10.5　带电粒子在电场中的运动(2) 导学案 （含解析）2024-2025学年高一物理人教版（2019）必修第三册

10.5　带电粒子在电场中的运动(2)
1. 会解决带电粒子在电场中的加速和偏转的综合问题．
2. 会解决带电粒子在交变电场中的运动问题．
1. 如图所示，电子在电势差为U1的加速电场中由静止开始运动，然后射入电势差为U2的两块平行极板间的电场中，射入方向跟极板平行，整个装置处在真空中，重力可忽略．
(1) 在满足电子能射出平行板区的条件下，下述四种情况中，一定能使电子的偏转角θ变大的是________，一定能使电子的偏移量y变大的是________．
A. U1变大、U2变大　　 B. U1变小、U2变大
C. U1变大、U2变小　　 D. U1变小、U2变小
(2) 若不同的带电粒子的混合物由静止开始经同一加速电场加速后(即加速电压相同)，进入同一偏转电场，它们会分离开形成不同的轨迹吗？(写出必要的表达式作为证据)
总结：不同的带电粒子(电性相同，初速度为零)，经同一电场加速后，再进入同一偏转电场，则它们的运动轨迹________．
2. 如图所示，在两条平行的虚线内存在着宽度为L、电场强度为E的匀强电场，在与右侧虚线相距也为L处有一与电场平行的屏．现有一电荷量为＋q、质量为m的带电粒子(重力不计)，以垂直于电场线方向的初速度v0射入电场中，v0方向的延长线与屏的交点为O.试求：
(1) 粒子从射入到打到屏上所用的时间．
(2) 粒子刚射出电场时的速度方向与初速度方向间夹角的正切值tan α.
(3) 粒子打到屏上的点P到O点的距离Y.
3. 如图所示为示波管的原理图．请阅读教材“示波管的原理”部分，完成下列问题：
(1)如果在若光屏上P点位置出现亮斑，则示波管中的________．
A. 极板X应带正电 B. 极板X′应带正电
C. 极板Y应带正电 D. 极板Y′应带正电
(2)甲、乙两图所示的电压均为周期性变化的交变电压，周期均为T.
甲 乙 丙 丁
①若YY′两极板上加如图甲所示的电压，而XX′两极板不加电压，请在图丙中画出荧光屏上显示的图形；
②若XX′两极板上加如图乙所示的电压，而YY′两极板上加如图甲所示的电压，请在图丁中画出荧光屏上显示的图形．
1. 带电粒子在交变电场中的直线运动
此类问题中，带电粒子进入电场时初速度为零，或初速度方向与电场方向平行，带电粒子在交变静电力的作用下，做加速、减速交替的直线运动．
该问题通常用动力学知识分析求解，重点分析各段时间内的加速度、运动性质、每段时间与交变电场的周期T间的关系等．
常用v-t图像法来处理此类问题，通过画出粒子的v-t图像，可将粒子复杂的运动过程形象、直观地反映出来，便于求解．
在如图1所示的平行板电容器的两板间分别加如图2甲、乙所示的两种电压，开始B板的电势比A板高．在静电力作用下原来静止在两板中间的电子开始运动．若两板间距足够大，且不计重力，试分析电子在两种交变电压作用下的运动情况，并定性画出相应的v-t图像．
图1 图2
拓展：请同学们观察画出的两个v-t图像，可以通过平移坐标轴从一个图像得到另一个图像．如果电子开始加速的时间只有0～，尝试在刚才所画的第一个v-t图像中平移坐标轴，得到新的图像，并判断经过若干个周期后，电子在初始位置的左侧还是右侧？
2. 带电粒子在交变电场中的曲线运动
带电粒子以一定的初速度垂直于电场方向进入交变电场，粒子做曲线运动．
若带电粒子的初速度很大，粒子通过交变电场时所用时间极短，故可认为粒子所受静电力为恒力，粒子在电场中做类平抛运动．
