10.3 电势差与电场强度的关系 导学案（含解析） 2024-2025学年高一物理人教版（2019）必修第三册

第3节　电势差与电场强度的关系
1. 理解匀强电场中电势差与电场强度的关系．
2. 会在非匀强电场中定性分析电势差与电场强度的关系．
3. 会解决两类图像问题．
1. 如图所示，匀强电场的场强大小为E，A、B是沿电场方向上的两点，其电势差为UAB，A、B两点相距为d.现将一个电荷量为q的正电荷由A移到B：
(1) 试用恒力功的计算公式求静电力所做的功；
(2) 试由A、B间的电势差求静电力所做的功；
(3) 据静电力所做的功的两种求法，推导电势差与电场强度的关系；
(4) 若B、C在同一等势面上，则UAC与电场强度有何关系？
(5) 有人说，电场强度的单位也可以是伏每米，你认为对吗？为什么？
2. 比较场强的三个表达式．
引入过程
适用范围
说明
E＝
电场强度大小的定义式
E与F、q无关，是反映某点电场的性质
_______________电场
q为试探电荷的电荷量
E＝k
真空中点电荷场强的决定式
由E＝和库仑定律导出
_______________电场
Q为场源电荷的电荷量
E＝
匀强电场中电场强度与电势差的关系
由F＝qE和W＝qUAB导出
_______________电场
d为_________
_____________
　　
3. 如图所示，真空中平行金属板M、N之间的距离d为0.04 m，有一个2×10-15 kg的带电粒子位于M板旁，粒子的电荷量为8×10-15 C，给两金属板加200 V直流电压．
(1) 求带电粒子所受的静电力的大小；
(2) 求带电粒子从M板由静止开始运动到达N板时的速度；(提醒：可以用运动学公式或动能定理计算)
(3) 如果两金属板距离增大为原来的2倍，其他条件不变，则上述问题(1)(2)的答案又如何？
4. (1) 如图所示，在平面直角坐标系中，有方向平行于坐标平面的匀强电场，其中坐标原点O处的电势为0，点A处的电势为6 V，点B处的电势为3 V，则电场强度的大小为(　　)
A. 200 V/m　　 B. 200 V/m
C. 100 V/m　　 D. 100 V/m
(2) 等分法及其推论
①等分法：在匀强电场中，如果把某两点间的距离等分为n段，则每段两端点的电势差等于原电势差的________．
②两个推论：
a. 在匀强电场中，相互平行且长度相等的线段两端电势差________．
b. 在匀强电场中，相互平行的两条线段，无论它们是否与电场线方向平行，只要一条线段是另一条线段的n倍，这条线段两端点的电势差就一定是另一条线段两端点电势差的________倍．
1. 如图所示，a、b、c为某条电场线上的三个点，且ab＝bc，试比较Uab与Ubc的大小．
2. 如图所示，实线为电场线，虚线为等势面，φa＝50 V，φc＝20 V，则a、c连线中点b的电势φb(　　)
A. 等于35 V
B. 大于35 V
C. 小于35 V
D. 等于15 V
1. 如图甲所示，AB是某电场中的一条电场线，若有一电子以某一初速度且仅在静电力的作用下，沿AB由A点运动到B点，所经位置的电势随距A点的距离变化的规律如图乙所示，以下说法正确的是(　　)
A. 该电场是匀强电场
B. 电子在A、B两点的电势能EpA>EpB
C. 电子在A、B两点的加速度关系是aA>aB
D. 电子在A、B两点的速度vA总结：由φ-x图像可得到的信息
(1) 可直接看出电势随位置的变化．
(2) 可间接求出场强E随x的变化情况：φ-x图像切线斜率的绝对值k＝＝，表示E的大小，场强E的方向为电势降低最快的方向．
拓展：如果仅将上题φ-x图像纵轴的物理量改为电势能Ep，即改为Ep-x图像，其他条件均不变，4个选项中哪些是正确的？
总结：Epx图像切线的斜率表示电场力(qE).
