北京市海淀区2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷（PDF版，含答案）

海淀区 2024-2025 学年第一学期期末练习
高二数学参考答案及评分建议
一、选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A B B C C D A D B
二、填空题（共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分）
（11） 2 13 （12）3 （答案不唯一）
8 3
（13）3 （14） 4
3
（15）①②③
说明：两空题，第一空 2 分，第二空２分，
15 题对一个给 1 分，对两个给 3 分，都对给 4 分，有错的则给０分
三、解答题（共 4 小题，共 40 分）
（16）（共 8 分）
解：（Ⅰ） 连接 AB1交 A1B 于点 N ，连接MN .
因为 ABB1A1为平行四边形，所以 N 为 AB1的中点 ……1分
在 AB1C 中， MN 为中位线，所以MN //B1C ， ……2 分
又 B1C 平面 A1BM ，MN 平面 A1BM ， ……3 分
所以 B1C // 平面 A1BM . ……4分
（Ⅱ）在 ABC 中， AB = BC ，点M 为 AC 的中点，所以 BM ⊥ AC ， ……5分
因为平面 A1ACC1 ⊥平面 ABC ，
平面 A1ACC1 平面 ABC = AC ， BM 底面 ABC ， ……6 分
所以 BM ⊥平面 AA1C1C ， ……7 分
高二数学参考答案 第 1 页（共 6 页）
又 AC1 平面 AA1C1C ，所以BM ⊥ AC1． ……8分
（17）（共 11 分）
解：（Ⅰ）因为圆C 的圆心为C(3,0)，且过点 A(1, 5) ，
所以圆C 的半径 r = CA = (3 1)2 + (0 5)2 = 3， ……2分
所以圆C 的标准方程为 (x 3)2 + y2 = 9． ……4分
（Ⅱ）因为直线 l 与圆C 相切，
所以圆心C (3,0)到直线 kx y 2 = 0的距离为3，
3k 2
所以 d = = 3， ……6 分
k2 +1
5
解得 k = . ……7分
12
（Ⅲ）设 P(x, y)，因为点 P 满足 | PO |= 2 | PC |，
所以 x2 + y2 = 2 (x 3)2 + y2 ，即 (x 4)2 + y2 = 4， ……9分
所以点 P 在以 (4,0)为圆心，半径为 2的圆上，
又因为点 P 在直线 l 上，
所以圆 (x 4)2 + y2 = 4与直线 l 有公共点， ……10分
4k 2
所以圆心 (4,0) 到直线 kx y 2 = 0的距离 d = 2 ，
k 2 +1
4
解得 k [0, ] . ……11分
3
（18）（共 11 分）
解：（Ⅰ）因为 AD// BC, AD 平面 BCE ， BC 平面 BCE ，
所以 AD// 平面 BCE . ……1分
因为 AD 平面 PAD ，且平面 BCE 平面PAD = EF ，
所以 AD// EF . ……3 分
高二数学参考答案 第 2 页（共 6 页）
在 PAD中，因为 E 为PD的中点，所以 F 为 PA的中点. ……4 分
（Ⅱ）选择条件①；
因为 AB ⊥ BC ， BC ⊥ PB , 且 PB AB = B ，所以 BC ⊥平面 PAB .
因为 PA 平面 PAB ，所以 BC ⊥ PA， ……5分
又因为 PA⊥ AB，且 AB BC = B ，
所以PA⊥底面 ABCD . ……6 分
以 A为原点，以 AB, AD, AP的方向分别为 x 轴， y 轴， z 轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系. ……7 分
3 3
由题意可知 A(0,0,0), C( 3,1,0), D(0,2,0), E(0,1,1),F(0,0,1),G( , ,0) .
2 2
3 1 z
所以CD = ( 3,1,0) , FE = (0,1,0) , EG = ( , , 1) .
2 2 P
设平面 EGF 的一个法向量为n = (x, y, z) .
F E
n FE = 0
所以 ……8分
n EG = 0 DA y
y = 0, G