若粒子运动时间较长，在初速度方向做匀速直线运动，在垂直初速度方向利用vy-t图像进行分析：①vy＝0时，速度方向沿v0方向．②y方向位移可用vy-t图像的面积进行求解．
如图甲所示，极板A、B间的电压为U0，极板C、D间的间距为d，荧光屏到C、D板右端的距离等于C、D板的板长．A板O处的放射源连续无初速度地释放质量为m、电荷量为＋q的粒子，经电场加速后，沿极板C、D的中心线射向荧光屏(荧光屏足够大且与中心线垂直)，当C、D板间未加电压时，粒子通过C、D板间的时间为t0；当C、D板间加上图乙所示电压(图中电压U1已知)时，粒子均能从C、D板间飞出，不计粒子的重力及粒子间的相互作用．求：
(1) C、D板的长度L；
(2) 粒子从C、D两极板间飞出时垂直于极板方向偏移的最大距离；
(3) 粒子打在荧光屏上区域的长度．
甲　　　　　　　乙
1. 一束正离子以相同的速率从同一位置，沿垂直于电场方向飞入匀强电场中，所有离子的运动轨迹都是一样的，这说明所有粒子(　　)
A. 都具有相同的质量　　 B. 都具有相同的电荷量
C. 具有相同的荷质比　　 D. 都是同一元素的同位素
2. 图甲为示波管的原理图．如果在电极YY′之间所加的电压按图乙所示的规律变化，在电极XX′之间所加的电压按图丙所示的规律变化，则在荧光屏上会看到的图形是(　　)
甲　　　　 　　　 乙　　　 　　　丙
A　　　　　　　　B　　　　　　　　C　　　　　　　 　D
3. 如图所示，氕(H)、氘(H)、氚(H)和氦(He)的原子核由静止开始经同一加速电场加速后，又经同一匀强电场偏转，最后打在荧光屏上．下列说法正确的是(　　)
A. 四种原子核飞出加速电场时的速度相同
B. 四种原子核在偏转电场中的偏转距离y相同
C. 四种原子核飞出偏转电场时的动能相同
D. 四种原子核打在荧光屏的不同位置
4. 如图甲所示是一对长度为L的平行金属板，板间存在如图乙所示的随时间周期性变化的电场，电场方向与两板垂直．在t＝0时刻，一带电粒子沿板间的中线OO′垂直电场方向射入电场，2t0时刻粒子刚好沿下极板右边缘射出电场．不计粒子重力，则(　　)
甲　　　　　　　乙
A. 粒子带负电
B. 粒子在平行板间一直做曲线运动
C. 粒子射入电场时的速度大小为
D. 若粒子射入电场时的速度减为一半，射出电场时的速度垂直于电场方向
5. 如图甲所示，两平行正对的金属板A、B间加有如图乙所示的交变电压，一重力可忽略不计的带正电粒子被固定在两板的正中间P处．若在t0时刻释放该粒子，粒子会时而向A板运动，时而向B板运动，并最终打在A板上．则t0可能属于的时间段是(　　)
甲　　　　　乙
A. 0＜t0＜　　 B. ＜t0＜
C. ＜t0＜T　　 D. T＜t0＜
6. 如图所示，区域Ⅰ、Ⅱ分别存在水平向左和竖直向下的匀强电场，电场强度大小相等．虚线MN和PQ表示三个区域的理想分界平面，分界平面均垂直于水平电场且间距为L；右侧平行于分界平面放置的屏到PQ的距离为L.在水平电场中，距MN也为L的A处有一个电子源，会无初速度释放电子(电荷量大小为e，质量为m)，最后，电子打在右侧的屏上．不计电子重力和电子之间的相互作用力．已知电子到达MN边界的速度为v，求：
(1)电场强度的大小；
(2)某个电子在整个运动过程中所受静电力对其所做的功；
(3)图中AO连线垂直于屏，垂足为O.那么，电子打到屏上的点到О点的距离．
7. 如图甲所示，两平行金属板水平放置，间距为d，金属板长为L＝2d，两金属板间加如图乙所示的电压(初始时上金属板带正电)，其中U0＝.一粒子源射出的带电粒子恰好从上金属板左端的下边缘水平进入两金属板间．该粒子源能随时间均匀发射质量为m、电荷量为＋q的带电粒子(初速度v0＝，重力忽略不计).
