深圳市洪飞市名师工作室团队&罗湖区初中数学中考研究团队联合编辑
专题11圆的综合题（易2)
1.(滨河实验中学林翠凤供题)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是⊙O的直径，过圆心
O的直线PF⊥AB于D,交⊙O于E,F,PB是⊙O的切线，B为切点，连接AP,AF.
(1)求证：直线PA为⊙O的切线：
(2)求证：AC2=4ODOP:
(3)若BC=6,tan∠R号求4C的长.
0
B
【解答】(1)证明：连接OB,
B
,PB是⊙O的切线，
.∠PBO=90°，
.OA=OB,BA⊥PO于D,
∴.AD=BD,∠POA=∠POB,
又PO=PO,
,.△PAO≌△PBO(SAS),
.∠PAO=∠PB0=90°，
,OA为圆的半径，
直线PA为⊙O的切线：
(2)证明：，∠PAO=∠PDA=90°，
.∠OAD+∠AOD=90°，∠OPA+∠AOP=90°，
∠OAD=∠OPA,
∴.△OAD△OPA,
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:0D0A
OA OP
∴.OA2=ODOP,
又，EF=2OA,
.EF2=40DOP:
(3)解：，OA=OC,AD=BD,BC=6,
.0D=1BC=3,
2
设AD=x,
:tan∠F=
21
..FD=2x,OA=OF=2x-3,
在Rt△AOD中，由勾股定理，得，
(2x-3)2=x2+32,
解之得，x1=4,2=0(不合题意，舍去)，
.AD=4,OA=2x-3=5,
,AC是⊙O的直径，
∴.AC=20A=10.
.AC的长为10.
2.(翠园初级中学黄为供题)如图，AB为⊙O直径，C是⊙O上一点，CO⊥AB于点O,
弦CD与AB交于点F,过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点E,过点A作⊙O的切
线交ED的延长线于点G.
(1)求证：△EFD为等腰三角形：
(2)若OF:OB=1:3,⊙0的半径为3，求AG的长.
B
D
.502
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【解答】(1)证明：连接OD,
.OC=OD,
∴.∠C=∠ODC,
OC⊥AB,
.∠COF=90°，
∴.∠OCD+∠CFO=90°，
GE为⊙O的切线，
∴.∠ODC+∠EDF=90°，
.∠EFD=∠CFO,
∴，∠EFD=∠EDF,
∴EF=ED
(2)解：，OF:OB=1:3,⊙0的半径为3，
.OF=1,
,∠EFD=∠EDF,
EF-=ED
在Rt△ODE中，OD=3,DE=x,则EF=x,OE=1+x,
.0D2+DE2=0E2,
.32+x2=(x+1)2,解得x=4,
∴DE=4,OE=5,
,AG为⊙O的切线，
AG⊥AE,
∴∠GAE=90°，
而∠OED=∠GEA,
∴.Rt△EOD∽Rt△EGA,
:OD=DE,即3=4
AG AE
AG3+5
.AG=6.
.503-罗湖区初中数学中考研究团队&深圳市洪飞市名师工作室团队联合编辑
专题11圆的综合题（易2）
1.(滨河实验中学林翠凤供题)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AE平分∠BAC,交BC
于点E,点D在AC上，以AD为直径的⊙O经过点E,点F在⊙O上，且EF平分∠AED,
交AC于点G,连接DF.
(1)求证：△DEF∽GDF:
(2)求证：BC是⊙O的切线：
(3)若cos∠CAB=3,DF=10√2，求线段GF的长.
2
F
A
G
D
B
E
2.(翠园初级中学黄为供题)如图1，⊙O的直径AB=12,P是弦BC上一动点（与点B,
C不重合)，∠ABC=30°，过点P作PD⊥OP交⊙O于点D.
D
D
D
B
B
图1
图2
图3
(1)如图2，当PD∥AB时，求PD的长：
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(2)如图3，当DC=AC时，延长AB至点E,使BE=1AB,连接DE.
①求证：DE是⊙O的切线：
②求PC的长.
3.(翠园文锦中学仲茗供题)如图，AD为⊙O的直径，AB=DB,连接AB、DB,BC为⊙0
的切线，连接CD并延长到F,DF交⊙O于点E,连接AF.
(1)求证：AD∥BC:
(2)若∠C=45°，sinF=5,⊙0的直径为52，求DF的长.
131
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4.(大望学校祝汉夫供题)如图，圆O中两条互相垂直的弦AB,CD交于点E.
(1)M是CD的中点，OM=3,CD=12,求圆O的半径长：
(2)点F在CD上，且CE=EF,求证：AF⊥BD.
D
B
C
5.(东湖中心何丽芬供题)如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且AD平分∠CAB,
过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交于E,与AB的延长线相交于点F,G为AB
的下半圆弧的中点，DG交AB于H,连接DB、GB,
(1)证明EF是⊙O的切线：
(2)求证：∠DGB=∠BDF:
(3)已知圆的半径R=5,BH=3,求GH的长.
E
C
B
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6.(教科院附属学校张旭供题)如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交
AB、AC于点E、D,DF是圆的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G.
(1)求证：DF⊥AB:
(2)若AF的长为2，求FG的长.
菁伏
E
D
回
B
7.(罗湖中学杨依文供题)如图，己知AB是⊙O的直径，P是半径OB上一点，作弦CD
⊥AB交⊙O于点C,D,其中CD=8,AB=10.E是AD上一点，延长AE交CD的延长
线于点F,延长BD交EF于点G,连结DE.
(1)求证：∠AEC=∠DEF
(2)连结BC,当四边形BCEG中有一组对边平行时，求DE的长.
(3)当tanF=2时，求DE的值.
3
AE
B
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