罗湖区初中数学中考研究团队&深圳市洪飞市名师工作室团队联合编辑
专题12非圆的几何综合（较难）
1.(罗湖实验聂霞供题)如图1，在菱形
中，=3，
=120°，为对角线
上一点（不与点、重合），过点/，使得=，连接
、、
(1)当
=30时，求的长度：
(2)如图2，延长、交于点，求证：
(3)如图3，连接
,求+的最小值
D
C
D
图1
图2
图3
2.(桂园中学陈维扬供题)定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形称为垂等四边形，
(1)写出一个已学的特殊平行四边形中是垂等四边形的是：
(2)如图1，在正方形ABCD中，点E,F,G分别在AD,AB,BC上，四边形DEFG
是垂等四边形，且∠EFG=90°，AF=CG.
①求证：EG=DG:
②若BC=n·BG,求n的值；
(3)如图2，在RIAABC中，4C=2,AB=5,以AB为对角线，作垂等四边形ACBD.过
BC
点D作CB的延长线的垂线，垂足为E,且△ACB与△DBE相似，求四边形ACBD的面积.
图1
图2
-322
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3.( 供题)在等边△ABC中，AB=6,BD⊥AC,垂足为D,点E为AB边上一点，点F为
直线BD上一点，连接EF,将线段EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG,连结FG
①如图1，当点E与点B重合，且GF的延长线过点C时，连接DG,求线段DG的长；
②如图2，点E不与点A,B重合，GF延长线交BC边于点H,连接EH,求BE+B明的值.
BE
G
G
D
0
E
(E)B
C
图1
图2
4.(布心中学张晓敏供题)如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2,点E为边AB
上一个动点，延长BA到点F,使AF=AE,且CF、DE相交于点G,
D
G
G
F
A
E
A
E
备用图
(1)当点E运动到AB中点时，证明：四边形DFEC是平行四边形：
(2)当CG=2时，求AE的长：
(3)当点E从点A开始向右运动到点B时，求点G运动路径的长度.
-323
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5.(罗外实验王少萍供题)【探究发现】(1)如图①，已知四边形ABCD是正方形，点E为
CD边上一点（不与端点重合），连接BE,作点D关于BE的对称点D',DD的延长线与BC
的延长线交于点F,连接BD',DE.
D
D
B
B
图①
图②
图③
图③备用图
①小明探究发现：当点E在CD上移动时，△BCE≌△DCF.并给出如下不完整的证明过程，
请帮他补充完整.
证明：延长BE交DF于点G.
②进一步探究发现，当点D与点F重合时，∠CDF=.
【类比迁移】
(2)如图②，四边形ABCD为矩形，点E为CD边上一点，连接BE,作点D关于BE的对称
点D,DD的延长线与BC的延长线交于点F,连接BD,CD,DE.当CD⊥DF,AB=2,
BC=3时，求CD的长：
【拓展应用】(3)如图③，已知四边形ABCD为菱形，AD=√5，AC=2,点F为线段BD上
一动点，将线段AD绕点A按顺时针方向旋转，当点D旋转后的对应点E落在菱形的边上
(顶点除外)时，如果DF=EF,请直接写出此时OF的长.
-324深圳市洪飞市名师工作室团队&罗区初中数学中考研究团队联合编辑
专题12非圆的几何综合（较难）
1.(罗湖实验聂霞供题)如图1，在菱形
中，=3，
=120°，为对角线
上一点（不与点、重合），过点/，使得=，连接
、、
(1)当
=30时，求的长度：
(2)如图2，延长、交于点，求证：
(3)如图3，连接，求
+的最小值.
D
C
c
D
M
B
图1
图2
图3
【解答】
(1)如图1，连接ACP
交BD于O,
:四边形ABCD是菱
形，
图1
∴AC⊥BD,BD=2OB,
CD=BC=AB=V3,
:∠BCD=120°，
∴∠CBD=30°，
0C=3BC=
2
0B=50C-,
BD=3,
:∠BCD=120°，∠DCM=30°，
∠BCM=90°，
CM-BC-1,
3
..BM=2CM=2,
∴DM=BD-BM=1;
,692
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(2):四边形ABCD是菱形，
∴ABIICD,AB=CD,
.MNIICD,MN=CD.
∴ABIIMN,AB=MN,
∴四边形ABNM是平行四边形
∴AMIIBN,
∴∠AMB=∠EBD,
ABIICD
·∠ABM=∠EDB,
∴.△ABM-△EDB,
AM AB
BE
DE,
∴AMDE=BE·AB,
.AB=CD
∴AMDE=BECD;
(3)如图2，：四边形ABCD是菱形，
∠ABD=
D
2∠AB
M
C,CDIIA
B,
图2
∠BCD=120°，
∠ABC=60°
∴∠ABD=30°，
连接CN并延长交AB的延长线于P,
.CDIIMN,CD=MN,
四边形CDMN是平行四边形
当点M从点D向B运动时，点N从点C向点
P运动（点N的运动轨迹是线段CP),∠AP
C=∠ABD=30°，
由(2)知，四边形ABNM是平行四边形，
.693-
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..AM=BN,
∴AM+AN=AN+BN,
而AM+AN最小，即：AN+BN最小，
作点B关于CP的对称点B,当点A,N,
B在同一条线上时，AN+BN最小，
即：AM+AN的最小值为AB,
连接BB,B'P,
由对称得，BP=B'P=AB=V3,∠BPB'=2∠A
PC=60°，
“△BBP是等边三角形，
B'P过点B'作B'Q⊥BP于Q,
BQ=B'P=V3
2
3
.B'Q=V3BQ=2
AQ=AB+BQ=3V
2，
在Rt△AQB中，根据勾股定理得，AB'=
VAQ2+BIQ2=3,
即：AM+AN的最小值为3，
2.(桂园中学陈维扬供题)定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形称为垂等四边形.
(1)写出一个已学的特殊平行四边形中是垂等四边形的是：
(2)如图1，在正方形ABCD中，点E,F,G分别在AD,AB,BC上，四边形DEFG
是垂等四边形，且∠EFG=90°，AF=CG.
①求证：EG=DG:
②若BC=n·BG,求n的值；
(3)如图2，在RIAABC中，1C=2,AB=√5，以AB为对角线，作垂等四边形ACBD.过
BC
点D作CB的延长线的垂线，垂足为E,且△ACB与△DBE相似，求四边形ACBD的面积.
G
图1
图2
【解答】分析：(1)根据“垂等四边形”的定义进行分析：
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