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专题10列方程及不等式解应用题（较难)
1.(罗湖中学罗湖中学杨依文供题)我们知道：求解一元一次方程，根根等式的基本性质，
把方程转化为=的形式求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解：类似地，
求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组求解一元二次方程，把它转化为两个
一元一次方程来解求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增
根，所以解分式方程必须检验各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学
思想一转化，把未知转化为已知，用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程例
如，一元三次方程3-=0，可以通过因式分解把它转化为(2-1)=0，解方程=0
和2-1=0，可得方程3-=0的解.
(1)[问题]方程3-=0的解是1=0,2=一，3=
(2)[拓展]用“转化”思想解方程：√4+13=+2：
(3)[应用]如上图，已知矩形草坪
的宽=8，小华把一根长为27的绳子的一端固
定在点，沿草坪边沿，走到点处，且
=25,把长绳段拉直并固定在点
，然后沿草坪边沿、走到点处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点
求的长。
解：(1)-1,1：
(2)V4+13=+2,
方程的两边平方，得4+13=(+2)2，
即2=9，
1=3,2=-3,
当=-3时，V4+13=1≠-1，
一3不是原方程的解，
V4+13=+2的解是=3：
(3)四边形
是矩形，
==90°，=
=8,
设=
,则=27-，=V2-82,=√(27-)2-82
2-82
2
V27--=号
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两边平方得72+72-1420=0，
142
x1=10,z2=
解得：
7,
经检验，=10是方程的解.
=10,
答：
长为10.
2.(罗湖教科院附属学校肖馨蕊供题)某药店准备购进A,B两种口罩，A种每件的进价比
B种每件的进价多20元，用3000元购进A种和用1800元购进B种的数量相同.药店将A种
每件的售价定为80元，B种每件的售价定为45元.
(1)A种口罩每件的进价和B种口罩每件的进价各是多少元？
(2)若药店开展优惠促销活动，决定对每件A种口罩售价优惠M(10<<20)元，B
种商品售价不变，在(2)条件下，请设计出销售这40件商品获得总利润最大的进货方案.
解：(1)设A种每件的进价是x元，则B种每件的进价是(-20)元，
由题意得：
3000=1800
-20
解得：
=50,
经检验，=50是原方程的根且符合题意，
50-20=30,
答：A种每件的进价是50元，B种每件的进价是30元：
(2)设销售，两种口罩共获利元，
由题意得：=(80-50-)+(45-30)(40-)=(15-)+600，
①当10<<15时，15->0，随的增大而增大，
当=18时，获利最大，即买18件商品，22件商品，
②当=15时，15-=0，
与的值无关，即(2)问中所有进货方案获利相同，
③当15<<20时，15-<0，随的增大而减小，
.当=14时，获利最大，即买14件商品，26件商品
3.(东湖中学何丽芬供题)2021年是我国脱贫胜利年，我国在扶贫方面取得了巨大的成就，
技术扶贫也使得某县的一个电子器件厂扭亏为盈.该电子器件厂生产一种电脑显卡，2019
年该类电脑显卡的成本是200元/个，2020年与2021年连续两年在技术扶贫的帮助下改进技
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专题 10 列方程及不等式解应用题（较难）
1.（罗湖中学杨依文供题）我们知道：求解一元一次方程，根根等式的基本性质，把方程转
化为 = 的形式.求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似地，求解三元
一次方程组，把它转化为解二元一次方程组.求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次
方程来解.求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以
解分式方程必须检验.各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——
转化，把未知转化为已知.用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程.例如，一元
三次方程 3 = 0，可以通过因式分解把它转化为 ( 2 1) = 0，解方程 = 0和 2 1 =
0，可得方程 3 = 0的解．
(1)[问题]方程 3 = 0的解是 1 = 0， 2 = ____ ， 3 = ____ ；
(2)[拓展]用“转化”思想解方程： 4 + 13 = + 2；
(3)[应用]如上图，已知矩形草坪 的宽 = 8 ，小华把一根长为 27 的绳子的一端固
定在点 ，沿草坪边沿 ， 走到点 处，且 ∶ = 2 ∶ 5，把长绳 段拉直并固定在点
，然后沿草坪边沿 、 走到点 处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点
.求 的长．
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2.（罗湖教科院附属学校肖馨蕊供题）某药店准备购进 A, B 两种口罩，A 种每件的进价比
B种每件的进价多 20 元，用 3000 元购进 A 种和用 1800 元购进 B 种的数量相同.药店将 A 种
每件的售价定为 80 元，B种每件的售价定为 45 元.
