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专题11圆的综合题（中等）
1.(滨河实验中学林翠凤供题)如图，⊙O是△ABC的外接圆，点D在BC上，连结DB,
DC,DA,过点C作BD的平行线交AD于点E.
(1)如图1，求证：△ABC∽△CDE:
(2)如图2，若∠BAD=∠CAD=30°，AB=6,BD=4,求DE:
(3)如图3，I为△ABC的内心，若I在线段AE上，AB=10,an∠BAD=上，
当E最
大时，求出⊙0的半径.
B
6
D
D
E
A
00
0
图1
图2
图3
-271-
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2.(翠园初级中学黄为供题)如图，点D是等边三角形ABC外接圆的BC上一点（与点B,
C不重合)，BE∥DC交AD于点E,BC与AD相交于P.
(1)求证：△BDE是等边三角形：
(2)如果BD=2,CD=1,求△ABC的边长.
(3)求证：
CD_CP
DB PB
D
E
B
3.(翠园文锦中学仲茗供题)如图，在等腰△ABC中，AB=AC,以AC为直径的⊙O与BC
相交于点D,过点D作DE⊥AB交CA的延长线于点E,垂足为点F,
(1)判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由.
(2)若⊙0的半径R=3,anC=1
,求EF的长
0
-272-
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4.(大望学校祝汉夫供题)如图，四边形ABCD中，AD∥BC,∠BAD=90°，CB=CD,
连接BD,以点B为圆心，BA长为半径作⊙B,交BD于点E.
(1)试判断CD与⊙B的位置关系，并说明理由：
(2)若AB=2√3，∠BCD=60°，求图中阴影部分的面积.
A
D
5,(东湖中心何丽芬供题)如图所示，CD为⊙O的直径，AD、AB、BC分别与⊙O相切于
点D、E、C(AD(1)求证：OA⊥OB:
(2)求证：BC=BP:
(3)若OA=3,OB=4,求ADBC的值.
D
E
C
B
P
-273-
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6.(教科院附属学校张旭供题)如图，圆O的内接四边形ABCD中，AD是⊙O的直径，BC
=CD
(1)如图1，求证：∠ABC=90°+∠BAC:
(2)如图2，OH⊥BC,垂足是H,求证：AC=2OH:
(3)如图3，在(2)的条件下，作CE⊥AD交⊙于点E,垂足是F,连接EO并延长交
AB于点M,若OH=4,OF·AM=10,求BM的长，
B
0
H
D
D
图1
图2
图3
7.(罗湖中学杨依文供题)如图，已知圆O是正六边形ABCDEF外接圆，直径BE=8,点
G、H分别在射线CD、EF上（点G不与点C、D重合），且∠GBH=60°，设CG=x,
EH=y.
(1)如图①，当直线BG经过弧CD的中点Q时，求∠CBG的度数：
(2)如图②，当点G在边CD上时，试写出y关于x的函数关系式，并写出x的取值
范围：
(3)联结AH、EG,如果△AFH与△DEG相似，求CG的长，
H
H
E
0
G
D
D
D
O
①
图②
备用图
-274-深圳市洪飞市名师工作室团队&罗湖区初中数学中考研究团队联合编辑
专题11圆的综合题（中等）
1.(滨河实验中学林翠凤供题)如图，⊙O是△ABC的外接圆，点D在BC上，连结DB,
DC,DA,过点C作BD的平行线交AD于点E.
(1)如图1，求证：△ABC∽△CDE:
(2)如图2，若∠BAD=∠CAD=30°，AB=6,BD=4,求DE:
(3)如图3，I为△ABC的内心，若I在线段AE上，AB=10,tan∠BAD=1,
当E最
大时，求出⊙0的半径.
3
D
D
A
O0
0
图1
图2
图3
【解答】(1)证明：，点D在圆O上
∴.∠ABC=∠ADC,∠ADB=∠ACB,
又，CE∥BD,
∴.∠ADB=∠DEC,
∴△ABC∽△CDE:
(2)解：由(1)可得△ABC∽△CDE,
.DE DC
BC AB
,'∠BCD=∠BAD=∠CAD=∠CBD=30°，
BC=√3BD=4W3,
DE=83
3
(3)解：由(2)得：DE·AB=BCDC,
∴.10DE=BC·DC,
如图，作BF⊥CF,
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A
图3
tan∠BCD=tan∠BAD=
6
BF=x,CF=5x,CD=BD=t,
BD2=BE2+DE2
解得，1=13，
5
故BC=5W26,
13
DE=2,
26
连接CI,
I为△ABC的内心，
∴.∠ACI=∠BCI,∠BAD=∠CAD=∠BCD,
.∠DIC=∠CAD+∠ACI=∠BCDH∠BCI=∠DCI,
∴DC=DI=t,
:1B=1D-DE=1-26t2,
26
:当1=26时，E最大，
2
此时BC=5V26,=5,
13
连接OD交BC于点M,由勾股定理可得出DM=1,
.OM2+MC2=0C2,
(2+2=r2
解得=13
即圆0的半径为13
.531-
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2.(翠园初级中学黄为供题)如图，点D是等边三角形ABC外接圆的BC上一点（与点B,
C不重合)，BE∥DC交AD于点E,BC与AD相交于P.
(1)求证：△BDE是等边三角形：
(2)如果BD=2,CD=1,求△ABC的边长.
(3)求证：
CD_CP
DB PB
D
E
【解答】解：(1)，△ABC是等边三角形，
.∠CBA=∠ACB=60°，
.∠ADB=∠ACB=60°、∠ADC=∠ABC=60°，
,CD∥BE,
.∠CDA=∠DEB=60°，
∴.∠ADB=∠DEB=60°，
.△BDE是等边三角形：
(2)如图，过点B作MB⊥CD,交CD延长线于点M,
D
,∠CDB=∠ADC+∠ADB=120°，
.∠BDM=60°，
,在Rt△BDM中，BD=2,
.DM=1、BM=√3，
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