2. 某空间存在一条沿x轴方向的电场线，电场强度E随x变化的规律如图所示，图线关于坐标原点中心对称，A、B是x轴上关于坐标原点O对称的两点，C点是OB的中点，则下列说法正确的是(　　)
A. 电势差UOC＝UCB
B. 电势差UOC＞UCB
C. 取无穷远处电势为零，则O点处电势也为零
D. 电子从A点由静止释放后的运动轨迹在一条直线上
总结：由E-x图像可得到的信息
(1) 图像中，E的数值反映电场强度的大小，E的正负反映E的方向，E为正表示电场方向为正方向．
(2) 图线与x轴所围的面积表示“两点之间的电势差U”，电势差的正负由沿场强方向电势降低判断．
拓展：如图所示，等量同种点电荷放在x轴上，O点为中心，则两电荷：
(1) 连线上的电场强度E、电势φ随x变化的关系图像分别为________．
(2) 中垂线上的电场强度E、电势φ随x变化的关系图像分别为________．
　
甲　　　　　　　 乙　　　　　 　丙　　　　　 　　丁
1. 下列关于匀强电场中场强和电势差关系的说法，其中正确的是(　　)
A. 在相同距离上，电势差大的其场强也必定大
B. 任意两点的电势差，等于场强与这两点间距离的乘积
C. 沿着电场线方向，相同距离上的电势降落必定相等
D. 电势降低的方向，必定是电场强度的方向
2. 如图所示是一个匀强电场的等势面，每两个相邻等势面相距2 cm，由此可以确定电场强度的方向和数值是(　　)
A. 竖直向下，E＝100 V/m　　 B. 水平向左，E＝100 V/m
C. 水平向左，E＝200 V/m　　 D. 水平向右，E＝200 V/m
(第2题) (第3题)
3. a、b、c、d是匀强电场中的四个点，它们正好是一个矩形的四个顶点．电场线与矩形所在平面平行．已知a点的电势为20 V，b点的电势为24 V，d点的电势为4 V，如图所示，由此可知c点的电势为(　　)
A. 4 V　　 B. 8 V　　
C. 12 V　　 D. 24 V
4. 某一电场的电场线如图所示．已知φa＝5 V，φc＝3 V，ab＝bc，b点的电势为φb，b、d在同一等势面上．以|Wac|表示点电荷q由a点移到c点过程中电场力做功的大小，|Wdc|表示点电荷q由d点移到c点过程中电场力做功的大小，则(　　)
A. φb>4 V　 B. φb<4 V
C. |Wac|＝2|Wdc|　 D. |Wac|<2|Wdc|
5. 如图甲所示，在某电场中有一条电场线与Ox轴重合，取O点电势为零，Ox方向上各点的电势随x轴坐标变化的关系如图乙所示，若在O点由静止释放一电子，电子仅受静电力的作用，则(　　)
甲　　　　　　　乙
A. 沿Ox方向电场强度先减小后增大 B. 电子所受静电力沿x轴负方向
C. 电子的电势能将一直增大 D. 电子运动的加速度一直增大
6. 静电场在x轴上的场强E随x的变化关系如图所示，x轴正方向为场强正方向，带正电的点电荷沿x轴运动，则点电荷(　　)
A. 在x2和x4处电势能相等
B. 由x1运动到x3的过程中电势能减小
C. 由x1运动到x4的过程中所受静电力先增大后减小
D. 由x1运动到x4的过程中所受静电力先减小后增大
7. 如图所示，有两块平行金属板A、B，相隔6 cm接在36 V的直流电源上．电源的正极接地，C点在两板间且到A板的距离为2 cm.
(1) 求A、B两板间的场强大小和方向；
(2) 以大地为电势的零点，问C点的电势多高？
用一根长为l的丝线吊着一质量为m、带电荷量为q的小球，丝线悬点位置为O，小球静止在水平向右的匀强电场中的A点，如图所示，丝线与竖直方向成37°角．求：
(1) 小球的电性；
(2) 匀强电场的电场强度的大小；
(3) OA间的电势差UOA.
9. 已知半径为R、均匀带正电荷的球体在空间产生球对称的电场，场强大小沿半径分布如图所示，图中E0已知，E r曲线下O～R部分的面积等于R～2R部分的面积．
(1) 已知带电球在r≥R处的场强E＝，式中k为静电力常量，该均匀带电球所带的电荷量Q为多大？
(2) 求球心与球表面间的电势差ΔU；
(3) 质量为m、电荷量为q的负电荷在球面处需具有多大的速度可以刚好运动到2R处？
第3节　电势差与电场强度的关系
【活动方案】
活动一：
1. (1) WAB＝Fd＝qEd.
(2) WAB＝qUAB.
(3) UAB＝Ed.
(4) UAC＝Ed.
(5) 正确．根据E＝ 可知单位正确．
2. 一切　真空中点电荷形成的　匀强　沿电场方向的距离
3. (1) 两金属板间的电场强度E＝，带电粒子所受的静电力F＝Eq，则
F＝Eq＝＝ N＝4×10-11 N.
(2) 静电力远大于重力2×10-14 N，因此重力可忽略不计．
带电粒子运动的加速度a＝，设带电粒子到达N板时速度为v.根据匀变速直线运动的速度与位移的关系有v2＝2ad，则
v＝＝ m/s＝40 m/s.
(3) 当d′＝2d时，
E′＝＝，F′＝E′q＝＝2×10-11 N，
a′＝＝，
则v′＝＝＝v＝40 m/s，
两金属板距离增大为原来的2倍，静电力的大小是2×10-11 N，速度仍然是40 m/s.
