请以
O′点为圆心，O′A′ 为半径，作扇形AOB的相似
扇形(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写
作法和证明过程)；
①“半径和弧长对应成比例的两个扇形是
相似扇形”是 命题（填“真”或“假”）.
②如图2，扇形BAC、BCP是相似扇形，点P是AB上一点，且点P在AC的垂直平分线上，AB=，求扇形BAC的面积.
21.（本题10分）近年来以创建省级文旅示范村为契机，某村大力发展文旅产业，先后投资建设了“村农场体验”，“甜瓜采摘基地”，“水上童话梦工厂”，“亲子研学”等文旅项目.这些项目不仅为本村和周边群众提供了就近务工机会，而且使本村经济得到快速增长.据悉，2024年此村集体经济收益从2022年的1000万元升至1210万元.
（1）求此村从2022年到2024年这两年，集体经济收入的年平均增长率
（2）该村还积报创新农业发展模式．在“大棚经济”上做文章．培养特色高效农业，使大棚产业成为农民增收致富的“一把金钥匙”.由于条件适宜，该村种植了甜瓜、西红柿等大棚果蔬.2024年五月份，甜瓜成熟并开始采摘销售，若每千克盈利10元，每天可售出500kg.经市场调查发现，若每千克涨价1元，日销售量就减少20kg.该大棚基地要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，每千克甜瓜应涨价多少元？
22.（本题12分）（项目学习）学科实践
Ⅰ.驱动任务：在日益繁华的城市，“冲上云霄”的高楼随处可见，往往让人产生视觉疲劳，汾阳市某中学为了减缓学生视觉疲劳和学习压力，特在校园中修建了几个赏心悦目的花园，并将花园大门的顶部设计成了抛物线型（如图1所示）.
春节将至，数学兴趣小组协助工人师傅进行装饰大门的工作.
Ⅱ.研究步骤：
(1)如图2，兴趣小组测得大门的宽MN=3米，AM，BN为大门两旁的立柱，其高度为2米，抛物线型拱顶最高处点C距地面的距离为3.5米；
(2)兴趣小组了解了工人师傅的设计要求，在C点处插一面红旗，在抛物线拱顶上挂一对红灯笼.两个悬挂点到地面距离相等，同时做好固定装饰物的工作.
Ⅲ.问题解决：请根据研究步骤与相关数据，完成下列任务：
(1)为了安全起见，工人师傅要将旗杆用铁丝固定，如图3所示，线段AC，BC可看成是固定时所用的铁丝（不考虑接口处所需铁丝长度）.则固定旗杆需要的铁丝长度为 米（结果保留根号），若连接AB，则∠CAB= °.
(2)请在图3中以线段MN所在的直线为x轴，线段AM所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式.
(3)如图3，假设点F，点E为悬挂灯笼的位置，考虑到安全因素，工人师傅要用铁丝对灯笼的悬挂位置进行再次固定，且保证所绑铁丝与绑定旗杆所用的铁丝垂直，即FP⊥AC于点P，EQ⊥BC于点Q（FP，EQ为所绑铁丝），固定FP，EQ的过程中，每个接口处所需铁丝长度为5㎝.请你通过计算，确定绑定一对红灯笼所需铁丝的最大长度.（不考虑其他因素，结果保留根号）.
23.（本题13分）综合与实践
在综合实践课上，老师组织同学们以“图形的旋转”为主题开展数学活动，下面是同学们进行相关问题的研究：
如图1，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是BC的中点，作正方形DEFG，使点A，C分别在DG和DE上，连接AE，BG.
（1）试猜想线段BG与AE的关系为 ；
（2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度（旋转角度大于0°，小于或等于360°）.如图2，在旋转过程中，请判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由；
（3）若BC=8，DG=10 .
①将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转到如图3位置，即A、B、G三点在一条直线上，且点B在A、G之间，求AE的长；
②在图2中，若AG=，过点G作△BDG中BD边的高线，与DB的延长线交于点P，请直接写出PC的长.
调查问卷
年龄 岁
具体地址：
问题1：您乘坐免费公交车吗？（ ）
从不坐
偶尔坐
经常坐
问题2：若您乘坐免费公交车，请对乘车体验作出评价（ ）
A.满意
B.不太满意
