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专题5操作与探究（容易2)
1.(罗湖实验刘永红供题)如图，已知等腰△ABC的顶角∠A=36°·
(1)根据要求用尺规作图：作∠ABC的平分线交AC于点D:(不写作法，只保留作图
痕迹.)
(2)在(1)的条件下，证明：△BDC是等腰三角形.
y
B
2.(松泉中学黄璨供题)问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为√2、V13、
√7，求这个三角形的面积
小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格
中画出格点△ABC(即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处)，如图1所示.这样不需
求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积。
图1
图2
图3
(1)请你将△ABC的面积直接填写在横线上.
思维拓展：
(2)我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法.若△ABCc三边的长分别为√2a、25a、
√26a(a>0),请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为a)画出相应的△4BC,并
求出它的面积是：
探索创新：
.79-
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(3)若△4BC三边的长分别为√4m2+n2、√16m2+n2、2√m2+n2(m>0,n>0,m≠n),
请运用构图法在图3指定区域内画出示意图，并求出△ABC的面积为：
3.(大望学校黎元元供题)已知以线段AC为对角线的四边形ABCD(它的四个顶点A,B,C,
D按顺时针方向排列)中，AB=BC=CD,∠ABC=100°，∠CAD=40°，试探究∠BCD的度
数。
4.(深圳市翠园文锦中学李晶供题)我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉
三角”（如图所示）就是一例这个三角形的构造法则为：
两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方（左右）两数之和.事实上，这个三角形给出了
(a+b)n(n为正整数)的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律、例如，
在三角形中第三行的三个数1、2、1，恰好对应(a+b)2=a2+2ab+b2展开式中各项的系
数：第四行的四个数1、3、3、1，恰好对应着(a+b)3=a3+3ab+3ab2+b展开式中各项
的系数等等
(1)根据上面的规律，(a十b)4展开式的各项系数中最大的数为
(2)若(2x十1)2021=ax2021+a2x2020+ax2019+十a201r2+a202x+1,求a1-a2十a3-.
十a2020-1的值.
----(a+)
------(a+b)2
(a+b)
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专题5操作与探究（易2)
1.(罗湖实验刘永红供题)如图，己知等腰△ABC的顶角∠A=36°·
(1)根据要求用尺规作图：作∠ABC的平分线交AC于点D:(不写作法，只保留作图
痕迹.)
(2)在(1)的条件下，证明：△BDC是等腰三角形.
A
B
【解答】(1)如图所示：BD即为所求：
B
(2),∠A=36°，
.∠ABC=∠C=(180°-36°)÷2=72°，
,BD平分∠ABC
.∠ABD=∠DBC=72°÷2=36°，
.∠CDB=180°-36°-72°=72°，
,∠C=∠CDB=72°，
.BD=BC,
∴△BDC都是等腰三角形.
2.(松泉中学黄璨供题)问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为√2、√13、
√7，求这个三角形的面积.
小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格
中画出格点△ABC(即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处)，如图1所示.这样不需
求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积.
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图1
图2
图3
(1)请你将△ABC的面积直接填写在横线上.
思维拓展：
(2)我们把上述求△4BC面积的方法叫做构图法.若△ABCc三边的长分别为√2a、2√5a、
√26a(a>0),请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为a)画出相应的△ABC,并
求出它的面积是：
探索创新：
(3)若△ABC三边的长分别为√4m2+n2、√16m2+n2、2√m2+n2(m>0,n>0,m≠n),
请运用构图法在图3指定区域内画出示意图，并求出△ABC的面积为：
【答案】(1)
(2)3a2(3)3mn
3.(大望学校黎元元供题)已知以线段AC为对角线的四边形ABCD(它的四个顶点A,B,C,
D按顺时针方向排列)中，AB=BC=CD,∠ABC=100°，∠CAD=40°，试探究∠BCD的度
数。
【答案】作出图形，证明Rt△ACE≌Rt△ACF,Rt△BCE≌Rt△DCF,分类讨论可得解.
,AB=BC,∠ABC=100°，
,.∠1=∠2=∠CAD=40°
∴.AD∥BC.点D的位置有两种情况：
如图①，过点C分别作CE⊥AB于E,CF⊥AD于F,
.∠1=∠CAD,∴.CE=CF,
AC=AC
在Rt△ACE与Rt△ACF中，
CE=CF'
∴.Rt△ACE≌Rt△ACF,
∴.∠ACE=∠ACF.
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