所以 B C 3 1
x + y z = 0
2 2 x
令 x = 2 ，得 z = 3 ，所以n = (2,0, 3) . ……9 分
同理，求得平面PAG 的法向量m = ( 3,1,0)
m n 21
可得 cos m,n = = ， ……10分
| m || n | 7
又因为二面角 A FG E 的平面角为钝角,
21
所以二面角 A FG E 的余弦值为 . ……11分
7
选择条件②；
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π
因为 AB = 3, BC =1， ABC = ，所以 AC = 2 .
2
在 ACD中，G 为CD的中点， AC = AD，所以 AG ⊥CD，且 AG = 3 .
在 PAG 中， PA = 2, AG = 3, PG = 7 ，则 PA⊥ AG . ……5分
又因为 PA⊥ AB，
且 AB AG = A，所以PA⊥底面 ABCD . ……6分
下面同条件①.
（19）（共 10 分）
解：（Ⅰ）W' 的方程为 x + y + 2 = 0 ……1分
1
（Ⅱ）(i) h + k = 0, e = ……2 分
2
（ii）法一：
x2 y2
依题意，W ' : + =1，M(1,0) ，设直线 l : y = k(x 1)， ……4 分
4 3
设 P(x1, y ， ， 1) Q(x2 , y2 )
y = k(x 1)，
联立方程 得 (3+4k
2 )x2 8k 2x + 4k 2 12 = 0， ……5 分
2 2
3x + 4y =12，
所以 =144(k 2 +1) 0 ，
8k 2 4k 2 12
x1 + x2 = ，x1x2 = ． ……6 分
3+4k 2 3+4k 2
选择①：
1 1
因为 S1 = 2S ，所以2 AM y1 = 2( AM y2 ) ， y1 = 2y ． ……7 分 2
2 2
所以 k(x1 1) = 2k(x2 1)， x1 + 2x2 3 = 0．
4k
2 9
x =
x 11 + 2x2 3 = 0 3+4k
2

8k 2 4k
2 + 9
所以 x x =1 + x2 = 所以 2 2
3+4k 3+4k
2
4k 2
2
12 4k 12
x x x1x2 = 2 1 2 =
3+4k 3+4k
2
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5 5
解得 k = ，所以 l 的斜率 k = ． ……8 分
2 2
选择②：
y
因为 A(3,0) ，所以 AP : y = 1 (x 3) ，
x1 3
2y
令 x = 5 ，得 D(5, 1 ) ． ……7 分
x1 3
2y
同理， E(5, 2 )．
x2 3
2y1 2y2 2k(x1 1) 2k(x2 1) (x1 1) (x2 1)所以 DE = = =| 2k | ．
x1 3 x2 3 x1 3 x2 3 x1 3 x2 3
2 2 |x x |
=| 2k | (1+ ) (1+ ) = | 4k | 1 2 ……8 分
x1 3 x2 3 |x1x2 3(x1 + x2 )+9 |
12 k 2 +1
又 | x1 x2 |= (x1 + x2 )
2 4x1x2 =
3+4k 2
12 k 2 +1
3+4k 2 48k k
2 +1
所以 DE =| 4k | = ……9 分
4k 2 12 8k 2 16k 2 +15
3 + 9
3+4k 2 3+4k 2
48k k 2 +1 15 3
所以 = ， 解得 k =
16k 2 +15 8 4
3
所以直线 l 的斜率为 k = ……10 分
4
法二：
x2 y2
依题意，W ' : + =1，M(1,0) ，设直线 l : x = ty +1， ……4 分
4 3
x = ty +1，
设 P(x1, y )，1 Q(x2 , y2 ) ， 联立方程
3x2 + 4y2 =12，
得 (3t2 + 4)y2 + 6ty 9 = 0， ……5 分
所以 = 36t2 4(3t2 + 4)( 9) =144(t2 +1) 0 ，
6t 9
y + y = ， y y = 0 ． ……6 分 1 2
3t2
1 2
+ 4 3t2 + 4
高二数学参考答案 第 5 页（共 6 页）
选择①：
因为 S1 = 2S ， 2
1 1
所以 AM y = 2( AM y ， ． ……7 分 1 2 ) y1 = 2y2
2 2
6t 9
所以 y = ， 2y 2 = ． 2
3t2
2
+ 4 3t2 + 4
6t 9 2 5
所以 2( )2 = ， t = ．
3t2 + 4 3t2 + 4 5
1 5
所以 l 的斜率为 k = = ． ……8 分
t 2
选择②：
y
因为 A(3,0) ，所以 AP : y = 1 (x 3) ，
x1 3
2y
令 x = 5 ，得 D(5, 1 ) ． ……7 分
x1 3
2y
同理， E(5, 2 )．
x2 3
2y 2y 2y 2y 4 y1 y所以 1 2 1 2 2DE = = = ……8 分
x 21 3 x2 3 ty1 2 ty2 2 t y1y2 2t(y1 + y2 ) + 4
6t + 6t 12 t2 +1
又 y1 y2 = = ．
2(3t2 + 4) 2(3t2 + 4) 3t2 + 4
48 t2 +1
2 48 t2 +1
所以 DE = 3t + 4 = ． ……9 分
2 9 6t 15t
2 +16
t 2t + 4
3t2 + 4 3t2 + 4
48 t2 +1 15 4
所以 = ，解得 t =
15t2 +16 8 3
3
所以直线 l 的斜率为 k = ……10 分
4
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