(1)求能从板间飞出的粒子在板间运动的时间；
(2)若t＝ 时刻进入两极板之间，粒子飞出极板时的偏移量y是多少；
(3)若发射时间足够长，则能够从两金属板间飞出的粒子占总入射粒子数的比例为多少？
甲 乙
课题2　带电粒子在电场中的运动(2)
【活动方案】
活动一：
1. (1) B　B
解析：设电子被加速后获得的速度为v0，则由动能定理得qU1＝mv，设极板长为l，则电子在电场中偏转所用的时间为t＝，设电子在平行板间受电场力作用产生的加速度为a，由牛顿第二定律得a＝＝，电子射出偏转电场时，平行于电场方向的速度为vy＝at，解得vy＝，故tan θ＝＝＝＝，所以U2变大或U1变小都可能使偏转角θ变大，故B正确．求出偏移量y＝，则U2变大或U1变小都可能使偏移量变大，故B正确．
(2) 不同的带电粒子经同一加速电场加速后(即加速电压相同)，进入同一偏转电场，则偏转距离 y和偏转角θ相同，不会分离开来．
总结：必定重合
2. (1) 粒子在垂直于电场线的方向上做匀速直线运动，所以粒子从射入到打到屏上所用的时间t＝.
(2) 粒子在沿电场线方向上做初速度为零的匀加速直线运动．设粒子射出电场时沿平行电场线方向的速度为vy.vy＝a＝，粒子刚射出电场时的速度方向与初速度方向间夹角的正切值为tan α＝＝.
(3) 方法一：设粒子在电场中的偏转距离为y，则y＝a＝，又Y＝y＋L tan α，解得Y＝.
方法二：Y＝vy＋y＝.
方法三：由 ＝ 得Y＝3y＝.
3. (1)BD
(2)①　　②
解析：(1)电子受力方向与电场方向相反，因电子向X′侧偏转，则电场方向为X′到X，则X′带正电，A错误，B正确；因电子向Y′侧偏转，则电场方向为Y′到Y，则Y′带正电，C错误，D正确．
(2)①若YY′两极板上加如图甲所示的电压，而XX′两极板不加电压，则电子只在Y轴方向发生偏转，在X轴方向不发生偏转，则在荧光屏上的图像如图所示．　②若XX′两极板上加如图乙所示的电压，而YY′两极板上加如图甲所示的电压，Y方向为偏转电压，X方向为扫描电压，因为周期相同，所以屏幕上出现一个完成的正弦波形，如图所示．
活动二：
1. t＝0时，B板电势比A板高，在静电力作用下，电子向B板(设为正向)做初速度为零的匀加速直线运动．
对于图甲所示电压，在0～T内电子做初速度为零的正向匀加速直线运动，T～T内电子做末速度为零的正向匀减速直线运动，然后周期性地重复前面的运动，其速度—时间图像如图(a)所示．
对于图乙所示电压，在0～内做类似图甲0～T的运动，～T内电子做反向先匀加速、后匀减速、末速度为零的直线运动．然后周期性地重复前面的运动，其速度—时间图像如图(b)所示．
　 　　(a)　　　　　　　　(b)
拓展：
左侧
2. (1) 粒子在A、B板间，有qU0＝mv，
在C、D板间有L＝v0t0，
解得L＝t0.
(2) 粒子从nt0(n＝0，2，4…)时刻进入C、D板间，偏移距离最大，粒子做类平抛运动，
偏移距离y＝at，加速度a＝，
解得y＝.
(3) 粒子在C、D板间偏转距离最大时打在荧光屏上的位置距中心线最远，从C、D板飞出的偏转角tan θ＝，
vy＝at0，
打在荧光屏上的位置距中心线的最远距离
s＝y＋L tan θ，
粒子打在荧光屏上的区域长度Δs＝s＝.
