深圳市洪飞市名师工作室团队&罗湖区初中数学中考研究团队联合编辑
专题6特殊四边形一证一算（中）
1.(滨河实验中学杨霞供题)如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AD
的中点，点F,G在AB上，EF⊥AB,OG∥EF.
(1)求证：四边形OEFG是矩形：
D
(2)若AD=10,EF=4,求OE和BG的长.
【解答】解：(1)，四边形ABCD是菱形，
..OB=OD
,E是AD的中点，
∴OE是△ABD的中位线，
.OE∥FG,
OG∥EF,
四边形OEFG是平行四边形，
EF⊥AB,
∴.∠EFG=90°，
∴.平行四边形OEFG是矩形：
(2).四边形ABCD是菱形，
.BD⊥AC,AB=AD=10,
∴.∠AOD=90°，
E是AD的中点，
六0E=4E=24D=5:
由(1)知，四边形OEFG是矩形，
..FG=OE=5,
AE=5,EF=4,
∴AF=√AE2-EF2=3
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.BG=AB-AF-FG=10-3-5=2.
2.(翠园初级中学杨馥羽供题)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,
分别过点A,C作AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F.AC平分∠DAE.
(1)若∠AOE=50°，求∠ACB的度数：
(2)求证：AE=CF.
B
【解答】
(1)解：AE⊥BD,
∴.∠AE0=90°，
.∠A0E=50°，
∴.∠EA0=40°，
,CA平分∠DAE,
.∠DAC=∠EAO=40°，
,四边形ABCD是平行四边形，
.AD∥BC,
∠ACB=∠DAC=40°，
(2)证明：，四边形ABCD是平行四边形，
..OA=OC,
AE⊥BD,CF⊥BD,
∴.∠AE0=∠CFO=90°，
,∠AOE=∠COF,
.△AEO≌△CFO(AAS),
..AE=CF.
3,(深圳市翠园文锦中学.李晶题)将矩形ABCD折叠使A,C重合，折痕交BC于E,交AD
于F,
(1)求证：四边形AECF为菱形：
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(2)若AB=4,BC=8,
①求菱形的边长：
②求折痕EF的长.
0
B
E
C
(1),矩形ABCD折叠使A,C重合，折痕为EF,
∴.OA=OC,EF⊥AC,EA=EC
.AD//AC,
∴.∠FAC=∠ECA,在△AOF和△COE中，
∠FAO=∠ECO
AO-CO
∠AOF=∠COE
.△AOF≌△C0E,
∴.Of=OE,
,OA=OC,AC⊥EF,
∴.四边形AECF为菱形：
(2)①设菱形的边长为x,则BE=BC-CE=8-x,AE=x,
在Rt△ABE中，，BE2+AB2=AE2,
.(8-x)2+42=x2,解得x=5,
即菱形的边长为5：
②在Rt△ABC中，AC=VAB2+BC2=4V5,
0A=4c=2v5.
在Rt△AOE中，AE=5,
0E=VAE2-AO2=√5，
∴.EF=20E=2√5，
4.(大望学校黎元元供题)已知BD垂直平分AC,∠BCD=∠ADF,AF⊥AC,
(1)证明ABDF是平行四边形：
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专题6特殊四边形一证一算（中）
1.(滨河实验中学杨霞供题)如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AD的
中点，点F,G在AB上，EF⊥AB,OG∥EF
(1)求证：四边形OEFG是矩形：
(2)若AD=10,EF=4,求OE和BG的长.
D
E
0
G
B
2.(翠园初级中学杨馥羽供题)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,
分别过点A,C作AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F.AC平分∠DAE.
(1)若∠AOE=50°，求∠ACB的度数：
(2)求证：AE=CF
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3.(深圳市翠园文锦中学李晶)将矩形ABCD折叠使A,C重合，折痕交BC于E,交AD于
F,
(1)求证：四边形AECF为菱形：
(2)若AB=4,BC=8,
①求菱形的边长：
②求折痕EF的长.
E
4.(大望学校黎元元供题)已知BD垂直平分AC,∠BCD=∠ADF,AF⊥AC,
(1)证明ABDF是平行四边形：
(2)若AF=DF=6,AD=8,求AC的长.
D
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5.(东湖中学何少华供题)在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,E为AB的中点，
连接OE并延长到点F,使EF=EO,连接AF,BF.
(1)求证：四边形AOBF是矩形：
(2)若AD=5,sin∠AFO=
3,求AC的长.
D
E
B
6.(罗湖教科院附属学校肖馨蕊供题)如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,
过点D作DE//AC且DE=OC,连结CE.
(1)求证：四边形0CED是矩形
(2)连结AE交OD于点F,若菱形ABCD的边长为6，∠ABC=60°，求AE的长.
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7.(罗湖中学吴苗苗供题)如图，四边形
是平行四边形，
,垂足分
别为，，且=
(1)求证：四边形
是菱形：
(2连接并延长，交的延长线于点，若
=30°，=2，求的长.
D
8.(罗外初中涂明珠供题)如图，△ABC中，D是AB边上任意一点，F是AC中点，过点
C作CE∥AB交DF的延长线于点E,连接AE,CD.
(1)求证：四边形ADCE是平行四边形：
(2)若∠B=30°，∠CAB=45°，AC=V2,求AB的长.
D
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