4. (1) A　x轴上OA的中点C的电势为3 V，则BC的连线为等势线，如图所示，电场的方向与等势线垂直，且由电势高处指向电势低处．根据几何关系，O点到BC的距离为d＝1.5 cm，所以 E＝＝ V/m＝200 V/m，故A正确．
(2) ①　②a.相等　b．n
活动二：
1. 由于不知电场的性质，所以电势差Uab与Ubc的大小不能确定．
2. C　从电场线疏密可以看出ab段场强大于bc段场强，由U＝Ed可以判断Uab＞Ubc，所以φb＜＝35 V．故C正确．
活动三：
1. C　φx图线的切线斜率表示电场强度，由图可知从A到B，电场强度逐渐减小，即EA>EB，则电子受到的静电力逐渐减小，则加速度逐渐减小，A错误，C正确；由图乙可知，电势逐渐降低，可判断出电场线的方向从A到B，在移动过程中，电子受到的静电力方向向左，静电力做负功，电子的动能减小，速度减小，即vA>vB，而电子的电势能增大，即EpA拓展：B、C、D正确．
2. D　由图可知，OC与图像围成的面积小于CB与图像围成的面积，故电势差UCB＞UOC，A、B错误；若把一个正点电荷从O点沿x轴正方向移到无穷远处，静电力一直在做功，所以O点电势与无穷远处电势不相等，C错误；电子从A点由静止释放后一直受到沿x轴方向的力作用，即力与运动方向一直在同一条直线上，故电子的运动轨迹在一条直线上，D正确．
拓展：(1) 甲、丁　(2) 乙、丙
【检测反馈】
1. C　由匀强电场的特点知A、B错误，C正确；电势降低最快的方向才是电场强度的方向，D错误．
2. B　根据电场强度的方向应与等势面垂直，且由较高的等势面指向较低的等势面，可知该电场强度的方向水平向左．由场强与电势差的关系得E＝＝100 V/m.故B正确．
3. B　根据匀强电场的特点，Uad＝Ubc，即φa－φd＝φb－φc，解得φc＝8 V，B正确．
4. B　由图可看出，a、b间电场线比b、c间电场线密，而ab＝bc，根据U＝Ed，定性分析可得a、b间的电势差大于b、c间的电势差，即Uab>Ubc.又Uab＝φa－φb，Ubc＝φb－φc，联立解得φa－φb>φb－φc，解得φb<＝4 V，故B正确，A错误．由以上分析可知Uab>Ubc，则知Uac>2Ubc，而d与b电势相等，则知Udc＝Ubc.根据电场力做功公式得|Wac|>2|Wdc|.故C、D错误．
5. A　φ-x图像切线斜率的绝对值表示场强的大小，由图乙可知，沿Ox方向电场强度先减小后增大，A正确；由图乙可知，沿x轴正方向电势升高，所以电场方向沿x轴负方向，则电子所受静电力沿x轴正方向，B错误；静电力对电子做正功，电势能减少，C错误；根据A可知，电子所受静电力先减小后增大，则电子运动的加速度先减小后增大，D错误．
6. C　由图可知，在O～x1之间，电场强度E是正的，是沿x轴正方向的；在x1～x4之间，电场强度E是负的，是沿x轴负方向的．故正电荷由x2到x4的过程中，是逆着电场线的方向运动，所以正电荷在x4处的电势能要大于在x2处的电势能，A错误．正电荷由x1运动到x3的过程中，是逆着电场线方向运动的，所以电势能增大，B错误．正电荷由x1运动到x4的过程中，x3处的电场强度的大小是最大的，故电荷在该点受到的静电力也应该是最大的，故所受静电力先增大后减小，C正确，D错误．
7. (1) 板间场强的大小E＝＝ V/m＝6×102 V/m，场强方向由A板垂直指向B板．
(2) UAC＝EdAC＝6×102×2×10-2 V＝12 V，
由UAC＝φA－φC，
得φC＝φA－UAC＝0－12 V＝－12 V．
8. (1) 对小球受力分析可知，电场力水平向右，与电场线方向相同，所以小球带正电．
(2) 根据平衡条件可知mg tan 37°＝qE，
解得E＝.
(3) OA间的电势差UOA＝El sin 37°＝.
9. (1) 根据R处的场强为E0，则有E0＝k，
解得Q＝.
(2) E r曲线与横坐标，围成的面积表示电势差，则球心与球表面间的电势差ΔU＝.
(3) E r曲线下O～R部分的面积等于R～2R部分的面积，知表面与2R处的电势差大小为 ，根据动能定理可得－qΔU＝0－mv2，
解得v＝.