【检测反馈】
1. C　由偏转距离y＝＝，若运动轨迹相同，则水平位移相同，偏转距离y也应相同，已知E、l、v0是相同的，所以应有相同．C正确．
2. B　由于电极XX′加的是扫描电压，电极YY′之间所加的电压为信号电压，所以荧光屏上会看到的图形是B.B正确．
3. B　原子核在加速电场中有qU1＝mv－0，解得v1＝，原子核飞出加速电场时的速度与原子核的比荷有关，比荷不同，则速度不同，A错误；原子核在偏转电场中设偏转电场两极板的电压为U2，极板的长度为L1，L1＝v1t1，y＝at，a＝＝，联立四式可得y＝，所以偏转距离y与原子核的质量、电荷量无关，四种原子核在偏转电场中的偏转距离y相同，B正确；由静止开始进入加速电场到飞出偏转电场的过程中，根据动能定理有qU1＋y＝Ek－0，所以原子核飞出偏转电场时的动能与原子核的电荷量有关，只有当电荷量相同时，飞出偏转电场的动能才相同，C错误；设偏转电场极板右端到荧光屏的水平距离为L2，原子核飞出偏转电场时的速度偏转角为θ，则原子核打在荧光屏上的位置距射入偏转电场时的竖直距离Y＝y＋L2tan θ，y＝tan θ，可得 Y＝y＋，因离开偏转电场时偏转距离y相同，所以Y与原子核的质量、电荷量无关，D错误．
4. C　粒子向下偏转，可知粒子带正电，A错误；粒子在平行板间在0～t0时间内做曲线运动，在t0～2t0时间内不受力，则做直线运动，B错误；粒子在水平方向一直做匀速运动，可知射入电场时的速度大小为v0＝，C正确；若粒子射入电场时的速度减为一半，由于粒子在电场中受向下的静电力，有向下的加速度，射出电场时有沿电场方向的分速度，则射出电场时的速度不可能垂直于电场方向，D错误．
5. B　设粒子的速度方向、位移方向向右为正．依题意得，粒子的运动性质是往返的直线运动，速度方向时而为正，时而为负，最终打在A板上时位移为负，速度方向为负．作出t0＝0、、、时粒子运动的v t图像如图所示．由于v t图线与时间轴所围面积表示粒子通过的位移，则由图像可知0＜t0＜、＜t0＜T时粒子在一个周期内的总位移大于零；＜t0＜时粒子在一个周期内的总位移小于零；当t0＞T时情况类似．因粒子最终打在A板上，则要求粒子在每个周期内的总位移应小于零，对照各选项可知B正确．
6. (1)电子在水平电场中做初速度是零的匀加速直线运动，根据动能定理可得
eEL＝mv2－0，
解得E＝.
(2)电子在竖直电场中水平方向是匀速直线运动，则有运动的时间为t＝，
设电子在竖直电场中运动的加速度大小为a，则a＝，
竖直方向偏转的位移为y＝at2，
电子在整个运动中电场力对电子所做的功为W＝＝mv2.
(3)设电子射出竖直电场时在竖直方向的速度为vy＝at，
电子在射出竖直电场时的速度方向与AO连线夹角θ的正切值为tan θ＝，
解得tan θ＝，
设电子打到屏上的点到O点的距离为Y，由几何知识可得Y＝y＋L tan θ＝L.
7. (1)能从板间飞出的粒子，平行于板方向做匀速直线运动，在板间运动的时间t＝＝＝.
(2)设带电粒子在两金属板间运动时的加速度大小为a，则a＝＝，
带电粒子在t＝ 时刻进入两极板之间，则它在竖直方向上先加速向下 ，有y1＝a＝，
经过 时间后电场反向，开始在竖直方向上减速向下，又经过 时间，竖直分速度减为零，
y2＝a＝，
飞出极板时的偏移量y＝y1＋y2＝d.
(3)假设t＝0时刻进入两金属板间的粒子不碰到金属板而能够飞出两金属板间，则飞出两金属板间时的偏移量为y＝a(Δt)2＝2d>d，
则假设不成立，t＝0时刻进入两金属板间的粒子将打在金属板上．
在第一个周期内，设带电粒子在t1时刻进入两金属板间，它在竖直方向上先加速向下，经过Δt1时间后电场反向，开始在竖直方向上减速向下，又经过Δt1时间，竖直分速度减为零，恰好从下金属板右端飞出，画出其运动轨迹，如图所示，
可知d＝2×a(Δt1)2，
解得Δt1＝，
所以t1＝－Δt1＝，
在第一个周期内，设带电粒子在t2时刻进入两金属板间，它在竖直方向上先加速向下，经过Δt2时间后电场反向，开始在竖直方向上减速向下，又经过Δt2时间，竖直分速度减为零，然后加速向上直到恰好从上金属板右端飞出，画出其运动轨迹，如图所示，
可知2×a(Δt2)2＝a，
解得Δt2＝T，，
所以t2＝－Δt2＝T，
在第一个周期内，带电粒子不碰到金属板而能够飞出两金属板间的时刻t满足T≤t≤T，
则能够从两金属板间飞出的粒子占总入射粒子数的比例为k＝.