（1）A种口罩每件的进价和 B种口罩每件的进价各是多少元
（2）若药店开展优惠促销活动，决定对每件 A 种口罩售价优惠 M（ 10 < < 20 ）元，B
种商品售价不变，在（2）条件下，请设计出销售这 40 件商品获得总利润最大的进货方案.
3.（东湖中学何丽芬供题）2021年是我国脱贫胜利年，我国在扶贫方面取得了巨大的成就，
技术扶贫也使得某县的一个电子器件厂扭亏为盈．该电子器件厂生产一种电脑显卡，2019
年该类电脑显卡的成本是 200元/个，2020年与 2021年连续两年在技术扶贫的帮助下改进技
术，降低成本，2021年该电脑显卡的成本降低到 162元/个．
（1）若这两年此类电脑显卡成本下降的百分率相同，求平均每年下降的百分率；
（2）2021年某商场以高于成本价 10%的价格购进若干个此类电脑显卡，以 216.2元/个销售
时，平均每天可销售 20个，为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低
5元，每天可多售出 10个，如果每天盈利 1120元，单价应降低多少元？
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4.（大望学校陈志群供题）随着人们“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜
欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的 A型自行车去年销售总额为
8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低 200 元．若该型车的销售数量与去年相同，
那么今年的销售总额将比去年减少10%，求：
（1） A型自行车去年每辆售价多少元？
（2）该车行今年计划新进一批 A型车和新款 B型车共 60 辆，且 B型车的进货数量不超过 A
型车数量的两倍．已知 A型车和 B型车的进货价格分别为 1500 元和 1800 元，计划 B型车
销售价格为 2400 元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多？
5.（翠园文锦仲茗供题）周末，数学实践小组的同学带着测量工具测量深圳沙井大钟山宝塔
的高度．测量方案如下：首先，在 A 处竖立一根高 4m 的标杆 AB，
发现地面上的点 D、标杆顶端 B 与宝塔顶端 M 在一条直线上，测
得 AD 4.3 m；然后，移开标杆，在 A处放置测角仪，调整测角
仪的高度，当测角仪高 AC 为 1m 时，恰好测得点 M 的仰角为 45°
已知MN ND， AB ND，点 D、A、N 在一条直线上，点 A、
C、B 在一条直线上，求宝塔的高 MN．
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6．（翠园初级中学黄为供题）某超市销售一种牛奶，进价为每箱 24 元，规定售价不低于进
价．现在的售价为每箱 36 元，每月可销售 60 箱．市场调查发现：若这种牛奶的售价每降价
1元，则每月的销量将增加 10 箱，设每箱牛奶降价 x元（x 为正整数），每月的销量为 y
箱．
(1)写出 y 与 x 之间的函数关系式和自变量 x 的取值范围 ；
(2)超市如何定价，才能使每月销售牛奶的利润最大？最大利润是多少元？
7．（滨河实验中学杨霞供题）某商场以每件 20元的价格购进一种商品，规定这种商品每件
售价不低于进价，又不高于 38元，经市场调查发现：该商品每天的销售量 y（件）与每件
售价 x（元）之间符合一次函数关系，如图所示．
（1）求 y与 x之间的函数关系式；
（2）该商场销售这种商品要想每天获得 600元的利润，每件商品的售价应定为多少元？
（3）设商场销售这种商品每天获利 w（元），当每件商品的售价定为多少元时，每天销售利
润最大？最大利润是多少？
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8.（罗外初中部郭爱玲供题）去年“抗疫”期间，某生产消毒液厂家响应政府号召，将成本
价为 6 元/件的简装消毒液低价销售，为此当地政府决定给予其销售的这种消毒液按 a 元/
件进行补贴，设某月销售价为 x元/件，a与 x之间满足关系式： = 20%(10 )，下表是
某 4 个月的销售记录，每月销售量 (万件)与该月销售价 (元/件)之间成一次函数关系(6 ≤
< 9)．
月份 … 二月 三月 四月 五月 …
销售价
… 6 7 7.6 8.5 …
