罗湖区初中数学中考研究团队&深圳市洪飞市名师工作室团队联合编辑
专题11圆的综合题（较难）
1.(滨河实验中学林翠凤供题)已知：△ABC是⊙O的内接三角形，AP平分∠BAC交BC
于D,交⊙O于P
(1)如图1，求证：BP=CP:
(2)如图2，G是AC的中点，连接BG分别交AP、AC于E、F,连接BP,求证：BP=
PE:
(3)如图3，在(2)的条件下，点H是EF上的一点，∠ABE+1∠PBD=45°，BE=
2
4EH=4,∠BPH=45°，求AE的长.
G
E
F
E
C
)
D
B
0
B
D
P
P
P
图1
图2
3
2.(翠园初级中学黄为供题)(1)问题探究
数学课上，李老师给出以下命题，要求加以证明，
如图1，在△ABC中，M为BC的中点，且MA=1BC,求证∠BAC=90°.
同学们经过思考、讨论、交流，得到以下证明思路：
思路一直接利用等腰三角形性质和三角形内角和定理…
思路二延长AM到D使DM=MA,连接DB,DC,利用矩形的知识…
思路三以BC为直径作圆，利用圆的知识…
思路四…
请选择一种方法写出完整的证明过程；
(2)结论应用
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李老师要求同学们很好地理解(1)中命题的条件和结论，并直接运用(1)命题的结论
完成以下两道题：
①如图2，线段AB经过圆心O,交⊙O于点A,C,点D在⊙O上，且∠DAB=30°，
OA=a,OB=2a,求证：直线BD是⊙O的切线：
②如图3，△ABC中，M为BC的中点，BD⊥AC于D,E在AB边上，且EM=DM,连
接DE,CE,如果∠A=60°，请求出△ADE与△ABC面积的比值
(图1)
(图2)
(图3)
3.(翠园文锦中学仲茗供题)如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，AC的垂直
平分线交AC边于点D,交AB边于点O,以点O为圆心，OB的长为半径作圆，与AB
边交于点E.
(1)求证：AC是⊙O的切线：
(2)若点P为⊙O上的动点（含点E,B),连接BD、BP、DP,
①当点P只在BE左侧半圆上时，如果BC∥DP,求∠BDP的度数：
②若Q是BP的中点，当BE=4时，直接写出CQ长度的最小值.
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E
O
B
0
4.(大望学校祝汉夫供题)如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，以BC上一点O为圆心作圆
与AB相切于点D,与BC分别交于点F、N,连接DF并延长交AC的延长线点E.
(1)求证：AE=AD:
(2)过点D作DH⊥BC于点B,连接AF并延长交⊙O于点G,连接DG,若DO平分
∠GDH.求证：∠AFD=2∠DFN:
(3)在(2)的条件下，延长DG交AE的延长线于点P,连接PF并延长交⊙O于点M,
若FM=5,FH=9,求OH的长.
G
H
D
B A
图1)
图(2)
图(3)
5.(东湖中心何丽芬供题)已知：在△ABC中，AB=AC,点D是AB上一点，以BD为直
径的⊙O与AC边相切于点E,交BC于点F,FG⊥AC于点G.
(1)如图1，求证：GE=GF
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专题11圆的综合题（较难）
1.(滨河实验中学林翠凤供题)己知：△ABC是⊙O的内接三角形，AP平分∠BAC交BC
于D,交⊙O于P
(1)如图1，求证：BP=CP:
(2)如图2，G是AC的中点，连接BG分别交AP、AC于E、F,连接BP,求证：BP=
PE:
(3)如图3，在(2)的条件下，点H是EF上的一点，∠ABE+1∠PBD=45°，BE=
2
4EH=4,∠BPH=45°，求AE的长.
G
E
F
C
B
D
B
0
B
P
P
图1
图2
图3
【解答】解：(1)，AP平分∠BAC,
∴.∠BAP=∠CAP,
..BP=CP.
(2)设∠BAP=∠CAP=C,
G为AC中点，
..AG=CG,
∴.∠ABG=∠CBG,
设∠ABG=∠CBG=B,
则∠EBP=∠GBC+∠CBP=∠GBC+∠CAP=Q+B,
∠BEP=∠BAP+∠ABG=+B,
.∠EBP=∠BEP,
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∴.BP=PE.
(3):∠ABE+1∠PBD=45°，
2
∴.2∠ABE+∠PBD=90°，
即∠ABP=90°，
AP为直径，
.AP⊥BC,
如下图，作PK⊥BH于点K,
o
D
.BP=PE,BE=4EH=4,
BK=KE=2,
将△PBK沿PB翻折，点K落在点M处，
将△PKH沿PH折叠，点K落在点N处，
延长MB,NF交于点Q,
有：BM=BK=2,FN=KH=3,
.∠BPH=45°，
.∠MPN=90°，
.'∠M=∠N=∠BKP=90°，PM=PW,
四边形PMQW为正方形，
设正方形边长PM=PK=x,
则有QB=x-2,QH=x-3,BH=5
在Rt△QBH中，有：QB2+QH=BH,
即：(x-2)2+(x-3)2=52,
解得：x1=-1(舍)，x2=6,
PK=6,
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∴PB=PE=√22+62=2W10,
在△BEP中有：
BDPE=BE·PK,
即：BD2V10=4×6,
解得：BD=6√10
5
由幻数定理可得：0=PE2-D2-20)2-)2-8
5
:cos∠BPD=PD_PB
PB AP
.4P=PB2-5V10
PD
2
4=4PPE=5D-2Ni0-西
P
2
2.(翠园初级中学黄为供题)(1)问题探究
数学课上，李老师给出以下命题，要求加以证明.
如图1，在△ABC中，M为BC的中点，且MA=1BC,求证∠BAC=90°.
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同学们经过思考、讨论、交流，得到以下证明思路：
思路一直接利用等腰三角形性质和三角形内角和定理…
思路二延长AM到D使DM=MA,连接DB,DC,利用矩形的知识…
思路三以BC为直径作圆，利用圆的知识…
思路四…
请选择一种方法写出完整的证明过程：
(2)结论应用
李老师要求同学们很好地理解(1)中命题的条件和结论，并直接运用(1)命题的结论
完成以下两道题：
①如图2，线段AB经过圆心O,交⊙O于点A,C,点D在⊙O上，且∠DAB=30°，
OA=a,OB=2a,求证：直线BD是⊙O的切线：
②如图3，△ABC中，M为BC的中点，BD⊥AC于D,E在AB边上，且EM=DM,连
接DE,CE,如果∠A=60°，请求出△ADE与△ABC面积的比值.
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