深圳市洪飞市名师工作室团队&罗湖区初中数学中考研究团队联合编辑
专题11圆的综合题（易1)
1.(滨河实验中学林翠凤供题)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AE平分∠BAC,交BC
于点E,点D在AC上，以AD为直径的⊙O经过点E,点F在⊙O上，且EF平分∠AED,
交AC于点G,连接DF
(1)求证：△DEF∽GDF:
(2)求证：BC是⊙O的切线：
(3)若cos∠CAB=3,DF=10N2,求线段GF的长.
2
F
A
0
G
D
B
E
【解答】(1)证明：如图1，
F
G
D
B
E
C
图1
:EF平分∠AED,
∴.∠AEF=∠FED,
.∠AEF=∠ADF,
∴，∠FED=∠ADF,
.∠GFD=∠DFE,
..△GFD∽△DFE:
(2)证明：如图2，
-475-
深圳市洪飞市名师工作室团队&罗湖区初中数学中考研究团队联合编辑
F
O
G
0
B
E
C
图2
,AE平分∠BAC,
.'.∠BAE=∠EAO,
.OA=OE,
∴.∠EAO=∠OEA,
∴.∠BAE=∠OEA,
AB∥OE
∴.∠OEC=∠B,
.∠B=90°，
.∠OEC=90°，
OE为半径，
,.BC是⊙O的切线：
(3)解：如图3，连接OF、AF,
F
G
D
B
E
图3
,AD为直径，
∴.∠AFD=∠AED=90°，
,EF平分∠AED,
-476
深圳市洪飞市名师工作室团队&罗湖区初中数学中考研究团队联合编辑
∴.∠AEF=∠FED=45°，
∴.∠AFD=∠AEF=45°，
.△AFD为等腰直角三角形，
.DF=10V2,OA=OD
∴.AD=V2DF=V2X10W2=20,OF⊥AD,OA=OD=OF=10,
·cos∠CAE=V3
4E-4D-cosZC4E-20x3-103.
,∠AEF=∠ADF,∠AGE=∠FGD,
∴.△AGE∽△FGD,
.FG DF 10V2 V2
AG AE 10V33
AG-V6GF,
.AG=AO+0G=10叶OG,
10+0G=V6Gf
2
0G=6GF-10,
2
在Rt△FOG中，
GF2=0F2+0G2,
÷GF2=102+(6GF-10)2,
解得：GF=10(W6-√2)或10(W6W2)(不符合题意，舍去)，
.线段GF的长为10(6-√2).
2.(翠园初级中学黄为供题)如图1，⊙0的直径AB=12,P是弦BC上一动点（与点B,
C不重合)，∠ABC=30°，过点P作PD⊥OP交⊙O于点D.
D
C
D
B
图1
图2
图3
(1)如图2，当PD∥AB时，求PD的长：
-477-罗湖区初中数学中考研究团队&深圳市洪飞市名师工作室团队联合编辑
专题11圆的综合题（易1)
1.(滨河实验中学林翠凤供题)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AE平分∠BAC,交BC
于点E,点D在AC上，以AD为直径的⊙O经过点E,点F在⊙O上，且EF平分∠AED,
交AC于点G,连接DF.
(1)求证：△DEF∽GDF:
(2)求证：BC是⊙O的切线：
(3)若cos∠CAB=3,DF=10N2,求线段GF的长.
F
A
0
G
D
B
E
-255-
罗湖区初中数学中考研究团队&深圳市洪飞市名师工作室团队联合编辑
2.(翠园初级中学黄为供题)如图1，⊙O的直径AB=12,P是弦BC上一动点（与点B,
C不重合)，∠ABC=30°，过点P作PD⊥OP交⊙O于点D
C
D
D
B
B
图1
图2
图3
(1)如图2，当PD∥AB时，求PD的长：
(2)如图3，当DC=AC时，延长AB至点E,使BE=1AB,连接DE.
①求证：DE是⊙O的切线：
②求PC的长.
3.(翠园文锦中学仲茗供题)如图，AD为⊙O的直径，AB=DB,连接AB、DB,BC为⊙O
的切线，连接CD并延长到F,DF交⊙O于点E,连接AF.
(1)求证：AD∥BC:
(2)若∠C=45°，sinF=
3O0的直径为5W2,求DF的长.
B
A
-256
罗湖区初中数学中考研究团队&深圳市洪飞市名师工作室团队联合编辑
4.(大望学校祝汉夫供题)如图，圆O中两条互相垂直的弦AB,CD交于点E.
(1)M是CD的中点，OM=3,CD=12,求圆O的半径长：
(2)点F在CD上，且CE=EF,求证：AF⊥BD,
D
B
C
5.(东湖中心何丽芬供题)如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且AD平分∠CAB,
过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交于E,与AB的延长线相交于点F,G为AB
的下半圆弧的中点，DG交AB于H,连接DB、GB
(1)证明EF是⊙O的切线：
(2)求证：∠DGB=∠BDF:
(3)己知圆的半径R=5,BH=3,求GH的长，
E
D
B
-257-
罗湖区初中数学中考研究团队&深圳市洪飞市名师工作室团队联合编辑
6.(教科院附属学校张旭供题)如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交
AB、AC于点E、D,DF是圆的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G.
(1)求证：DF⊥AB:
(2)若AF的长为2，求FG的长.
菁伏
E
D
回
B
7.(罗湖中学杨依文供题)如图，己知AB是⊙O的直径，P是半径OB上一点，作弦CD
⊥AB交⊙O于点C,D,其中CD=8,AB=10.E是AD上一点，延长AE交CD的延长
线于点F,延长BD交EF于点G,连结DE.
(1)求证：∠AEC=∠DEF
(2)连结BC,当四边形BCEG中有一组对边平行时，求DE的长.
(3)当anF=2时，求DE的值.
3
AE
B
-258-