(元/件)
该月销售量
… 30 20 14 5 …
(万件)
(1)求 y 与 x 的函数关系式；
(2)当销售价为 8 元/件时，政府该月应付给厂家补贴多少万元？
(3)当销售价 x 定为多少时，该月纯收入最大？(纯收入=销售总金额 成本+政府当月补贴)
9.（东晓中学陈莎莎供题）某商店经销甲、乙两种商品，已知一件甲种商品和一件乙种商品
的进价之和为 30 元，每件甲种商品的利润是 4 元，每件乙种商品的售价比其进价的 2 倍
少 11 元，小明在该商店购买 8 件甲种商品和 6 件乙种商品一共用了 262 元．
(1) 求甲、乙两种商品的进价分别是多少元？
(2) 在（1）的前提下，经销商统计发现，平均每天可售出甲种商品 400 件和乙种商品 300
件，如果将甲种商品的售价每提高 0.1 元，则每天将少售出 7 件甲种商品；如果将乙种商
品的售价每提高 0.1 元，则每天将少售出 8 件乙种商品．经销商决定把两种商品的价格都
提高 元，在不考虑其他因素的条件下，当 为多少时，才能使该经销商每天销售甲、
乙两种商品获取的利润共 2500 元？
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10.（罗外实验汪德萍供题）某种食品的销售价格 y1与销售月份 x之间的关系如图 1 所示，
成本 y2 与销售月份 x之间的关系如图 2 所示（图 1 的图象是线段，图 2 的图象是部分抛物
线）．
（1）已知 6 月份这种食品的成本最低，求当月出售这种食品每千克的利润（利润 售价 成
本）是多少？
（2）求出售这种食品的每千克利润 P与销售月份 x之间的函数关系式；
（3）哪个月出售这种食品，每千克的利润最大？最大利润是多少？简单说明理由．
11.（罗湖实验聂霞供题）某商店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个 30元
的价格进货，经过市场发现当每个背包的售价为 40元时，月均销量为 280 个，售价每增长
2元，月均销量就相应减少 20个．
（1）若使这种背包的月均销量不低于 130个，每个背包售价应不高于多少元？
（2）在(1)的条件下，当该这种书包销售单价为多少元时，销售利润是 3120元？
（3）这种书包的销售利润有可能达到 3700元吗？若能，请求出此时的销售单价；若不能，
请说明理由．
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12.（桂园中学余阳供题）如图，有长为 22 米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为
14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在 BC上
用其他材料造了宽为 1米的两个小门．
（1）设花圃的宽 AB为 x米，请你用含 x的代数式表示 BC 的长 (24 3x) 米；
（2）若此时花圃的面积刚好为 45m2，求此时花圃的宽．
13.（布心中学周永忠供题）深圳著名“网红打卡地”东部华侨城在 2018年春节长假期间，
接待游客达 20万人次，预计在 2020年五一长假期间，接待游客奖达 28.8万人次．
一家特色小面店希望在五一长期限期间获得好的收益，经测算知，该小面成本价为每碗 6
元，借鉴经验：若每碗卖 25元，平均每天将销售 300碗，若价格每降低 1元，则平均每天
多销售 30碗．
（1）求出 2018至 2020年五一长假期间游客人次的年平均增长率；
（2）为了更好地维护深圳城市形象，店家规定每碗售价不得超过 20元，则当每碗售价定为
多少元时，店家才能实现每天利润 6300元？
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14.（松泉中学黄璨供题）我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有鸡兔同笼，上有三十
五头，下有四十九足，问鸡兔各几何？”译文：有若干只鸡与兔在同一个笼子里，从上面数
有 35 个头，从下面数 94 只脚，问笼中各有几只鸡和兔？根据以上译文，回答以下问题：
（1）笼中鸡、兔各有多少只？
（2）若还是 94 只脚，但不知道头多少个，笼中鸡兔至少 30 只且不超过 40 只.鸡每只值 80
元，兔每只值 60 元，问这笼鸡兔最多值多少元？最少值多少元？
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